函数的类型、特性、极限、连续
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断函数的极限与连续性：局部与整体性质的判断函数是数学中重要的概念之一，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在讨论函数的性质时，常常需要考虑函数的极限和连续性。
函数的极限可以理解为函数在某一点附近的表现，而连续性则描述了函数在整个定义域上的表现。
本文将探讨函数的极限与连续性，讨论如何判断函数的局部与整体性质。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无论如何接近时，函数值的变化趋势。
数学上通过对函数的自变量趋近于某一点，分析函数在该点处的表现来确定函数的极限。
常用的表示方式为：lim[f(x)] = Lx→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量趋近的点，L为极限值。
函数极限的判断准则有很多，包括夹逼定理、单调有界准则、等比缩放法等。
通过这些准则，可以判断一个函数在某点是否存在极限，并求得极限值。
值得注意的是，在一些情况下，函数的极限可能不存在或者为无穷大，这时需要特殊处理。
二、连续性函数的局部与整体性质判断连续性是指函数在整个定义域上的表现，即函数在任意一点的函数值都与该点的极限值相等。
如果函数在某一点处连续，我们称该函数在该点处连续。
函数连续的充要条件是：f(a) = lim[f(x)]x→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量所在的点。
函数的局部连续性可以通过分段函数的方式来判断。
如果函数在某一点的左右极限存在且相等，即lim[f(x)] = lim[f(x)] = L，那么函数在该点处连续。
然而，有时候局部连续性并不能推断整体连续性。
一些函数在有限个点处连续，但在其他点处不连续，这种情况下，可以通过判断间断点的类型来进一步确定函数的连续性。
三、判断函数的整体连续性要判断函数在整个定义域上的连续性，需要考虑函数的每个间断点。
在一些情况下，函数在某一点存在间断，但仍可以是连续函数。
根据间断点的类型，我们可以判断函数的整体连续性。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是数学分析中重要的概念，它涉及到数列的趋势和函数的连续性。
下面针对这两个概念进行详细的论述。
1. 函数的极限概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意小的正数ε，存在正数δ，使得只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么就说当x趋近于a时，f(x)的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数的极限有以下性质：- 若lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在x=a处存在极限为L。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，那么lim(x→a) [f(x)+ g(x)] = L + M。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且c是常数，那么lim(x→a) cf(x) = cL。
2. 函数的连续性概念函数的连续性是指函数在某个点上的极限等于函数在该点处的取值。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意的a，lim(x→a) f(x) = f(a)，那么函数f(x)在点x=a处连续。
函数的连续性有以下性质：- 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在该区间上f(x)有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M。
- 若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么函数f(x) ±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a) ≠ 0）也在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在[a, b]上连续且在(c, d)上可导，那么在[a, b]上f'(x)也连续。
函数的极限与连续性的关系：- 若函数f(x)在点x=a处存在有限的极限lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在点x=a处连续，但极限lim(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么函数f(x)在点x=a处不可导。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
第一章 函数的极限与连续 小结
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。 或 设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
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第一章函数极限连续
一．求函数的定义域
具体函数求定义域的例子就不举了.
例1.设求
（1）的定义域；
（2）的定义域；
（3）的定义域。
解：（1）（2）（3）
练习．设的定义域为，求的定义域.
要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数：
二．求函数的表达式
例3．设求.
解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原
式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.
因为,所以，
例4．设求
解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。
至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。
因为
所以，
例5．设求.
解：首先把作整体看待
三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）
例6．设在上有定义，证明：
为偶；而为奇.
要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.
例7．设时，且在内为奇函数，求.解：由于在内为奇函数，
所以，，
又当时，
所以，
关于周期函数，请大家记住一个结论。
下面以例题的形式给出：
例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.
证明：（一）首先证明是函数的周期.
事实上，设.(1)
因为
所以，是函数的周期.
（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）
假设存在使得对于定义域中的任意有
（2）
则对于任意的实数有
这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.
例9．的最小正周期为
由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：
设分别是以为周期的函数，且为有理数，则
是以的最小公倍数为周期的函数.
例9．证明非周期函数.
证明：（反证）设是以为周期的函数.
则
即
上式中，分别令，得
，得到矛盾.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.
五．复合函数
两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.
例10．下列函数是否可以复合？
（1）（可以）
（2）（不可以）
例11．将函数分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.
记住几个常用的公式：
例11．求.
解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.
原式=
例12．求
例13．求
例14．
例15．求
解：此题宜用夹逼准则.
因为，且
故.
注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用
来夹逼就达不到目的了.
例16．求
解：因为，且
故.
注意：一般地，
下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.
例17．证明数列有极限.
证明：记
（一）由均值不等式
对于任意的有
即，
故单增.
（二）不妨设此时，有
故，故有上界，因此数列有极限.
注意：今后记
例18．证明：数列收敛，其中
证明：（一）.，即有下界.
（二）.由
即单减.
所以，由原理知，收敛.
（三）.设，则因为
所以，两边取极限，有：
.
又由收敛数列的保号性知：.
下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理
例19．设求.
解：因为所以，不存在..
如把此题稍加变形，则结论变为.
注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.
例20．求（不存在，左极限-2，右极限2）.
例21．求（不存在，左极限0，右极限）.
请大家记住一个结论，以例题形式给出：
例22．设为常数，也可以为0），且则
证明：
例23．设求的值.
解：由于所以，（1）
故
所以，
例24．求.
例25．求.
书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的
形式出现.
例26．设，满足
（1）求的值.
下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.
例27．求；（比喻：以毒攻毒法）
例28．求；
例29．求；
例30．求
函数极限也有个夹逼准则.
例31．求
例32．
证明：因为为偶函数，故只须证明：.
事实上，不妨设，则.
两边同除以得：.
又因为.
所以，由由夹逼准则知，，
所以.
下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.
例27．证明：
还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如
这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.
在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.
第一种：
特点：（1）属于型；（2）
例：下列结论中哪些成立？
（1）（2）（3）
（4）
例28．；
例29．；
例30．；
例31．；
例32．；
例33．.
第二种：
或.
特点：（1）属于型；（2）
例33．；
例34．；
例35．设求常数（）
例36．；
例37．；
例38．.
大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是型，即求两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种：型或型，其他类型都可一眼看出答案。
而型可以转化为型.因此，大家要高度
重视这种型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法.为此，先回顾以下结论.
定理：设是同一极限过程中（设为）的
四个无穷小，，且有存在（或为），则也存在（或为），并且=
.
今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小)
（1）s i n x~x;(s i n m x~m x);（2）t a n x~x;(t a n m x~m x);
（3）a r c s i n x~x;（4）a r c t a n x~x;
（5）;（6）;
（7）1-c o s x~;（8）.
例39．求；
例40．求
例41．求
解法一：
解法二：
解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：
.
练习：1.求2.求；3.求.
4.求
七．函数的连续性
首先要记住两个重要结论：
1．一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2．一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连
续的.
一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：在点处连续在点处既左连续又，右连续.
例42．设函数在内连续，求常数
解：分析：当时，为初等函数，则当时，
为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，
为连续函数。
故要使得在内连续，只须保证在
及处也连续.
因为
故只有当，即时，在处也
连续.
又因为
故只有当，即时，在处也连
续.
关于复合函数的连续性，有下述命题：
定理：为复合函数，其中存在，且
也存在，则
上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.
例如：
推论：为复合函数，其中且在处连续，则
，即
例43．求.
解：令。
因存在。
且函数在
处连续，故
当点非连续点时，往往是间断点。
关于间断点的分类是必考的考点.先一块回顾一下间断点及其分类标准。
例44．求函数的间断点，并指出其类型。
解：函数的定义域是.而在上是初等函数，所以连续.故函数的间断点是（第二类的无穷型间断点）；（第一类的可去型间断点）；（第二类的无穷型间断点）.
例45．函数的连续性.
在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.
例46．证明方程至少有一个小于1的正根。
证明：设，在上连续，又
由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个小于1的正根.
思考题：1.证明方程在1与2之间至少有一个实根. 2．证明方程恰好有三个实根。
（提示：令.先证明在各区间内各有一个实根，说明方程至少有三个实根。
；再证明方程最多有三个实根，理由是为三次代数方程，至多只能有三个实根.。