等腰三角形(讲义及答案)
初二等腰三角形讲义
课 题等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.2．等腰三角形的性质：1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
3．等腰三角形的判定：ABC1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)
一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。
已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。
2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。
如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。
如果仍无法解决，重点听课堂讲解。
知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。
②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。
③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。
验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。
2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。
通常借助构造弦图模型进行求解。
精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。
点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。
点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。
△___的面积为。
（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。
（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。
点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。
若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。
等腰三角形的判定讲义
等腰三角形的判定-讲义等腰三角形一、知识梳理定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。
两腰所夹的角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。
1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形4.等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．二、等腰三角形的判定1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有________个2.下列能断定 △ ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4D．AB=3，BC=7，周长为103.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为_______5.若△ABC的三边a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，那么 △ABC的形状是___________6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论正确的有_____________①△ BDF和 △ CEF都是等腰三角形；② DE=BD+CE；③△ ADE的周长等于AB与AC的和；④ BF=CF．7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等边三角形．其中正确的是_____________8.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F，求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF9.如图，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，OD//AB，OE//AC，若AC=6，AB=7，BC=8则△DOE的周长是_______10.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D垂足，连接EC求∠ECD的度数；若CE=5求BC长 .11.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC的中点，F是AD上一点，连接BF，过点C作CE⊥BF于点E.求证：AF=BG.12.已知：如图，A B=AC，点D是的中点，A B平分∠DAE，AE⊥BE（1）求证：A D=AE；（2）若B E//AC，试判断△ABC的形状，并说明理由.13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b与x轴交于点（1，0），与一次函数y=x+3的图象相交于点A．（1）求b的值，并直接在图中画出这两个一次函数的图象（不写画图过程）；（2）求点A的坐标；（3）若P是x轴的正半轴上一点，且满足是等腰三角形，直接写出点P的坐标．14.如图，在平面直角坐标系中xoy中，∠AOB=90°，AB=CD=a，OD=OA=b，点B的坐标为（c，0），且|a-13|+（b-12）2=-（c-5）2.（1）求点C的坐标；（2）求证；DC⊥AB（3）在x轴上找一点P，使△PDC是以DC为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.三、直角三角形斜边中线定理如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
等腰三角形
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．3. 分类讨论的类型： ①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．O EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．AED3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．AF4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．GEBFC A5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．B30°lA13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．AB C三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-36.120°或20°7. 28.1cm或5cm9.65°或115°10. 8cm 11. 8cm 或163cm 12. 作图略 13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ． 求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-52．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ） FGEDA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．求证：DE=DF．15.已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：BM=ME．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．M DAF DAE求证：BD=CD．AFE17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．20.已知一等腰三角形的三边分别是5x 3，3x+3，27，则x=__________．21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．l【参考答案】1.证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）2.证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明∠DBE=∠E=30°）3.证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）4.±165. 1cm 或9cm6. 80°或40°7. 6或88. 60°或120°9. 10cm 或6cm 10. 点C 有5个，作图略等腰三角形（讲义）一、知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________．二、精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．ABC DABDC第2题图第3题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE 垂60°108°BA C ABC A BCA直平分AC ，交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若 ∠BAE :∠BAC =1:5，则∠C =_____．5. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ． （1）若∠ADE =80°，则∠DEB =________．（2）若F 为BE 中点，则DF 与BE 的位置关系是________．C DAB EF6. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM ⊥BC 于M ． 求证：M 是BE 的中点．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AE =AD ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．E DCAECMAD B8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．11. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．13. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．14.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、知识点睛1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．3.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边．4.三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是60°．1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.108°4.40°5.（1）40°；（2）DF⊥BE6.提示：连接BD，由三线合一得∠DBC=∠E=30°，从而得到BD=ED，△BDE是等腰三角形，利用三线合一可以知道底边BE上的高DM也是BE边上的中线，所以M是BE的中点．7.提示：延长ED与BC交于点F，根据已知条件可以知道△AED和△ABC是等腰三角形，设∠E=α，可以表示出∠CDF=α，∠BAC=2α，∠C=90 α，得到∠EFC=90°，所以DE⊥BC．8.提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE．9.3cm10.5cm或353cm11.40°或100°12.50°或130°13.这样的点有4个14.这样的点有2个等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．DC2. 等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．E DCB A【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得到BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD ．等腰三角形（作业）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且BD =BE ．若∠A =84°，则∠DEC =______．E DC BA2. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DCB AN MEA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ．DB A5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．DBAP6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ． 求证：BD =CE ．AB CD E7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为________． 8. 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则这个三角形的顶角的度数为_____________．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．1.78°2.36°3. D4.提示：过点A作AE⊥BC于E，可证Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），从而得到∠ACD=∠B．5.提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC．6.提示：根据等边对等角可以得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可以得到∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可以得到BD=CE．7.208.80°或40°9.共有4个，图略．。
倍思教育讲义-----___等腰三角形
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 13、如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对
△ADE的形状最准备的判断是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确
CD的夹角是多少度？
2、．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长 分别是20cm和16cm，求AD的长．
3、如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是 CD的中点．
求证：AF⊥CD.
4、如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且 ∠ABD=∠ACE，
等腰三角形
一、知识要点：
1.等腰三角形的性质： （1）性质定理内容：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对 等角） （2）定理的作用是证明同一个三角形中的两个角相等． （3）性质定理的推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂 直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合． （4）推论1的作用：可证明角相等，线段相等或线段垂直． （5）性质定理的推论2：等边三角形的每条边相等，每个角都等 于． （6）等腰直角三角形的两个底角都等于． （7）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角或钝角，但顶角都 可以． 2．等腰三角形的判定 （1）定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等．简写成“等角对等边”．（此定理可用来证明同一个三角形中 的线段相等） （2）推论1：三个角相等的三角形是等边三角形．
定形状 二、填空题 1、等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 2、等腰三角形“三线合一”是指___________． 3、等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是 _________． 4、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第13讲 等腰三角形一(讲义)解析版
第13讲等腰三角形一等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．模块一：等腰三角形性质知识精讲等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．例题解析例1．（2018·上海七年级零模）如果一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么第三条边的长是________cm．【答案】6【分析】分“3cm为腰长”和“6cm为腰长”两种情况计算，再根据三边关系判断即可．【详解】解：分两种情况考虑：若3cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为3cm，3cm，6cm，因为3+3=6，不符合三边关系，故舍去；若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，3cm，符合三边关系，则第三条边的长是6cm．故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系，掌握基础知识是关键，做题时注意分情况考虑．例2．（2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考）若等腰三角形有一个内角为80°，则该等腰三角形顶角的度数为________【答案】80°或20°【分析】分顶角为80°和底角为80°两种情况求解即可.【详解】当底角为80°时，顶角=180°-80°×2=20°.故答案为：80°或20°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的数学思想，分顶角为80°和底角为80°两种情况求解是解答本题的关键.例3．（2018·上海市兴陇中学七年级月考）等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________．【答案】16cm．试题分析：分两种情况， 当2cm为腰长，7cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,2cm,7cm，不符合三角形的三边关系，不构成三角形； 当7cm为腰长，2cm为底边长时，三角形三边长分别为2cm,7cm,7cm，符合三角形的三边关系，所以三角形的周长为16cm．考点：等腰三角形的性质；分类讨论．例4．（2020·上海闵行区·）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为___________．【答案】22【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22．故答案为：22．例5．（2019·上海浦东新区·）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______________．【答案】8cm或12m【详解】如图，设等腰三角形的腰长是xcm．当AD+AC与BC+BD的差是2cm时，即12x+x-（12x+10）=2解得：x=12cm；当BC+BD 与AD+AC 的差是2cm 时，即10+12x-（12x+x ）=2 解得：x=8cm ．故腰长是：8cm 或12cm ． 例6等腰三角形底边长为7cm ，它的周长不大于25cm ，则它的腰长x 的取值范围是____________．【难度】★ 【答案】792cm x cm <≤． 【解析】由题意得7257x x x x ++≤⎧⎨+>⎩，解得：792cm x cm <≤． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例7.（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．【难度】★【答案】（1）40︒或140︒；（2）100︒．【解析】（1）当三角形为锐角三角形时，顶角为40︒，当三角形为钝角三角形时，顶角为140︒；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，所以底角为40︒，所以顶角为100︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和的运用，注意分类讨论． 例8.已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________．【难度】★【答案】45︒．【解析】∵AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2A AED α∠=∠=，3ABC ACB BDC α∠=∠=∠=， ∴8180A ABC ACB α∠+∠+∠==︒，∴22.5α=︒，∴245A α∠==︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例9.已知：在三角形ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________．【难度】★【答案】36︒．【解析】∵AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，∴ABC ∆、AED ∆、BED ∆、BDC ∆都是等腰三角形，设EBD α∠=，则2ADE AED α∠=∠=，2CBD CDB α∠=∠=， ∴5180ADE EDB BDC α∠+∠+∠==︒，∴36α=︒，∴180436A α∠=︒-=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及平角定理的综合运用．例10.如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（） A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确 【难度】★【答案】B ．【解析】当三个角度数比为4:4:1时，顶角为20︒；当三个角度数比为4:1:1时，顶角为120︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例11.如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A（ ）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对【难度】★★【答案】B ． 【解析】901537.52A ︒-︒∠==︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例12.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（） A ．4厘米B ．8厘米C ．4厘米或8厘米D ．不确定 【难度】★★【答案】C ．【解析】当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米．【总结】本题考查了等腰三角形的性质．例13.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，那么△ABC 的最大外角为（） A ．160°B ．140°C ．135°D ．145° 【难度】★★【答案】C ．【解析】B ∠和C ∠的外角为135︒．【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用．例14.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 【难度】★★【答案】B ．【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条．【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．例15.（2020·上海市建平中学七年级期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，点 E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，且//CE BF ，试说明DE DF =．AB AC =，AD BC ⊥BD ∴= （ ）//CE BFCED ∴∠= （ ）（完成以下说理过程）【分析】根据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE=DF 的长即可；【详解】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ．（ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合）∵CE ∥BF ，∴∠CED=∠BFD ，（两直线平行，内错角相等）在△BFD 和△CED 中，CED BFD EDC BDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BFD ≌△CED （AAS ）∴DE=DF （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等．例16.如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD =DE ，∠BAD =20°，∠EDC =10°，求∠DAE 的度数．【难度】★★【答案】60︒．【解析】∵AD =DE ，∴DAE DEA α∠=∠=，∵AB =AC ，∴ABC ACB ∠=∠，∵∠BAD =20°，∠EDC =10°，∴10ABC ACB α∠=∠=-︒ ∴()21020180αα-︒++︒=︒，解得：60α=︒，∴60DAE ∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例17.如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由．【难度】★★【解析】∵AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，∴CD AB ⊥，ACD BCD ∠=∠，∵EF ⊥AB ，∴CD ∥EF ，∴BFE BCD ∠=∠，∴ACD BFE ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线性质的综合运用．例18.如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∴ADB ∆≌CEA ∆，∴3EAC ∠=∠，∵∠3=∠4，4ACB ∠=∠， ∴EAC ACB ∠=∠．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及全等的综合运用．例19.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴45B ACB ∠=∠=︒，∵EC ⊥BC ，∴45ACE ∠=︒，∴ACE B ∠=∠．在△ABD 与△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ∆≌ACE ∆，∴AD AE =，∵DF =EF ，∴AF ⊥DE ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形性质的综合运用．例20.等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ；（2） 若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________．【难度】★★【答案】（1）15152x <<；（2）015cm a cm <<． 【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系的综合运用．例21如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．【难度】★★★【答案】75︒．【解析】∵∠A =150，AB =BC ，∴15ACB ∠=︒，30CBD ∠=︒． ∵BC =CD =DE =EF ，同理可得：75FEM ∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．例22.如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．【难度】★★★【答案】60︒．【解析】设NAM α∠=，∠CAN β=∵AB =BC ，∴BAC C ∠=∠．∵MN =AN ，∴NMA NAM α∠=∠=．∵NMA B BAM ∠=∠+∠，∠BAM =∠CAN β=，∴2BAC C αβ∠=∠=+，B αβ∠=-，∴33180BAC C B αβ∠+∠+∠=+=︒，∴60αβ+=︒， ∴60MAC αβ∠=+=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用．模块二：等腰三角形的判定知识精讲如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 例题解析例1．（2018·全国）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．65°C ．50°或65°D ．50°或80°【答案】D 【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【详解】如图所示，△ABC 中，AB=AC ．有两种情况：当顶角∠A=50°时∠B=∠C=18050652当底角是50°时，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-50°-50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故正确选项为：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．例2．（2019·山东全国·七年级单元测试）如图所示方格纸中的三角形是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．【详解】从图上可知：△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定与性质，证明△ADB≌△AEC是解答本题的关键．例3.下列说法中，不正确的是（）A．如果三角形ABC是等腰三角形，那么∠B=∠CB．如果△ABC中，∠B=∠A，那么△ABC是等腰三角形C．如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D．有两个角相等的三角形是等腰三角形【难度】★【答案】A．【解析】A选项，三角形ABC是等腰三角形，不能确定哪个角是顶角，故选A．【总结】本题考查了等腰三角形的判定．例4.（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠B=52°，那么∠A=__________；（2）在Rt△ABC中，如果∠B=45°，那么△ABC是___________三角形；（3）在△ABC中，如果∠BCA=30°，∠ABC=50°，那么△ABC是________三角形．（按角分类）．【难度】★【答案】（1）76︒；（2）等腰直角三角形；（3）钝角．【解析】（1）∵AB=AC，∴B C∠=︒-︒-︒=︒；A∠=∠，∵∠B=52°，∴180525276（2）∵在Rt△ABC中，∠B=45°，∴180904545∠=︒-︒-︒=︒，C∴△ABC是等腰直角三角形；（3）1803050100∠=︒-︒-︒=︒，∴△ABC是钝角三角形．CAB【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例5．（2020·山东泰安市·泰山中学七年级月考）等腰三角形的一个内角是80︒，则它的顶角度数是_______________．【答案】20度或80度【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．故答案为：80°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．例6．（2020·黑龙江省红光农场学校）在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形．【答案】等腰【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断．【详解】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，∴∠B=180°－∠A－∠C=70°∴∠B=∠C∴△ABC为等腰三角形故答案为：等腰．【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和等角对等边是解决此题的关键．例7.若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．【答案】17【分析】有两种情况：①腰长为3，底边长为7；②腰长为7，底边长为3，分别讨论计算即可.【详解】①腰长为3，底边长为7时，3+3＜7，不能构成三角形，故舍去；②腰长为7，底边长为3时，周长=7+7+3=17.故答案为17.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，当腰和底不明确的时候，需要分类讨论，并利用三边关系舍去不符合题意的情况.例8.（2020·山东淄博市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =，求证：40ECA ∠=︒．【分析】在BC 上截取BFAB =,连DF ,可得ABD FBD ∆≅∆,再证明DCE DCF ∆≅∆即可证明∠ECA=40°．【详解】在BC 上截取BF AB =,连DF ,∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD=20°,又∵AB=FB,DB=DB,∴ABD FBD ∆≅∆()SAS ,∴DF DA DE ==,∠ABD=∠DBF=20°,∵AB=AC,∴40ACB ABC ∠=∠=︒,18080DFC A ︒∠=-∠=︒,∴60FDC ∠=︒,∴1801802010060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠-︒-︒=︒=︒,∵DF=DE,∠EDC=∠FDC,DC=DC,∴DCE DCF ∆≅∆(SAS),故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．例9.已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由．【难度】★★【解析】∵AC =BC ， ∴A B ∠=∠．在△ACD 与△BCE 中，AC AB AC BCE A B D ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴CAD ∆≌CBE ∆（A ．S ．A ）， ∴CD CE =， ∴△CDE 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定理及全等三角形性质的综合运用．例10.如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由．【难度】★★【解析】∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，∴EBD DBC ∠=∠，ACD DCM ∠=∠，∵ED ∥BC ，∴EDB DBC ∠=∠，FDC DCM ∠=∠，∴EDB EBD ∠=∠，FDC FCD ∠=∠， ∴EB ED =，CF DF =，∴EF BE CF =-．【总结】本题考查了等腰三角形的判定及性质与平行线性质的综合运用．例11.如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，•试说明△DBE是等腰三角形．【难度】★★【解析】∵BA=BC，∴B C∠=∠，∵DF⊥AC，∴90C CEF∠+∠=︒，∠+∠=︒，90A D∴D CEF∠=∠，∵DEB CEF∠=∠，∴DEB D∠=∠，∴△DBE是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例12.△ABC中，在（1）∠1=∠2；（2）AD⊥BC；（3）BD=CD；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB=AC?证明所有的可能．【难度】★★【解析】（1）、（2）作为已知条件时，∵∠1=∠2，AD⊥BC，AD AD=，∴ABD∆，∆≌ACD∴AB AC=；（2）、（3）作为已知条件时，∵AD⊥BC，BD=CD，AD AD∆，∆≌ACD=，∴ABD∴AB AC=；（1）、（3）作为已知条件时，过点D分别向AB、AC作垂线交于M、N点，∵AMD AND ∠=∠，∠1=∠2，AD AD =，∴AMD ∆≌AND ∆，∴DM DN =，∵BD =CD ，∴BMD ∆≌CND ∆， ∴B C ∠=∠，∴AB AC =．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用．例13.如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由．【难度】★★【解析】∵AB =AC ，∴B C ∠=∠．∵DEC B BDE DEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，∠DEF =∠B ， ∴BDE FEC ∠=∠．在△DBE 与△ECF 中，BD CE BDE FEC B C ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠=⎩∠∴DBE ∆≌ECF ∆（A.S.A ），∴DE EF =，∴△DEF 是等腰三角形．【总结】本题考查了等腰三角形的判定及三角形外角性质的综合运用．例14.已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【难度】★★【解析】【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．例15.（1）如图，在△ABC 中，已知∠A =36°，∠ABC =72°，CD 平分∠ACB ，交边AB 于点D ．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE∥BC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【难度】★★【答案】（1）ABC∆、BDC∆是等腰三角形；∆、ADC（2）ADE∆是等腰三角形．∆、DEC【解析】（1）由题意易得36A ACD BCD∠=∠=∠=︒，∆、BDC∆、ADC∆是等腰三角形；∠=∠=︒，∴ABC72B BDC（2）∵DE∥BC，∴ADE∆是等腰三角形．∆、DEC【总结】本题考查了等腰三角形的判定与平行线性质的综合运用．例16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，说明AG ⊥EF的理由．【难度】★★【解析】∵BE平分∠ABC，∴ABE CBE∠=∠，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AEB BFD∠=∠，∵AFE BFD∠=∠，∴AF = AE．∠=∠，∴AFE AEB∵G为EF的中点，∴AG⊥EF．【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理及等角的余角相等的综合运用．例17.如图，已知：D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，DE∥AB，交BC于点E，DF∥AC，交BC于点F，如果BC=12cm，求△DEF的周长．【难度】★★【答案】12厘米．【解析】∵D 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，∴ABD CBD ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴ABD BDE ∠=∠，ACD FDC ∠=∠，∴CBD BDE ∠=∠，BCD FDC ∠=∠，∴EB ED =，FD FC =， ∴DEF C DE EF DF BE EF FC BC ∆=++=++=， ∵BC =12cm ，∴△DEF 的周长为12厘米．【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．例18.把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE ，求△ABE 的周长，并简单说明理由．【难度】★★★【答案】12厘米．【解析】由翻折可得：CBD DBC ∠=∠．∵AD ∥BC ，∴EDB DBC CBD ∠=∠=∠，∴EB ED =．∴ABE C AB BE AE AB AD ∆=++=+， ∵4AB =，8AD =， ∴12ABE C ∆=厘米．【总结】本题考查了翻折的性质与基本模型的综合运用，解题时注意观察．例19.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，AD、CF分别是BC、AB边上的高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于点M、N，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．【难度】★★★【答案】ADC∆、PMN∆、ABE∆是等腰三角形，理由见解析．∆、MAB∆、NBC【解析】∵∠ACB=45°，∠ABC=60°，∴75∠=︒．BAC∵AD、CF分别是BC、AB边上的高，∴45∠=︒，∠=︒，30BCFBAD∠=︒，30CAD∵BE是∠ABC的平分线，∴30∠=∠=︒．ABE CBE易得：60ABE∠=︒，∠=∠=︒，75PMN MPN∴等腰三角形有ADC∆．∆、ABE∆、PMN∆、MAB∆、NBC【总结】本题考查了等腰三角形的性质及判定的综合运用，等腰三角形较多，不要漏解．随堂检测1.在△ABC中，已知AB=3，∠B=52°，如果AC=3，那么∠A=________．【难度】★【答案】76︒．【解析】∵AB AC∠=︒．A=，∴52C B∠=∠=︒，∴76【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．2.等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．【难度】★【答案】80︒、20︒或50︒、50︒．【解析】当100°为底角的外角时，另两角为80︒、20︒；当100°为顶角的外角时，另两角为50︒、50︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质．3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=___________．【难度】★【答案】102︒．【解析】∵AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=84°，∴1242DBE ABC∠=∠=︒，∵BD=BE，∴78DEB∠=︒，∴102DEC∠=︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．4.（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．【难度】★★【答案】（1）30︒、30︒；（2）30︒、120︒或75︒、75︒．【解析】（1）120︒只能为等腰三角形的顶角，所以另外两个角的度数为30︒、30︒；（2）当30︒为等腰三角形的底角时，另外两个角的度数为30︒、120︒；当30︒为等腰三角形的顶角时，另外两个角的度数为75︒、75︒．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分类讨论．5.（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．【难度】★★【答案】（1）30厘米；（2）28厘米或32厘米．【解析】（1）由三角形的存在性可知6厘米为底，12厘米为腰，所以周长为30厘米；（2）当8厘米为腰时，周长为28厘米；当12厘米为腰时，周长为32厘米．【总结】本题考查了三边关系的运用，注意考虑三角形的存在性问题．6.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CBD的周长为28，求BC 的长．【难度】★★【答案】10．【解析】∵CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∴△BCD是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）即CB CD=．∵∠DAB=∠DBA，∴DA DB=．∵△CBD的周长为28，∴28+=，CA BC++=，即28CD DB BC∵AC=18，∴281810BC=-=．【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用．7.如图，已知：△ABC中∠C的平分线CD交AB于点D，DE∥BC于点E，若DE=3，AE=4，求AC的长．【难度】★★【答案】7．【解析】∵C∠的角平分线，∠是ACB∴BCD ECD∠=∠，∵DE∥BC，∴BCD EDC∠=∠，∴ECD EDC=．∠=∠，∴ED EC∵DE=3，AE=4，∴7=+=+=．AC AE EC AE ED【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用．8.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠ACE，CE=BD．说明：（1）△ADE 也是等腰直角三角形；（2）BD⊥CE的理由．【难度】★★★【解析】（1）在△ABD 与△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ∆≌ACE ∆，∴AD AE =，BAD CAE ∠=∠，∴BAC DAE ∠=∠．∵∠BAC =90°，∴90DAE ∠=︒，∴△ADE 也是等腰直角三角形；（2）∵ABD ∆≌ACE ∆， ∴AEC ADB ∠=∠，∵90AEC CED ADE ∠+∠+∠=︒，∴90ADB CED ADE ∠+∠+∠=︒ ∴1809090EFD ∠=︒-︒=︒，∴BD ⊥CE ．【总结】本题考查了全等三角形判定及等腰三角形的性质和判定的综合运用．。
八年级上册数学讲义等腰三角形
13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。
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等腰三角形（讲义）
➢ 知识点睛
1. 等腰三角形
D
C B
A 2α
α
α
α
αD
C B A
延长CB 到点D ，使BD =BA 作∠ABC 的平分线
E
α2αA
B C D 2ααα
D
C B A
作AC 的垂直平分线 作∠DCB =∠ABC
2. 等边三角形
（1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
（2）性质：
①边：等边三角形三边都相等；
②角：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于_____； ③线：等边三角形三线合一． （3）判定：
①_____________的等腰三角形是等边三角形； ②_____________的三角形是等边三角形．
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的
________等于_______的一半．
4. 在证明时，先假设_____________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明的方法称为反证法．
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =32°，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，交
AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠ABE 的度数为______．
A
D
E
B C C D B
A
第1题图 第2题图 2. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．
3. 如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：△ABE 是等腰三角形．
E
D
C
B
4. 如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，∠ADE =∠AED ．
求证：BD =CE ．
A
B C
D E
5. 如图，点C 在线段AB 上，AD ∥BE ，AC =BE ，AD =BC ，CF 平分∠DCE ．求证：
DF =EF ．
F
D
C
A
6. 如图，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，已知
AG ⊥BD ，AF ⊥CE ．若BF =2，FG =6，CG =4，则△ABC 的周长为__________．
A
E B
C
G
D
A D
B
第6题图 第7题图 7. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，
∠A =∠ABD ，若AC =6，BC =4，则BD 的长为（ ） A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，过点A 作BC 的平行线，交
∠ABC 的平分线于点E ，交∠ACB 的平分线于点D ，则DE 的长为_________．
E
D
C
B
A
9.如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，过点E作BC
的平行线，交AB于点F，交AC于点G，若BF=8 cm，CG=5 cm，则
FG=__________．
G
A
B C D E
F
E
A
D
C
F B
12. 如图，在△ABC 中，点D ，E 在BC 上，且BD =DE =AD =AE =EC ，则∠BAC 的度
数为_______________．
E D C
B A
13. 如图，在等边三角形ABC 的三边上分别取点D ，E ，F ，使AD =BE =CF ．求证：△
DEF 是等边三角形．
E
D
C
B
A F
14. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC ，交BC 于点D ．若BC =6，
则CD 的长为________．
B C
D
A
15. 如图，四边形ABCD 中，AD =4，BC =1，∠A =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，则
CD =________．
➢知识点睛
1.（2）②的两底角相等；等边对等角；③顶角的平分线；底边上的中线；底边上的
高线
（3）有两个角相等
2.（2）②60°
（3）①有一个角等于60°；②三个角都相等
3.直角边；斜边
4.命题的结论
➢精讲精练
1.21°
2.108°
3.证明略；
提示：先证△ABC≌△BAD（SSS），再在△ABE中由“等角对等边”，证明△ABE是等腰三角形．
4.证明略；
提示：先在△ABC中由“等腰三角形两底角相等”，得到
∠B=∠C，
再证△ABD≌△ACE（AAS），求证BD=CE．
5.证明略；
提示：先证△ACD≌△BEC（SAS），得到CD=EC，
再在△CDE中由“等腰三角形三线合一”，求证DF=EF．
6.30
7. A
8.14
9. 3 cm
10.证明略；
提示：延长BC至点E，使CE=CA，连接AE
先证∠E=∠B，得到AB=AE，再证BD=DE，
在△ABE中由“等腰三角形三线合一”，求证AD⊥BC．
11.1 2
12.120°
13.证明略；
提示：先证△ADF≌△BED（SAS），得到DF=ED，
再证DE=EF，根据DF=ED=EF，求证△DEF是等边三角形．
14.4
15.2
16.有两个角是直角
17.尺规作图略
提示：分类讨论，α为等腰三角形的顶角或底角。