单因素方差分析教材
OneWayANOVA单因素方差分析PPT课件
•五次重复
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单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij ,
j 1
xi
1 n
xi ,
i 1, 2,, a
a n
x
xij ,
i 1 j1
x
1 an
固定效应模型
方差分析统计量：
Fdf A ,dfe
MS A MSe
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固定效应模型
平方和的简易计算
a n
SST
i1 j1
xij x
2
a
i 1
n j1
xi2j
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
2
1 n
a i 1
xi2
x2 na
C x2 na
减少计算误差 利于编程
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
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感谢您的观看！
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单因素方差分析的SPSS实现
例：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析
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单因素方差分析的SPSS实现
SPSS one-way ANOVA output
株高
Between Groups Within Groups Total
Sum of Squares
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多重比较
多重比较方法：
最小显著差数（LSD）检验 Student-Newman-Keuls（SNK）q检验 Duncan 检验 Dunnett t检验 Tukey 检验 …
第十三章单因素设计方差分析
第十三章单因素设计方差分析方差分析是由英国统计学家Ronald Fisher 研究出来的，并以他的名字命名的方法，称为F检验。
它可以解决单因素和多因素实验设计结果的数据处理问题。
早期的心理学实验是严格的实验室控制实验。
在实验中只允许研究者感兴趣的一种变量作为自变量，希望观察到自变量引起的因变量的变化。
自变量也称为因素(factor)，在实验中只安排一个自变量的实验叫做单因素实验。
经典心理学实验通常是单因素实验。
单因素的实验可以较明确的观察到自变量与因变量之间的因果关系，较适用于研究比较单纯的心理现象，但往往无法说明复杂的心理现象。
现代的实验设计将一些额外变量引入实验成为实验中新的因素，以期实验的结果更贴近真实的情景，从而发展了多因素的实验设计。
统计中用符号表示实验设计时，常用大写的英文字母表示因素，如因素A、因素B、因素C等；用S表示被试（subject）。
把S写在表示因素符号的后边、前面或中间，则表示不同的实验设计，例如：单因素被试间设计AS、单因素被试内设计SA、多因素被试间设计ABS、多因素被试内设计SAB、混合设计ASB。
第一节t检验与I类错误当两个总体没有差异，而统计推论的结论说有差异，就犯了I类错误；当两个总体存在差异，而统计推论的结论说没有差异，就犯了II类错误。
通常，I类错误的发生概率用α表示，II类错误发生的概率用β表示。
当采用多个两两t检验时，发生I类错误的概率就会增大。
I类错误的计算公式如下：I类错误发生的概率＝1－(1－α)C（13.1）所以当要比较3个或3个以上的总体平均数两两检验时，应采用方差分析（analysis of variance）的方法。
一个显著的F值表示，在所比较的总体平均数里至少有两个总体平均数存在着显著差异。
第二节方差分析的原理方差（V ariance）有时也称为变异数（V ariation），是表示一组数据离散程度的统计量。
方差的总体参数用符号σ2表示；方差的样本统计量用符号S2表示。
第9.1节 单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
ES A ( s 1) 2 n j 2 j
j 1
s
由此得
Se 2 E , ns
1 s SA 2 2 E n j j s 1 s 1 j 1
在 H0 为真时, 即 1 2 s 0 时, 有
S A ( s 1) 将 从而在 H0 不真时, 比值 S ( n s ) 有偏大的趋势, 其 e
S A ( s 1) . 记为 F, 即 F Se (n s )
则 F 可以作为检验 H0 的统
计量. 将 Se 写成如下分项相加的形式
Se ( xi1 x1 ) 2 ( xi 2 x2 ) 2 ( xis xs ) 2
的 影响.
种子品种代 号 (水平) 重复试验序号及作物实测产量
1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系
s nj
从而有
Se ( ij j ) ,
2 j 1 i 1
s
nj
S A n j ( j j ) 2
j 1
s
由此知, Se 反映了误差的波动, 称其为误差的偏差 平方和(或称为组内平方和), 它集中反映了试验中与因 素及其水平无关的全部随机误差. 在 H0 为真时, SA 反 映误差的波动, 在 H0 不真时, SA 反映因子A 的不同水
第二节 单因素试验资料的方差分析
第二节单因素试验资料的方差分析在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料的方差分析。
单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因素各水平的优劣。
根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。
上节讨论的是重复数相等的情况。
当重复数不等时，各项平方和与自由度的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。
本节各举一例予以说明。
一、各处理重复数相等的方差分析【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。
表6-12五个不同品种母猪的窝产仔数这是一个单因素试验，k=5,n=5。
现对此试验结果进行方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-13不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表根据df1=df t=4,df2=df e=20查临界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43，因为F＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。
3、多重比较采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表6-14。
表6-14不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR法)-8.2 -9.6因为MS e=3.14,n=5，所以为：根据df e=20，秩次距k=2,3,4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以=0.7925，即得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
表6-15SSR值及LSR值将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。
第2章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
Minitab单因素方差分析课件
•同时考虑如下
r 2
个假设的检验问题，
H
ij 0
： i
j ，i
j, i,
j
1,2,, r ．
•样本均值
yi
应是
i
的很好估计，若
H
ij 0
为真，
yi y j
不应过大，过大就应拒绝
方差分析
Minitab
• 方差分析与回归分析的区别：当研究的是 两个数值型变量的关系时是回归分析.
• 回归分析沿水平轴的自变量是数值型变量， 而方差分析中是分类变量。
方差分析
Minitab
• 在因素只有一个时不一定要采用方差分 析，可以采用t-检验和 z-检验
• t-检验和 z-检验不能用于多于 2 个样 本的数据. 此时就要采方差分析。
这里的关键是“同时”两字．若
r
较大，要同时检验
r 2
个假
设，问题就复杂起来了．
多重比较的检验法则很多，一般分为二类：
(1)重复数相等的情况；(2)重复数不等的情况．
多重比较 重复数相等情况的多重比较(T法)
Minitab
•考察因子 A 的 r 个水平，每个水平下重复数均为
m．假设诸试验数据
2 1
2 2
2 r
2
．
A3.随机性。所有数据yij都相互独立．
单因子试验所涉及的多个正态总体
单因素方差分析 单因子试验的统计模型 Minitab
单因子试验的三项基本假定用到试验数据yij上去，
单因素方差分析-PPT课件
单因素方差分析的假设检验的步骤：
（1）提出统计假设 H 0 ： μ 1μ2 μs
H1： μ1， μ2， ， μs 不全相等.
（2）编制单因素试验数据表
s nj
（3）根据数据表计算 T ，
x
2 ij
，
ST,SA,SE
j1 i1
（4）填制单因素方差分析表
单因素方差分析表
一、基本概念
我们将要考察的对象的某种特征称为指标， 影响指标的各种因素称为因子，一般将因子控 制在几个不同的状态上，每一个状态称为因子 的一个水平.
若一项试验中只有一个因子在改变，而其 它的因子保持不变，称这样的试验为单因素试 验.多于一个因子在改变的的试验为多因素试验. 这里，我们只讨论单因素试验.
否则接受H0 ，认为因子A对指标没有显著影响.
例1. 在显著性水平α=0.01下，用单因素方差分析法判断
实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著 差异？
解：提出统计假设
H0： μ1μ2μ3
H1： μ1， μ2， μ3 不全相等.
编制单因素试验数据表
部分 总体
A1
A2 A3
37
样 47 本 40 值 60
6444
S A
s j1
1 nj
T2j
n1T2
1 12 81 442 91 826 27 192 49
4
6
3
13
4284
SESTSA644 44 28 24 160
单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度
因子A 4284 2
随机误差 2160 10 总和 6444 12
ST σ2
~
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。
这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⼆步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。
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方差分析的基本思想和原理
(两类误差)
1. 随机误差
▪ 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 ▪ 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 系统误差 ▪ 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异
方差意义
方差也是比较数据的一个非常有用的工具， 比较两组数据大小一般用平均数，但是有的时候 平均数不能非常准确的表示数据。 例： 有现在有六只鸡，每三只一组，每组鸡的 重量为：
第一组： 2.5，3，3.5 第二组： 1，3，5 两组鸡重量的平均数是一样的，但是这两组鸡却 有明显的差别，这是平均数就不能体现二者的差 别，所以我们引入了方差的概念。
▪ 比如，零售业被投诉次数的方差
▪ 组内方差只包含随机误差
结合计算实例
2. 组间方差(between groups)：MSA
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差
▪ 比如，四个行业被投诉次数之间的方差
▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
(F检验：方差的比较)
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共23家企业投诉的次数如下表
观测值
零售业
消费者对四个行业的投诉次数
行业
旅游业
航空公司
家电制造业
1
57
68
31
44
2
66
39
49
51
3
49
29
21
65
4
40
45
34
77
5
34
56
40
58
6
53
51
7
44
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就 是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响
2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次 数的均值是否相等
3. 如果它们的均值相等，就意味着“行业”对投诉次数 是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异； 如果均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是 有影响的，它们之间的服务质量有显著差异
被投诉次数
40
20
0
0
零1售业 旅2游业 航3空公司 家4 电制造 5
不同行业被投诉次数的散点图
行业
方差分析的基本思想和原理
1. 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被 投诉的次数之间有显著差异 – 这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进 行方差分析 – 之所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 – 它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均 值是否相等（不仅是数量层面的相等）。因此，进 行方差分析时，需要考察数据误差的来源。
一正态总体
f(X)
X
1 2 3 4
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全相等
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
3 1 2 4
问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1、2、、 k 表示
方差分析中的有关术语
1. 试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验
2. 总体 ★因素的每一个水平可以看作是一个总体 ★比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看 作是四个总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据
方差分析的基本思想和原理
(图形分析)
80
60
如：不同行业之间的被投诉次数之间的差异
▪ 这种差异可能是由于ห้องสมุดไป่ตู้样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系
统性因素造成的，称为系统误差
方差分析的基本思想和原理
(两类方差)
1. 组内方差(within groups):MSE
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor)：所要检验的对象 要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的 因素或因子
2. 水平或处理(treatment)：因子的不同表现
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的 水平
3. 观察值：在每个因素水平下得到的样本值
每个行业被投诉的次数就是观察值
1.若不同不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中 只包含随机误差，没有系统误差。
F = MSA / MSE 1
2.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包 含随机误差外，还会包含有系统误差。
F = MSA / MSE >1
3.当这个比值大到某种程度（临界值Fa）时，就可以说 不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因 变量有影响
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布
▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态
分布总体的简单随机样本
▪ 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布
2. 各个总体的方差必须相同 》》需进行方差齐性检验
▪ 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 ▪ 比如，四个行业被投诉次数的方差都相等
单因素方差分析培训
培训时间：2012年5月 培训部门：生产运营部
什么是方差?
方差是各个数据与平均数之差的平方和的平 均数,即：
s=[(x1-x)2 +(x2-x)2 +...+(xn-x)2 】/ n
其中，x——样本的平均数，
n——样本的数量，
xn——个体； s——方差。
方差反映 的是数据 的离散度
什么是方差分析(ANOVA)?
1. 检验多个总体均值是否相等
▪ 通过分析观察数据的误差判断各总体均值是否相等
2. 是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变 量是对观测变量有显著影响的变量. – 一个或多个分类尺度的自变量
• 2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
什么是方差分析?
(例题分析)
3. 观察值是独立的
▪ 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的
次数独立
正态分布特点
F(X)
68.26%
95.45%
-3б -2б -б μ б 2б 3б
X
99.73%
正态分布图
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
– 四个行业被投诉次数的均值都相等 – 意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同