二次函数小综合-二次函数与交点问题
二次函数解析式与交点题型总结
抛物线解析式1、已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，23），（1）求二次函数的表达式，并画出图象；（2）求证：对任意实数m ，点M （2,m m -）都不在这个二次函数的图象上。
）都不在这个二次函数的图象上。
2、已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 3、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标. 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是，则这条抛物线的函数解析式是 ．5、对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（轴交于点（00，-2-2）），且x=1时，时，y=3y=3y=3；；x=-1时y=1y=1，求此，求此抛物线的关系式抛物线的关系式. .6、已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为，则此抛物线的解析式为 。
7、形状与抛物线22--=x y 相同，对称轴是2-=x ，且过点（0，3）的抛物线是（）的抛物线是（ ）A 、342++=x x yB 、342+--=x x yC 、342++-=x x y D 、342++=x x y 或342+--=x x y8、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为，则该二次函数的解析式为9、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．10、已抛物线过点A （－1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，且BC ＝23，则这条抛物线的解析式为物线的解析式为。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
初中数学专题复习(二次函数图像与坐标轴交点问题)
初中数学专题复习（二次函数图像与坐标轴交点问题）1．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x 轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则△＞0且a≠1，当△＝（﹣2a+3）2﹣4（a﹣1）（a﹣4）＝8a﹣7＞0时，解得a＞，∵a取满足条件的最小整数，而a≠1，故a＝2，当a＝2时，y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣2），由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C，①当k＞0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过点B、C，将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2，解得k＝1；②当k＜0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，当直线过点A、C时，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k﹣2，解得k＝﹣2，当直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣2＝kx﹣2，即x2﹣（k+1）x＝0，则△＝（﹣k﹣1）2﹣4×1×0＝0，解得k＝﹣1，综上，k＝1或﹣2或﹣1，答案：D．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），答案：B．3．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，答案：C．4．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，答案：C．5．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜＜1B．＞1C．0＜＜1D．＞1解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜＜1一定成立，答案：A．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴B（3，0），A（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，答案：B．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，答案：B．8．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．答案：B．二．填空题（共7小题）9．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）和（0，2）．解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，且m≠2，由求根公式可得x＝，x＝，x1＝＝1，x2＝＝＝，当m＝1时符合题意；此时x2＝2；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）和（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）和（0，2）．10．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是2．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＞﹣1．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．13．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为4．解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴，解得，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，∴n的最小值是4，故答案为：4．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为①④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积＝AB•y C＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是①③（填写序号）．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．三．解答题（共5小题）16．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．解得a＝﹣．则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．故A（﹣1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴＝．∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD＝2﹣1＝1．∴＝EG．设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．∴＝﹣（t﹣2）2+2．∵＜0，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．17．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，当m＝1时，S最大，最大值为8．18．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），故抛物线的对称轴为x＝2，即﹣b＝2，解得：b＝﹣4，（2）∵b＝﹣4∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，由，解得；由，解得．19．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．。
二次函数线段及交点问题
专题八：二次函数之线段及交点问题 求线段长度例题1 ：在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+52x−2与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C。
（1）如图1，连接AC、BC，求△ABC的面积。
（2）如图2：①过点C作CR∥x轴交抛物线于点R，求点R的坐标；②点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P坐标。
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF= −4√2a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长。
练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x 轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD 于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．x2+bx+c与x轴交于A（﹣练习2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 321，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为5．求点H到OM'的距离d的值．3求线段之间关系例题1 ：已知直线y=k x+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，说明线段DE和CO的数量关系。
中考数学复习考点知识归类讲解23 二次函数中的交点问题
中考数学复习考点知识归类讲解 专题23 二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121专项训练 一、单选题1．如图，已知抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示．下列结论：①方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =；②0a b c -+=；③80a c +<；④当0y >时，x 的取值范围是13x ．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．将抛物线y ＝x 2+2mx +m 2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y24．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．3个D．2个或3个5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＜c．正结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y ＝14x 2﹣x ＋9：②若点B （﹣1，n ）在这个二次函数图像上，则n ＞m ；③该二次函数图像与x 轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x ＜5.5时，m ＜y ＜8．所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（） A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-9．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-10．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 二、填空题11．定义：若抛物线与x 轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，… B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线y 1134x =+上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是A 1(a 1，0)，A 2(a 2，0)，A 3(a 3，0)，…A n +1(a n +1，0)（0＜a 1＜1，n 为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a 1＝___．12．已知二次函数245y x x =-++，它的图象与x 轴的交点坐标为________． 13．已知抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线1x =，则关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根是_______．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A 、B 、C 、D 分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，则“蛋圆”的弦CD 的长为____．15．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 三、解答题16．已知关于x 的二次函数()22410y kx kx k k =-++>，（1）若二次函数的图象与x 轴没有交点，求k 的取值范围；（2）若(),P m n 和()3,q q -是抛物线上两点，且n q <，求实数m 的取值范围； （3）若()1,B c b +和(),C c s 是抛物线上两点，试比较b 和s 的大小．17．定义：若一次函数y ax b =+（0a ≠）与反比例函数c y x=（0c ≠）满足2a c b +=，则我们把函数2y ax bx c =++称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数36y x =+与反比例函数9y x=是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =+与反比例函数c y x=（0c ≠）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线27y x =+有唯一交点，求b ，c 的值．（3）若一次函数y ax b =+（0a >）与反比例函数c y x=-（0c ≠）的“附中函数”的图象与x 轴有两个交点分别是A （1x ，0），B （2x ，0），其中3a c a ≤≤，点C （3，4），求△ABC 的面积S △ABC 的变化范围． 18．已知抛物线2122y x x =-．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数y 取得最大值或最小值时相应的自变量x 的值．（2）求该抛物线与x 轴的交点坐标，并直接写出当0y >时相应的x 的取值范围． 19．已知抛物线2(21)46y x m x m =--+-．（1）试说明：不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A ；（2）设该抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 与B 不重合），顶点为C ，当ABC 为直角三角形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 在A 的右侧，点(0,3)D ，点E 是抛物线上的一点．问：在x 轴上是否存在一点F ，使得以D ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90EDF ∠=︒，若存在，求F 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数24y ax ax b =++与x 轴交于A ，B 两点（其中A 在B 的左侧），且2AB =．（1）抛物线的对称轴是______． （2）求点A 和点B 坐标．（3）点C 坐标为()2.5,4--，()0,4D -．若抛物线24y ax ax b =++与线段CD 恰有一个交点，求a 的取值21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12；（3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若ODc 的取值范围．22．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m，求m 的值． 23．现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k ，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m ，则事件“关于a 、b的方程组2122a b ka b+=+⎧⎨+=⎩的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．。
探究二次函数与线段交点问题的重新解析
探究二次函数与线段交点问题的重新解析1. 引言二次函数和线段交点问题是数学中的常见问题，它们在几何学、代数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
通过重新解析这个问题，我们可以更全面、深入地理解二次函数和线段之间的关系，并探讨不同情况下的解决方法。
2. 二次函数与线段的基本概念让我们回顾一下二次函数和线段的基本概念。
二次函数是指具有形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c分别为常数。
线段是指两个点之间的直线部分。
二次函数与线段交点问题即是研究在给定二次函数和线段的情况下，找到它们的交点的位置、数量和特性。
3. 引入解析几何方法解析几何为我们提供了一种便捷的方式来解决二次函数与线段交点问题。
通过坐标系，我们可以将二次函数和线段表示为方程，并通过求解方程组来找到它们的交点。
下面，我们将分别讨论一元二次函数和线段的情况。
4. 解析一元二次函数与线段的交点问题对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c和线段的情况，我们可以将二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以确定二次函数与线段的交点的横坐标。
我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式，如(A, B)。
我们将其代入二次函数的方程，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到相应的横坐标。
如果这个横坐标处于线段内部（即在两个端点的横坐标范围内），我们可以通过代入横坐标得到相应的纵坐标。
5. 解析二元二次函数与线段的交点问题对于二元二次函数f(x, y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f和线段的情况，我们可以将二元二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以确定二元二次函数与线段的交点坐标。
同样地，我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式。
(x1, y1)和(x2,y2)。
我们将其代入二元二次函数的方程，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以得到相应的交点坐标。
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．代入得：，坐标代入得：k=y=，．2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？，x）y=，得﹣﹣，∴向下最多可平移个单位，向下最多可平移3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．n=，或﹣4．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+b．，方程y=；y=﹣）的取值范围为．y=x+b．x+b．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜．x+b y=x+b y=综上，﹣＜5．（2012•东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足8﹣2m＞2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．时，﹣==0x×）∵抛物线的图象向上平移个单位，；）联立得，﹣x=x+b，，则﹣x=0y=）时，×，y=x+b或．7．关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．（1）求k的值；（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+by=；y=﹣）的取值范围为：﹣．8．（2014•东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．x=，=3=1+＜＜=1+，1+，（﹣﹣，﹣）﹣﹣＜﹣9．（2013•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．××时，则x y=y=x﹣＜﹣．。
2023年中考数学压轴题专题17 二次函数与公共点及交点综合问题【含答案】
专题17二次函数与公共点及交点综合问题【例1】．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y ＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．【例4】．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF 的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．一．解答题（共20小题）1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L 上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为（1，0），（1，1），连接AB．（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．5．（2022•清镇市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．（1）抛物线的对称轴为直线x＝；（用含字母a的代数式表示）（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．6．（2022•五华区三模）已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．7．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．8．（2022•盐城二模）若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），其中a、b为常数．（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；（2）点B（﹣，1）、C（2，1）为坐标平面内的两点，连接B、C两点．①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．9．（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B（另一个交点为A），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；（3）已知点P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．10．（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x 的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．11．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．12．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．13．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．14．（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．15．（2022•花溪区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点（1）求分别以A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点为顶点的二次函数表达式；（2）求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；（3）设（m，0）是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．16．（2022•无锡模拟）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，﹣3），（0，4），点P（m，0）（m≠0）是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．（1）当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．（2）小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E（x，y）也相应的在二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E（x，y）的坐标，列表如下：xy请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；（3）把（2）中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n 的取值范围．17．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．19．（2022•南京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤2，则b的取值范围是．20．（2022•南京模拟）若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的（﹣1，1）即为反值点．（1）判断反比例函数的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；（2）判断关于x的函数（a是常数）的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m（m为常数，且m＞0）个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．【例1】（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y ＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．【解析】（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4；（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，解得x＝2﹣或x＝2+，∵M在N的左侧，∴M（2﹣，0），N（2+，0），∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），∵△MNP为直角三角形，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝﹣1；②∵m＝﹣1，∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），令x2﹣4x﹣1＝﹣4，解得x＝1或x＝3，∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，此时图象C与线段AB有三个公共点，∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，此时图象C与线段AB有两个公共点，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，解得m＝3，此时图象C与线段AB有一个公共点，∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k 个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，①当m＞1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，x＝1时，q＝﹣4，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，x＝1时，q＝﹣4，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，综上所述：m的值﹣1或1﹣；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，∴综上所述：1＜n≤4或n＝．【例3】（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，得，解得t＝；（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．【解析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴抛物线的函数表达式为：，又∵＝，＝＝，∴顶点为D；（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．①当△EMN∽△OBC时，∴，解得t＝；②当△EMN∽△OCB时，∴，解得t＝；综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；（3）∵点关于点D的对称点为点G，∴，∵直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，∴只有一个实数解，∴Δ＝0，即：，解得：，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，联立，结合已知，解得：x H＝，同理可得：x K＝，则：GH＝＝，GK＝＝×，∴GH+GK＝+×＝，∴GH+GK的值为．【例4】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF 的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直线AD的解析式即可求得点E的坐标；（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为y＝x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝x+3，由四边形C′G′QP是平行四边形，分类讨论即可．【解析】（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C（0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．一．解答题（共20小题）1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH＝﹣t2﹣t，利用S△P AC＝S△P AH+S△PCH＝﹣（t+）2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，顶点坐标为（n，﹣n﹣），当图象M经过点C（0，﹣）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），∴m+＝﹣，解得：m＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，得：﹣x2﹣3x﹣＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣5，0），C（0，﹣），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H（t，﹣t﹣），∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，＝S△P AH+S△PCH∴S△P AC＝•PH•（x P﹣x A）+•PH•（x C﹣x P）＝•PH•（x C﹣x A）＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]＝t2﹣t＝﹣（t+）2+，取得最大值，∴当t＝﹣时，S△P AC此时，点P的坐标为（﹣，）；（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，当图象M经过点C（0，﹣）时，则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，解得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y ＝﹣x﹣，∴联立可得：，解得：，将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，解得：n＝﹣或n＝（舍去），∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L 上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为（1，0），（1，1），连接AB．（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．【分析】（1）当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的对称轴为直线x＝1，由点P 与点Q关于直线x＝1对称得m+n＝2，即可求得n关于m的关系式；（2）将y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成顶点式y＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），再说明线段AB在直线x＝1上，由L与线段AB有公共点可列不等式组得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式组求出它的解集即可；（3）分三种情况，一是直线x＝2t﹣1在抛物线的对称轴的左侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x＝1在直线x＝2t﹣3与直线x＝2t﹣1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合题意的t值；三是直线x＝2t﹣3在抛物线的对称轴的右侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值．【解析】（1）如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，∴m+n＝2，∴n＝﹣m+2（m＞1）．（2）如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），∵A（1，0），B（1，1），∴线段AB在直线x＝1上，∵L与线段AB有公共点，∴0≤t2+2t﹣6≤1，解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，∴t的取值范围是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．（3）当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，∴此时不存在y的最小值；当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，∵L的顶点为最低点，∴t2+2t﹣6＝﹣，解得t1＝，t2＝，∵＜1，∴t2＝不符合题意，舍去；当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，∴此时不存在y的最小值，综上所述，t的值为．3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．【分析】（1）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；（2）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x＜4，从而得解；（3）①若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；②若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c 的取值范围，先求出x＝2与x＝4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．【解析】（1）∵，∴，∴函数y1和y2图象交点坐标（2，4）；y0关于x的函数关系式为y0＝；（2）∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，∴y0＝﹣x+6（x≥2），又∵函数y＝x2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，∴当x＜4时，y随x的增大而减小，∴2≤x＜4；（3）①若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，则x2﹣8x+c＝﹣x+6，即x2﹣7x+（c﹣6）＝0，∴Δ＝（﹣7）2﹣4（c﹣6）＝73﹣4c＝0，解得c＝，此时x1＝x2＝，符合2＜x＜4，∴c＝；②若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外，∴Δ＝73﹣4c＞0，解得c＜，∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，又∵当2＜x＜4时，y随x的增大而减小，若y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6在2＜x＜4内有一个交点，则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，∴，解得16＜c＜18，又c＜，∴16＜c＜18，综上所述，c的取值范围是：c＝或16＜c＜18．4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．【分析】（1）由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；②分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可．【解析】（1）m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴顶点为（1，5），∵x≤2，∴图象G的最低点坐标为（1，5）；（2）①当x＝2m时，y＝6m，∴A（2m，6m），∵C（﹣2，2），∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，∴B（﹣2，6m），同理得D（2m，2），∵AD＝CD，∴|6m﹣2|＝|2m+2|，∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，解得m＝0或m＝1，∴点A的坐标为（0，0）或（2，6）；②∵点A在图象G上，∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；。
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二次函数小综合-二次函数与交点问题
例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2
－kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______．
解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2
－4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题：
M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________．
所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________．
4
1
l 1
l 2
N
M
C O
x
y
y ＝4x －6,y ＝x 2
－4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±211－6,k ＝
65,－6＋211＜k ≤65
. 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2
．
解：联立
可得：x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0，
令y ＝x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3，
∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4，
当m ＝8+4
时，x ＝
＝5+2
＞4
当m＝8﹣4时，x＝＝5﹣2，满足题意，
当△＞0，∴令x＝0，y＝5m﹣3，令x＝4，y＝m+5，
∴（m+5）（5m﹣3）＜0，∴﹣5＜m＜
令x＝0代入x2﹣（m+2）x+5m﹣3＝0，
解得：m＝，此该方程的另外一个根为：，故m＝也满足题意，
故m的取值范围为：﹣5＜m≤或m＝8﹣2
例3．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，﹣6），若抛物线y＝ax2+（a+2）x+2与线段AB有且仅有一个公共点，则a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．
解：当抛物线过A点，B点为临界，
代入A（﹣2，0）则4a﹣2（a+2）+2＝0，解得：a＝1，
代入B（1，﹣6），则a+（a+2）+2＝﹣6，解得：a＝﹣5，
又a≠0，当a＝﹣5时，抛物线与线段AB有两个交点，
所以a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0．
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
由，消去y得到：ax2+（a+4）x+6＝0，
当△＝0时，直线AB与抛物线只有一个交点，
∴（a+4）2﹣24a＝0，解得a＝8+4或8﹣4，
经检验：当a＝8+4时，切点在线段AB上，符合题意，当a＝8﹣4时，切点不在线段AB上，不符合题意，故答案为﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．
例4．已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6的图象与x轴负半轴至少有一个交点，则m的取值范围为（）
A．1＜m＜3B．1≤m＜2或2＜m＜3
C．m＜1D．m＞3
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6，
∴m﹣2≠0，∴m≠2，
当①图象与x轴的交点有两个，原点的两侧各有一个，
则，解得2＜m＜3；
②图象与x轴的交点都在x轴的负半轴，
则，解得：1≤m＜2．
综上可得m的取值范围是：1≤m＜2或2＜m＜3 故选：B．
例5．已知a、b为y关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3的图象与x轴两个交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为
解：当y＝0时，（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3＝0，（设a＜b），
整理得x2﹣（2c+1）x+c2+c﹣3＝0，
△＝（2c+1）2﹣4（c2+c﹣3）＝13，x＝，
所以a＝c+，b＝c+，
所以|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a＝c+﹣（c+）＝．
故答案为．
练习1已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y ＝x 2+（a ﹣3）x +3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ﹣1≤a ＜﹣或a ＝3﹣2 ．
解：依题意，应分为两种情况讨论， ①当二次函数顶点在x 轴下方， 若y x ＝1＜0且y x ＝2≥0，即
，解得此不等式组无解；
若y x ＝2＜0且y x ＝1≥0，即
，解得﹣1≤a ＜﹣；
②当二次函数的顶点在x 轴上时， △＝0，即（a ﹣3）2﹣12＝0，解得a ＝3±2，
而对称轴为x ＝﹣
，可知1≤﹣
≤2，故a ＝3﹣2．
故答案为：﹣1≤a ＜﹣或a ＝3﹣2
．
2．（2018预测）已知抛物线y ＝x 2
－2mx ＋9m －1，当－3≤x ≤3时，使y ＝m 成立的x 的值恰好只有一个，则m 的取值范围是_________________．
4
47
m -≤<-或415m =-
3．（2018新观察四调模拟卷）已知A （－1，6）、B （4，1）抛物线y ＝x 2
＋b 与线段AB 只有唯一公共点，则b 的取值范围是_________________． －15≤b ＜5或214b =
4.已知二次函数y ＝x 2+x +c （b ，c 为常数），且当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； ∵对称轴x ＝﹣
＝﹣，∴当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，
则①此公共点一定是顶点，∴△＝1﹣4c ＝0，即c ＝，
②一个交点的横坐标小于等于﹣1，另一交点的横坐标小于1而大于﹣1， ∴1﹣1+c ≤0，1+1+c ＞0，解得﹣2＜c ≤0． 综上所述，c 的取值范围是：c ＝或﹣2＜c ≤0；
5．已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c ﹣b|的值为b﹣a．
解：当x＝c时，y＝﹣2＜0，
由图可知，a＜c＜b，
则|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a．
故答案为b﹣a．
6．二次函数y＝x2﹣4mx+1﹣2m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．
解：∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，
∴可得以下几种情况：
①，解得m＝．
②，解得m＞．
③，解得m＜﹣1．
∴综上，m＞，m＜﹣1或m＝时当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点．。