抽样方法与参数估计.
抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计首先，我们来了解什么是抽样分布。
在统计学中，抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。
假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体。
抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。
通过分析抽样分布，可以得到有关总体参数的有用信息。
例如，我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。
在实际情况下，我们无法调查每个人的收入情况，因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本，并计算他们的平均年收入。
如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入，然后绘制这些平均值的分布图，我们就可以得到平均年收入的抽样分布。
这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。
接下来，我们将讨论参数估计。
参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。
总体参数是用于描述总体特征的数值，如总体平均值、总体标准差等。
通过从总体中抽取样本，并计算样本统计量，我们可以利用样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指用单个数值来估计总体参数，例如用样本均值来估计总体均值。
点估计给出了一个单一的值，但不能提供关于估计的精度的信息。
因此，我们常常使用区间估计。
区间估计是指给出一个区间，这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。
区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。
区间估计依赖于抽样分布的性质。
中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。
标准误差是样本均值的标准差，它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。
根据正态分布的性质，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。
通过计算标准误差并结合正态分布的性质，我们可以得到样本均值的置信区间。
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
抽样分布与参数估计
▪ 某电视台欲在95%的置信度水平下，对电
视节目的收视率作为有效的估计，试考 虑样本量应当为多少？
▪ 问题：若确定估计绝对误差为5%，则样
本为385户，是否可行？
▪ 若考虑估计相对误差为10%，则样本量应
当为多少？
统计学原理
其他样本量估计的情况
▪ 估计样本比例时样本量的确定 ▪ 估计两个总体均值之差时样本量的确定 ▪ 估计两个总体比例之差时样本量的确定 ▪ 以上问题，均可通过参数估计的公式进行
o 比例估计时，方差为：p(1-p) o 可知，p(1-p)的最大值为0.25。
统计学原理
比例估计时的样本量推算
在校园内估计学生拥有手机的比例，希 望在95%的置信水平下，估计的绝对误 差不超过5个百分点(5%)，求样本量
n
1.962
0.052
2
, 取
2
Max
0.25
则有n 385
统计学原理
助记方法
统计学原理
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体，方差已知；
o 或非正态总体，大样本，方差已知。
z x ~ N (0,1) X n
置信区间:
(
x
za
2
X
n
,
x
za
2
X
n
)
注意：Z取a/2的原因在于此时置信 区间是最小的。
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体，方差未知
统计学原理
计算结果
▪ 计算样本平均数：X=39.5 ▪ 计算样本标准差：s=7.7736 ▪ 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
(抽样检验)抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计第一节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进行调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。
壹、抽样方法及抽样分布1、抽样方法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重复抽样和不重复抽样。
而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进行抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数目、满足特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
第六章抽样与参数估计
（1）验证 E(x) X
（2）计算重复抽样及不重复抽样的抽样平均误差。 24
第2节 参数估计的基本方法
参数估计——以实际观察的样本数据所计算的统计量作为未 知总体参数的估计值。
一、点估计(Point estimate) 点估计也称定值估计，就是直接以样本统计量作为总体参数
29
大样本(n≥30)下总体均值的区间估计
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其 可靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ 2已知时
由于 α ，有
z
x
/
n
N(0,1) ，所以对于给定的置信度1-
P {z 2
x/nz2}1
即
Px z/2
7
抽样法的特点：随机原则 部分估计总体 存在误差并可以控制
抽样法的应用：对某些不可能进行全面调查 而又需要了解其 全面情况的社会经济现象， 必须应用抽样法。（破坏性试验、总体过大、 单位过于分散，实际调查不可能的）
8
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体（母体）(Population) 样本（子样）(Sample) 总体指标(总体参数)（Population parameter） 样本指标(样本统计量)（Sample statistic）
2、某工厂共生产新型聚光灯2000只，随机抽选400只进行耐 用时间调查，结果平均寿命为4800小时，标准差为300小时。 求抽样误差。
3、从某校学生中随机抽选400名，发现戴眼镜的有80人。计 算求抽样误差。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
抽样分布与参数估计总结
总体参数的估计区间，称为置信区间。
统计学原理
置信度
如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信 水平（Confidence Level）。
也称为置信度或置信系数 (Confidence Coefficient)。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
统计学原理
两个总体参数—比例之差
比例之差：大样本下，服从正态分布。 在估计时使用样本标准差替代。
统计学原理
两个总体的方差比
样本方差比的抽样分布为F分布 其中 第一自由度为n1-1，第二自由度为n2-1
2 s12 2 2 ~ F n1 1, n2 1 2 s2 1
统计学原理
例题：关于扑克牌的游戏
从一副扑克牌（52张）中，有放回地抽
出30张，其平均点数的分布规律如何？
如果以点数来赌胜负，什么区间的胜率
是95%？
统计学原理
统计学原理
第二节 参数估计
主要讨论总体平均数的 参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
参数估计：用样本统计量去估计总体的参
数。
统计学原理
计算结果
计算样本平均数：X=39.5 计算样本标准差：s=7.7736 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956 95%置信度对应的T值为1.96 得总体平均数的置信区间为：
o 上限：39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限：39.5-1.96×1.2956=36.96
N=200时的抽样分布
Std. Dev = 2.23 Mean = 46.24 N = 200.00
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⒉ 不重置抽样
• 又称不重复抽样、无放回抽样，是每次从总体中抽 取一个单位，观察记录后不放回，再抽取下一个。 因此不重复抽样的样本虽由n次连续试验所组成，而 实质等于一次同时从总体中抽n个单位组成一个样本， 每次实验不是相互独立的，在整个抽样过程中每抽 一次总体单位就少一个，各单位被抽中的机会前后 不等，越往后被抽中的机会越大。 • 若不重复抽样也不考虑各单位的顺序，则样本的可 n 能数目为 C N 。 • 在实践中当总体单位数很大，样本单位数相对较小 时，可以把不重复抽样看成重复抽样，这时的计算 比较简单。
抽样分布(sampling distribution)
总体
样 本
计算样本统计 量 例如：样本均 值、比例、方 差
四、一个总体的抽样分布
㈠样本均值的抽样分布 ㈡样本比例的抽样分布 ㈢抽样方差的抽样分布（略）
㈠样本均值的抽样分布
• 性质及特点 1) 是容量相同的所有可能样本的样本均值 的概率分布 2) 是一种理论概率分布 3) 是推断总体均值的理论基础
的抽样分布。
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
第二个观察值 1 1.0 1.5 2 1.5 2.0 3 2.0 2.5 4 2.5 3.0
总体分布
N
总体均值和方差
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
X
i 1
i
N
2
1 2
N
1.25
样本均值的抽样分布(例题分析)
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
㈢总体参数和统计量
• 总体参数是根据总体各单位数据计算的量，又称 全及指标。常用的有总体均值、总体比例（成 数）、总体方差、总体标准差等。 • 统计量是由样本构造出的且随样本变化而变化的 量，又称样本指标或抽样指标，常用的有样本均 值、样本比例（成数）、样本方差、样本标准差 等。 • 在一个总体中，总体参数是一个确定的量，而样 本统计量因样本是随机抽取的可以有多个，因此 统计量的值不是唯一确定的，是个随机变量。
第九章
抽样与参数估计
统计推断是统计学研究的重要内容。 抽样是进行统计推断的基础性工作。 参数估计是统计推断的重要内容之一。
本章主要内容
第一节 抽样与抽样分布 第二节 参数估计的一般问题 第三节 一个总体的参数区间估计 第四节 两个总体的参数区间估计 第五节 样本容量的确定
第一节 抽样与抽样分布
• 总体是所要研究的事物或现象的全体，也称全及总 体、母体。 • 个体是组成总体的各个基本单位或元素。 • 样本是从总体中按一定抽样技术抽取的若干个体组 成的集合体，也称抽样总体、子样。
㈡总体容量和样本容量
• 总体容量是总体全部单位总数，用N表示。 • 样本容量是一个样本所包含的单位数，通常用n表 示。根据容量大小样本有大样本和小样本之分，一 般当n<30时为小样本，n≥30时为大样本。
样 本
㈢抽样分布(sampling distribution)
1.是某一样本统计量的全部可能取值的概率分布。 2.现实中不可能抽出所有样本，因此统计量的抽样 分布实际是一种理论概率分布。统计推断中，常 用的理论概率分布：正态分布、 2分布、t分布 和F分布。 3.是样本统计量的函数。若样本是随机的，则样本 统计量就是随机变量 ，如样本均值，样本比例， 样本方差等为随机变量。 4.结果来自容量相同的所有可能样本。 5.提供了样本统计量稳定的信息，是进行推断的理 论基础，也是抽样推断科学性的重要依据。
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 3 1,2 1,3 2,2 2,3 3,2 4,2 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
样本均值的抽样分布(例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值
三、总体分布、样本分布、抽样分布
㈠总体分布(population distribution)
1. 是总体中各元素的观察值所形成的频数或 频率分布 2. 总体分布通常是未知的 3. 可以假定它服从某种分布
总体
㈡样本分布(sample distribution)
1. 是一个样本中各观察值的频数或频率分布 2. 也称经验分布 3. 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接 近总体的分布
一、几个基本概念 二、概率抽样方式 三、总体分布、样本分布、抽样分布 四、一个总体的抽样分布 五、两个总体的抽样分布
• 统计推断是在对样本数据进行描述的基础上，对总 体的未知数量特征作出以概率形式表述的推断。
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
一、几个基本概念
㈠总体、个体、样本
㈡重置抽样和不重置抽样
• 从总体抽取样本的方法有重置抽样和不重置抽样两 种。
1.重置抽样
• 又称重复抽样、有放回抽样，是每次从总体中抽取 一个单位，观察记录后又放回，再抽取下一个。因 此重复抽样的样本是由n次相互独立的连续试验所组 成的，每次实验在相同条件下进行，在整个抽样过 程中总体单位数始终不变，各单位被抽中的机会前 后相等。 • 若重置抽样并考虑各单位的排列顺序，则样本的可 能数目为Nn。
•举例说明样本均值抽样分布的形成过程
【例】设一个总体含有4个个体 (总体单位) ，即总体 单 位 数 N=4 。 各 单 位 标 志 值 分 别 为 X1=1 、 X2=2 、 X3=3、X4=4 。总体标志值的分布律为：
X P(X) 1 0.25 2 0.25 3 0.25 4 0.25
P(X)
二、概率抽样方式
• 抽样方式按是否根据已知概率抽选样本单位 （按抽样的随机性）可分为概率抽样（随机 抽样） 和非概率抽样（非随机抽样）。统计 推断主要是概率推断，下面主要介绍概率抽 样。 ㈠概率抽样（随机抽样）方式主要有：简单随 机抽样，分层抽样，整群抽样，系统抽样， 多阶段抽样。 (如第二章所述) • 本课程主要介绍简单随机抽样条件下统计推 断方法。