9抽样理论及总体参数估计

三、总体参数的估计
（一）点估计
点估计就是用某一样本统计量的值来估计相应的总体 参数值。
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好的估计量的基本要求： 无偏性——即没有系统偏差，指若用统一估计量估 计多次，其平均值应恰好等于预估计的总体参数值，即 偏差之和为0。 有效性——当总体参数的无偏估计值不止一个时， 其中统计量的一切可能值方差最小者有效性最高。 一致性——指当样本容量无限增大时，估计值应越 来越接近它所估计的总体参数值。
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练习：已知某小学六年级数学成绩的标准差为10分。 现从该校随机抽取一部分学生，要求有95％的把握用这 部分学生的数学成绩估计全校六年级学生平均成绩的差 异不超过2分，那么最低抽取多少学生才能满足这一要求? B、总体正态分布，总体标准差未知
问题： 不是一个常数，随自由度df=n-1的变化而变化， 而样本容量未知，则df无法确定，则 无法查出。 办法：逐步试差 步骤： （1）设 ，查表得 的值，代入公式 求出 ；
B、总体正态分布，总体标准差未知 ①对于大样本 可以直接用样本标准差代替总体标准差，即
②对于小样本 所有可能样本的平均数以总体平均数为中心，服 从df=n-1的t分布，此时样本平均数的标准误
其中，
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C、总体非正态分布，但样本容量n≥30 对于总体非正态分布，原则上不能使用参数推断的方 法进行推论，但对于大样本，尽管总体非正态分布，但样 本平均数抽样分布的形态与正态分布差异较小，所以，在 大样本情况下，无论总体是否正态分布，也无论总体标准 差是否已知，我们都可以认为平均数的抽样分布为近似服 从正态，求平均数的标准误都可用公式
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描述所有可能个样本统计量参差不齐程度的量数称为 标准误，即抽样误差。也就是某种统计量在抽样分布上的 标准差。标准误用符号SE表示。标准误越小，说明样本统 计量与总体参数间的差异越小，样本对总体的代表性越强， 用样本统计量推断总体参数的可靠性越强。 2、自由度 自由度是指可以自由取值的数据的个数，即不受任何 约束可以自由变动的变量的个数，一般用符号df表示。 在总体层面上，每个变量在统计层面上没有任何约束， 故总体的自由度是N；在样本层面上，对于n个数值构成的 样本，它的自由度为：n-1。 原因： 自由度失去的多少取决于计算统计量时实际受约束条 件的多少，要据实际条件来决定。
当置信度为95％时， 即
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当置信度为99％时，
即其置信区间为
例：某小学10岁全体女童的身高呈正态分布，其标 准差为6.25厘米，现从该校随机抽取27名10岁女童，测得 平均身高为134.2厘米，试估计该校10岁全体女童平均身 高的95％和99％的置信区间。 练习：从某正态总体中随机抽取一个样本容量为25 的样本，其平均数为42，已知总体的标准差为6，试估计 总体平均数的置信度为95％和99％的置信区间。
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B、总体正态分布，总体标准差未知时总体平均数的 区间估计 （1）总体标准差未知的大样本，可用 代替总体标 准差 ， 总体平均数的置信度为95％的置信区间为
置信度为99％的置信区间为
如果设置信度为 为一小概率（常取值为0.05 和0.01，统计推断时称为显著性水平）。当总体标准差已 知，或总体标准差未知但为大样本时，其置信区间的一般 公式为
例：随机抽取某校小学二年级学生40名，用韦氏智力 测验量表测量其智力水平，结果智商成绩在110分以上的 有25名，试以95％的可靠性估计全校二年级学生智力测验 分数总体在110分以上者占总体比例的置信区间。 练习：从某县三年级学生中随机抽取200人，测得他 们社会科学习成绩为A等的有85人。试估计该校三年级学 生社会科学习成绩获A等的人数占全县三年级总人数比率 的95％和99％的置信区间。
四、样本容量的确定
（一）确定样本大小的基本原则
在尽量节省人力、经费和时间的条件下，确保用样本 推断总体达到预定的可靠度及准确性。
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（二）由样本平均数估计总体平均数时样本容量 的确定
A、总体标准差已知
n为一定精确度要求下应抽取的样本容量； 为允许的最大误差； 为总体标准差； 为某可靠性下的双尾临界值。 例：拟估计上海市高校四级英语考试的总体平均分 数，根据历次考试成绩的标准差为13分，这次的估计最 大允许误差2分，可信度为95％，问应当抽多少人？
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2、机械抽样 机械抽样也称等距抽样，按一个与研究问题的性质没有 直接关系的标志把总体内每一个个体进行编号排序，然后按 固定的距离抽取一部分个体构成样本的抽样方法。间隔距离 的大小视所需样本容量与总体中个体数目的比率而定。 优点：比简单随机抽样代表性强； 缺点：当总体中不同特性的分布不均匀或呈一定周期性 时，机械抽样可能产生系统性偏差。 3、分层抽样 分层抽样也称分类抽样。先按与研究内容有关的因素将 总体各单位（或个体）分为不同的等级或类型，即层，然后 按比例或不按比例从每一层中再用简单随机抽样或机械抽样 的方法抽取一定数量的个体构成样本。 优点：抽样误差小，代表性强。 分层原则：层内个体差异越小越好；层间差异越大越好。 3
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（二）样本平均数的抽样分布
1、平均数抽样分布的形态 正态总体：抽样分布服从正态分布； 非正态总体下的大样本：抽样分布接近正态分布。 2、平均数抽样分布的平均数 3、平均数抽样分布的标准差（即平均数的标准误）
平均数标准误的求解： A、总体正态分布，总体标准差已知
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依据正态分布理论，我们可以推知样本平均数在多大 概率上落在 的范围之内。
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2、总体比率的区间估计（一般用于较大样本的情的个体占总体的比率，其标准误为
当总体比率p未知时，样本比率和分别是总体比率p和 q的估计值，标准误为
当 ( 中的较小者)时，样本比率 近似服从正态分布，此时总体比率的置信度为的置信区间 为
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（2）令 ，查t值表，查得 的值， 代入公式计算出 ； （3）重复上述做法，直到连续两次算得的 相 等，这时的 就是所要确定的样本容量n。 例：某地区进行六年级学生英语成绩抽样调查，已 随机抽取了一部分学生的英语成绩，得到的总体标准差 的估计值 =11.4分。现要了解六年级学生英语成绩 的平均水平，在99％的可靠性下，最大允许误差为3分， 问样本容量应为多少？ 练习：某市要对今年全市小学四年级学生的外语平 均分数进行估计，规定 ，最大允许误差为2分。 已知去年本校小学四年级学生外语成绩的标准差是12分， 那么应当抽取多大样本进行调查才能符合估计的要求？
（二）区间估计
区间估计是指以一定的概率去说明总体参数落在某 一区间的可能性。 描述样本平均数与总体平均数之间的差异用标准误 为单位，即 。
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要求按某一可靠度去估计总体平均数的取值区间时， 可靠度称为置信水平，区间的界限称为置信界限，置信界 限内的区间称为置信区间。 研究中，常以95％和99％的可靠度估计总体参数的置 信区间。具体计算如下： 1、总体平均数的区间估计 A、总体正态分布，总体标准差已知时总体平均数的 区间估计 此时，样本平均数与总体平均数之间的差异，即样本 平均数在所有抽样中的位置可以表示为
4、整群抽样 整群抽样是指从总体中一个群体一个群体地抽取研究 对象的抽样方法。 优点：容易组织； 缺点：代表性不强，抽样误差大。 抽样方法的综合运用。
二、抽样分布
（一）抽样分布的基本概念
1、抽样分布及标准误 抽样分布是指样本统计量的概率分布。它是统计推断 的理论基础。（平均数的抽样分布、标准差的抽样分布、 相关系数的抽样分布等）
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（2）总体标准差未知的小样本，用 代替总体标 准差 ，由于此时样本平均数的抽样分布为t分布，所以某 一置信度下总体平均数的区间估计要依据t分布来进行， 此时，总体平均数的置信度为 的置信区间为
例：某小学三年级学生阅读能力服从正态分布，现 从中随机抽取12名学生，其阅读能力的得分为28、32、 36、22、34、30、33、25、31、33、29、26，试估计该 校三年级阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。 练习：从某区小学五年级学生的数学推理测试成绩 中随机抽取26个，求得其平均数为86分，标准差为7分。 已知全区五年级学生的成绩服从正态分布，请在0.05显著 水平上估计该区五年级学生数学推理测试成绩的置信区 间。
抽样理论及总体 参数估计
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一、随机抽样的基本概念与方法
（一）随机抽样的基本概念
随机抽样是指依据随机性原则和方法，从总体中随机 抽取对总体有充分代表性的样本。 随机性原则：A、总体中每个个体相互独立； B、每个个体被抽到的机会均等。 总体和样本 参数和统计量： ； S r。
（二）随机抽样方法
1、简单随机抽样 简单随机抽样是完全按照偶然机会抽取一部分个体构 成样本。 A、抽签；B、随机数码表。
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（三）用样本比率估计总体比率时样本容量的确 定
问题：在抽样之前，样本比率是未知的，一般情况下， 只能根据经验或已有类似研究结果对 进行初步估计。
例：已知某市一所初中历届中考升学率为52％，今年 的学生水平与往年相当，要估计今年的升学率，要求误差 不超过2％，可靠度为95％，至少要抽取多少人进行调查？ 练习：某县要估计全县小学生患近视的情况，规 定 ，最大允许误差为3％。以往调查该县小学生患 近视的比率为15％。问抽取多少小学生进行调查才合适？