江苏省高三数学招生考试模拟测试试题(十二)

1高三模拟测试卷(十二)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n?i＝1n (x i－x－)2，其中x－＝1n i＝1n x i.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝__________．．2. 设a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋bi)·i＝2－5i，则ab的值为__________．．(第5题)3. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，则该双曲线的离心率为__________．．4. 已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为__________．．5. 右图是一个算法流程图，运行后输出的结果是__________．．6. 若函数f(x)＝asin??????x＋π4＋3sin??????x－π4是偶函数，则实数a的值为__________．．7. 正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为__________cm2.8. 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为____________．．9. 二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：－4－3－2－11232y 6 0 －4 －6 －6 －4 06则关于x的不等式f(x)≤0的解集为__________．．10. 在正五边形ABCDE中，已知AB→·AC→＝9，则该正五边形的对角线的长为__________．．11. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是__________．．12. 若函数f(x)＝?????（x－a）2，x≤0，x－lnx＋5＋a，x＞0的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是__________．．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l：ax＋by＋c＝0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是__________．．14. 在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3＋2x－x2－3(x∈[0，2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若θ∈[0，α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则α的最大值为__________．．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知θ∈??????3π4，5π4，sin??????θ－π4＝55.(1) 求sinθ的值；(2) 求cos??????2θ＋2π3的值．316.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1) DE∥平面AA1C1C；(2) BC1⊥AB1.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2.(1) 若椭圆C经过点??????62，1，求椭圆C的标准方程；(2) 设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点．若椭圆C上存在点P，满足PAPF＝2，求椭圆C的离心率的取值范围．18. (本小题满分16分)如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB＝2π3，半径OA＝OB＝1 km.为了便于游客观赏，拟在园内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧AC，线段CD，线段DE和弧EB组成，且满足：AC︵＝EB︵，CD∥AO，DE∥OB，OD∈??????33，63(单位：km)．设∠AOC＝θ.(1) 用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；(2) 当θ为何值时，观赏道路最长？19. (本小题满分16分)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且数列??????S n a n是等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；4(2) 设lgb n＝a n3n(n∈N*)，问：b1，b k，b m(k，m均为正整数，且1＜k＜m)能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．20. (本小题满分16分)设a为正常数，函数f(x)＝ax，g(x)＝lnx. (1) 求函数h(x)＝f(x)·g(x)的极值；(2) 证明：x0∈R，使得当x＞x0时，f(x)＞g(x)恒成立．(十二)1. (1，3) 解析：B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 10 解析：a＋bi＝－i·(2－5i)＝－5－2i，则ab＝10.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 2 解析：双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝bax，则ba＝3，b2＝3a2，则c2＝a2＋b2＝4a2，c＝2a，所以双曲线的离心率为2.本题考查双曲线方程及其渐近线的方程等基础知识．本题属于容易题．4. 0.02 解析：平均数为10，由方差公式得s2＝15[(9.8－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2]＝0.02.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．5. 25 解析：由流程图可知，循环体执行5次，从而有S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．6.－3 解析：由f??????π4＝a，f??????－π4＝－3，函数f(x) 是偶函数，则f??????π4＝f??????－π4，a＝－3.本题考查了偶函数的概念，本题属于容易题．7.8 解析：由边长为2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，得四棱锥的斜高为2，一个侧面的面积为2 cm2，则侧面积为8 cm2.本题考查了棱锥的底面边长、侧面与底面所成二面角、斜高的关系，以及侧面积的求法．本题属于容易题．8. 4－π解析：由函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移2个单位得到y＝sin(2x ＋φ－4) 的图象，此函数为奇函数，则φ－4＝kπ，而0＜φ＜π，φ＝4－π.本题考查了函数图象的平移以及奇函数的性质．本题属于容易题．9. [－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．本题考查了三个二次之间的关系．本题属于容易题．10.32 解析：AB→·AC→＝12AC2＝9，则AC＝32，即该正五边形的对角线的长为32.本题考查了三个二次之间的关系．本题属于容易题．11.949 解析：由图案的规律可知：黑色积木共有1＋2＋3＋…＋8＝36个，白色积木共6＋(6＋4)＋(6＋4×2)＋…＋(6＋4×7)＝160个，黑、白两种颜色的正六边形积木共196个，则取出黑色积木的概率＝36196＝949.本题考查了简单的等差数列的求和与古典概型的概率．本题属于容易题．12. [0，3] 解析：由y＝(x－a)2，x≤0的最小值为f(0)，则a≥0.g(x)＝x－lnx＋5＋a(x＞0)必须满足g(1)≥f(0)，即－2≤a≤3，所以0≤a≤3.本题考查了函数的图象与性5质，重点考查了数形结合思想的应用．本题属于中等题．13. [2，32] 解析：因为a，b，c成等差数列，有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，对比方程ax＋by＋c＝0可知，动直线恒过定点(1，－2)，记为A，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为H，即∠AHP＝90°，所以点H在以PA为直径的圆上，该圆的圆心C为(0，－1)，半径为2，点Q到圆心的距离QC为22，所以线段QH的取值范围是[2，32]．本题考查了直线过定点与圆的性质．本题属于难题．14.π 3 解析：由函数y＝3＋2x－x2－3得y＋3＝3＋2x－x2，两边平方，化简得(x－1)2＋(y＋3)2＝4 (x∈[0，2])为两段圆弧(圆心角均为60°，其中一段过原点)，而原点与圆心连线的倾斜角为30°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为90°－30°＝60°，则α的最大值为60°，即π 3.本题考查了圆的方程与性质，突出了化归思想的运用．本题属于难题．15.解：(1) 设α＝θ－π4，因为θ∈??????3π4，5π4，所以α∈??????π2，π，且θ＝α＋π 4.(2分) 因为sinα＝sin??????θ－π4＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.(4分)于是sinθ＝sin??????α＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝55×22＋??????－255×22＝－1010.(6分) (2) 因为cosθ＝cos??????α＋π4＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝??????－255×22－55×22＝－31010，(8分) 所以sin2θ＝2sinθcos θ＝2×??????－1010×??????－31010＝35，(10分) cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×??????－10102＝45.(12分)所以cos??????2θ＋2π3＝cos2θcos2π3－sin2θsin2π3＝45×??????－12－35×32＝－4＋3310.(14分) 16.证明：(1) 在直棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是矩形，故对角线的交点E是B1C的中点．(2分)又D是AB1的中点，DE是中位线，所以DE∥AC.(4分) 因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(6分)(2) 因为在直棱柱ABCA1B1C1中，BC＝CC1，所以侧面BB1C1C是正方形，于是B1C⊥BC1.(8分) 因为AA1C1C是矩形，所以AC⊥CC1. (注：或因为CC1⊥底面ABC，AC?平面ABC，CC1⊥AC) 又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面BB1C1C，所以AC⊥平面BB1C1C.(10分)6因为BC1?平面BB1C1C，所以AC⊥BC1. 因为AC∩CB1＝C，AC，CB1?平面AB1C，所以BC1⊥平面AB1C.(12分)由AB1?平面AB1C，得BC1⊥AB1.(14分)17.解：(1) 由题设知，椭圆C的焦距2c＝2，即c＝1，所以a2＝b2＋1.(2分)因为椭圆C经过点??????62，1，所以32a＋1b2＝，即32（b2＋1＋1b2＝1，(4分)化简、整理得2b4－3b2－2＝0，解得b2＝2(负值已舍去)．故椭圆C的标准方程为x23＋y22＝1.(6分)(2) 易知F(－1，0)，设P(x0，y0)，于是x20a2＋y20b2＝1. ①因为PAPF＝2，即PA2＝2PF2，所以(x0＋2)2＋y20＝2(x0＋1)2＋2y20，即x20＋y20＝2. ②(8分)联立①②，并注意到a2＝b2＋1，解得x20＝2a2－a2b2＝a2(3－a2)．(10分)因为－a≤x0≤a，所以0≤x20≤a2.于是0≤a2(3－a2)≤a2，即2≤a2≤3，亦即2≤a≤3.(12分)所以33≤1a≤22，即33≤ca≤22.故椭圆C的离心率的取值范围是??????33，22.(14分) 18.解：(1) 因为AC ︵＝EB︵，CD∥AO，DE∥OB，所以∠AOD＝π3.(2分)于是在△OCD中，OC＝1，∠CDO＝2π3，∠OCD＝θ，∠COD＝π3－θ，从而由正弦定理得ODsin∠OCD＝CDsin∠COD＝OCsin∠CDO，即OD sinθ＝CDsin??????π3－θ＝OCsin2π3＝233. 所以OD＝233sinθ，CD＝233sin??????π3－θ.(5分) 因为OD∈??????33，63，即33≤233sinθ≤63，所以12≤sinθ≤22，而0＜θ≤π3，所以π6≤θ≤π4.故CD＝233sin??????π3－θ??????π6≤θ≤π4.(8分)(2) 由(1)知，观赏道路长L＝2(AC︵＋CD)＝2θ＋433sin(π3－θ)??????π6≤θ≤π4，即L＝2θ＋2cosθ－233sinθ.(10分)所以L′＝2－2sinθ－233cosθ＝2－433cos??????θ－π3.(12分)7令L′＝0，得cos??????θ－π3＝32，因为π6≤θ≤π4，所以θ＝π6.(14分)因为当π6＜θ≤π4时，－π6＜θ－π3≤－π12，L′＝2－433cos??????θ－π3＜0，所以当θ＝π6时，L取得最大值，即观赏道路最长．(16分)19.解：(1) 设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，因为a1＝1，所以a2＝1＋d，a3＝1＋2d，从而S2＝2＋d，S3＝3＋3d.(3分)因为数列??????S n a n是等差数列，所以2×S2a2＝S1a1＋S3a3，即2（2＋d）1＋d＝1＋3＋3d1＋2d，(5分)化简得d2－d＝0，而d≠0，所以d＝1. 故a n＝a1＋(n－1)d＝n.(7分)(2) 假设存在正整数数组k和m，使b1，b k，b m成等比数列，则lgb1，lgb k，lgb m成等差数列，于是2k3k＝13＋m3m.(9分)所以m＝3m??????2k3k－13 (*)．易知k＝2，m＝3满足(*)．(11分)因为当k≥3，且k∈N*时，2（k＋1）3k＋1－2k3k＝2－4k3k＋1＜0，所以数列??????2k3k(k≥3，k∈N)为递减数列，(14分)于是2k3k－13≤2×333－13＜0，所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足(*)．综上，当且仅当k＝2，m＝3时，b1，b k，b m成等比数列．(16分) 20.(1) 解：易得h(x)＝ax·lnx(a＞0)，则h′(x)＝a(lnx＋1)，令h′(x)＝0，得x＝1e，(2分)且当0＜x＜1e时，h′(x)＜0；当x＞1e时，h′(x)＞0，所以函数h(x)存在极小值h??????1e＝－ae，不存在极大值．(5分) (2) 证明：取x0＝1a2，满足x＞x0，f(x)＞g(x)．(7分)令φ(x)＝ax－lnx(a＞0)，由φ′(x)＝a－1x＝0，得x＝1a，列表：x ??????0，1a 1a ??????1a，＋∞φ′(x) － 0 ＋8φ(x) 极小值1＋lna若a＞1e时，[φ(x)]min＝1＋lna＞0，所以φ(x)＞0，取x0＝1a2＞0，则满足题意；若a＝1e时，[φ(x)]min＝1＋lna＝0，所以φ(x)≥0，取x0＝1a2＞1a，则满足题意；(11分)若0＜a＜1e时，[φ(x)]min＝1＋lna＜0，取x0＝1a2＞1a，则当x＞x0时，φ(x)＞φ??????1a2＝1a－2ln1a，令t＝1a，记r(t)＝t－2lnt，且t＞e，则r′(t)＝1－2t＝t－2t＞0，故r(t)为(e，＋∞)上单调增函数，所以r(t)＞r(e)＝e－2＞0，从而1a－2ln1a＞0，所以φ(x)＞0，满足题意．综上，存在x0＝1a2，使得x＞x0，φ(x)＞0，即f(x)＞g(x)．(16分)。