高三数学模拟考试试题
2024届高三数学模拟检测(广东专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．2．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ．-C ．12 D ．12- 3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A B ．1 C D ．24．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1 C ．2 D ．126．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．128．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.89．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B 5C ．5D ．5510．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题(含答案)
河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若A ={x |x 2<1}，B ={x |y =ln (−x 2+2x )}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [0,1)C. (0,1)D. (−1,0)2.下列说法中正确的是( )A. 若函数f (x )为奇函数，则f (0)=0；B. 在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件；C. 若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列；D. 若复数z =2i1−i (i 是虚数单位)，则z =−1−i ．3.已知数列{a n }满足a n +1=23a n +4，且a 1=1，则{a n }的通项公式为( )A. a n =12−(23)n−1B. a n =(23)n +2C. a n =12−11×(23)n−1D. a n =8+(23)n−14.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC =AB =AA 1，∠BAC =120°，D ，E ，F 分别是棱B 1C 1，BC ，A 1C 1的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为( )A. 310B.5110C. 25D. 7105.已知平面向量m ，n 满足：|m |=|n |=2，且m 在n 上的投影向量为12n ，则向量m 与向量n−m 的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘6.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，其图象经过点(2,0)，且对任意x 1、x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2，(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立，则不等式(x−1)f (x )≥0的解集为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,0]⋃[1,2]D. [0,1]⋃[2,+∞)7.若函数f(x)=(x 2−22x +a)sin (ax−π3)(a >0)在[0,4]上有3个零点，则a 的取值范围是( )A. [7π12,5π7) B. (0,5π6)C. [π12,π3)∪[2，5π6) D. [π12,π3)∪(2,5π6)8.已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，▵ABD 的三个顶点均在C 上，F 1、F 2分别落在线段AB 、AD 上且AD ⊥x 轴，若AD =8,AB =9，则BD =( )．A. 4B. 5C. 6D. 7二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷附答案解析
2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}220B x x x =--<∣，则A B = （）A ．{21}xx -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}xx -<<∣2．已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C D ．24．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的（）A ．13e 倍B ．12e 倍C ．π2e 倍D ．πe 倍5．己知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（）A ．1BC ．2D ．8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．B C D二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25yx =+．，则（）A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2ln 1ln 1f x x x x=+--+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,0对称B ．()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递增C ．()f x 的极小值点为22D ．()f x 有两个零点11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）A ．1AB ∥平面AMNB ．点P 的轨迹长度为π2C ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMND ．点P 到平面AMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，11,D E BC D E ⊥=(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(3)若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有212n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数231234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1n n W S n=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}21220|B xx x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A xx x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，令2204y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m=⇒=.故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即角α的终边经过点1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+== ⎪⎝⎭.故选：D 4．B【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0π0e ϕρα=，则10π2ϕϕ=+所对应的极径为0π2π1eϕρα+=，所以0000ππ222π1πππ1e e e e ϕϕϕϕραρα++-===，故ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.【详解】(1,1),(2,0)a b =-=，2a b ⋅=-，2b =,a 在b 上的投影向量为()()22,01,04a b b bb⋅-⋅==-.故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，则r =，故该球的表面积为24π8πr =.故选：C 7．C【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，所以221x y +=且()()222211x y y x -+=-+，即221x y +=且x y =，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+、2i 22z =-（或122i 22z =--、222i 22z =+），则21i i 2222z z ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭（或21z z -=），所以122z z -=.故选：C 8．B【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得cos sin(60)x θθ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒=，可得tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为898.52+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得10x -<<或01x <<，所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；当2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x 在21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极小值点为22，极大值点为22-，故C 正确；又(()ln 320f x f ==++⎝⎭极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，则1DP =P 点轨迹为以1D所以点P的轨迹长度为132ππ42⨯，故B 正确；对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=，若存在点P ，使得MP ⊥面AMN，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解之得sin ,cos θθ=即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =，则点P 到平面AMN的距离()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，显然π2θϕ+=时取得最大值max d =D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π4x =（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4x =.故答案为：π4x =（答案不唯一）13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3394416⨯=；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为14，所以到达第3阶台阶的概率为911316416+=，故答案为：1316.14．232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322p⇒-=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39:22l y x =-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,64n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22133336622n PN n n =-+=-+≥，故答案为：2，32【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，又1D E =13DD =，DE =所以22211DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD.（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=- 设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得4y z ==，所以()4n = ，由题意知，()0,0,1m = 是平面ABCD 的一个法向量，设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos 13m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面11A C E与平面ABCD 16．(1)22143x y +=(2)10x y +-=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121ca a c abc ⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得()122122634934my y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩，把①式代入上式得222226349234my m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255m =±，所以直线l 的方程为：10x y -=或10x y -=.17．(1)1p-(2)答案见解析【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为11110,,,,,15432，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()21P A p =-，()()31P B p =-，所以()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，则X 的可能取值为：11110,,,,,15432，且()()501P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1P X p ==，所以X 的分布列为：X 0151413121P 5(1)p -4(1)p p -3(1)p p -2(1)p p -()1p p-p 则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432p p p p p p p p p ----=++++，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k k P Y k p p k -==-=，即Y 的分布列为：Y 0152535451P 5(1)p -45(1)p p -3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--'，令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2x g x a '=-，当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >.（3）要证()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，只要证()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，只要证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+（※），因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x-'=-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，由①+②得()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，所以（※）成立，所以()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1n n W S n=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；（2）根据题意及三次函数的性质易知2234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x =，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点，则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b =++'有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，记221211022S c c d W W c -=-=-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()21n n S nW dn c d n ==+-，又因为11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()121n c c d n=+-，所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2n n n n n n n n cc c c c c c S ++++>>+==.所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以212n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243b b b b b >>，再判定()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1n n W S n=及,n n S c 的关系可得n c 从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
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高三数学模拟试题（理科）班别： 姓名： .一．选择题（12小题，每小题5分共60分）1、设集合},02|{},01|{2≤-=<-=x x x B x x A 则=B A（A ）}21|{<<x x （B ）}21|{≤<x x （C ）1|{<x x 或}2≥x （D ）1|{≤x x 或}2>x2、已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x（A ）2或3 （B ）–1或6 （C ）6 （D ）23、若x x x 44cos sin ,12-=则π的值为（A ）21 （B ）21- （C ）23-（D ）23 4、i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于（A ）i --1 （B ） i +-1 （C ）i -1 （D ）i +15、以抛物线x y 82=的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为（A ）1121622=+y x （B ）1161222=+y x （C ）141622=+y x （D ）116422=+y x6、若数列{}n a 的通项公式为=+++++=99531,32a a a a n a n 则 （A ）5150（B ）2700 （C ）9270 （D ）48607、设P （x ，y ）是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+023y x y y x 所表示平面区域内任意一点，则目标函数y x z +=2的最大值是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）68、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有 （A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种 9、已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11A ACC 所成角的正切值是（A ）515 （B ）315 （C ）46 （D ）410 10、抛物线c bx x y ++=2在点（1，2）处的切线与其平行直线0=++c y bx 间的距离是 （A ）42（B ）22（C ）223 （D ）211、设函数1)( , )0( )0( 7)21()(<⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=a f x x x x f x若，则实数a 的取值范围是 (A) )3,(--∞ (B)),1(+∞ (C))1,3(- (D)),1()3,(+∞--∞ 12、设|2|)(2x x f -=，若b a <<0,且)()(b f a f =,则ab 的取值范围是 （A ）)2,0(（B ]3,0( （C ）]4,0( （D ）]2,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，满足2)9(=f ,则)1(1-f的值是 .14、已知双曲线122=+my x 的一个焦点是)0 , 3(，则实数m 的值是 .15、)()13(6R a x ax ∈-的展开式的常数项是–20，则=++++∞→)(lim 32n n a a a a ；16、球O 的内接三棱锥P —ABC 底面的三个顶点A 、B 、C 在球O 的同一个大圆上，如果AB=AC=5，BC=8，点P 在平面ABC 上的射影恰是球心O ，则此三棱锥 的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分17、（10分）三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若.3))((bc a c b c b a =-+++（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若.322cos =B 求)2sin(B A +的值.18、（12分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量ξ的概率分布列和数学期望；19、(12分) 如图，三棱锥ABC V -中，VAB ∆是边长为2的正三角形，点V 在平面ABC 上的射影D 在AB 边上，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形 （Ⅰ）求证：面⊥VAB 面VBC ； （Ⅱ）求二面角C VA B --的大小.20、（12分）已知数列*).(212121:}{2221N n n n a a a a n n n ∈+=-++-+- 满足求：（Ⅰ）数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和n S .21、（12分） 已知).2()()(2≤++=-m e m mx x x f x （Ⅰ）当0=m 时，求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0≥x 时，2)(≤x f 恒成立.22、（12分）如图所示，已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0 , 1(A ，M 为圆上一动点，P 为AM 的中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N . （Ⅰ）求点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若过定点)2 , 0(F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围..数学参考答案一、BDCBA ADBAC CA二、13、3 ；14、 81- ；15、 21； 16、350三、17、（Ⅰ）由已知,1800212cos 222︒<<=-+=A bc a c b A 及 ∴A =60°（Ⅱ）由322cos =B 及0<B <90°， ∴sin B =31 ∴6136sin 21cos 23)120sin()2sin(-=-=+︒=+B B B B A18、解：(Ⅰ)P （A ）=3231012121235=C C C C C . （Ⅱ）ξ有可能的取值为：2，3，4，5. 301)2(31022121222=+==C C C C C P ξ，152)3(31022141224=+==C C C C C P ξ 103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ，158)5(31022181228=+==C C C C C P ξ 随机变量ξ的概率分布（略）；ξ的数学期望为.3131585103415233012=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 19、（Ⅰ）证明：⊥VD 面ABC ，⊂VD 面VAB ， ∴面VAB ⊥面ABC ，交线为.ABAB BC ⊥ ， ⊥∴BC 面VAB ，又VBC BC 面⊂， ∴面VAB ⊥面VBC（Ⅱ）解：过B 作VA BE ⊥于E ,连结CE ,，由（Ⅰ）知,CE VA ⊥,CEB ∠∴就是二面角C VA B --的平面角.VAB AB ∆=,2 是正三角形3=∴BE .又AB BC ==2,332tan =∠∴CEB ,. 二面角的大小为332arctan .20、解：（Ⅰ）*)(2121212221N n n n a a a n n ∈+=-++-+-*),2()1()1(2121212211221N n n n n n n a a a n n ∈≥-=-+-=-++-+-∴-- *),2(122211N n n n a n a n n nn ∈≥+=⇒=-+在（1）中令适合有511==a n （3）式，故*)(121N n n a n n ∈+=+（Ⅱ）设,21+=n n n b 其前n 项和为,n T 则42)1(2222222215432+-=⋅+------=+++n n n n n n T 42)1(2++-=+=∴+n n n T S n n n21、解：（Ⅰ）0=m 时，)2()(2/x x e x f x +-=-，由0)(/>x f 得：f (x )的单调递增区间为（0，2），∴单调递减区间为（－∞，0）和（2，+∞）（Ⅱ）])2([)()2()(22x m x e m mx x e e m x x f x x x -+-=++-+='---2=m 时，0)(2≤-='-x e x x f 0[)(在x f ，)∞+2)0()(=≤∴f x f 成立；2<m 时，令m x x x f -==='20,0)(或得，2max )4()2()(--=-=m e m m f x f 设2)4()(--=m e m m g ，0)3()(2/>-=-m e m m g ，∴)(m g 在]2,(-∞上是增函数，∴2)2()(=≤g m g ，∴0≥x 时，2)(≤x f 恒成立 22、解：（Ⅰ）NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.∴222||||>=+AN CN ∴动点N 的轨迹是以点C （–1，0），A （1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为222=a ,焦距2c=2.1,1,22===b c a ∴点N 的轨迹E 的方程为1222=+y x （Ⅱ）当直线GH 的斜率存在时，GH 方程为2+=kx y 代入椭圆方程得：034)21(22=+++kx x k ，由0>∆得：232>k ，设),(11y x G ，),(22y x H 又→-→-=FH FG λ，∴)2,()2,(2211-=-y x y x λ，∴21x x λ=，∴221)1(x x x λ+=+， 2221x x x λ=，∴λλ2122221)1(x x x x x ==++ ∴λλ22)1()121(316+=+k ，由于232>k ，∴316)1(42<+<λλ，即331<<λ 又10<<λ，∴131<<λ， 又当直线GH 的斜率不存在时，31=λ，∴)1,31[∈λ（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。