2012考研数学一真题及答案解析(统编)
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研(数学一)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=-4．正确答案：C解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选C．2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选C．4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．B．P(A∪B)＞P(B)．C．P(A∪B)=P(A)．D．P(A∪B)=-P(B)．正确答案：C解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选C．6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选C．7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选C．8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X-Y≤0}=D．P{X-Y≤1}=正确答案：B解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选B．10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取，因为排除A、C、D．故应选B．11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除D．故应选C．12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．正确答案：D解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选D．13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选B．14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选D．15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选B．16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除C．故应选D．17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线性方程组(AB)X=0有非零解，故应选D．18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除D．故应选A．填空题19．(2000)=_____，正确答案：解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．正确答案：解析：21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.正确答案：-π解析：22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．正确答案：解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.正确答案：解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.正确答案：解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。
2012年考研数学一真题及答案
2012年考研数学一真题及答案2012年考研数学一真题及答案2012年的考研数学一真题是考生备考过程中非常重要的资料之一。
通过对该年真题的分析和解答，考生可以更好地了解考试的难度和出题规律，从而有针对性地进行备考。
一、选择题部分选择题是考研数学一的必答题部分，也是考生们最容易得分的部分。
2012年的数学一选择题主要涉及到了微积分、线性代数和概率统计等内容。
在微积分部分，有一道题目要求求解函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。
通过对函数求导并令导数为零，可以求得函数的驻点。
进一步分析函数的二阶导数可以确定这些驻点是极大值还是极小值。
在线性代数部分，有一道题目要求判断矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]是否可逆。
通过计算矩阵的行列式，可以得到矩阵的秩。
如果矩阵的秩等于矩阵的阶数，那么该矩阵是可逆的。
在概率统计部分，有一道题目要求计算某事件的概率。
通过使用概率的定义公式，可以计算出事件发生的可能性。
二、解答题部分解答题是考研数学一的开放性题目部分，也是考生们需要发挥自己数学思维和解题能力的部分。
2012年的数学一解答题主要涉及到了微积分、线性代数和概率统计等内容。
在微积分部分，有一道题目要求求解定积分∫[0,1] (x^2 + 1)dx。
通过对被积函数进行积分运算，可以得到结果为5/3。
在线性代数部分，有一道题目要求求解线性方程组Ax = b。
通过使用矩阵的逆运算，可以得到方程组的解x。
在概率统计部分，有一道题目要求计算某事件的概率。
通过使用条件概率和全概率公式，可以计算出事件发生的可能性。
三、备考建议备考考研数学一需要掌握扎实的数学基础知识和解题技巧。
在备考过程中，考生可以通过以下几点来提高备考效果。
首先，要熟悉各个知识点的概念和公式。
数学一的考试内容较为广泛，需要考生掌握微积分、线性代数和概率统计等多个学科的知识。
熟悉各个知识点的概念和公式，可以帮助考生更好地理解题目和解题思路。
2012考研数学真题(数一)(1)
1 a 0 0
1
设 A 0 0
1 0
a 1
0 , a
1
0
a
0
0
1
0
（I）计算行列式 A ； （II）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
（21）（本题满分 11 分）
1 0 1
C1
ห้องสมุดไป่ตู้
C2
C3
C4
下列向量组线性相关的为（ ）
（A）1,2 ,3
（B） 1,2 ,4 （C）1,3 ,4
1
（D）2 ,3 ,4
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考研数学
1 0 0
（6）设
A
为
3
阶矩阵，P
为
3
阶可逆矩阵，且
p1 AP
0
1
0
.若
P=（ 1 , 2
,3
），
0 0 2
Q (1 2, 2, 3 ) ，则 Q1AQ （ ）
1 0 0
（A）
0
2
0
0 0 1
1 0 0
（B）
0
1
0
0 0 2
（D）(1)n n!
（3）如果函数 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续,那么下列命题正确的是（ ）
（A） 若极限 lim f (x, y) 存在,则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微 x0 x y
y0
（B）
若极限 lim x0
考研数学一二维随机变量及其分布历年真题试卷汇编2_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ数F(z)的间断点的个数为( )．ZSSS_SINGLE_SELAB1C2D3分值: 7.5答案:BF(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)Z=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故 F(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．Z(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z＜0时， FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．当z≥0时， FZ综上所述，得到因(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．所以FZ2.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．SSS_SINGLE_SELA1／5B1／3C2／5D4／5分值: 7.5答案:A由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫+∞e-x dx∫x+∞e-4y d(一4y)=∫0+∞e-x·e-4x dx=∫+∞e-5x dx=仅A入选．3.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．SSS_SINGLE_SELAa=0．2，b=0．3Ba=0．4，b=0．1Ca=0．3，b=0．2Da=0．1，b=0．4分值: 7.5答案:B由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故 a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．填空题4.[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:首先求出积分区域D ∩ G．D ∩ G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩ G(见图)，故5.[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．SSS_FILL分值: 7.5答案:因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY—y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以6.[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:1/9P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．解答题[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y．SSS_TEXT_QUSTI7.求P(Z≤1／2｜X=0)；分值: 7.5答案:由于X，Y相互独立，有P(Z≤1／2 ｜X=0)=P(X+Y≤1／2｜X=0)=P(y≤1／2｜X=0)SSS_TEXT_QUSTI8.求Z的概率密度fZ(z)．分值: 7.5答案:因X的可能取值为一1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1，一1≤z=x+y≤2．(1)当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1．(2)当z=x+y＜一1时，X，Y的取值为空值，则P(X+Y≤z)==0．(3)当一1≤z＜2时，下面用全概率公式求出FZ(z)的表示式：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z｜X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z｜X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z｜X=1)P(X=1)(Fy(z)为y的分布函数)，则fZ (z)=F'Z(z)=[FY(z+1)+fY(z)+fY(z—1)]．当0＜z+1＜1或0＜z＜1或0＜z—1＜1，即一1＜z＜2时，FZ(z)=；其他情况下，fZ(z)=0．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=SSS_TEXT_QUSTI9.求P{Y≤E(Y)}；分值: 7.5答案:因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫1y·2ydy=，故SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=X+Y的概率密度．分值: 7.5答案:Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2} =P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为[2014年] 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=P(X=2)=，在给定X=i的条件下，随机变量y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)．SSS_TEXT_QUSTI11.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 7.5答案:记U(0，i)的分布函数为F(x)(i=1，2)，则i(y)=p(Y≤Y)=P(x=1)P(Y≤y｜X=1)+P(X=2)P(Y≤y｜X=2)于是FY因在X=i的条件下，Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)，故当y≤0时，(y)=0．Fi当0＜y≤1时，当1＜y＜2时，当y≥2时，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求期望E(Y)．分值: 7.5答案:(y)可得概率密度函数为由Y的分布函数FY+∞yfy(y)dy=故E(Y)=∫-∞[2013年] 设随机变量X的概率密度为令随机变量，SSS_TEXT_QUSTI13.求y的分布函数；分值: 7.5答案:+∞f(x)dx=，得到a=9．此时，X的利用概率密度函数的归一性，由1=∫-∞概率密度为(y)．由题设知，Y的取值范围为1≤Y≤2，故设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=0；P(1≤Y≤2)=1．因而当y＜1时，FY当1≤Y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{Y＜1}+P{Y=1}+P{1＜Y≤y}Y=0+P{X≥2}+P{1＜X≤Y}=(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1．当Y≥2时，FY综上得到y的分布函数为SSS_TEXT_QUSTI14.求概率P{X≤Y}．分值: 7.5答案:由随机变量y的分段表示式易看出，满足x≤y的x的取值范围为x＜2．因而所求概率为P{X≤Y}=P{X＜2}=[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜)上服从均匀分布．令SSS_TEXT_QUSTI15.写出(X，Y)的概率密度；分值: 7.5答案:易求得区域D的面积，故(X，Y)的概率密度SSS_TEXT_QUSTI16.问U与X是否相互独立?并说明理由；分值: 7.5答案:考查事件{U=0}与乘积的概率是否与事件{U=0}的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然，故U与X不独立．SSS_TEXT_QUSTI17.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．分值: 7.5答案:下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．①z＜0时，则P(X≤z)==0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，③1≤z＜2时，④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．综上所述，Z的分布函数为[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个白球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球个数．SSS_TEXT_QUSTI18.求P(X=1｜Z=0)；分值: 7.5答案:(I)用缩减样本空间的方法求之．求时应注意两次取球取到的是不同类的球，要讲次序．因而两次都没取到白球(Z=0)的条件下，只能取红、黑两种球，且每次都要取到一个红球，其可能性为C11×C21+C21×C11=4，总的可能性为C 31×C31=3×3=9，故SSS_TEXT_QUSTI19.求二维随机变量(X，Y)的概率分布．分值: 7.5答案:由题设知X与Y的所有可能取值均为0，1，2，而取值的概率可由古典概率的计算公式得到．计算时要注意两次取球取到的是不同类的球要讲次序，取到的是同类的球不讲次序．故(X，Y)的概率分布为20.设随机变量X的概率密度为f(x)=e-｜x｜／2，一∞＜x＜+∞，问随机变量X 与｜X｜是否相互独立?为什么?SSS_TEXT_QUSTI分值: 7.5答案:因X和｜X｜为两个随机变量，下面证明对于给定的a(0＜a＜+∞)，式P(X＜x，Y＜y)=P(X＜x)P(Y＜y)不成立，从而X与｜X｜不相互独立．事实上，因事件{｜X｜＜a}包含在事件{X＜a}之中，即{X＜a} {｜X｜＜a}，故P(X＜a，｜X｜＜a)=P({X＜a}∩{｜X｜＜a})=P(｜X｜＜a)．又P(X＜a)＜1，P(｜X｜＜a)＞0，因而P(X＜a)P(｜X｜＜a)＜P(｜X｜＜a)．于是P(X＜a，｜X｜＜a)=P(｜X｜＜a)＞P(X＞a)P(｜X｜＜a)，故P(X＞a，｜X｜＜a)≠P(X＜a)P(｜X｜＜a) (0＜a＜+∞)．可知，X与｜X｜不相互独立．1。
考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2006年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0．B．若f’0(x0，y0)=0．则f’(x0，y0)≠0．C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0、)=0．D．若f’x(x0，y01)≠0，则f’y(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x．y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点。
则必有若f’x(x0，y0)≠0，由①式知，λ≠0，加之原题设φ’y(x，y)≠0，由②式知，λφ’(x0，y0)≠0，从而必有f’y(x0，y0)≠0，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学2．(2008年)函数在点(0，1)处的梯度等于A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：解1 由知则f’x(0，1)=1，f’(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i 解2 由知则gradf(0．1)=i 知识模块：多元函数微分学3．(2010年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得则解 2 等式分别对x，y求偏导得(1)式乘x2加(2)式乘xy得(一z)F’2+F’2(xzx+yzy)=0则xzx+yzy=z (F’2≠0) 知识模块：多元函数微分学4．(2011年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0故应选(A)．知识模块：多元函数微分学5．(2012年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0：)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．正确答案：B解析：解l 由f(x，y)在(0，0)处连续可知，如果存在，则必有又极限则由存在知即由微分的定义知f(x，y)在(0，0)处可微．解2 排除法：取f(x，y)=|x|+|y|，显然，存在，但f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)处不可微，这是由于f(x，0)=|x|，而|x|在x=0处不可导，则fx(0，0)不存在．则排除(A)；若取f(x，y)=x，显然，f(x，y)在(0，0)处可微，但不存在，则不存在，排除(C)．又则不存在，排除(D)．故应选(B)．知识模块：多元函数微分学6．(2013年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y一z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)一yz+x，则则所求切平面方程为x一(y 一1)+(z+1)=0即x—y+z=一2 知识模块：多元函数微分学7．(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n=(1，2，2)的方向导数为A．12．B．6．C．4．D．2．正确答案：D解析：fx(1，2，0)=2xy|(1，2，0)=4 fy(1，2，0)=x2|(1，2，0)=1 fz(1，2，0)=3z2|(1，2，0)=0 向量n={1，2，2}的方向余弦为则知识模块：多元函数微分学填空题8．(2003年)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z—0平行的切平面方程是_____________．正确答案：2x+4y—z=5解析：曲面z=x2+y2在点(x0，y0，z0)处切平面的法向量为n1={2x0，2y0，一1)而平面2x+4y一z=0的法向量为n2={2，4，一1}．由题设知n1／／n2，则从而有x0=1，y0=2，代入z=x2+y2 得z0=5，n1={2，4，一1}则所求切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0即2x+4y—z=5 知识模块：多元函数微分学9．(2005年)设函数单位向量则正确答案：解析：ux(1，2，3)=uy(1，2，3)=uz(1，2，3)=则知识模块：多元函数微分学10．(2007年)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则正确答案：yxy-1f’1+y2lnyf’2．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学11．(2009年)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则正确答案：f’2+xf”12+xyf”22解析：知识模块：多元函数微分学12．(2011年)设函数则正确答案：4解析：解1 △解2 由偏导数定义知知识模块：多元函数微分学13．(2012年)正确答案：(1，1，1)解析：知识模块：多元函数微分学14．(2014年)曲面z=z2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_____________．正确答案：2x—y一z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得z’x=2x(1一siny)一y2cosx，z’x(1，0)=2 z’y=一x2cosy+2y(1一sinx)，z’ y(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1．0．1)处的法向量为[*]=(2．一1，一1)，该点处切平面方程为2(x-1)一y一(z一1)=0即2x—y一z=1．知识模块：多元函数微分学15．(2015年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz|(0，1)=_____________．正确答案：一dx解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2 中得ez+1=2，则z=0．方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0 将x=0，y=1．z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：多元函数微分学16．(2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x一z，y)确定，则dz|(0，1)=___________.正确答案：一dz+2dy．解析：解1 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z一y2=xf(x —z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x一z，y)dx+x2[f’1·(dx一dz)+f’2dy] 将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0，1)=-dx+2dy 解2 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程两边分别对x、y求偏导数，有把x=0，y=1，z=1代入上式得所以dz|(0，1)=-dx+2dy 知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012考研数一真题及解析
1
对于 1
0, 解 1E
B X
0 得对应的特征向量为：1
1
1
1
对于 2
2, 解 2 E
B
X
0 得对应的特征向量为：2
1
0
1
对于 3
6, 解 3 E
B
X
0 得对应的特征向量为：3
1
2
将1,2 ,3 单位化可得：
1
1
1
1
1 3
1
1
，2
1 2
1 0
，3
1 6
2
（17）
4n2 4n 3
lim lim lim 【解析】： R n
an
an1
n
an
an1
n
2n 1 4 n1 2 4 n1 3
2n 1 1
4n2 4n 3
2n 1 1
lim n
2n 1 4n 12 4n 1 3 1
S(x) 4n2 4n 3 x2n
n0 2n 1
故
Q1
AQ
1
1
0
P
1
AP
1
1
0
1
1
0
0 0 1
0 0 1 0 0 1
1
1
1
0
2 0 0 1
1
2
故选（B）。 （7） 【答案】：（A）
【解析】： X ,Y
的联合概率密度为
f
(x,
y)
ex4 y , x 0，其它
0,
y
0
则 PX Y
f (x, y)dxdy
cott
所以 C 0 .故函数 f (t) ln sect tan t sin t .
2012考研数学：高数讲义重点题型解答(一)
f ( x )dx < 0 ，即 an 单调减少
3 n 2 n −1
an = f (1) − ∫ f ( x )dx + f (2 ) − ∫ f ( x)dx + " + f (n − 1) − ∫
1
f ( x )dx + f (n )
= ∑ ⎡ f (k ) − ∫ ⎢ k k =1 ⎣
n −1
1
2． lim (a n + b n + c n ) n ( a, b, c非负) ；
解：因为 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上单调减少、非负、连续， 故 f (k ) =
∫
k
k −1
f (k )dx < ∫
k
k −1
f (x )dx < ∫
k
k −1
f (k − 1)dx = f (k − 1) ， k ≥ 1
则 an +1 − an = f (n + 1) −
2
∫
n +1
n
xn − xn −1 1 − xn + 1 − xn −1
且 x2 = 0 < x1 ，故 x2 < x1 , x3 < x2 " xn < xn −1 ，即 xn 单调减少； x1 ≥ −2 ,不妨假设 xn ≥ −2 则 xn +1 ≥ − 1 + 2 ，即 xn 有下届，单调有界数列必在极限，故极限存在。 不妨假设 lim xn = A ，则 A + 1 + A = 0 ，解得 A =
( )
sin x sin 2 x sin 3 x x x 2 x3 3 同理 1 + sin x = 1 + − + + o sin x = 1 + − − + o x3 2 2 16 2 2 48
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2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221
x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =
（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -
（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A ）若极限00
(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限2200(,)lim x y f x y x y
→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y
→→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)lim x y f x y x y
→→+存在
（4）设2k x k e I e =⎰ sin x d x (k=1,2,3),则有D
（A ）I 1< I 2 <I 3.
(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.
（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα
（D ）234,,ααα
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）
（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）。