魔方与数学相融合 提升数学核心素养
魔方数学活动教案
魔方数学活动教案是一种帮助学生解决数学问题的有效方法。
这种教育方法可以帮助学生提高自己的数学思维能力和解决问题的能力，通过数学魔方这一实际工具，学生不仅可以更好地掌握数学知识，还可以更好地锻炼自己的观察能力和逻辑思维能力。
魔方数学活动教案的设计离不开实际的教学经验和创新思维的运用，先让我们来了解一下基本的教学流程。
教学流程：１．掌握基本魔方的结构要素;２．掌握魔方旋转规律;３．实践操作基本魔方;４．学习魔方还原技巧;５．练习创造魔方模型;６．设计魔方挑战题;７．进行课堂竞赛活动;８．总结评价。
掌握基本魔方的结构要素掌基本魔方的结构要素是开展魔方数学活动的前提条件。
通过观察颜色的搭配和划分，理解魔方结构要素的组成，了解魔方的基本方向，掌握旋转时魔方的顺序和转法，这些基本的技能都可以在教师引导下进行教学和学习。
掌握魔方旋转规律掌握魔方旋转规律也是需要学生理解的另一个基本要素。
了解魔方的基本旋转规律，掌握魔方的打乱方法和还原方法，不仅有助于学生掌握魔方操作的技术要领，而且还有助于学生培养逻辑思维和观察能力。
实践操作基本魔方实践操作基本魔方是学生掌握魔方基本技能并增强自信心的关键。
在操作实践时，教师需要进行示范教学，并逐一指导学生进行操作练习，建议学生多次练习基本魔方的操纵技术，建立固定的记忆方式和操作手册。
学习魔方还原技巧学习魔方还原技巧，可以帮助学生掌握魔方还原规律的基本概念，还可以通过比较不同还原方法的优劣，掌握更高效的还原技巧。
在学习魔方还原技巧时，教师需要重视学生的探究与实践，鼓励学生尝试不同的还原方法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
练习创造魔方模型练习创造魔方模型是锻炼学生的创作思维和观察能力的重要环节。
教师可以根据学生水平和掌握程度，让学生创造不同的魔方模型，或者借用一些已经存在的魔方模型，让学生动手实践、观察并进行改良，开展不同难度的创新教学。
设计魔方挑战题设计魔方挑战题是给学生足够的挑战性，增强学生兴趣和提高学生的掌握程度。
幼儿园趣味数学魔方课程设计
幼儿园趣味数学魔方课程设计幼儿园趣味数学魔方课程设计1. 引言在幼儿园教育中，注重培养孩子的数学兴趣和能力是至关重要的。
而幼儿园趣味数学魔方课程的设计，可以帮助孩子在游戏中学习、在探索中成长，为他们打下坚实的数学基础。
本文将从课程设计的深度和广度两方面进行全面评估，探讨幼儿园趣味数学魔方课程的设计理念和实践方法。
2. 课程设计的理念幼儿园趣味数学魔方课程设计的理念是通过有趣的魔方游戏，引导幼儿主动参与、感知数学，激发他们的数学兴趣和动手能力。
课程设计应注重创新和趣味性，结合幼儿的认知特点和兴趣爱好，设置各种富有挑战性和趣味性的数学魔方游戏，让幼儿在玩中学、在学中玩，培养他们对数学的兴趣和自信心。
3. 课程设计的实践方法（1）游戏化教学：设计各种丰富多彩的数学魔方游戏，让幼儿通过玩魔方的方式学习数学概念，如数字、几何图形等，激发幼儿的好奇心和探索欲望。
（2）启发式提问：通过提出不同形式的问题，引导幼儿思考、推理、解决问题，培养他们的数学思维和逻辑能力，如“魔方上一共有几个正方形？”、“如果将魔方分成若干部分，每部分有几个小方块？”等。
（3）跨学科融合：结合音乐、美术、游戏等多种形式，创设丰富的数学魔方教学环境，帮助幼儿在多种体验中感受数学的乐趣，促进他们综合能力的培养。
4. 个人观点和理解在我的观点中，幼儿园趣味数学魔方课程设计是一种全新的教学方式，其核心在于通过游戏和探索的方式，引导幼儿主动参与数学学习，培养他们的数学兴趣和能力。
在实际操作中，我认为教师需要不断创新，设计有趣的数学魔方游戏，激发幼儿的好奇心和求知欲，帮助他们建立积极的数学学习态度。
要重视跨学科融合，提供多元化的学习环境，让幼儿在游戏中感知数学的美妙，全面发展自己的能力。
5. 总结与回顾幼儿园趣味数学魔方课程设计的核心在于通过游戏和探索的方式，引导幼儿主动参与数学学习，培养他们的数学兴趣和能力。
课程的设计理念注重创新和趣味性，结合幼儿的认知特点和兴趣爱好，设置各种富有挑战性和趣味性的数学魔方游戏。
数学魔方活动总结
数学,魔方活动总结篇一：五六年级魔方总结数学社团活动总结五六年级魔方数学是神奇的世界，肯定有很多学生对此产生了浓厚的兴趣。
第二课堂魔方小组以提高学生素质，提高学生实践能力，培育学生多种兴趣和陶冶学生的性情为宗旨，结合我校五六年级实际情况，特组建了魔方兴趣小组活动。
本学期的数学兴趣小组活动进展顺利，现进行总结：一、日常兴趣小组教学活动一、抓出勤有道是：没有规矩，不成方圆。
在开班前，首先对按时上课这个问题必需严肃提出。
因为在有些学生的意识中，兴趣小组活动可有可无，没有重视的态度。
学生出勤是兴趣小组展开最为大体的条件。
二、抓纪律上课纪律是直接影响到教学质量的因素。
虽然为兴趣小组活动，但最为大体的纪律问题也要重视。
要综合学生的上课风格，扬长避短，营造出活泼但不放肆、轻松但不随意的课堂气氛。
3、注重练习虽然学生都知道魔方，但对于它其中的奥妙很多人都不知道，因此要引导学生去理解，适当的讲解和放视频的方式，让学生去领悟如何转对。
同时很多学生是第一次尝试，所以要多点时间去练习每一个步骤，这样学生才能又熟练又快的完成六面。
4、丰硕了学生的第二课堂。
开展魔方兴趣小组活动，从素质的角度丰硕了学生的课余生活和课外活动内容，训练了学生的心理素质，激发了学生的上进心和创造性思维。
他们的生活不在仅限于课堂上，让他们意识到学习的乐趣，更有兴趣学习了。
五、增加了学生合作交流的机缘以班为单位，让小组之间进行竞赛，增加了学生的热情，也给学生增加了彼此交流的机缘。
同时，让厉害的学生带动较差的学生学习，使学生愈来愈喜欢魔方。
通过一学期数学兴趣小组的学习，同窗们对魔方都有不同程度的理解，另外在必然的程度上了解了魔方的奥妙。
学习数学的热情也加倍踊跃，同时更培育了学生们独立思考和擅长协作的能力。
篇二：渔峡口镇中心学校魔方比赛暨数学活动周总结会渔峡口镇中心学校魔方比赛暨数学活动周总结会方案一、会议时间XX年4月14日晚自习第1节（所占课时由随班数学老师归还）二、会议地址教学楼前国旗台三、前期准备一、会场布置：主席台，麦克风。
在益智游戏中提升学生数学学科素养——以数独、魔方、九连环为例
2021年第28期教育教学5SCIENCE FANS 游戏对小学生认知能力、情感、社会性的培养都有一定的影响，游戏活动的经验可为小学生提供丰富的学习经验。
游戏之于学生的学习具有不可替代的意义，它能为学生提供一种学习、发明、创造的机会[1]。
游戏的这些基本特点为其和小学数学教学相结合提供了依据。
1 益智游戏在提升小学生数学学科素养方面的价值为了让学生能够亲近数学，喜爱数学，提升其数学学科素养，广州市天河区昌乐小学（下文简称“该校”）定期举办数学节和数学周，开展了一系列丰富多彩的数学活动。
该校已成功开展过七届数学节及多次数学周活动，也两次承办广州市小学生数学游戏研讨活动。
一次数学节，一般会历时两个多月，分为三大环节：第一阶段，赏数学，让学生在“赏”中感受数学魅力，主要活动有专题讲座和海报设计等。
第二阶段，玩数学，让学生在“玩”中感受数学魔力。
第三阶段，用数学，让学生在“用”中感受数学威力，每个年级都会开展相关主题活动，如五、六年级设计装修方案等。
数学节中，全校师生在“赏数学、玩数学、用数学”等数学活动中，畅游数学海洋，感受数学的魅力、魔力与威力。
每到数学节，教师、学生都很投入，形成了一种数学校园文化，学生的数学素养得到了提升，家长也受到影响，也乐于参与其中。
七巧板、魔方、数独、九连环，都是能锻炼学生的理解能力和思维能力的活动项目。
而家长在数学游戏中的角色是支持者，需要陪孩子玩、乐，共同进步。
2 在益智游戏中提升小学生数学学科素养的措施该校一般会分年段、分主题组织益智游戏活动，高年级玩转魔方，巧解九连环；低年级参与七巧板大比拼等；全校师生都可参与数独游戏。
下面以数独、魔方、九连环为例，谈谈在益智游戏中提升小学生数学素养的措施。
2.1 数独数独与数字有关，能显著提高学生对数字的敏感度，即数感。
数感是数学十大核心概念之一。
此外，数独还包含一种重要的数学思想——推理，推理是数学三大核心思想之一。
数独能培养学生的观察能力、反应能力及推理能力。
魔方的教育意义
魔方的教育意义
魔方作为一种智力玩具，具有多方面的教育意义。
以下是其主要的一些方面：
1. 锻炼手眼脑协调能力：魔方的还原需要精确的手指运动，同时需要观察颜色和形状的变化，以及理解和执行还原的步骤，这有助于提高手眼脑的协调能力。
2. 培养空间思维能力：魔方的还原需要理解空间结构和旋转，这有助于培养孩子的空间思维能力。
3. 提高解决问题的能力：魔方的还原需要理解和应用算法，尝试不同的组合和步骤，最终找到正确的方法解决问题，这有助于提高孩子解决问题的能力。
4. 增强耐心和毅力：魔方的还原可能需要花费很长时间，而且有时候可能会遇到困难和挫折，需要孩子保持耐心和坚持，这有助于培养他们的耐心和毅力。
5. 促进数学学习兴趣：魔方作为一种数学教具，可以用于教授数学中的一些概念，如颜色变化、排列组合、矩阵变换等，让孩子在游戏中学习数学，提高数学学习的兴趣。
因此，魔方在教育上具有重要意义，能够促进孩子多方面的智力发展。
魔方和数学的关系
魔方和数学的关系魔方和数学之间有着密切的关系，无论是在魔方的设计、解法还是研究过程中，都离不开数学的应用和原理。
下面将从魔方的构造、算法与数学模型等方面来探讨魔方与数学之间的关系。
首先，我们可以从魔方的构造上看到数学的影子。
魔方是由3x3个小块组成的，每个小块都有自己的位置和颜色。
在解魔方的过程中，我们必须掌握小块之间的相对位置关系，这就涉及到判断小块的移动和归位。
数学中有一个概念叫做置换群，它是由一组元素和一种二元运算组成的代数结构。
通过对魔方的小块进行置换操作，我们可以构建一个置换群，其应用数学运算的方式正是魔方的移动和归位过程。
其次，魔方的解法也是建立在数学算法的基础上。
解魔方是一项极富挑战性的任务，需要灵活的思维和有效的算法。
魔方的解法方法有很多，其中应用最广泛的是CFOP法和Roux法。
CFOP法是一种基于层次法的解法，其中包含了四个主要的步骤：交叉、F2L、OLL和PLL。
在这个过程中，数学的思维方式起到了至关重要的作用。
例如，在F2L的过程中，我们需要将四个角块和四个棱块放到魔方的顶层，这就需要根据小块的位置和移动方式进行数学推理和判断。
另外一种常见的解法方法是Roux法，它与CFOP法不同，采用的是块建解法。
在Roux法中，我们将魔方分为左右两块和前后两块，通过挖掉一部分角块和棱块，将魔方的解法简化为一系列块的归位和拼接。
这个过程中，依然需要数学的推理和计算能力。
例如，我们需要根据魔方的状态和置换群的性质，寻找最优的转动方法和归位序列。
除了解法过程，魔方的研究也需要借助数学的帮助。
在魔方的复原和研究过程中，我们需要掌握魔方的结构、性质和变换方式。
这些都需要数学的分析和抽象能力。
例如，利用群论的知识，可以将魔方的状态和置换操作进行抽象和分类，进而研究其组合和结构特征。
另外，运用数论的知识，还可以研究魔方的打乱和还原序列以及最短还原路径等问题。
综上所述，魔方和数学之间存在着密不可分的关系。
幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏
幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏在幼儿园的数学教育中，如何培养孩子对于数学的兴趣和理解是一个非常重要的课题。
而数学魔方教案和趣味数学游戏则成为了一种受欢迎的教学方法。
本文将深入探讨幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏的教学实践和效果。
1. 数学魔方教案在幼儿园的数学教育中，数学魔方教案作为一种新颖的教学方式，受到了越来越多老师和家长的关注。
数学魔方教案通过让孩子们在游戏中学习，培养他们的逻辑思维和数学能力。
通过魔方拼图游戏，可以锻炼孩子的观察力和逻辑思维能力，提高他们的数字认知和计算能力。
而且，数学魔方教案的形式多样，可以根据孩子的兴趣和特点进行设计，让他们在愉快的氛围中学习数学知识。
2. 趣味数学游戏除了数学魔方教案，趣味数学游戏也是幼儿园数学教育中的重要组成部分。
在幼儿园教学中，以趣味游戏为载体，让孩子们在玩中学，实现了“轻松愉快”的数学教育效果。
通过数学角色扮演游戏，孩子们可以在互动中学会基本的数学概念和运算方法，比如加减乘除，图形和数量的概念等。
这些趣味数学游戏可以促进孩子们对数学的兴趣，培养他们的数学思维和创造力，让他们在快乐中掌握数学知识。
3. 观点与理解在我看来，幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏在数学教育中起到了非常重要的作用。
这种教学方式既符合幼儿的认知特点，又能够激发他们对数学的兴趣和学习动力。
通过这些教案和游戏，孩子们不仅能够学会数学知识，而且还能够培养他们的逻辑思维、数学思维和合作精神。
我认为幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏是一种非常有效的教学方式，值得在幼儿园的数学教育中推广应用。
通过本文的深入探讨，相信读者对幼儿园中班数学魔方教案与趣味数学游戏有了更全面、深刻和灵活的理解。
希望本文能够为幼儿园教师和家长提供一些参考和启发，促进他们在数学教育中探索更多的有效教学方法，为孩子们的数学学习打下坚实的基础。
一、利用数学魔方教案培养孩子的数学能力在幼儿园中班数学教育中，数学魔方教案是一个非常受欢迎的教学方式。
浅谈魔方中的数学思想
浅谈魔方中的数学思想学生姓名：之花127一、引言魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年发明的教学道具.这种方魔(Rubik’s cube)是由333⨯⨯个块方的成组, 个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(还原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比如变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.二、魔方的基础知识（一）魔方的历史与结构生活中人们所常见的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由333⨯⨯个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的发展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’s cube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成部分具有良好的旋转性是基本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.1.阶从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方发明人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,222⨯⨯(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,333⨯⨯魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.2.轴中心块棱块角块如图1所示，在拆开三阶立方体魔方后,可以观察到它的内部构造.一个以可各向方动转的项六头接在处的魔方的心中.其上个六头接是即方魔的轴.一个块方分别用螺丝、垫片、弹簧固定在每个接头,这个方块称为中心块.所以从内部构造的度角阶三方魔被也作称阶三轴六魔方.六个中心块被固定在魔方的六个轴上,而同一面上的四个中心块可以绕垂直或.所以中心块之间的相互位置不会在转魔方过程于这个面的两个轴旋转90180中改变.综上,块心中的色颜以可定确它面在所的色颜,这就示表在面该它其块方的色颜的断判上以应块心中的色颜为准基.图1实际上,魔方是由333126⨯⨯-=个方块（除去中心的一块）组成.除了以上所说的6个中心块以外,其它20个方块中:12个方块是两个面涂有颜色,它们的正确位置和朝向将由两个中心块决定,称之为棱块;8个方块有三个面涂有颜色(以下把涂有颜色的面称为有色面),它们的正确位置和朝向由三个中心块决定,称之为角块.如图1在计设上块棱和块角都有具出突的脚小,块棱的侧两有都装弧的口缺,这些脚小和口缺与都块心中扣紧在一起.这样棱块和角块就能够随着所在层的转动而向各个方向转动,并且紧扣在中心块上而不会在转动时从魔方上脱落. （二）魔方的玩法魔方的作操,即针时顺或针时逆动转魔方的某层一或层两90,180,270,360.作操单简得使玩方魔起来看易容.不过玩过的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要记忆一些步骤.对大部分人来说初始接触的魔方都是三阶魔方,它有正方体的外形,6个面上都有9个有色块.大体上而言使每个面的有色块的颜色都相同是玩魔方的游戏目标,也就是还原魔方.自然的,各个有色块是组成魔方的方块的一部分.实际操作魔方,即转动魔方的过程中,方块之间能够互换位置或者方块自身会变换朝向.事实上,Rubik教授在制造出世界上第一个魔方后随意转动之后想要还原魔方就花费了三个多月的时间.还原魔方的困难之处就在于:移动一个方块时伴随着其它多个方块的移动(中心块除外).在还原的初始阶也许这构不成较大的困难，然而随着多数方块达到正确的位置,这时新的转动必然会使这些方块离开正确的位置,如何在转动中不断还原已完成好的部分是个难题.在学数的域领就应对着有元限的换变和逆换变问题.今当的方魔是一种不仅闲休的力智具玩,玩方魔更展发为成了技竞动运.为作技竞动运的魔方法玩富丰样多.种各魔方玩的界世录记不断被新刷,如快最原还魔方录记者持保为生出于亚利澳大岁18Feliks Zemdegs,他的最快记录为6.77秒(2010年).魔方的种类除了传播最早的魔方(Rubik’s cude)也可以称作三阶立方体魔方,相继还有二阶、四阶、五阶等多种阶数的立方体魔方, 前目络网上些一魔方者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立魔方.除体方立魔方外之有还它其体面多魔方和型异魔方.魔方的数轴、向轴、数阶、状形在魔方者好爱断不试尝与造创中得变富丰彩多.三、魔方中的数学思想（一）排列组合的思想“意随的动转魔方使魔方的面个六原还能可吗?”通过魔方旋转其上的色块一共可以组合出多少种图案,利用组合的数学思想,我们可以得到魔方可以变换8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种案图.首先,易容到想果如动不转魔方层间中,魔方的个六块心中的置位会不变改,相对的旋转上下两层相当于旋转中间层.通过这种方式可以固定魔方的空间位置,即立建一个间空系标坐.其次,在这个系标坐中8个块角的置位全列排为8!,又因为每个角块有3三个有色面,所以角块所有的图案组合为88!3⨯中.同理,魔方上的棱块有12个,每个棱块有2个有色面,棱块全部图案有1212!2⨯个.再次,魔方上不存在以下的操作结果:只有一个角块或一个棱块的有色面变换了朝向,只有一对角块或者一对棱块相互交换了位置.所以除以322⨯⨯.最后得到以上结果.如果人的平均寿命为100年每秒转动魔方3下,除去重复的图案,每个人吃饭睡觉都在转,46亿人经过4542亿年时间就可以转出所有不同的图案.所以通过随意转魔方而还原魔方有人可能终其一生都无法完成.“拆开重新组装的魔方一定正确吗?”首先,6个中心块固定在魔方中心的六个接头上.其次,剩下的20个方块有:8个角块和12个棱块.8个角块的位置,以及每个角块有3个有色面,一共有88!3⨯种安装角块的方式.同理,共有1212!2⨯种安插12个棱块的方法.魔方有8128!312!2519,024,039,293,878,272,000⨯⨯⨯=种组装方法.相对于魔方转动变换出的图案种类魔方组装的图案要多很多.对比上文可以得到正确组装一个魔方的概率为112.可以想到,在复原魔方的过程中试图通过拆卸魔方方块而简化复原步骤的办法是不可行的.（二）群论的思想1.魔方中的对称生活中,几何体的镜面对称(关于某个平面的对称)是很常见的,魔方的结构也体现了这种对称性.然而,对称的含义远远超出了镜面对称,需要用到群论的思想作为研究的工具.关于面平称对,若一个体何几被某面平成劈分部两,其中任一分部都是另一分部于关给所面平的面镜像映,则该体何几关于面平称对,即该体何几成面镜称对.关于线直称对,若一个体何几上的点每于关线直的点称对在该体何几上,则个这体何几关于该直线对称,即这条直线是该几何体的二阶对称轴.反过来讲,如果一个几何体具有二阶对称轴,那么该几何体围绕轴转3602后与本身重合.类似的,若几何体围绕一条直线旋转360n后与本身重合,则这条直线称为该几何体的n 阶对称轴.关于点称对,即心中称对,若段线AB的点中点为O,则点段,A B于关点O成心中称对.如果某体何几上的每点一个都以可在该体何几上找到于关给点定O成心中称对的点,那么就称该体何几关点于O称对.如图2体方正有具4阶轴称对(如图2()a)、2阶轴称对(如图2()b)、3阶轴称对(如图2()c),同时正方体关于中心(即正方体体对角线的交点)点对称.三阶魔方的外形正是这种具有仅次于球体的对称性质的正方体.图22.魔方中的变换魔方的变换为旋转魔方是方块位置的变换,而在立体空间中,平移、旋转和镜面映像为三种不改变几何体大小的空间运动.在空间中任取一直线a,若空间中点P与点Q关于直线相互对应,则点Q或点P绕轴a转一个确定的角度ϕ后与另一个相重合.所以间空换变转旋是一一应对的换变.同时,在转旋化变中持保了转旋点的轴到离距不变.设合集M,P是M的一个集子,A为M的一个换变,若集子P中每点一个的在换变A用作为仍下的P中点.则集子P是变不的或称对的,或者说换变A画刻了集子P的称对性.设()S P为集合M中保持P不变的所有变换的集合,则()S P满足以下的性质:①()S P给定S P中任意两个元素依次作用于P后依然保持P不变,即在()运算顺序后,()S P的该运算满足封闭率;②()S P中该运算满足结合律;③()S P含S P中必有含等恒换变,有意任素元与等恒换变运作持保变不,则()有位单元;④对()S P中必有一个元素y,使之与x运算后为恒等S P中任一元素x,()变换,则x为y的逆元.3.群的一般概念设空非合集G 中定规一个算运“”,若该算运足满下以的个四质性, 群就为说{;}G .① 封闭律,,,a b G a b G ∀∈∈;② 结合律,,,,()a b c G a b c a b c ∀∈=;③ 单位元,,,,e G a G e a a e a e ∃∈∀∈==使有称为单位元;④ 逆元律,a G b G,b a=a b=e,b a ∀∈∃∈，使称为的逆元.据此上文所描述的对称的变换的全体在规定运算后构成一个群,则称该群为对称变换群.通过构建对称变换群的形式来研究几何体的对称性是有效的,例如：三阶魔方的外形是正六面体,因此正六面体对称群成为了魔方的变换研究方面的数学依托.4.魔方群构造魔方有上种六色颜和类三块方, 块角有3个面色有,3个面色有着随块角的动转而换互置位,每交换一次要动转120,此为3阶对称轴的性质,棱块有2个有色面,每交换一次转动180,这是2阶对称轴的性质.一般的以可用字数来1,2,,n 表代量变12,n x x x ,从而可以用数字的置换代替变量12,n x x x 的置换.如正三角形的称对换变用可字数1,2,3的换置表示:123,123I ⎛⎫= ⎪⎝⎭123123123123,,,132321213r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12123123,,231312ρρ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三角正形的称对换变为群{}612312,,,,,S I r r r ρρ=.若把魔方每一个有色面用数字标记出来(中心块除外),则有48个有色面被标记.如果任何两个有色块能够相互调换位置,则48个有色面的置换的数目就是48!.称这些换置的体全为48次换置群,作记48S .到得可:面六正体的称对群是48S ,则面六正体的称对群的阶为48!.魔方换变的体全为称群方魔(下文证明）.群方魔是48S 群子的一个.原因于在魔方在上块角能只与块角生发置位的换互,不能与块棱进行置位换互,同样块棱也只可以和块棱行进换互位置.3图例如, 顺时针把图3中的1,2,3,4所在面转动90时,就会得到如下置换:12345678123240202113263419113139,,,,41238567201232403421132639191131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1234用示来表魔方面色有1,2,3,4动转90的换置,则()()()()()12345678123240202113263419113139,a = 自然地,可以写出其它5个面上顺时针旋转90置换:()()()()()910111213141516244427718463214529219,b =()()()()()171819202122232491394814633431243845,c =()()()()()29303132252627281232402046373114135816,d =()()()()()3738394033343536482033042225254717331,e =()()()()()454647484142434417929372315283618103038,f = 可以得到, 群方魔由是a 、b 、c 、d 、e 、f 六个换置在48S 群子中成生的.由一个素元A 成生的群称为群环循.形如,,,,E A AA 111,,.A A A ---的素元成构群环循.这些素元为称A 的幂方,即0,E A =1,A A =2,.AA A =魔方变换112344123A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,3,4表示有色块旋转90,212343412A ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示转动为180,22111A A A A ==则有.2341111,,,A A A A 用分别1,2,3,4表示旋转90,180,270,360.上述的六个置换,,,,,a b c d e f 可生成群,,,,,M a b c d e f =,M 就是魔方群.即M 中含有所有的魔方变换.不难想到, 原还魔方的程过使魔方从始初态状,过经干若后的魔方换变,到回始初态状的程过中体现了魔方变换的循环以及魔方变换的逆变换.魔方变换都可以多次重复操作中实现魔方状态的循环.例如,如图5中所示魔方依次完成图中所示的旋转可以现实魔方一层点顶、小弯拐、字一、字十的案图循环.4图5.魔方群性质魔方是由26个方块组成的立方体.6在魔方的个面上每个面有9个有色面,共6954⨯=个有色面.26而魔方的个方块中,3有个有色面的是角块,2有个有色面的是边块,1只有个有色面的是中心块.8魔方共有个角块,126个棱块和个中心块.一个简单的事实是:魔方中间层不进行旋转时,6魔方的个中心块的位置是不变的.因此,中心块可以代表它所在的面,这也建立了一个固定的参考系.图5一般地,魔方还原步骤使用一套公式体系来表示魔方变换的基本操作.首先,6魔方有个面:前、后、上、下、左、右,分别对应字母F B D U L R 、、、、、.应90用这些字母来表示其对应面顺时针旋转的操作(顺时针是魔方在操作者的面前的顺时针方向).6如图,U 展示魔方上操作的方式.图6根据以上的描述中心块建立了一个固定的参考系,如果用,,,,,u d f b l r 表示对应面的中心块,则角块可以用xyz 表示其方位,其含义为:位于x 面y 面z 面相交处的方块.如ufl 表示u (上)面f (前)面l (左)面相交的方块.类似地,用xy 表示棱块,含义为:x 面y 面相交处的边块.()()db d b 如表示下面后面相交的方块.若魔方的变换合成运算顺序是从左到有的.{}12,,,,,,,M M U D F B L R ∀∈即12,M M 表示先操作1M 2M 在操作.如RU 如表示先旋转R ,U 在旋转.用c 表示魔方状态,即各方块和有色面的方位,用()M c 表示魔方在状态c 经过M 操作后所生成的新状态.同时,合成运算是从左向右的,有()()()()1221M M c M M c =.定理1 魔方的全部旋转变换的集合,规定合成作为运算,构成一个群,称为魔方群.证明 ,,,,,G U D F B L R =设是魔方全部旋转变换的集合.G 中的任何元素都能够表示为若干基本旋转的合成,则G 中任意两个元素的合成仍然是有限个基本宣战的合成.所以G 中的合成运算满足封闭律.用c 表示魔方状态,则123,,,M M M G ∀∈有:()()()()()()()()()()()()()()()()()()123312321123231321M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c ====c 因为为魔方的任意状态,()()123123M M M M M M =得到,所以运算满足结合律. c 若魔方状态转动M 的作用下不发生改变,M 则是单位转动,故单位元存在. 若12n M M M M =为生成元的乘积{}{},,,,,,1,2,,i M U D F B L R i n ∈∈,则111121n M M M M ----=所以逆元律成立.所以,,,,,,G U D F B L R =是一个群,称为魔方群.同时魔方群G 的生成元可以用有色面的置换来表示,,,,,,G a b c d e f =即. ⑴交换性1引理 n S 中的不相交循环是可交换的.2引理 n S 中的所有置换都是一系列不相交循环的乘积.定理2 n S 中的不相交置换是可交换的.证明 设,f g 是n S 中不相交的置换.2根据引理1212,n m f f f f g g g g ==， i f 和i g 为互不相交的循环,{}{}1,2,,,1,2,,i n j m ==.1根据引理可知这些循环是可交换的,所以有12121212n m m n f g f f f g g g g g g f f f g f ===,证毕. 推论1 魔方群的对面旋转是可交换的.证明 魔方群,,,,,G D F B L R =中,相对面旋转变换是不相交的.根据定理2,相对面的旋转变换是可交换的,则有,,UD DU FB BF LR RL ===.⑵作用 传递性 轨道用*F 表示魔方的有色面的集合,*B 表示魔方的方块的集合,F E 表示魔方棱块上的有色面的集合,F V 表示魔方角块上的有色面集合,B E 表示魔方上棱块集合,B V ,,:表示魔方上角块的集合显然有**,,F F F F B B B B F E V E V B E V E V ==∅==∅定理3 魔方群G 分别作用在*F 和*B 上.证明 魔方群,,,,,G U D F B L R =,有:()()****,,G F F M G c F M c M c F ⨯→∀∈∈=∈,即,其中,c 表示魔方上有色面的的方位.若魔方状态c 转动0M 的作用下不发生改变,则()()00M c M c c ==; 12,,M M G ∀∈有:()()()()1221M M c M M c =.魔方群G 作用在*F 上同理可以证明魔方群G 作用在*B 上.推论2 魔方群G 分别作用在F E 、F V 、B E 、B V 上.定理4 魔方群G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的作用是传递的.证明 以魔方前面左下方的角块为例,用dfl 表示.操作旋转:1M FFFDBBBD -=,后dfl 角块将沿着转动的路径通过全部角块的位置,最终返回起始点.因此B V 中随意在的两个元素G 的作用下都可以完成传递,因此G 在B V 上的作用是传递的.同,样的可以证明G 在F E 、F V 、B E 上的作用是传递的.魔方群G 在*F 和*B 上的作用是不传递的.因为角块不能传递到棱块的位置,角块上的有色面也不能传递到棱块上面,反之亦然.引理3 X 的子集是一个传递的G 集合当且仅当它是一个轨道.引理4 任何一个G 集合X 可唯一的划分为传递G 集合的并.推论3 魔方群G 在*F :上有两个轨道F E 和F V ,在*B :上有两个轨道B E 和B V . ⑶共轭 换位子魔方的还原是一个复杂的旋转操作过程,因为需要到数目较多的置换合成.若没有计划的随意乱转,一定会把魔方状态便得更加复杂.一下描述共轭和换位子在魔方还原中的作用.4引理 {}()()()(),,,1,2,,,,.h n g h S i j n g i j g h i h j ∈∈==若共轭在魔方还原中是一种常见的手法.引理4说明g 把i 映射到j ,则g 的共轭h g 把()h i 映射到()h j .这种性质在魔方还原中有重要的应用.5定理 n S 中两个元素有相同的轮换结构,则它们相互共轭.4推论 魔方群G 中的生成元U ,D ,F ,B ,L ,P 相互共轭.在论群中, 子位换是以可来用量衡合集素元的性换交, 来起看与方魔原还有没点一系关,事实上,换位子在魔方还原中反而起着简化还原步骤的作用.根据上文每个旋转作用是由5个长度为4的不相的交循环合成的.在还原魔方时,每旋转一次,就有5420⨯=个有色面重新排列,因此在无规律的连续旋转后的魔方状态会十分混乱,人们希望尽可能的保持已经还原的部分不变,在这方面换位子的重要性就显现出来了.魔方群中换位子定义的实际操作构成,假设g 和h 是魔方相邻两面的旋转,[]11,g h ghg h --=表示在转动gh 之后再旋转11g h --,最后因为g 和h 旋转而改变的部分方块或有色面可以复原到旋转之前.从而换位子简化了魔方的还原过程.在实践中可以验证:[]2.g h 可以交换3个棱块的位置而不改变角块的位置；[]3.g h 交换2对角块的位置而不改变棱块的位置.一下给出魔方实际操作中的例子: []()[]()()23,,,U F uf ur fl U F ufl fdl fur ubr ==.同时还有比较复杂的换位子的例子,如包含共轭的复合换位子:()()()112,,,,B F R L urf ufl ulb F D U urf ubr ufl ulb --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、小结本文概述方魔中的学数想思.运用论群和组合学数的法方想思以可到得下以论结: 方魔可出转8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种同不的案图;在6种本基换变F ,B ,D ,U ,L ,R 的础基上可以造构群方魔,,,,,G U D F B L R =;且群方魔G 中的元成生F ,B ,D ,U ,L ,R 互相扼共;如果用*F 表示方魔的面色有合集,*B 表示方魔的块方合集,F E 表示方魔块棱上的面色有合集,F V 表示方魔块角上的面色有合集,B E 表示方魔上块棱合集,B V 表示方魔上块角合集.则有: 群方魔G 别分用作在*F 和*B 上; 群方魔G 别分用作在F E 、F V 、B E 、B V 上; 群方魔G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的用作是的递传; 群方魔G 在*F 和*B 上的用作是不递传的;群方魔G 在*F 上有个两道轨:F E 和F V ;在*B 有上个两道轨:B E 和B V .。
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魔方与数学相融合提升数学核心素养
作者：马伟芬徐美华
来源：《江苏科技报·E教中国》2018年第01期
一、问题的提出
2014年9月，望亭中心小学的一批年轻数学老师经过一系列摸索和探索之后，在六年级组建了第一个魔方社团。
开设魔方社团，旨在培养学生的动手能力和空间思维能力，丰富学生的课余生活。
2015年至今，魔方社团的规模已全面扩大，从原来的一个社团发展到如今的5个社团，孩子们在魔方的益智世界中收获了快乐。
此后，我们在三、四年级也全面进行了魔方社团建设，每周开设一节魔方课。
为了给玩转魔方的学生提供一个展示自我的舞台，2015年1月，我校开展了“第一届魔方大赛”活动。
在活动中，魔方小队的成员们小露了一把手，“魔方”两个字印入了望小每个孩子的心中，掀起了玩转魔方的热潮。
自此，学校每年都会定期举办形式多样的魔方大赛，至今已经举办了六届。
在学生学习魔方的过程中，有老师提议：能不能把魔方与数学学科教学相结合，让学生因魔方而爱上数学，因趣而学，学而生乐，以乐立志？
张景中先生在《好玩的数学》丛书序言中写道：“在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。
”由于缺乏对数学内涵的挖掘，很多人对魔方爱不释手，却根本意识不到自己是在玩数学。
事实上，魔方与数学的关系是非常密切的。
魔方不仅是益智玩具，也是一种教学用具，是一个可以变化的空间立体图形，能使小学生形成空间与图形的概念，并对一些数学概念产生直观的理解，方便数学学习。
因此，我们决定成立魔方工作室，对魔方和数学学科的融合教学进行研究。
二、我们的实践
1.魔方引入激兴趣
小学生正处于好奇心比较强的阶段，他们很容易被新鲜事物所吸引，注意力集中的时间也不长，传统的“讲解—做题—讲解”教学模式已不足以引起他们的兴趣，开小差的学生此消彼长。
为了迎合学生的这一心理特点，课前，我们应找到一个好的切入点来渗透主题。
比如，用魔方引入新的课题，让学生带着浓厚的兴趣积极思考，寻求新的知识点。
2.魔方教学明数理
在长方形和正方形的面积计算中，各组学生分别拿出了准备好的五阶魔方。
在魔方的某一面上，上面三层一种颜色，下面两层一种颜色。
老师提问：“仔细观察这一面，你们发现了什么？如果这里每个小正方形的边长表示1厘米，你们又能得到什么信息？”学生们集中注意
力，通过观察，由魔方中每个小正方形的面积推算出魔方上两个长方形的面积，由此得出长方形的面积计算公式。
学生利用魔方转出一个新的长方形进行验证，加深了对公式的记忆。
3.魔方练习促思维
《新课程标准》明确要求低年级学生“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法”。
学生要想掌握最基本的技能，就需要教师在小学阶段训练好他们的计算能力，为其今后的学习打好基础。
为了激发学生对口算的兴趣，我们可以利用魔方这一载体来实现日常的乘除法口算练习。
该想法来源于保其寿先生的“立体幻方”，他的“立体幻方”可以用以下几句话概括：“8子作24子用，每面4子和各18。
”（如下图）
意思是，1～8这8个数当作24个数来用，每个顶点连接的3个面上的数字相同，每一个面有4个不同的数，且这4个数之和都是18。
除此之外，保其寿先生的“立体幻方”还有一个特殊的规律，那就是每两个对角的数字之差都是4（1和5，2和6，3和7，4和8）。
不得不说，这个“立体幻方”很让人惊叹。
于是，我们想用“立体幻方”来帮助学生练习表内乘除法的计算。
但表内乘除法是1～9的计算，而保其寿先生的“立体幻方”只有1～8。
思来想去，在不可兼得的情况下，我们决定将保其寿先生的“立体幻方”稍作改动，将其每一个数字增加1。
考虑到学生对有关1的乘除法计算掌握情况较好，因此，即便缺少了数字1，也不会造成学生计算能力方面的缺陷。
三、结束语
数学是什么？在不少学生眼中，学数学是做题目，这就不可避免地对数学产生偏见。
殊不知，儿童的生活中有丰富的数学资源，魔方就是其中一种。
素养的形成，是一个熏陶的过程，将数学的研究方式与儿童游戏进行融合，让儿童在游戏中思考，在思考中游戏。