专题08 平面向量-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(原卷版)

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2021年高考数学理试题分类汇编：平面向量(含答案)

2021年高考数学理试题分类汇编平面向量一、选择题1、〔2021年北京高考〕设a ，b 是向量，那么“||||a b =〞是“||||a b a b +=-〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D2、〔2021年山东高考〕非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.假设n ⊥〔t m +n 〕，那么实数t 的值为〔A 〕4〔B 〕–4 〔C 〕94 〔D 〕–94 【答案】B3、〔2021年四川高考〕在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，那么2BM 的最大值是〔A 〕434 〔B 〕494〔C 〕374+ 〔D 〕374+ 【答案】B4、〔2021年天津高考〕△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，那么AF BC 的值为〔〕〔A 〕85-〔B 〕81 〔C 〕41 〔D 〕811【答案】B 5、〔2021年全国II 高考〕向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，那么m =〔〕〔A 〕－8 〔B 〕－6 〔C 〕6 〔D 〕8【答案】D6、〔2021年全国III 高考〕向量1(2BA = ,31(),22BC = 那么∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、〔2021年上海高考〕在平面直角坐标系中，A 〔1,0〕，B 〔0，-1〕，P 是曲线21x y -=上一个动点，那么BA BP ⋅的取值范围是 .【答案】[0,12]+2、〔2021年上海高考〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，那么点P 落在第一象限的概率是.【答案】5283、〔2021年全国I 高考〕设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m = .【答案】2-4、〔2021年浙江高考〕向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，假设对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,那么a ·b 的最大值是．【答案】125、(2021江苏省高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，那么BE CE ⋅ 的值是 ▲ .7【答案】8。

平面向量-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题可知，，则，或 .又，延长交于点，所以 .因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为 .
13．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）
A． B． C． D．
B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；
C中，向量与共线，说明与方向相同或相反，与不一定相等，所以C中命题不正确；
D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.
18．（多选题）（2020·全国高三其他）已知，如下四个结论正确的是（）
A．；B．四边形为平行四边形；
C．与夹】由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
19．（多选题）（2020·全国高三其他）已知向量，，则（）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
17．（多选题）（2019·全国高一单元测试）下列命题中不正确的是（）
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与共线，则A、B、C、D 四点共线
C．若非零向量与共线，则
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有
【答案】ABC
【解析】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是上一点，且，

专题08 平面向量-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(解析版)

2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）专题08 平面向量姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题（共10小题）1.（2020•乐山模拟）如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45C．D．【解答】解：由题意得，函数f（x）的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，则，因为，故，故＝＝．故选：D．【知识点】平面向量的综合题、正弦函数的图象2.（2019•怀化一模）已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A＝120°，，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，∵∠A＝120°，，则根据向量的数量积的定义可得，设∴即xy＝4＝＝x2+y2≥2xy＝8（当且仅当x＝y取等号）∴即的最小值为故选：C．【知识点】平面向量的综合题3.（2020•漳州模拟）已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）【解答】解：因为|+|＝||＝4，所以AB＝4，又因为E为斜边AB中点，所以CE＝AE＝BE＝2，由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设．当D与E重合时，＝2×2cosθ＝4，符合题意；当D与A重合时，∠BDC＝θ，CD＝4cosθ，代入＝4，得2×4cosθ•cosθ＝4，此时θ＝．故θ∈[0，]．此时由＝4，得2CD cosθ＝4，即CD＝，结合θ∈[0，]．可得．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.（2020•一卷模拟）在△OAB中，已知，∠AOB＝45°，点P满足（λ，µ∈R），其中2λ+µ＝3满足，则||的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为，∠AOB＝45°，所以，所以＝λ+μ（）＝（λ+μ）+μ，则||2＝（λ+μ）2+μ2＝（3﹣λ）2+（3﹣2λ）2＝5λ2﹣18λ+18，所以当时，||2取最小值，则||的最小值为，故选：A．【知识点】平面向量的基本定理5.（2020•浙江模拟）已知，则的取值范围是（）A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：选择合适的基底．设，则，，∴（﹣）2＝﹣•+≤8+||2＝2＝4，所以可得：＝，配方可得，所以，则[0，2]．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算6.（2019•红桥区二模）已知点M是△ABC所在平面内一点，满足＝+，则△ABM与△BCM的面积之比为（）A．B．C．3D．【解答】解：如图所示，过点M作EF∥AC．∵＝+，∴＝，＝．∴＝3．∴△ABM与△BCM的面积之比＝＝3．故选：C．【知识点】向量数乘和线性运算7.（2019•吉安一模）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ•，（λ∈R），则λ＝（）A．B．C．D．5【解答】解：如图，∵；∴＝；∵E、M、F三点共线；∴2λ+3λ＝1；∴．故选：B．【知识点】平行向量（共线）8.（2019•江岸区校级模拟）过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若＝恒成立，则点M是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心【解答】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|＝0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．故选：B．【知识点】向量的加法9.（2019•天津二模）如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，＝3，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，＝3，可得＝﹣，＝，＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝2﹣2＝﹣1＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算10.（2019•郑州一模）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．【知识点】平面向量的基本定理二、填空题（共8小题）11.（2020•上城区校级模拟）设点P是△ABC所在平面内动点，P不在BC上，满足＝λ+μ，3λ+4μ＝2（λ，μ∈R），||＝||＝||，若|AB|＝3，则△ABC的面积最大值是．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1.5，0），B（1.5，0），外心P（0，p），C（x，y），由||＝||＝||，可得1.52+p2＝x2+（y﹣p）2，化为x2+y2﹣2py＝2.25，＝λ+μ，可得（﹣x，p﹣y）＝λ（﹣1.5﹣x，﹣y）+μ（1.5﹣x，﹣y），即为﹣x＝λ（﹣1.5﹣x）+μ（1.5﹣x），p﹣y＝﹣λy﹣μy，可得3λ＝1.5﹣+，4μ＝2﹣﹣，由3λ+4μ＝2，可得4.5y﹣10.5p﹣px＝0，即p＝，代入x2+y2﹣2py＝2.25，可得y2＝，可令t＝3+2x，则y2＝≤＝36，可得y的最大值为6，则C到AB的距离的最大值为6，则△ABC的面积的最大值为×3×6＝9．故答案为：9．【知识点】平面向量的基本定理12.（2020•江苏模拟）在△ABC中，D为AC的中点，若cos∠DBC＝，cos∠DBA＝，且•＝2，则•的值为﹣．【解答】解：记AB＝c，AC＝b，BC＝a，则•＝cb cos∠BAC＝＝2，即b2＝4+a2﹣c2，因为D为AC的中点，所以S△DCB＝S△DBA，即＝，所以a＝，又由cos∠ABC＝cos（∠DBA+∠DBA）＝＝﹣＝，解得c2＝，则＝﹣ac＝﹣c2＝﹣，故答案为：﹣．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算13.（2019•天津模拟）如图，在△ABC中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为【解答】解：由题意及图，，又，∴，∴，又，∴，解得，．故答案为：．【知识点】平面向量的基本定理14.（2019•乐山三模）在△ABC中，AC＝6，BC＝7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．【解答】解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S＝AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cos A＝∴5AB2﹣12AB﹣65＝0∴AB＝5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r＝∴S＝AB×r＝＝．故答案为：．【知识点】平面向量的综合题15.（2019•东城区一模）已知向量＝，向量为单位向量，且•＝1，则2﹣与2夹角为．【解答】解：∵向量＝，向量为单位向量，且•＝1，设＝（cosθ，sinθ），∴•＝cosθ+sinθ＝2cos（θ﹣）＝1，∴可令θ＝，即＝（﹣，）．∵（2﹣）•2＝4﹣2•＝4﹣2＝2，2﹣＝（﹣2，0），2＝（﹣1，）设2﹣与2夹角为α，α∈[0°，60°]，则cosα＝＝＝，∴α＝60°，故答案为：60°．【知识点】数量积表示两个向量的夹角16.（2019•姜堰区校级模拟）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝﹣．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，∴，整理可得：am+bn＝．又＝（a﹣m，﹣n），＝（﹣m，b﹣n），∴＝m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4﹣＝﹣．故答案为：﹣．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算17.（2019•南通四模）如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点E为线段BC的中点．若＝（λ，μ∈R），则λμ的值为．【解答】解：如图建立直角坐标系：设AB＝BC＝t，则A（﹣t，0），C（0，t），E（0，），在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝90°，∴D（﹣t﹣t，t），由＝λ+μ得（t，t）＝λ（﹣t，t）+μ（t，），∴t＝﹣tλ+μt且t＝λt+，即﹣λ+μ＝1且λ+μ＝1，解得λ＝，μ＝，∴λμ＝＝．故答案为：．【知识点】平面向量的基本定理18.（2019•攀枝花一模）平面向量的夹角为60°，若，则＝．【解答】解：根据题意得，（﹣2）2＝2﹣4•+42＝1﹣4×+4＝3，故答案为：．【知识点】数量积表示两个向量的夹角三、解答题（共6小题）19.（2020•海安市模拟）在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（sin x，sin x），＝（cos x，sin x），x∈[0，π]．（1）若||＝||，求x的值；（2）求•的最大值及取得最大值时x的值．【解答】解：（1）∵＝（sin x，sin x），＝（cos x，sin x），∴＝3sin2x+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1；∵||＝||，∴|sin x|＝；∵x∈[0，π]．∴x＝或．（2）•＝sin x cos x+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+；∵x∈[0，π]．∴2x﹣∈[﹣，]，∴0≤sin（2x﹣）+≤；∴当2x﹣＝，即x＝时，•取最大值．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值、平面向量数量积的性质及其运算20.（2020•江苏一模）在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝＝．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算21.（2020•黄浦区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）若＝3，求△ABC的面积；（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围．【解答】解：（1）∵a cos C＝（2b﹣c）cos A，∴由正弦定理可得sin A cos C＝（2sin B﹣sin C）cos A，可得sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B＝2sin B cos A，∵B为三角形内角，sin B≠0，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，∵＝bc cos A＝bc＝3，可得bc＝6，∴S△ABC＝bc sin A＝＝．（2）∵∠B＜∠C，C＝﹣B，可得B∈（0，），∴2B+∈（，），∴cos（2B+）∈[﹣1，），∴2cos2B+cos2C＝1+cos2B+＝+cos2B+cos2（﹣B）＝+cos2B﹣cos2B﹣sin2B＝+cos（2B+）∈[，）．∴2cos2B+cos2C的取值范围[，）．【知识点】正弦定理、平面向量数量积的性质及其运算22.（2018•玉溪模拟）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．（1）若，求的值；（2）若角，求函数f（x）=的值域．【解答】解：（1）由可得，∴tanx=2．∴=sinxcosx+cos2x===．（2）∵角，函数f（x）==sinxcosx+cos2x=+=sin（2x+）+，∴2x+∈，sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[1，]，即f（x）的值域为[1，]．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示、平面向量数量积的性质及其运算23.（2018•西安二模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sin B（2cos2﹣1）＝﹣cos2B，∴2sin B cos B＝﹣cos2B，即sin2B＝﹣cos2B，∴tan2B＝﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B＝，则B＝；（Ⅱ）当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2﹣ac﹣4＝0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a＝c＝2时等号成立），∴S△ABC＝ac sin B＝ac≤（当且仅当a＝c＝2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…（12分）当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2+ac﹣4＝0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（2﹣）（当且仅当a＝c时等号成立），∴S△ABC＝ac sin B＝ac≤2﹣（当且仅当a＝c时等号成立），则S△ABC的最大值为2﹣．【知识点】三角函数中的恒等变换应用、平面向量共线（平行）的坐标表示、解三角形24.（2018•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．（1）若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长；（2）若，求角B的大小．【解答】解：（1）在△ADC中，因为，由余弦定理：．故在△ABC中，由余弦定理，得，所以．（2）因为AD为边BC上的中线，所以，所以＝，∴c＝b cos A．∴AB⊥BC，∴B＝90°．【知识点】余弦定理、平面向量的综合题。

2021年高考数学专题分类汇编：平面向量(含答案)

平面向量15．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立19．（2021•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k．若⊥，则k＝．29．（2021•浙江）已知平面向量，，（≠）满足||＝1，||＝2，•＝0，（﹣）•＝0．记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，﹣在方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值是．30．（2021•乙卷）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝．31．（2021•甲卷）若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝．32．（2021•乙卷）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．53．（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P55．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•15．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以与不共线，即②不成立．故选：B．29．（2021•浙江）已知平面向量，，（≠）满足||＝1，||＝2，•＝0，（﹣）•＝0．记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，﹣在方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值是．【解答】解：令，因为，故（1，−2）⋅（m，n）＝0，∴m−2n＝0，令，平面向量在，方向上的投影分别为x，y，设，则：，从而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化简得，当且仅当，即时取等号，故x2+y2+z2的最小值为．方法二：则x2+y2+z2表示空间中坐标原点到平面上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：．故答案为：．30．（2021•乙卷）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝．【解答】解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥，所以（﹣λ）•＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝．故答案为：．31．（2021•甲卷）若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝．【解答】解：由题意，可得，因为||＝3，•＝1，所以，所以．故答案为：．32．（2021•乙卷）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．【解答】解：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥，所以8﹣5λ＝0，解得λ＝．故答案为：．53．（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P【解答】解：对于A，当λ＝1时，＝+μ，即，所以，故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为，当点P在点C1处时，△AB1P的周长为，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当μ＝1时，，即，所以，故点P在线段B1C1上，因为B1C1∥平面A1BC，所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，又△A1BC的面积为定值，所以三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故选项B正确；对于C，当λ＝时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，因为，即，所以，则点P在线段M1M上，当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，又B1C1∩B1B＝B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；对于D，当μ＝时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，因为，即，所以，则点P在线的DD1上，当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE，A1E⊂平面A1BE，故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1，又AD1∩AB1＝A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以A1B⊥平面AB1D1，因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故选项D正确．故选：BD．55．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•【解答】解：∵P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），∴＝（cosα，sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），＝（cos（α+β），sin（α+β）），＝（1，0），，，则，，则||＝||，故A正确；＝＝，＝＝，||≠||，故B错误；＝1×cos（α+β）+0×sin（α+β）＝cos（α+β），＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β），∴•＝•，故C正确；＝1×cosα+0×sinα＝cosα，＝cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β+（α+β）]＝cos（α+2β），∴•≠•，故D错误．故选：AC．。

2021届新高考数学精选考点专项突破：平面向量【含答案解析】

2021届新高考数学精选考点专项突破平面向量一、单选题 1、若()1,1a =，3,1b ，则a 与b 的夹角为（）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒【答案】A【解析】设a 与b 的夹角为θ，则362cos cos(4530)cos154||||22a b a b θ+====-=，即15θ=. 故选：A.2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)a b c k ==-=，若()a b c -⊥，则k 的值是( ) A ．4 B ．-4 C ．2 D ．-2【答案】B【解析】()(1,2)(,2)404a b c k k k -⋅=⋅=+=⇒=-，故选B.3、已知平面向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃗⃗|=1则|a ⃗+2b ⃗⃗|=（） A ．2 B ．√7 C ．2√7 D ．2√3 【答案】D【解析】|a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗)2=√a ⃗2+4a ∙⃗⃗⃗⃗⃗b⃗⃗+4b ⃗⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3 ，故选D. 4、（2019年高考全国II 卷理数）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（）A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．5、（2018年高考北京卷理数）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6、设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(2,1)OC m m =+．若AB OC ∥，则实数m 的值为（）A ．15B ．35C ．3-D ．17-【答案】C【解析】因为//AB OC ，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.8、（2019年高考全国I 卷理数）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 9、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b aa b b -⋅+=+⋅-=-，即21113a b ⋅-=-，得1a b ⋅=-，则1cos 2a b a bθ⋅==-⋅，0θπ≤≤，23πθ∴=. 故选：C.10、（2020年高考全国III 卷理数）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （）A ． 3135- B ． 1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D ．11、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OA OB ==，3OC =，OC OB ⊥，OA <，30OC >=︒若OC xOA yOB =+，x y +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设(1,0)A ，13(,22B -，33(,22C ，则3313()(1,0)(22OC x y ==+-，所以132233x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=2x =，1y =，所以3x y +=，故选：C ．12、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC +C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【答案】D【解析】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D13、（2020年新高考全国Ⅰ卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（） A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4- D ．()4,6-【答案】A 【解析】如图，AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．14、在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+ B 31 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B. 15、已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（）A ．3B 3C ．6D ．23【答案】D【解析】由题意()(1,3v u u v =--=，则()3,3u v +=，3cos ,2u u v +=，得1sin ,2u u v +=，由定义知()1sin ,223232u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯= 故选:D.16、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知C ，D 是以AB 为直径的圆O 上的动点，且4AB =，则AC BD ⋅的最大值是（）A ．2B ．4543C ．22D ．34【答案】A【解析】如图，以圆心O 为原点，直径AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(20)(20)A B -，，，，设1122()(2222)C cos sin D cos sin θθθθ，，，， ∴()()1122AC 2cos 2,2sin ,BD 2cos 2,2sin θθθθ=+=-，∴()1AC BD 2cos 2(2cos ,2)4sin ,sin θθθθ⋅=+-+()()1212144441cos cos sin sin cos θθθθθ++-+＝(()14cos 4cos 1θθ+()1142cos 14cos 1θθ=++，1cos 1,2]t t θ+=∈，则222AC BD 4t 42t 4t 222⎛⎫⋅-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，即AC BD ⋅的最大值是2. 故选：A.17、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令ab mq np =-.下面说法错误的是A ．若a b 与共线，则0a b =B ．ab b a =C ．对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D ．2222()()ab a b a b +⋅=【答案】B【解析】若a 与b 共线，则有=mq-np=0a b ，故A 正确；因为，而=mq-np a b ，所以有ab b a ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nq λλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．二、多选题18、（2020年扬州期末）ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =，在下列命题中，是真命题的有( ) A ．若0a b >，则ABC ∆为锐角三角形 B ．若0a b =．则ABC ∆为直角三角形C ．若a b c b =，则ABC ∆为等腰三角形D ．若()()0a c b a b c +-+-=，则ABC ∆为直角三角形【答案】BCD【解析】：ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =①若0a b >，则BCA ∠是钝角，ABC ∆是钝角三角形，A 错误； ②若0a b =，则BC CA ⊥，ABC ∆为直角三角形，B 正确； ③若a b c b =，()0b a c -=，()0CA BC AB -=，()0CA BC BA +=，取AC 中点D ，则CA BD ，所以BA BC =，即ABC ∆为等腰三角形，C 正确，④若()()0a c b a b c +-+-=，则22()a c b =-，即2222b c a b c +-=，即222cos 2||||b c a A b c +-=-，由余弦定理可得：cos cos A A =-，即cos 0A =，即2A π=，即ABC ∆为直角三角形，即D 正确，综合①②③④可得：真命题的有BCD ，故选：BCD ．19、（2020年南通期末）在ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，若ABC ∆是直角三角形，则k 的值可以是（）A ．1-B ．113C 313+ D 313- 【答案】BCD【解析】：ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =， ①当90A ∠=︒时，0AB AC =，即2130k ⨯+=，解得23k =-；②当90B ∠=︒时，(1,3)BC AC AB k =-=--，且0AB BC =；即2(1)3(3)0k ⨯-+⨯-=，解得113k =； ③当90C ∠=︒时，0AC BC =，即1(3)0k k -+-=，整理得2310k k --=，解得313k +=313k -= 综上知，k 的取值为23-或113313±．故选：BCD ．20、（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量,,a b c ，下列说法中不正确．．．的是（） A ．若//a b 且//b c ，则//a cB ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ C ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c = D ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【答案】ACD【解析】对于A ，若0b =，因为0与任意向量平行，所以a 不一定与c 平行，故A 错；对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对；对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，()a b c ⋅⋅是以c 为方向的向量，()a b c ⋅⋅是以a 为方向的相量，故D 错．故选：ACD ．21、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BCD【解析】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),(,33E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，所以2313y y =-，解得：3y =即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(,33ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD22、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+C ．2133BF AB AD =-+D ．1263CF AB AD =-【答案】ABC【解析】∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++12AB AD AB =-++12AB AD =-+，A 对； ∵3BC EC =，∴23BE BC =1233AB AD =-+，∴AE AB BE =+1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2233AB AD =+，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =1133AB AD =+，B 对； ∴BF BA AF =+1133AB AB AD =-++2133AB AD =-+，C 对；∴CF CB BF =+BF BC =-2133AB AD =-+12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭1263AB AD =--，D 错；故选：ABC ．三、填空题23、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ______________. 3【解析】因为,a b 为单位向量，所以||||1==a b 所以()222||||2||221+=+=+⋅+=+⋅=a b a b a a b b a b ，解得：21⋅=-a b ，所以()222||||2||3-=-=-⋅+=a b a b a a b b324、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8a b -=则k 的值为_______. 【答案】67-【解析】()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-.25、（2020年高考全国II 卷理数）已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.2 【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 2． 26、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在ABC ∆中，已知D 是BC 边的中点，E 是线段AD 的中点若BE AB AC λμ=+，则λμ+的值为______. 【答案】12-；【解析】由题意，()1113221244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+， ∵BE AB AC λμ=+ ∴311442λμ+=-+=-．故答案为：12-． 27、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在ABC 中，已知,33A AB π==，若D为BC 中点，且72AD =，则AC AD ⋅=____.4【解析】2AB AC AD +=()222229349AB ACAB AB AC AC AC AC ∴+=+⋅+=++=，解得5AC =，()()2111135252222654AC AD AC AB AC AB AC AC ⎛⎫∴⋅=⋅+=⋅+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，故答案为：654. 28、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）在斜三角形ABC 中，6AC AB =，D 是BC 中点，E 在边AB 上，2AE BE =，AD 与CE 交与点O .若AB AC AO EC λ⋅=⋅，则λ=_____.【答案】152【解析】如下图所示，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ，则点F 为BE 的中点，2AE BE =，F 为BE 的中点，所以24AE BE EF ==，45AE AF ∴=， //CE DF ，45AO AE AD AF ∴==，()()44125525AO AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+， 23EC AC AE AC AB =-=-，所以，()()()2221232325315AO EC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=-+⋅222223215315AB AB AB AC AB AC ⎛⎫=⨯-+⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由215AB AC AO EC AB AC λλ⋅=⋅=⋅，解得152λ=.229、（2020年高考天津）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】(1). 16；(2).132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 四、解答题30、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量()()1,2,2,a b m =-= （1）若a b ⊥，求2a b +；（2）若0m =，求a b +与a b -夹角的余弦值. 【解析】因为a b ⊥，()()1,2,2,a b m =-= 所以0a b ⋅=，即220m -+= 解得1m =所以()()()21,24,23,4a b +=-+=222345a b +=+=（2）若0m =，则()2,0b = 所以(1,2)a b +=，-(3,2)a b =-5,a b +=，-13a b =，341a b ⋅=-+=所以65cos 513-a b a b a bθ⋅===⋅+31、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值.【解析】(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x ==所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+= 因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+3112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 32、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在边长为2的等边AOB ∆中，以O 为圆心、OA 为半径作弧AB ，点P 为弧AB 上一动点.求()OP OA OB ⋅+的取值范围.【解析】设AB 的中点为C ，则2OA OB OC +=，设OP 与OC 的夹角为θ，则06πθ≤≤，所以()22cos 22343OP OA OB OP OC OP OC θθθ⋅+=⋅=⋅=⨯=，因为06πθ≤≤，所以3cos 12θ≤≤，所以64343θ≤≤()OP OA OB ⋅+的取值范围为6,43⎡⎣.33、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin a αα=，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中02πα<<.（1）求()b a a -⋅的值；（2）若()1,1c =，且()b c+a ，求α的值.【解析】（1）由题，向量()cos ,sin a αα=，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2b a a a b a -⋅=⋅-()22cos cos sin sin cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 1142π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.（2）()1,1c =，cos 1,sin 144b c ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()b c a +∥，cos 1sin sin 1cos 044ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得sin cos sin cos cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2sin 44ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02πα<<，444πππα∴-<-<，46ππα∴-=，即512πα=. 34、在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m =(cos(A—B)，sin(A—B)),向量n =(cosB ，—sinB),且m n ⋅=3.5- (1)求sinA 的值；(2)若42,5,a b ==求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影.【解析】（1）由3·5m n =-，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，得3cos 5A =-；又0A π<<，所以24sin 1cos 5A A =-=；（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得2sin B ，得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2223(42)525()5c c =+-⨯⨯⨯-，解得1c =或7c =-（舍去）；BA 在BC 方向上的投影值为·2cos 2BA BC c B BC==．。

2021年高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精编及答案

2021年高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精编及答案一.平面向重多选题1. 在三棱锥M-ABC中，下列命题正确的是（）—,1 ―, ?—- —A. 若AD = -AB + -AC ,则BC = 3BDB. 若G 为△A3C 的重心，则MG = —AM + — A73 + — MC3 3 3c.若莎说=0，MC AB = 0^则丽•走=0D.若三棱锥M-ABC的棱长都为2, P, Q分别为MA, BC中点，则啓卜2【答案】BC【分析】作出三棱锥M - ABC直观图，在每个三角形中利用向戢的线性运算可得.对于A,由,> AD = -AB+ -AC ^3AD = 2AC +AB =>2AD-2AC = AB-AD f3 3__ __ 3:・♦■•.即2CD = DB，则〒BD = BD + DC = BC,故 A 错误：对于 B.由G 为△ABC的重心，WGA + GB + GC = 0> 又MG = MA + AG^:.MA + MB + MC = 3MG^即MG = MB + BG^ MG = MC + CG^+押€疏故B正确:对于c,若MA BC = 0.祝•而=0，则MA BC + MC AB = 0^即顾・BC + A?C (AC + cg)=0=>M4•荒 + 就疋+就•丙=0=>MA BC+MC X C-A7C BC = O=>(M4-A7C) BC+A7C ；AC = O=^CABC + MCAC = 0=>ACCB + MCAC = 0=>^CB + MC^AC = 0,即MB AC = O^故C正确;・々 | * “”・•o I ■■■! ■ | ■・““■对于D,・・PQ = MQ — MP = — (MB + MC)一一MA = -(MB + MC-MA) 2 2 2岡=£阿+祝一网= £J(屈+応一莎『2 2 o ，(而+说_顾『=~MB +MA +2MB•就_2屈•顾_2疋•顾=22 +22 +22 +2x2x2x--2x2x2x--2x2x2x- = S ,.•.『0=丄邂=血，故2 2 2 2D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考査向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1) 用已知向量来表示某一向量，一立要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3) 在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.2. 泄义空间两个向量的一种运算〃前=冋•円sin@,巧，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.B・a ®Z? = h ©ciC. (5+b)®c=(6/®c) + (/J®c)D. 若力=(舛,yj, b =(x2,>'2),则刁0Z?=卜』2_七〉'|【答案】BD【分析】对于A,B,只需根据泄义列出左边和右边的式子即可，对于C,当方=觞时，(N + Z?) 0 X = (1 + 兄)”卜『[sin 0, C),(玄就)+(5皐)=网卜|8|sin (氏€)+ b | - |c | sin , c ^ = (1 + 2) |/? | • |c | sin c 然不会恒成立.对于D,根据数量积求出cos如，可，再由平方关系求出sin〈打)的值，代入定义进行化简验证即可.【详解】解：对于力:= ,(脳)区>万=|州可•方sin〈25,5),故A[a®b) = (Aa)®b不会恒成立:对于 B ・ a®b = \a\ - b sing") , b 对于 C,若S 且/l>0,(a+h)®c=(l + 2)|^|-|c|sin^,c), (a + ®c) = /l^|-|c|sin^/?,c^4-|/?|-|c|sin= (1+ 2)|/?|-|c|sin^Z?,c^ , 显然+ =(«®c) + (/?®c)不会恒成立；=J （彳+斤）（兀+丈）一（“2 +＞卩2『=J 彳衣+X ；）f -2為电”儿 = |x I y 2-x 2y 1|.则 a ®h = \x {y 2 -x 2y\ \ 恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新立义，理解运算法则正确讣算是解题的关键，属于较难题.3. 已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，D, F 分别是AC, AB 上的点,且疋=丽,AD = 2DC » BD 与CE 交于点0,则（）A. OC + Ed = 0B. AB CE = OC. ^pA + OB + OC + OD^y/3 【答案】BD 【分析】7D.丽在就方向上的投影为：6可证明EO = CE,结合平而向量线性运算法则可判断A ：由Ag 丄乙g 结合平而向量数疑积的左义可判断B ：建立直角坐标系，由平而向量线性运算及模的坐标表示可判断C ：由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE = E§,所以E 为AB 的中点，且CE 丄AB,以E 为原点如图建立直角坐标系，sin b®a=可•同sin 〈方间,故a®b=b®a 恒成立: 对于D,、2所以药在岚方向上的投影为虫卫=3二=?,故D 正确. \BC \ 2 6 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平而直角坐标系是解题关键.4. 在△A3C 中，D 、E 分别是AC. 3C 上的点，AE 与BD 交于0,且所以△ CDO 里△EGO, EO = CO,则 0 0、对于A, OC + EO = EC^d^故A 错误：对于B.由而丄CE 可得而・CE = O ，故B 正确:对于C, OA =所以 OA + OB + OC + OD = [-^-^-,所^X ^A +OB +OC +OD \1州2 =-＞故C 错误: 3对于D,BC = (-1,^), ED= -1,则 E(0,0)t 4(一1,0), B(l,0), C (0,V3),取血的中点G,连接GE,易得GE//AD 且^冷心",殛茕=说・西=冯・丽,AB + AC = 2AE^ CD = 2DA^ \AB\ = \,贝ij () B ・ OA OE = 0【答案】BCD 【分析】根据而•说=就•乙5 =鬲•而以及正弦左理得到sinC cosB = sinB cosC,从而求岀B = C,进一步得到B = C = A, A AB C 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和£＞为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求岀各选项. 【详解】由 7B -BC = BC -CA = C 4-AB W |^|-|^C |COS B = |GA |-|BC |COS C,I AB I cos B=\CA \ cos C ,正弦定理,sin C -cosB = sin B• cos C , 0 = sin (B —C),B = C,同理：A = C,所以B = C = A, △ ABC 等边三角形.AB + AC = 2AE^ E 为3C 的中点，CD = 2DA^ D 为AC 的三等分点.0为4E 的中点，所以，丙+页=6正确，故B 正确:,AC BD= - x-- —x —= --^0.故 A 错误:2 3 2 3 6OA + OB + OC\ = ^OA + 2OE\ = ]pE\ = ^-^ 故 C 正确:而刼 7,投影—・=—，故D 正确.\BA\ 12故选：BCD.A. ACBD^O c.网+面+sq=¥ D.丽在丽方向上的正射影的数量为首X 厶6' 3 )，解得o 0, 一，.BD【点睛］如何求向量方在向量厶上的投影，用向量方的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以M Acrb了，当然还可以利用公式丁进行求解.b5. 已知向量2 = (@1), /； = (cos&.sin8)(g氏龙)，则下列命题正确的是()A・h"丄八则tan0 = 5/2B. 若5在方上的投影为一?，则向量方与乙的夹角为斗Zr DC. 存在0,使得\a+b\=la\ + \b\D. 方・乙的最大值为【答案】BCD【分析】若a丄b，则tan 0 = —>/2 '故力错误:若厶在方上的投影为-丄，且由1 = 1,则cos&/〉=半，故3正确：2 3If b在方上的投影为 > 且1^1 = 1 I故当< a.b>=0‘ la +厶l = lal + l“l,故C正确：2a •b = >/2cos^ + sin^= >/3sin(^4-^), a・b 的最大值为故D【E确・【详解】若方丄■则a " = x^cos& + sin& = 0 ,则tan6 = -V?> 故人错误；若乙在方上的投影为一!，且区1 = 1,贝Mlcosd /；〉=斗COS&.6 弓，故B正确：若(方 + 苏=7+岁 +龙•方，(1&1 + 由1)2=1肝+1 肝+2I&I⑹，若\a + b\ = \a\ + \b\,则a •b =\a\\b\cos(o. b) = \a\\b \,即cos〈d.方〉=1,故 V",厶>=0，\a + h\ = \a\ + lh \,故 C 正确：a •b = y/2 cos0 + sin 3 = JJsin(O + 0),因为0<05 兀，0<卩<£,则当0 + p = £时，方祐的最大值为J5,故D正确，故选:BCD.【点睛】本题主要考査平而向量的数量积的讣算和应用，考査数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 下列关于平而向量的说法中正确的是()A. 已知A 、B 、C 是平而中三点，若丽,紀不能构成该平面的基底，则久3、C 共线B. 若 a b = b c 110 •则 a = cC. 若点G 为LABC 的重心，则GA + GB + GC = OD. 已知力=(1,一2), ^ = (2,2),若方，5的夹角为锐角，则实数入的取值范围为2<1 【答案】AC 【分析】根据平而向量基本定理判断A ：由数量积的性质可判断3：由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ,由数量积及平而向量共线定理判断D. 【详解】解：因为脑.疋不能构成该平面的基底，所以而//；花，又淞，疋有公共点A ，所以力、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若亦=沁,则l«l^lcos<d^>=I^Uclcos<^c>,所以I ci I cos <ii,h>=ic\ cos < b,c > ,无法得到 fl = c > 即 B 不正确: 设线段AB 的中点为M,若点G 为A4BC 的重心，则GA + GB = 2GM^而GC = -2GM » 所以GA + GB + GC = O^ 即C 正确: 方=(1, —2), 5 = (2,2),若方，5的夹角为锐角，则a-b = 2-2A> 0解得兄<1，且方与乙不能共线，即/IH7,所以2W (Y ),7)U(-4，1)，故D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线立理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题.7. 已知A/为厶ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是() B . MA +MB +MC = 6 C. BM =-BA + -BD3 3 【答案】ABD 【分析】根据向疑的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，萝向丁法T 四边形法则易得而冷亦抨，故A 正确:对于B 选项，MB + MC = 2MD^由于M 为4D 三等分点靠近£>点的点，莎 =一2宓所以MA + MB + MC = O^故正确；对于 C 选项，BM = BA + -Ab = BA + -(Bb-BA} = -BA + -Bb 9 故 C 错误:3 3、丿 3 3A.D.对于D 选项，阪刀+ |乔刃+ |(葩占卜捋+ |血故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.&关于平而向量有下列四个命题，其中正确的命题为() A ・ If a ・ b = crc^ 则 = c ；B. 已知 a = (k,3), b = (-2,6) > 若：〃■贝'JA ： = —1:C. 非零向就a b 9满足I a 1=1 b 1=1 a —方I,则a 1J ci+ b 的夹角为30-；/ -* — \ab-*a—、bD.—+ —(\a\ \b\(|方1一两【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确. 【详解】对A,当a=Q 时，可得到A 不成立：k 3对 B, N//6 时，有—=-，:.k=-\,故 B 正确.-2 6对C,当\a\^b\=\a-b\时，a. b 、a-b 这三个向量平移后构成一个等边三角形， ci + b 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确.I I —= (――)" — (~^-广=1 — 1=0,故 D 正确・ \b\ \a\\b\ 故选：BCD.【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点•属于基础题・对D,・.・(幺+ 2).(2151 \b\ \a\9.已知AABC 是边长为2a(a>0)的等边三角形，P 为MBC 所在平而内一点，则PA^PB +.3 24 2A. —2(厂B. ------ ciC. ----- ci23【答案】BCD【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】PB = (-a-x,—y), PC = («-x,-y). 则 PB + PC = (-a - x,-y) + (a_x, -y) 即 PB + PC = (-2x-2y) 所以PA(PB + PC)= (_X ,屈- y) • (-2x-2y) 则 PA(TB + PC)= 2x 2+2y 2- 2羽ay10. MBC 是边长为3的等边三角形，已知向量方、5满足AB = 3a^ AC = 3a + b^则下列结论中正确的有()所以 PA \PB +P ( 故选：BCD. 【点睛】4討即 PA(PB + PC)3 , -cr 2Va Y y-——a2本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.= 2X 2 + 2建立如图所示的平而直角坐标系.°)A ・°为单位向虽B ・bllBC C ・a 丄方【答案】ABD 【分析】求出：可判断A 选项的正误；利用向疑的减法法则求出厶，利用共线向咼的基本左理可判项的正误•综合可得出结论.【详解】对于A 选项，...而=3乙，•••方=丄而，贝响=丄网| = 1, A 选项正确；对于 B 选项，-AC = 3a+b = AB+b^ :.b = AC-AB = BC :.b//BC B 选项正确：对于D 选项，（60 +可反=（殛+ 疋）•（走一而）=走'一殛‘=0,所以,（6方+可丄茕，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.D.（6方+可丄茕断B 选项的正误; 计算出ab ＞可判断C 选项的正误: 计算出（6方+可・荒可判断D 选对于c 选项,XCOS —H0,所以方与乙不垂直，C 选项错误:。

高三数学 2021年全国各地高考试题分类解析(平面向量), 精品

高三数学 2021年全国各地高考试题分类解析（平面向量）, 精品高三数学-2021年全国各地高考试题分类解析（平面向量）,精品2022高考数学题分类编纂——平面矢量1.（全国卷ⅰ理第15题）? ABC的外接圆的中心是O，两边的高交点是h，哦？m（oa？ob？oc）则实数m=2.（国家卷一，问题12）点o是三角形abc所在平面内的一点，满足oa?ob?ob?oc?oc?oa，则点o是?abc的（）（a）三个内角的角平分线的交点（c）三条中线的交点3.(湖南卷文第9题)P是平面上的一个点△ ABC在哪里，如果是Pa？PBPB个人计算机个人计算机那么p是A的外中心△ 基础知识b．内心c、重心d．垂心（b）三条边垂直平分线的交点（d）三个高度的交点4．（全国卷ⅱ理第8题，文第9题）已知的点a（3,1）、B（0,0）和C（3,0）让∠ BAC在e相交，然后是BC？？特朗普，在哪里？等于a．2b。

（）11c.－3d.－325.（国家第二卷理论问题10，文本问题11）点p在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点p的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点p的坐标为（－10，10），则5秒后点p的坐标为a．（－2，4）b．（－30，25）c．（10，－5）d．（5，－10）6.（国家第三卷理论问题14，文本问题14）已知向量oa?(k,12),ob?(4,5),oc?(?k,10)，且a、b、c三点共线，则k=____.7．（浙江卷理第10题）给定向量a≠ e、 |e |=1，对于任何t∈ R、总有| a-TE |≥ | A-E |，然后（）（A）A⊥ e（b）a⊥ （A-E）（c）E⊥ （A-E）（d）（A+E）⊥ （A-E）8．（浙江卷文第8题）给定向量a=（x-5,3），B=（2,x）和a⊥ B、由X的值组成的集合是（）（a）{2,3}（B）{-1,6}（c）{2}（d）{6}9.（北京卷理第3题，文第4题）如果| a |？1、|b |？2，c？A.b、 C呢？a、那么向量a和B之间的角度是（）（a）30°（B）60°（c）120°（d）150°10.（广东卷第12题）已知向量a？（2,3），b？（x，6）和AB，那么x是____11.[湖北卷理第13题，文第3题（选择题）]已知向量a？（？2,2），b？（5，k）。

2021年高考数学一轮复习第八单元平面向量单元A卷文

2021年高考数学一轮复习第八单元平面向量单元A 卷文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试终止后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（）A 12BA BC - B 12BA BC - C 12BA BC +D 12BA BC +3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x=-b ，且∥a b ，则） A ．10B C ．5D 5．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（） A ．1-B．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（）A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π7．单位圆O中一条弦AB 长为，则·AB OB =（） A ．1B C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（） ABCD 9．在ABC△中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则） A B 3C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（）AB C D 12．在锐角ABC △中，60B=︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范畴为（） A ．()0,12 B C ．(]0,4 D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 3AP PB =，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ，（1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ．（1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12，()sin ,cos x x =n ，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=．（1，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ， (),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos 20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ，故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：1122CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项．3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ，则()21,3+=--a b ，即210+=a b ，故选D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，因此()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，因此()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+a a b ，因此，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ，因此2||2cos ,2=-=-⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB 长为2，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形，因此AB 与OB 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ．9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又AD mAB nAC =+，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，依照向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，因此2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b ．又22224413+=+⋅+=a b a a b b ，因此213+=a b ，则()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，因此向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++=⨯=⋅a b a b a b ，故选D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=，∴()1,3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，因此AB AC ⋅的取值范畴为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，14．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ，据此可知：210+=m n ． 15．【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ，，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2）【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影18．【答案】（1（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b ，因此2=a +b ．（2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ，()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即化简可得sin cos x x=，则tan 1x =．（2而由m ，n20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3．【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =．（2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，；若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．）2133OP OA OB =+；13）由题意得13AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴2133OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=，∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =．【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=，依照正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=，又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，因此1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos 2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去），综上所述，1k =或2k =．。

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