23.2第1课时解直角三角形-完整PPT课件
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解直角三角形PPT课件
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
《解直角三角形》课件
3
正切函数（tangent）
在直角三角形中，锐角的正切值等于对边长度除 以邻边长度，即 tan(A) = a/b。
2024/1/26
8
锐角三角函数的性质
周期性
正弦函数和余弦函数具有 周期性，周期为 360 度 或 2π 弧度。正切函数具 有周期性，周期为 180 度或 π 弧度。
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(x) = -sin(x)），余弦函数 是偶函数（cos(-x) = cos(x)），正切函数是奇 函数（tan(-x) = -tan(x) ）。
5
直角三角形的外接圆半径等于 斜边的一半，内切圆半径等于 两直角边之和减去斜边的差的
一半。
直角三角形的判定
01
有一个角为90度的 三角形是直角三角 形。
02
若三角形三边满足 勾股定理，则这个 三角形是直角三角 形。
03
若三角形中一边上 的中线等于这边的 一半，则这个三角 形是直角三角形。
04
若三角形的三边满 足a²+b²=c²，则这 个三角形是直角三 角形。
测量角度
通过测量角度和已知的距离或高度 ，可以解出直角三角形中的未知角 度。
16
工程问题中的解直角三角形
建筑设计
在建筑设计中，经常需要解决与 直角三角形有关的问题，如计算 建筑物的倾斜角度、确定建筑物
的位置等。
桥梁设计
在桥梁设计中，利用解直角三角 形的方法可以计算出桥墩的高度
、桥梁的跨度等关键参数。
22
THANKS
感谢观看
2024/1/26
23
值域
正弦函数和余弦函数的值 域为 [-1, 1]，正切函数的 值域为全体实数。
《解直角三角形》教学课件
利用正弦、余弦函数的定 义和勾股定理，可以分别 求出斜边c和另一直角边b 的长度。
sin60°=a/c，即√3/2=4/c b=√(c²-a²)=√(4.62²-
，解得c≈4.62。
4²)≈2.31。
本题主要考察了解直角三 角形中已知一边一角求其 他元素的方法，通过正弦 、余弦函数的定义和勾股 定理进行求解。在实际应 用中，还可以利用正切等 三角函数进行求解。
加强公式应用训练
通过大量的练习题，让学生熟练掌握解直角三角形的相关公式，并 能够正确应用。
提高计算准确性
鼓励学生进行反复练习，提高计算速度和准确性。同时，教师可以 提供一些计算技巧和方法，帮助学生更好地进行计算。
提高计算准确性和效率策略
使用科学计算器
鼓励学生使用科学计算器进行计算，以提高计算效率和准确性。
《解直角三角形》教 学课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 典型例题分析与解答 • 学生常见错误及纠正方法 • 拓展延伸：三角函数在解直角三角形中应
用 • 总结回顾与课堂互动环节
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过绘制思维导图、制作海报或写学习报告等方式 ，展示自己的学习成果，包括掌握的知识点、解题技巧和学 习心得等。
学习反思与改进
学生可以反思自己在学习过程中的不足和遇到的困难，提出 改进措施和学习计划，以便更好地掌握解直角三角形的相关 知识和技能。
教师点评及建议
典型例题三：综合应用问题
01
02
03
04
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
沪科版数学九年级上册23.2第1课时解直角三角形 课件(共19张PPT)
D
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
沪科版数学九年级上册：23.2《解直角三角形及其应用》课件 (共15张PPT)
sin B b
c
c
b sin B
20 sin 35
20 0.57
35.1
你还有其他 方法求出c吗？
例题拓展
例3、在△ABC中，∠A=550，b=20cm，c=30cm。 求三角形的面积S△ABC
解：作AB边上的高CD，在Rt△ACD中
C
CD=AC·sinA=bsinA
sABC
1 2
AB
CD
1 bc sin 2
A
当∠A=550，b=20cm，c=30cm时，A 有 D
B
SABC
1 bc sin 2
A
1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
练习
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下
列条件解直角三角形；
A
b
c
Ca
B
例题解析
例1、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，B 42 6', c 287.4
解这个直角三角形
解： A 90 42 6' 47 54'
由cos B a ,得 c
A
287.4
42 6'
C
B
a ccos B 287.40.7420 213.3
由sinB b ,得 c
b csin B 287.40.6704 192.7
例题解析
例2 、如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，
解这个直角三角形（精确到0.1）
A
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° c
23.2.1+解直角三角形课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
cos
∠ ABC ＝ ＝ ， BC ＝8，
∴ AB ＝10，∴ AC ＝ − ＝ − ＝6.
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14. [2024·西安月考]如图，在△ ABD 中， AC ⊥ BD ， BC ＝
8， CD ＝4， cos ∠ ABC ＝ ， BF 为 AD 边上的中线.
∴∠ B ＝60°， a ＝ c ＝ ×2 ＝ .
∵ sin B ＝ ，∴ b ＝ c sin B ＝2 ×
1
2
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4
5Байду номын сангаас
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＝3.
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14
5. 【教材改编题】在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°.
(2)已知 a ＝5 ，∠ A ＝45°，求∠ B ， b ， c .
6
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12. 【易错题】在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝2 ，∠ B ＝
15 或10
30°，则△ ABC 的面积为
.
易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的
情况导致出错.
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13.
如图， AD 是△ ABC 的中线，tan B ＝ ，
∠ ABC ＝ ＝ ， BC ＝8，
∴ AB ＝10，∴ AC ＝ − ＝ − ＝6.
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14. [2024·西安月考]如图，在△ ABD 中， AC ⊥ BD ， BC ＝
8， CD ＝4， cos ∠ ABC ＝ ， BF 为 AD 边上的中线.
∴∠ B ＝60°， a ＝ c ＝ ×2 ＝ .
∵ sin B ＝ ，∴ b ＝ c sin B ＝2 ×
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5Байду номын сангаас
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＝3.
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5. 【教材改编题】在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°.
(2)已知 a ＝5 ，∠ A ＝45°，求∠ B ， b ， c .
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12. 【易错题】在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝2 ，∠ B ＝
15 或10
30°，则△ ABC 的面积为
.
易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的
情况导致出错.
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如图， AD 是△ ABC 的中线，tan B ＝ ，
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CD
B
AB 12, BC 6 3.
4.
如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，cosA
=
1 3
，
BC = 5， 试求AB的长.
B
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 设 AB x, AC 1 x， 3 AB 3
3
AB2 AC2 BC2，
x2
1 3
x
2
52
C
A
x1
15 4
沪科版23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
本节课学习目标
1.重点掌握解直角三角形的概念； 2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解解决问题.
导入新课
复习引入
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个
角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎
样的关系呢？
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
a=1，解这个直角三角形.
B
B 90 A 90 45 45 .
sin A a , c
∴c a 1 1 2. sin A sin 45 2 2
b a 1 1. tan A tan 45
a
c
∟
Cb
A
变式1：
已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= 1，解
这个直角三角形
c a2 b2 2 5.
在Rt△ABC中，sin
B
பைடு நூலகம்
b c
2
5 5
1. 2
B 30 ，
A
5
C
15
B
A 90 B 90 30 60 .
练一练
1.在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝ 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
练一练
2.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B
c a2 b2 2
sin A a 1 2 c 22
A 45 .
a
c
∟
Cb
A
B 90 A 90 45 45 .
变式2：
已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c= 2 ，
解这个直角三角形
B
sin A a 1 2 c 22
A 45 .
a
c
∟
Cb
A
B 90 A 90 45 45 .
归纳总结
直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
事实上，在直角三角形的六个元素中， A
除直角外，如果再知道两个元素（其中至
少有一个是边），这个三角形就可以确定
b
c
下来，这样就可以由已知的两个元素求出
其余的三个元素．
Ca B
练一练
已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
c
a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_9_0_°__；A
b
C
(3)边角之间的关系：sinA=__a___，cosA=__b___，
a
c
c
tanA=___b__.
二讲授新课
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a 15,b 5 , 求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a 15, b 5,
2 3
6.
C D B
3
∴BC=CD+BD= 2 + 6
例3 在△ABC中，AB= 12
2 ，AC=13，cos∠B=
2，
2
求BC的长.
解：∵cos∠B=
2 2
，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AB=12 2，∠B=45 ，
图①
∴AD=BD=ABcos B 12.
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
AD=3，cosB=
4 5
，则AC的长为（
B）
A．3 B．3.75
C．4.8 D．5
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，
∠BAC的平分线 AD 4 3，解这个直角三角形.
解：∵cos CAD AC 6 3 ，
A
AD 4 3 2
CAD 30.
6 43
∵AD平分∠BAC，
CAB 60,B 30，
2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝4 ，则菱形的周长是（ C ）
5
A．10 B．20 C．40 D．28
当堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（ D ）
A. 4 3 B.4 4
C.8 3
D.4 3
2.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高
2
,
x2
15 4
2（舍去）.
∴AB的长为 15 2 . 4
5. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的 倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则 就有危险，那么梯子的长至少为多少米?
解：如图所示，依题意可知，当∠B=600 时， A
AB AC 4 8 3 4.62. sinB sin60 3
b a 1 1. tan A tan 45
例2 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°， AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
A
∴BD=
AD tan B
∴BC=BD-CD=12-5=7；
当三角形的形状不确定时， 一定要注意分类讨论.
当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴BC的长为7或17.
图②
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 3 ，BC=6，则
5
AB=（ D ）
A．4 B．6
C．8 D．10
（3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
课后作业
课本P125练习1,2题必做， 选做第3题
答：梯子的长至少4.62米.
B
C
课堂小结
解直角三 角形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两个 元素（至少有一个是边），就可 以求出余下的三个未知元素
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a2
b2
c
2（勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°