沪科版九年级数学上册 解直角三角形引入(第1课时)
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期25.3解直角三角形(第一课时) 教案
25.3解直角三角形（第一课时）【教学目标】1.知道在直角三角形中，除直角外的边与角五个元素之间的关系，理解解一个直角三角形所需要的条件．2.懂得解直角三角形的意义，会选择合理的方法解直角三角形．3.经历自主探究确定直角三角形的条件、解直角三角形的过程，提高探究问题的意识和方法.【教学重点、难点】1．探究解一个直角三角形所需要的条件．2．选择合理的方法解直角三角形．【教学过程】一、复习旧知、梳理关系在Rt△ABC中，∠C=90°，1.直角三角形中三边之间、锐角之间的关系：（1）三边之间的关系：a²+b²=c²．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．2.回顾锐角三角比，得到直角三角形中边角之间的关系．边角之间的关系：tanA=∠的对边∠的邻边AA，cotA=∠的邻边∠的对边AA，sinA=∠的对边斜边A，cosA=∠的邻边斜边A．将∠A换成∠B，就是∠B与边的关系式．二、探究新知、得出结论C1.运用直角三角形中各元素的关系可以通过已知元素求得未知的元素．2.探究：在Rt △ABC 中，已知∠C =90°．（1）知道一个元素，能否求出其他四个元素？为什么？（2）知道两个元素，能否求出其他三个元素？比如：①知道三角形中的两个锐角能否求出其他元素？依据？②知道三角形中的一条边和一个角能否求出其他元素？依据？③知道三角形中的两条边能否求出其他元素？依据？3.归纳结论：在直角三角形除直角外的边与角五个元素中，只需知道其中的两个元素（至少有一条边），就可以求得其他三个元素．这个结论的关键是：知道两个元素（至少有一条边），这个直角三角形就确定了，因此我们就能求得其他的边与角了．从直角三角形全等的有关判定定理的条件中也能发现这个结论，它们是一致的．三、课堂实践、学以致用例题1 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠B =38°，a =8，求这个三角形的其他边和角．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵∠A +∠B =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-38°=52°．∵cosB=ac ，∴c =°8=38a cosB cos ．∵tanB=ba ，∴b =atanB =8tan ．（1）变式练习：把问题中的条件a=8改成c=8，你能求出其他的边与角吗？（2）定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．例题2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，b=4.32，c=6.18，解这个直角三角形．解：在Rt△ABC中，∵∠C=90，∴a²+b²=c²，得∵sinB=4.326.18b=c，∴∠B44°21′．∴∠A90°-∠B90°-44°21′=45°39′．例题3如果在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是这个三角形的角平分线，AC=4.32，AD=5.46，你能解这个直角三角形吗？四、课堂总结、形成体系这节课中，你学到了哪些数学知识？还有什么其他收获？还有哪些疑惑？五、回家作业、巩固新知（必做题）练习册25.3（1）（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是边BC上的中线，若BD=，∠B=30°，解直角△ACD．C C。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 23.2 解直角三角形 教案
教学设计5.课堂小结6.作业布置通过本节课的学习，我们有哪些收获？P125 1.(1)(3)P125 2.(2)(4)教师提问，补充收获教师布置作业学生回答学生课后完成通过小结，使学生梳理本节课所学内容。
巩固本节课的内容。
板书设计23.2解直角三角形及其应用第一课时解直角三角形定义：例1 例2教学反思本节课的重点是解直角三角形，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,首先要明白解直角三角形的定义，直角三角形三边的关系，两锐角的关系，边角之间的关系。
这些是解直角三角形的依据，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。
解直角三角形的方法灵活多样，但是正确选用这些关系，才是迅速解决直角三角形问题的关键，因此虽然部分学生通过自学以后完全可以解决，但例题具有示范作用，是教学中必不可少的一个环节。
因此，在讲解例1时，我设置某一步留空，让学生自己做。
使学生明白方法不止一种，而且让学生知道如何选择简便的方法。
这样既提高了学生的参与程度，也训练了学生解决分析问题的能力。
通过本节课的教学，我认为数学课堂应该给予学生充足的自主探索时间与空间。
应该让学生在积极愉快的环境中汲取知识、探索知识，而培养学生的解决问题的能力。
同时，应该合理有效的使用多媒体技术，激发学生的学习兴趣，丰富教学内容，从而扩大师生交流，提高课堂学习效率。
从教学效果来看，我认为整节课的教学基本上达到了预期的教学目标，是对新课标下的数学课堂的又一次积极的探索与尝试。
也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。
在今后的教学中，我将会更多地关注学生的发展与提升，努力改善和提高自己的教学水平，为教育事业作出应有的贡献,争取取得更好的成绩。
新沪科版九年级数学上册课件： 解直角三角形
( 4 )根据( 1 )( 2 )( 3 )题的结论,试猜想 S△ABC 与12bc·sin A 的大小
关系,并给出证明.
解:( 4 )猜想 S△ABC=12bc·sin A, 理由:作△ABC 的高 CD,
在 Rt△ADC 中,∵CD=AC·sin A=bsin A, ∴S△ABC=12AB·CD=12c·bsin A=12bc·sin A.
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-13-
解:( 1 )∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=������������������������, ∴∠E=30°,BE=6tan 60°=6 3, 又∵∠CDE=90°,CD=4,∠E=30°,∴CE=8,
( 1 )当∠A=30°,b=6,c=3 时,S△ABC= 4.5 ,12bc·sin A= 4.5 ;
(
2
)当∠A=45°,b=6,c=3
时,S△ABC=
92 2
,12bc·sin
A=
92 2
;
( 3 )当∠A=60°,b=4,c=3 时,S△ABC= 3 3 ,12bc·sin A= 3 3 ;
略
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
识点3 构造直角三角形 7.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos A的值为( B )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
沪科版数学九年级上册23.2第1课时解直角三角形 课件(共19张PPT)
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
2018年沪教版九年级数学 23.2.1解直角三角形引入(第1课时)
第1课时解直角三角形引入复习引入教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．探究新知概念的引入教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．1 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sin=5.254.5BCAB≈0.0954．所以∠A≈5°08′．教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长．图28．2-1教师讲解问题1的解法：由sinA=BCAB得BC=AB·sinA=6×sin75°．由计算器求得sin75°≈0.97，所以BC≈6×0.97≈5.8．因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数．教师解题：由于cosa=ACAB=2.46=0.4，利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，•梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．随堂练习如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．学生做完此题后教师要讲评：解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．在Rt△ABE中，sinA=BE AB∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．cosA=AE AB∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．CD=AE=157.1（米）．答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．课时总结利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．教后反思_________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 第1课时作业设计课本练习做课本第92页习题28．2复习巩固第1题、第2题．双基与中考1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2．Rt △ABC 中，若sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 3．在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 4．（2006年中考题），在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosA 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916.2525D 5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ．（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=1213，BC=12，求AD 的长．答案:1．已知两个 2．8 34 3．454．B 5．（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∴tanB=,cos ;AD AD DAC BD AC∠= 又∵tanB=cos ∠DAC ．∴BD=AC ． A（2）∵sinC=1213，设AD=12x，AC=13x，•∴CD=•5x，BD=13x，则BC=18x，又∵BC=12，∴18x=12，即x=23，∴AD=8．。
沪科版九年级数学上册2第1课时解直角三角形课件
一 已知两边解直角三角形
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a 15,b 5 , 解这个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a 15, b 5,
＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
小锦囊：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意 标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后正确选择关系式是关 键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系 式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．
（2）锐角之间的关系
对于锐角 B，也有类 似的边角关系吗？
B
c
a
∠A + ∠B = _9_0_°_； A
（3）边角之间的关系
sinA =∠_A斜_的_边_对__边=
a c
cosA =∠A的_邻__边= __斜_边
b c
b
C
tanA =∠∠AA的的_邻_对____边边=
a b
新课探究
概念学习：什么叫解直角三角形？
谢谢欣赏
归纳总结
思考1 已知两锐角能否解直角三角形？ 不能
思考2 通过上面的学习，你能总结出，除直角外，解直角三 角形还至少再需要几个元素就可以确定这个直角三角形的形状
和大小了呢？ 还需要至少2个元素
思考3 这些元素是任意的吗？有没有什么重要的特征？
这2个元素至少有一个是 边
事实上，在直角三角形的六个元素中
23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形
课本P124-125
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用(第1课时)教学ppt
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解直角三角形及其应用（1）
新课引入
解直角三角形常
用关系：
∠A＋ ∠ B＝90°
c
解直角 三角形
a2+b2=c2
三角函数 关系式
A
b
sin A a , sin B b
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
灿若寒星
例题分析
例2 在 △ABC中，
∠A=55°,b=20cm,Cc=30cm,求三角形的面
积S△ABC（精确到b 0.1cm2）
55°
A
c
B
灿若寒星
例题分析
解 ：如图，作AB上的高CD.在
Rt△ACD1 中， 2
∵CD=A1C·sinA=bsinA 2
C b
∴S = △ABC 1 AB·CD
2
1
60°
3
2
1 2
3
新课讲解
练一练
B
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
┌
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
A
C
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= （4）若∠A=α°，BC=m，则AC=
3 tan
m
tan
灿若寒星
新课讲解
解直角三角形的原则：
(1) 有角先求角 (2) 有斜用弦,
宁乘毋除,
无角先求边 无斜用切； 取原避中.
灿若寒星
例题分析
例1 在Rt△ABC中，
∠C=90°,∠ac B=42°6',c=287.4,解这个直角
沪科版数学九年级上册 23.2 解直角三角形(第一课时) 教案
23.2解直角三角形及其应用（第一课时）一、教学目标1. 理解直角三角形五个元素的关系，会用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2. 通过学习会选择简单解法解直角三角形，通过学习逐步培养分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生自主探索与合作交流的学习习惯。
二、重难点重点：直角三角形的解法难点：三角函数在解直角三角形中的应用三、教学方法启发引导-问题探究四、教具准备班班通、三角板、课件、练习纸五．教学过程1. 问题引入如何测量位于中国的世界上最高的电视塔-广州电视塔的高度。
2. 复习回顾（1）在Rt △ABC 中共有几个基本元素？哪几个？（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，除了直角外，还有几个元素？哪几个元素？（3）如图，在Rt △ABC 中，a 、b 、c ， ∠A 、∠B ，这五个元素间有怎样的关系呢 ？三边之间关系：222c b a =+锐角之间关系：互余 边角之间关系：b a A c b A c a A ===tan ,cos ,sin3. 探究新知在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
问题：（1）在直角三角形中，除直角外，再给你一个已知元素你能解出这个直角三角形吗？（2）在直角三角形中，除直角外，再给你两个已知元素一共有多少种给法？利用这两个已知元素能解出相应的直角三角形吗？ 探索讨论解直角三角形的条件是什么？已知的除直角外的两个元素（至少有一条边）。
解直角三角形的依据是什么？直角三角形三边关系，锐角关系，边角关系。
上面能够确定直角三角形的已知元素，可以分几类？已知两条边，已知一边一角。
4.巩固提升【已知两边】（1）在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=1,b=3,解这个直角三角形。
【已知一边一角】（2）在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=53°,c=5,解这个直角三角形。
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相关资料
第1课时 解直角三角形引入
复习引入 教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
探究新知
概念的引入 教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．
1 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A ，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C （如课本图28．2-1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=5.2m ，AB=54.5m ．
sin=≈0.0954． 5.254.5BC AB
所以∠A ≈5°08′． 教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线
的夹角．
2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与
地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°，现有一个长6m 的
梯子，问：
1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？
2．当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这
图28．2-1
时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所
成的角a 为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯
子所能攀到的最大高度．
教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完
后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt △ABC
中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A 的对边BC 的长．
教师讲解问题1的解法：
由sinA= 得 BC=AB ·sinA=6×sin75°． BC AB
由计算器求得 sin75°≈0.97，
所以 BC ≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m ． 教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m 时，求梯子与地面所成的角a 的问题，可以归结为：在Rt △ABC 中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a 的度数．
教师解题：由于cosa===0.4， AC AB 2.46 利用计算器求得a ≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m 时， 梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
随堂练习
如下图，已知A 、B 两点间的距离是160米，从A 点看B 点的仰角是11°，AC 长为1.5米，求BD 的高及水平距离CD ．
学生做完此题后教师要讲评：
解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=BE AB
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．
cosA=AE AB
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
教后反思
_________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 第1课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2复习巩固第1题、第2题．
双基与中考 1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________ 其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt △ABC 中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 45
3．在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 4．（2006年中考题），在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosA 的值是（ ） 35
A ．
B ．
C ． 3545916.2525D
5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ． （1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD 的长． 1213
D C
B A
答案:
1．已知两个 2．8 3． 4．B 3445
5．（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，
∴tanB= ,cos ;AD AD DAC BD AC
∠=又∵tanB=cos ∠DAC ．∴BD=AC ．
（2）∵sinC=，设AD=12x ，AC=13x ， ∴CD= 5x ，BD=13x ，则BC=18x ， 1213
又∵BC=12，∴18x=12，即x=， 23∴AD=8．。