轴对称综合提高练习

点评：此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！
例4一点通：欲证PB＋PC＝PA，可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证明线段相等，由条件∠ABP＋∠ACP＝180°，此题较适合补短，即延长PC到D，使CD＝BP，连结AD，证明AP＝PD即可．也可以延长BP到点D，使PD＝PC，连结CD．
一、等腰三角形中常用到的辅助线
1.通常作底边的高、中线或顶角平分线；
2.底边有中点时，常常连底边上的中线；
3.截长补短法．在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形．
以上添加辅助线的最终目的是：通过等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线、全等三角形把分散的边角关系进行集中．
能力提升类
例1已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD为BC边上的高，P点在AC上，E点在AD上，若PE＋EC的最小值为4，则△ABC的面积为（）
A. 8 B.16 C. 32 D. 64
例2已知点A（－2，4）、B（2，4）、C（－1，2）、D（1，2）、E（－3，1）、F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出__________组对称三角形．
A.3个B.2个C.1个D.不存在
6.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题
7.小明把一张长方形的纸对折2次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为l1、l2、l3，观察图形并填空：
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
轴对称综合提高练习
知识点拨
1.非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角对大边．可利用图①和图②证明这两个事实．
2.平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图③，如果点A的坐标是（a，b），那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐标是（b，a），关于二、四象限角平分线对称的点C的坐标是（－b，－a）．点A在其他象限时这一规律仍然成立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置．
例2一点通：很明显△ACE和△BDF关于y轴对称．本题的难点在于确定是否还有其他的对称三角形，因为这6个点可以组成很多三角形，还应注意，这样的对称三角形是把6个点分成两组，两组中不能有重复的点，如△ABC和△BAD虽然关于y轴对称，但不符合题意．
答案：4，如图所示：
点评：根据本题要求，解答时有一个规律：首先在y轴左侧任选两点，然后选第三点组成三角形，第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即△ACE与△BDF，△ACF与△BDE等，共6组，其中△ACE与△BDF重复出现3次，所以一共有4组对称三角形．如果不按规律，则很容易造成漏解．
A. 25°B. 40°C. 25°或40°D.以上都不对
*4.在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是（a，b），底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为（）
A.（b，a）B.（－a，－b）C.（a，－b）D.－（a，b）
5.如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）
例1一点通：设点P关于AD的对称点为点P’，则点P’一定在AB上，且CP’⊥AB时P’E＋EC的值最小，即PE＋EC的值最小．所以在Rt△ACP’中∠BAC＝30°，AC＝2CP’＝8，所以AB＝8，CP’＝4．所以S△ABC＝AB·CP’＝×8×4＝16．
答案：B点评：线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题．本题有两种作法：一、作点P关于AD的对称点P’；二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知，这个点就是点B，连结BE即可．
证法5：过E作EN⊥EF于E，交CA的延长线于N，如图④所示．∵EN⊥EF，∴∠NEA＋∠AEF＝90°，∠N＋∠EFN＝90°，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠N＝∠NEA．又∠B＝∠C，且∠B＋∠C＝∠N＋∠NEA＝180°－∠BAC，∴∠N＝∠C，∴NE∥BC，∵NE⊥EF，∴EF⊥BC．
证法6：过点E作EP∥AC，交BC的延长线于点P，如图⑤所示．∵EP∥AC，∴∠P＝∠ACB，∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠P．∵∠PEF＝∠AFE，∠AFE＝∠AEF，∴∠PEF＝∠AEF，∴ED⊥BP，即EF⊥BC．
（1）该性质揭示了30°角直角三角形的边的数量关系的特殊性．
（2）此性质的前提是“在直角三角形中”．在解题时，如果只知道一个三角形有一个角为30°，就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的．
（3）该质主要应用于计算和证明线段的倍分关系．
（4）该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．
例3一点通：此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）MN，又得到折痕EC、BF，它们所在的直线都是对称轴，即△CPE与△CDE关于CE所在的直线对称，△ABF与△PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而得出△PBC是等边三角形这个事实．
答案：（1）由折叠的性质得：线段PC、PB均等于正方形的边长，PC＝PB；（2）由（1）可知，PC＝PB＝BC，所以△PBC是等边三角形，所以∠CPB＝60°；（3）由（1）、（2）可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠5＝∠6＝30°，∠7＝∠8＝∠9＝∠10＝15°，∠MFP＝∠MEP＝30°，∠EPF＝120°，∠NPF＝∠NPE＝120°，等等．
9.如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM＝ON＝MN，那么∠APQ＋∠CQP＝__________．
10.如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则∠EDF等于＝__________．
三、综合运用
11.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任一点，且AB＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC．
答案：延长PC到点D，使CD＝BP，连结AD．∵∠ABP＋∠ACP＝180°，∠ACP＋∠ACD＝180°，∴∠ABP＝∠ACD．在△ABP和△ACD中，，∴△ABP≌△ACD（SAS），∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD．∵∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAD＋∠PAC＝60°，即∠PAD＝60°，∴△PAD是等边三角形．∴PC＋CD＝PD＝PA．∴PB＋PC＝PA．
二、几何证明题的分析方法
从已知条件入手，运用定义、定理、公理逐步推出结论的方法叫做综合法．从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法．在解几何问题时，两种方法常结合使用，使问题顺利解决．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
点评：求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段，等量代换；二是利用截长补短法．
例5一点通：证明两线垂直，可证明其夹角为90°，已知条件中没有与90°有关的条件，本题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求∠BDE的度数．二是构造出直角．作等腰三角形的对称轴，如图①和图②，可构造直角；如图③、④，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图⑤，把DE构造成一个等腰三角形的对称轴．
答案：证法1：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EAF＝2∠B．∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E．∴∠EAF＋∠BAC＝180°，∴2∠E＋2∠B＝180°，∴∠E＋∠B＝90°，∴∠BDE＝90°，即EF⊥BC．
证法2：过点A作AG⊥BC于G，如图①所示．∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠E，∴∠BAC＝∠AFE＋∠E＝2∠AFE．在等腰三角形ABC中，AG⊥BC，∴∠BAC＝2∠GAC，∴∠GAC＝∠AFE，∴AG∥ED，∵AG⊥BC，∴EF⊥BC．
证法3：过点A作AH⊥EF于H，如图②所示．∵AE＝AF，AH⊥EF，∴∠EAH＝∠EAF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∠EAF＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EAF．∴∠EAH＝∠B，∴AH∥BC，∵AH⊥EF，∴EF⊥BC．
证法4：过点C作MC⊥BC于C，交BA的延长线于M，如图③所示．∵∠M＋∠B＝90°，∠ACB＋∠ACM＝90°，又∵∠B＝∠ACB，∴∠M＝∠ACM．∵∠AEF＝∠AFE，且∠AEF＋∠AFE＝∠M＋∠ACM＝180°－∠MAC，∴∠M＝∠AEF．∴EF∥MC，∴EF⊥BC．
14.如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD＋AD．
15.（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（把所有不同的分割方法都画出来，要在图中标出相等两角的度数．）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．