江苏省南通市2012届高三四校联考数学试题

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江苏省如东县高三12月四校联考数学(文)试题.pdf

2012 2013学年度第一学期高三联考试卷数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1.设集合，，则=▲ ．已知复数满足，其中为虚数单位，则 ▲ ．已知点和向量，若，则点B的坐标为 ▲．是偶函数,则 ▲ ．5.已知，那么的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分” “既不充分又不必要”) 6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移 ▲ 个单位长度 7.若存在实数满足，则实数的取值范围是 ▲ ．的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ． ▲ ．为中的最小值，设，则的最大值是 ▲ ．中，的值等于 ▲ ．，则a,b,c的大小关系是 ▲ ．的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 ▲ ．已知函数函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ▲ ． 6个小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分14分）已知，且，，求：（1）（2）实数的值. 16．中，侧面底面ABC，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证：（1）EF∥平面；（2）平面CEF⊥平面ABC．17．（本小题满分14分）若a、b、c，（1）求；（2）当时，求的值。

18. (本题满分16分) 如图，开发商欲对边长为的正方形地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路（点分别在上），根据规划要求的周长为．（1）设，求证：；（2）欲使的面积最小，试确定点的位置．的离心率为，一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点． ①若，求圆的方程； ②若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程． 20．（本小题满分16分）已知函数，（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

江苏省南京市四校2012届高三12月月考数学试题

江苏省南京市四校2012届高三12月月考试题数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题）、解答题(第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分,考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸上对应题目的答案空格的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．内．考试结束后,交回答题纸．参考公式:(x i－错误!)2,其中错误!＝错误! 1．样本数据x1，x2,…,x n的方差s2＝错误!错误!x i．错误!2．球的表面积S＝4πR2,其中R为球的半径．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．1．已知命题p:x∈R，x2－x＋1＞0，则命题p是．2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x｜0≤x≤4}，则A∪B ＝．3．设复数z1＝1－2i，z2＝x＋i（x∈R）,若z1·z2为实数,则x ＝．4．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率5．有一组样本数据8,x ，10，11,9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s 2＝．6．在如图所示的流程图中，输出的结果是．7．已知数列{a n ｝的前n 项和S n ＝2n ＋n －1则a 1＋a 3＝．8．已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率为．9．将函数y ＝sin （x ＋错误!)的图象上所有的点向左平移错误!个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为y ＝．10．已知正四棱柱的底面边长为2,高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为．11．如图，平面四边形ABCD 中,若AC ＝错误!，BD ＝2，则(错误!＋错误!）·(错误!＋错误!）＝．12．若不等式4x －2x ＋1－a ≥0在x∈[－1，1］上恒成立，则实数a 的取值范围为．13．若f （n )为n 2＋1（n ∈N*)的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f （14)＝17．记f 1（n )＝f (n ），f 2(n ）＝f (f 1（n ）），…，（第6题图）ABCD（第11题图）14．已知f （x ）＝x 3，g (x ）＝－x 2＋x －错误!a ,若存在x 0∈[－1,错误!］（a＞0),使得f (x 0）＜g (x 0),则实数a 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(sin A ，1),n ＝（1，－3cos A ),且m ⊥n ．（1）求角A ；（2）若b ＋c ＝错误!a ，求sin （B ＋错误!）的值．16．（本小题满分14分)如图,在四棱锥O —ABCD 中,AD //BC ，AB ＝AD ＝2BC ,OB ＝OD ，M 是OD 的中点．（1）求证：MC //平面OAB ；（2）求证：BD ⊥OA ．17．(本小题满分14分)某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销OMDA B C（第16题图）售价为10元，固定成本为8元．今年,工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为g(n)＝错误!（k为常数，n∈Z且n≥0）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为f(n)万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．（1）求k的值，并求出f(n)的表达式;(2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？18．（本小题满分16分）如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x＝4,右焦点F到它的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4,求使OC长最小时圆C的方程．（第18题图）19．（本小题满分16分）记公差d ≠0的等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋，2,S 3＝12＋错误!．（1）求数列{a n ｝的通项公式a n 及前n 项和S n ；（2）记b n ＝a n －，2，若自然数n 1，n 2,…,n k ，…满足1≤n 1＜n 2＜…＜n k ＜…,并且1n b ,2n b ，…，kn b ,…成等比数列,其中n 1＝1，n 2＝3，求n k （用k 表示）；（3）试问：在数列{a n }中是否存在三项a r ，a s ，a t (r ＜s ＜t ,r ,s ,t ∈N ＊)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在,请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数f （x )＝a x ＋x 2－x ln a (a ＞0,a ≠1）．（1）当a ＞1时，求证：函数f (x ）在（0，＋∞)上单调递增；（2）若函数y ＝｜f （x )－t |－1有三个零点，求t 的值；（3）若存在x 1，x 2∈[－1，1］，使得|f (x 1)－f （x 2）｜≥e －1,试求a 的取值范围．P附加题注意事项:1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置．答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后,请交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点,过点D 引割线交⊙O 于B 、C两点．求证：DPB DCP∠=∠．B ．选修4—2：矩阵与变换设M ＝1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦,N ＝10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程．C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）,求直线l 被圆C 所截得的弦长．D ．选修4-5：不等式选讲解不等式：|2x ＋1｜－|x －4｜＜2．【必做题】第22、23题，每小题10分,计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．22．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点,F 在线段AA 1上．（1)AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？（2)设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．C 1B 1A 1 F23．一个袋中装有黑球,白球和红球共n（n∈N*）个,这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是错误!．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是错误!，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?参考答案一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．1．x∈R,x2－x＋1≤0 2．［－1，4]3．错误!4．错误!5．2 6．207．7 8．错误!9．sin（12x＋5π12) 10．17π11．1 12．(－∞,－1］13．11 14．（0，错误!）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解:(1）因为m⊥n，所以m·n＝0,即sin A－错误!cos A＝0．………………………2分所以sin A＝，3cos A，得tan A＝3．…………………………………………………………4分又因为0＜A＜π，所以A＝错误!．………………………………………………………………6分（2)（解法1）因为b＋c＝错误!a，由正弦定理得sin B＋sin C＝错误!sin A ＝错误!．………………8分因为B＋C＝2π3，所以sin B＋sin（2π3－B）＝错误!．………………………………………………10分化简得错误!sin B＋错误!cos B＝错误!，…………………………………………………………………12分从而错误!sin B＋错误!cos B＝错误!，即sin（B＋错误!)＝．……………………………………………14分（解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bc cos A，即b2＋c2－a2＝bc①．……………8分又因为b＋c＝，3a②，联立①②，消去a得2b2－5bc＋2c2＝0,即b＝2c或c＝2b．……………………………10分若b＝2c,则a＝，3c，可得B＝错误!；若c＝2b，则a＝错误!b，可得B＝错误!．………………12分所以sin（B＋错误!）＝错误!．…………………………………………………………………………14分16．证明:（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．因为M是OD的中点,所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分又AD//BC,AD＝2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．…………………………………………4分又MC⊄平面OAB，NB⊂平面OAB，所以MC//平面OAB；…………………………………………………………………………7分（2)设H是BD的中点，连结AH，OH．因为AB＝AD，所以AH⊥BD．又因为OB＝OD,所以OH⊥BD ． (9)分因为AH ⊂平面OAH ，OH ⊂平面OAH ，AH ∩OH ＝H ，所以BD ⊥平面OAH ．………………………………………………………………………12分因为OA⊂平面OAH ,所以BD ⊥OA ．……………………………………………………14分17．解：（1)由题意当n ＝0时，g （0）＝8，可得k ＝8．…………………………………2分所以n n n n f 100)1810)(10100()(-+-+=,即1)10(801000)(++-=n n n f ，n ∈Z 且n ≥0．……………………………………………7分（2）（解法1）由1)10(801000)(++-=n n n f )191(800001+++-=n n52092800001=⨯-≤， (11)分当且仅当1+n 19+=n ，即n ＝8时取等号,…………………………………………13分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分（解法2）令1)10(801000++-=x x y ,x ≥0,则1)1()8(40++-='x x x y ，令='y ，解得x ＝8．…………………………………………9分当x ∈(0，8),0>'y ，y 递增；当x ∈（8，＋∞）,0<'y ，y 递减．…………………11分所以当x ＝8时,y 有最大值，即当n ＝8时，f （n ）有最大值f （8)＝520．…………………13分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分18．解：（1）设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）．由题意可得错误!，………………………………………………………………………2分解得a ＝2错误!，c ＝2．…………………………………………………………………………4分从而b 2＝a 2－c 2＝4．所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1．……………………………………………………………6分（2）设圆C 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2，r ＞0．由圆C 经过点F （2，0）,得（2－m ）2＋n 2＝r 2，①……………………………7分由圆C 被l 截得的弦长为4,得｜4－m |2＋（42）2＝r 2,②……………………………8分联立①②，消去r 得:n 2＝16－4m ．………………………………………………………10分所以OC ＝m 2＋n 2＝错误!＝错误!．……………………………………12分因为由n 2≥0可得m ≤4，所以当m ＝2时，OC 长有最小值2错误!．……………………………………………………14分此时n ＝±2错误!，r ＝2错误!，故所求圆C 的方程为(x －2)2＋（y ±2错误!）2＝8．………………16分19．解:（1)因为a 1＝2＋错误!,S 3＝3a 1＋3d ＝12＋错误!，所以d ＝2．…………………2分所以a n＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋错误!, (3)分S n＝错误!＝n 2＋(错误!＋1)n ．………………………………………………………………5分（2）因为b n ＝a n －错误!＝2n ，所以kn b ＝2n k ．………………………………………………7分又因为数列｛kn b }的首项1n b ＝21=b ，公比313==b b q ，所以132-⋅=k n k b ． (9)分所以2n k132-⋅=k ,即n k 13-=k ．……………………………………………………………10分（3)假设存在三项a r ，a s ，a t 成等比数列，则t r sa a a ⋅=2,即有)22)(22()22(2++=+t r s ，整理得tr s s rt --=-22)(2． (12)分若02≠-srt ，则222s rt tr s ---=，因为r ，s ，t ∈N *，所以22s rt t r s ---是有理数，这与2为无理数矛盾;………………………………………………………………………………14分若02=-srt ，则02=--t r s ，从而可得r ＝s ＝t ，这与r ＜s ＜t 矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r ，a s ,a t ．……………………………………………16分20．解:(1)()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a'=+-=+-． (3)分由于1a >,故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．…………………………………………………………5分（2)当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解x =．…………………………………………………………………7分所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-,所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t =．…………………………10分(3）因为存在12,[1,1]x x∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时,maxmin max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-． (11)分由(2）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时,{}minmax (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-． (12)分而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--,记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号）,所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增．而(1)0g =，故当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <．即当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-．……………………………………………………………14分①当1a >时,由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥；②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a ae--≥-⇒+≥-⇒<≤．综上可知，所求a的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦．…………………………………16分附加题参考答案21．【选做题】A ．证明:因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC=⋅， ………………………………………………………2分因为D 为PA 中点,所以DP =DA , 所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DC PD= ． (5)分因为BDP PDC ∠=∠，所以BDP∆∽PDC∆， …………………………………………8分所以DPB DCP∠=∠． ………………………………………………10分B ．MN=11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………………………………………………4分设(),x y 是曲线x y sin =上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''．则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ …………………………………8分代入x y sin =得：1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=．即曲线xy sin =在矩阵MN 变换下的曲线方程为x y 2sin 2=． ……………………10分C ．曲线C的极坐标方程),cos sin 4πρθρθθ=+=-可化为,化为直角坐标方程为220,x y x y +-+=即22111()()222x y -++= ．…………………3分直线:l 41,531,5x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数)可化为3410x y ++=， (6)分圆心到直线的距离11341122510d ⨯-⨯+==， (8)分弦长75L ==．………………………………………………………………10分D ．当x ≥4时，2x ＋1－x ＋4＜2，解得x ＜－3（舍去）;………………………………3分当－错误!≤x ＜4时，2x ＋1＋x －4＜2，解得x ＜错误!，∴－错误!≤x＜53；…………………………6分当x ＜－错误!时，－2x －1＋x －4＜2,解得x ＞－7,∴－7＜x ＜－错误!．……………………9分综上，不等式的解集为（－7，错误!）．…………………………………………………………10分22．解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC ＝2,∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝错误!，从而B(0，0，0)，A )00，，C ()00,B 1（0，0，3），A 1)03，,C1()03,D 3⎫⎪⎝⎭，E302⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()123CA =，，设AF ＝x ，则F （错误!，0,x ），()()1122220302CF x BF x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎭，，，，，，，。

江苏南通名校联盟2024届高三上学期12月学业质量联合监测数学试题(解析版)

一、单选题（本大题共8江苏南通名校联盟2024届高三上学期12月学业质量联合监测数学试题小题）1. 已知集合{}{}220,05A x x x B xx =∈−−≤=≤≤Z∣∣，则A B = （）A. {}0,1B. {}0,1,2C. [)0,2D. []0,2【答案】B 【解析】【分析】先求A 集合，再利用交集概念求解即可.【详解】因为()(){}{}{}2101,0,1,2,05A x x x B xx =∈−+≤=−=≤≤Z ∣∣，所以{}0,1,2A B = . 故选：B.2. 已知复数z 和虚数单位i 满足i1iz =+，则z =（） A.11i 22− B.11i 22+ C. 1i − D. 22i −【答案】A 【解析】z ，再结合共轭复数的概念求z .【详解】()()()2i 1i i i i 11i 1i1i 1i 222z −−+====+++−，所以11i 22z =−.故选：A3. 已知向量()()1,,1,1am b==−，且()a b b +⊥，则实数m =（）A. 3B.12C. 12−D. 3−【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.【详解】由()()()1,,1,12,1a m b a b m ==−⇒+=−.因为()a b b +⊥ ，所以()()()121103a b b m m +⋅=×+−×−=⇒=．4. 为了得到函数πsin 26yx +的图象，只需把函数πsin 23y x− 的图象（）A. 向右平移π4个单位长度 B. 向左平移π4个单位长度 C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度【答案】B 【解析】【分析】先把目标函数变形为πsin[2()]12y x =+，再把平移函数变形为πsin[2()]6y x −，即可确定平移方向和平移单位. 【详解】因为函数πsin 26yx +可变形为πsin[2()]12y x =+，函数πsin 23yx−可变形为πsin[2()]6yx −，故把函数πsin 23y x− 的图象向左平移π4个单位即可得到πsin 26y x +的图象，故选：B. 5. 621()x x y y−+的展开式中42x y 的系数为（） A. 55 B. 70−C. 65D. 25−【答案】D 【解析】【分析】根据6()x y +展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含42x y 的项为242333426621C C 25x T x y x y x y y=×−×=−，所以展开式中42x y 的系数为25−．故选：D.6. 已知函数()11ee 4−−=−+x xf x ，若方程()4(0)f x kx k k =+−>有三个不同的根123,,x x x ，则123x x x ++=（）A. 4B. 3C. 2D. k【解析】【分析】由题意，易知e e x x y −=−为奇函数，()f x 由函数e e x x y −=−向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以()f x 的图象关于点()1,4对称，再根据直线也关于点()1,4对称，即可得答案.【详解】由题意，因为()ee e e xx x x −−−=−−，所以e e x x y −=−为奇函数，()f x 由函数e e x x y −=−向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以()f x 的图象关于点()1,4对称.而()()414f x kx k k x =+−=−+所表示的直线也关于点()1,4对称，所以方程()4f x kx k =+−的三个实根123,,x x x 中必有一个为1，另外两个关于1x =对称，所以1233x x x ++=.故选：B.7. 道韵楼以“古､大､奇､美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花､壁画､雕塑等，是历史､文化､民俗一体的观光胜地道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为1)+平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积约是（）A. 460平方米B. 1840平方米C. 2760平方米D. 3680平方米【答案】D 【解析】【分析】利用ABCDEFGH 是正八边形，求得284AOB ππ∠==，利用余弦定理求得【详解】如图，由题意可知底面ABCDEFGH 是正八边形，284AOB ππ∠==，由余弦定理可得22222cos (2AB OA OB OA OB AOB OA =+−⋅∠=−，则22OA AB =.因为底面ABCDEFGH 的面积为1)+平方米，所以2181)2AB ×+，解得40AB =.则该八棱柱的侧面积为32011.53680×=平方米. 故选：D.8. 设π3a =，e πb =，πe c =（e 为自然对数底数），则a ，b ，c 大小关系为（） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】B 【解析】【分析】由ln πln 3a =，ln e ln πb =，ln πc =，且ln ln ac >，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln πln e,πe大小，即可得结果. 【详解】由题设ln πln 3a =，ln e ln πb =，ln πc =，显然ln ln a c >，对于eln π，π的大小，只需比较ln πln e,πe大小，令ln ()xf x x=且e x ≥，则21ln ()0x f x x −′=≤，即()f x 在[e,)+∞上递减，所以ln πln eπe<，故ln e ln πb =<ln πc =，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与GDP 的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是20172022～年我国社会物流总费用与GDP 的比率统计，则（）．A. 20182022～这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多B. 20172022～这6年我国社会物流总费用的70％分位数为16.7万亿元C. 20172022～这6年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为0.2％D. 2019年我国的GDP 不达100万亿元【答案】BCD 【解析】【分析】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.【详解】由图表可知，20182022～这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为16.714.9 1.8−=万亿元，故A 错误；因为670% 4.2×=，则70%分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B 正确；由图表可知，20172022～这6年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为14.8%14.6%0.2%−=，故C 正确；由图表可知，2019年我国的GDP 为14.614.7%<100÷万亿元，故D 正确. 故选：BCD.10. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足14n n a a −−=−，n ∗∈N 且114a =，则下列选项正确的是（） A. 414n a n =−+B. 数列n S n为等差数列 C. 当8n =时n S 有最大值D. 设12n n n n b a a a ++=，则当2n =或4n =时数列{}n b 的前n 项和取最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A ，求出216nS n n=−+，然后利用等差数列定义判断B ，结合二次函数求等差数列前n 项和的最大值判断C ，根据n b 的符号判定{}n b 前n 项和的最值判断D.【详解】对于A ，由14n n a a −−=−知数列{}n a 为等差数列，公差为4−，首项为114a =，所以该数列的通项公式为144(1)418n a n n =−−=−+，错误；对于B ，因为()()121418421622n n n a a n n S n n ++−===−+，所以2216216n S n n n n n−+==−+，则当2n ≥时，()121621821n n S S n n n n −−=−+−−+=−−，故数列n S n为等差数列，正确；对于C ，()222162432n S n n n =−+=−−+，故当4n =时，n S 有最大值，错误；对于D ，令0n a >得14n ≤≤，令0n a <得5n ≥，则当1n =或2时，120n n n n b a a a ++=>，当3n =时，30b <，当4n =时，40b >，当5n ≥时，0n b <，又()334562224b a a a ==××−=−，()()445622624b a a a ==×−×−=，所以2n =或4n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值，正确. 故选：BD 11. 已知点3π,18P是函数()()πsin 04f x x b ωω =++>的图象的一个对称中心，则（）A. 3π18f x−−是奇函数 B. 28k =−+，*C. 若()f x 在区间3π11π,88上有且仅有2条对称轴，则2ω= D. 若()f x 在区间π2π,55上单调递减，则2ω=或143ω=【答案】BC 【解析】【分析】根据()f x 的对称中心求得,b ω，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点3π,18P是函数()()πsin 04f x x b ωω =++>的图象的一个对称中心，所以1b =，且*3ππ3ππ28sin 0,π,,848433k k k ωωω +=+==−+∈N ①，B 选项正确.则()*28πsin 1,334k f x k x=−+++∈ N ，所以3π283ππ1sin 83384f x k x −−−+−+  ()28πsin 12332k x k =−++−，由于12k −是奇数，所以()3π28π1sin 128332f x k x k−−=−++−是偶函数， A 选项错误. C 选项，3π11π3πππ11ππ,8884484x x ωωω<<+<+<+，将*28,33k k ω−+∈=N 代入得：3π28π28π11π28π83343348334k k x k −++<−++<−++ ，整理得28π8π2πππ33433k k k x k<−++<+−，由于()f x 在区间3π11π,88上有且仅有2条对称轴，所以3π8π2π5πk <−≤，解得1319k <≤，由于*，所以1k =，对应28233ω=−+=，所以C 选项正确. D 选项，()f x 在区间π2π,55上单调递减， π2ππ2ππππ2ππ,,555554454x x x ωωωωωω<<<<+<+<+，将*28,33k k ω−+∈=N 代入得：π28π28π2π28π53343345334k k x k −++<−++<−++ ，整理得8π7π28π16ππ156********k k x k +<−++<− ，则16ππ8π7ππ15601560k k −−+≤ ，解得1718k ≤≤，而*k ∈N ，所以1k =或2k =， 1k =时，8π7π16ππ37π21π,,156015606020k k +−=，符合单调性， 2k =时，8π7π16ππ71π127π,,156015606060k k +−= ，不符合单调性，所以2k =舍去所以281233ω=−+×=，所以D 选项错误. 故选：BC12. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，则（）A. 1DB ⊥平面PMNB. 平面PMN 截正方体所得的截面面积为C. 点Q 的轨迹长度为πD. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面PMN 截正方体所得的截面，求出面积；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，由RS t =得到方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,0,0,0,2,2,2P M N D B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==−−=−. 设平面PMN 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⋅=⋅−−=−−+= ⋅=⋅−=−+= ，令1z =得，1xy ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，A 正确；B 选项，取111,,A D AB CC 的中点,,E F Q ，连接11,,,,,,,,MQ ME EN NF FP PQ EP A B CD ，所以11//,//N MQ F A B CD ，又11////EP A B CD ，所以////NF MQ EP ，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN ，，故面积为26，B 正确；C 选项，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，又1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心，1r B S =为半径作圆，即为点Q 的轨迹，其中11B D B D ==1112B SB D ==故半径1r ==，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，因为M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，不妨求能放入含有顶点D 的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN 切与点S ，与平面11ADD A ，平面ADCB ，平面11DCC D 相切，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，则半径为t ，()1,1,1S ，故RS t =)1t t −=，解得t =D 正确. 故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题13. 已知点P 是曲线ln y x =上的一点，则点P 到直线0x y −=的最小距离为__________．【解析】【分析】设()0y x m m =+≠与ln y x =相切与点Q ()00,ln x x ，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解. 【详解】由题意可知：1y x′=，设()0y x m m =+≠与ln y x =相切与点Q ()00,ln x x ，则01y x ′=，令011′==y x ，得01x =，则切点()1,0Q ，代入()0y x m m =+≠，得1m =−，即直线方程为10x y −−=，在所以与直线0x y −=间的距离为d 即为P 到直线0x y −=的最小距离，. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和()22n S a n n a =−++，*n ∈N ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 的通项公式为____________．【答案】43n a n =−+ 【解析】【分析】利用等差数列的定义以及,n n S a 的关系即可得出结论.【详解】由2(2)n S a n n a =−++知，当1n =时，1121a S a ==−；当2n ≥时，12(2)(3)n n n a S S a n a −=−+−=−，此时，当2n =时，24(2)(3)35a a a a =−+−=−，当2n ≥时，12(2)n n a a a +−=−，而()2135214a a a a a −=−−−=−，若数列{}n a 是等差数列，则2(2)4a a −=−，所以0a =，则43n a n =−+. 故答案：43n a n =−+. 15. 某工厂生产一批零件（单位：cm ），其尺寸X 服从正态分布()2,N µσ，且()200.2P X ≤=，()260.8P X <=，则µ=__________．【答案】23【解析】【分析】求得()()2620P X P X ≥=≤，再利用正态密度曲线的对称性可求得µ的值.【详解】因为X 服从正态分布()2,N µσ，且()200.2P X ≤=，()260.8P X <=，则()()()2612610.80.220P X P X P X ≥=−<=−==≤，为所以，2026232µ+==. 故答案为：23.16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为FF 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为_________________.【答案】【解析】【分析】由A ，F ，B 三点共线可得3AF FB = ，再将A ，B 两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去b 求出1x ，进而得到直线的斜率.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为||3||AF FB =，又A ，F ，B 三点共线，所以3AF FB = ，所以()()1122,3,c x y x c y −−−=+，所以1234x x c +=−，1230y y +=. 又()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b += += ，所以222212122222998x x y y a a b b −+−=−，即()()()()121212122233338x x x x y y y y a b +−+−+=−，所以()122438c x x a −−=−，所以21223a x x c −=，所以212a x c c =−，又c a =223a c =，所以1=x c ，由221221y c a b +=，解得1y =，当1y =时，直线l的斜率11y k x c =+；当1y =时，直线l的斜率11y k x c ==+，所以直线l的斜率为. 四、解答题17. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 0c A a B c −+=.（1）求222sin sin sin B C A +−的值；（2）若5a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）0 （2）254. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得cos 0A =，即可得π2A =，利用诱导公式计算可得222sin sin sin 0BC A +−=；（2）利用不等式可得221sin 24ABC b c S bc A +=≤ ，再由勾股定理即可求得ABC 面积的最大值为254. 【小问1详解】因为cos cos 0c A a B c −+=，由正弦定理可得sin cos sin cos sin 0C A A B C −+=.又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()sin cos cos sincos sin sin 0C A A B A B C +=+=. 又因为sin sin 0B C +≠，所以cos 0A =.又()0,πA ∈，可得π2A =，故2222222πsin sin sin sin sin 1sin cos 102B C A B B B B +−=+−−=+−=. 【小问2详解】因为π2A =，所以2211sin 224ABC b c S bc A bc +==≤ ，当且仅当b c =时，等号成立.又可知22225b c a +==，所以ABC 面积的最大值为254.18. 近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人）喜欢跳舞不喜欢跳舞女性25 35 男性 5 25（1）根据表中数据并依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++. α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005x α 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879【答案】（1）认为喜欢跳舞与性别有关联（2）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）计算出2χ的值，对照卡方表完成检验；（2）分别计算出样本中喜欢跳舞和不喜欢跳舞的概率，根据二项分布即可求出随机变量的分布列和数学期望.【小问1详解】零假设：0H ：喜欢跳舞与性别无关联，由题意，()22902525355 5.625 3.84160303060χ×−×==>×××，依据小概率值0.05α=的独立性检验，可推断0H 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.【小问2详解】由题知，考生喜欢跳舞的概率301903P ==，不喜欢跳舞的概率为23X 的可能取值为0，1，2，3()3280327P X === ，()2131241C 933P X ==××=， ()2231222C 339P X ==××= ，()3113327P X === 所以X 的分布列如下：由1~3,3X B，数学期望()1313E X ×==. 19. 已知数列{}n a 满足11a =，+11121n n n a a −=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若221n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =（2）()()323212n n n n T +=−++ 【解析】【分析】（1）累加法计算通项公式即可；（2）利用裂项相消法计算即可.【小问1详解】因为11121n nn a a +−=+，所以21112113a a −=×+=，32112215a a −=×+=，，11121n n n a a −−=−，累加得()()()21132111352112n n n n n a a −+−−=+++−==− ，因为11a =，所以21n n a =，故21n a n=；【小问2详解】 ()221222111212221n n n a n b na n n n n n n ×====−+++×+， 11111111324352n T n n =−+−+−++−+ ()()1113231212212n n n n n +=+−−=−++++． 20. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面,,ABCD E F 分别是,PC AD 中点．（1）求证：DE //平面PFB ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角为45 ，求平面PFB 与平面EDB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设G 为PB 中点，连接,GE FG ，证明DE //FG 即可；（2）利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可.【小问1详解】设G 为PB 中点，连接,GE FG ，又,E F 分别是PC AD ､中点，所以11,22FD AD GE BC ==，//GE BC ，又底面ABCD 是正方形，所以FD GE =，//GE FD ，故四边形FDEG 为平行四边形，则DE //FG ，由DE ⊄平面,PFB FG ⊂平面PFB ，则DE //平面PFB .【小问2详解】由题意知45PBD ∠= ，以D 原点，构建空间直角坐标系，令1AB =，则PD DB ，所以()()(111,1,0,0,0,0,0,,,0,0,22B D E F P ，所以()(111,1,0,0,,1,1,,,1,022DB DE PB FB ==== ，令(),,m x y z = 为平面EDB的一个法向量，则0102m DB x y m DE y z ⋅=+= ⋅=+=，令y =，即()1m − ，令(),,n a b c = 为平面PFB的一个法向量，则0102n PB a b n FB a b ⋅=+= ⋅=+=，令2a =，即2,n =− ，所以cos ,m n m n m n ⋅== ，即平面PFB 与平面EDB为21.已知)()12,00F F ，M 为平面上一动点，且满足21||||4MF MF −=，记动点M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若(2,0),(2,0)A B −，过点(1,0)的动直线l 交曲线E 于P ，Q （不同于A ，B ）两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为AP k ，BQ k ，求证：AP BQk k 为定值，并求出定值. 【答案】（1）()221243x y x −=≥ （2）证明见解析；13【解析】【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证AP BQ k k 为定值，之后求出定值即可. 【小问1详解】由题可知21||||4MF MF −=<，则M 的轨迹是实轴长为24a =，焦点为)()12,00F F即c =b =，所以曲线E 的方程为：221(2)43x y x −=≥(或0x >). 【小问2详解】由题可知过点(1,0)的动直线l 斜率存在且不为0，则设斜率为k ，所以直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =−≠，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立22143(1)x y y k x −= =−，可得2222(43)84120k x k x k −−++=，则221222122430Δ08043412043k k x x k k x x k −≠ > +=>− + ⋅=>−，可得2314k <<，即1k −<<1k <<，则1212121212122(1)(2)(1)(2)2(2)(1)(2)(1)AP BQ k y x k x x x x k x y x k x x x −−−−−=×==++⋅−+− 2211221212221212112241282()22243434128222()24343k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k +−−−+−−+−−=+−+−−+−−−− 221122221122464614343121846333()4343k k x x k k k k x x k k ++−+−+−−==++−+−+−−，所以AP BQ k k 为定值，定值为13. 22. 已知函数()()()ln 0f x mx x m =−>．（1）若()0f x ≤恒成立，求m 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且212x x >，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,e] （2）2,ln 2 +∞【解析】【分析】（1）由()0f x ≤分离变量得e xm x ≤，通过构造函数()(0)x e g x x x=>，结合导数求得m 取值范围；（2）由()()1122ln ,ln mx x mx x ==，两式相减得2211ln x x x x =− ，利用换元法表示12,x x ，通过构造函的数法，利用导数证得10ln 21x <<<，结合（1）求得m 的取值范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}0x x >，令()0f x ≤，得e x m x≤，令()(0)x e g x x x=>，则2e (1)()−′=x x g x x ，令()0g x ′=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x ′<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′>．所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以min()(1)e g x g ==，所以(0,e]m ∈．【小问2详解】()()1122ln ,ln mx x mx x ==，两式相减，得2211ln x x x x =−．令212x t x =>，则1ln (1)t t x =−，故12ln ln ,11t t t x x t t ==−−，记ln (),21t h t t t =>−，则211ln ()(1)t t h t t ′−−=−，构造函数()()11ln 2H t t t t =−−≥，()22111t H t t t t−′=−=，所以()H t 在[)2,+∞上()()0,H t H t ′<递减，由于()11121ln 2ln 20222H =−−=−<−=，所以当2t >时，()0H t <，所以211ln ()0(1)t t h t t −′−=<−，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==，()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=，即2,ln 2m ∈+∞．【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究．的。

南通市2012届高三数学回归基础专项检测试卷

南通市2012届高三回归课本专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．复数211i++在复平面上对应的点的坐标是 ▲ ． 2．已知集合{}2|1,M y y x x R ==+∈，{}|3,N y y x x M ==-+∈，则M N =I ▲ ．3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值等于 ▲ ．4．某人随机地将标注为,,A B C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率为 ▲ ． 5．右图是一个算法的流程图，最后输出的W6．设双曲线的渐进线方程为230x y ±= ▲ ．7．已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则 ▲ ．8．用半径为，面积为cm 2无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）水时的体积是 ▲ cm 3．9．若直线x y a +=与圆224x y +=相交于点OA OB OA OB u u u r u u u r u u u r u u u r+=-（其中O 10．已知三角形的一边长为5，所对角为60o 取值范围是 ▲ ．11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω的最小值为 ▲ ．12．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}j A ，1,2,3,j =L ，在曲线y =上从左向第5题图右依次取点列{}k B ，1,2,3,k =L ，使()11,2,3,k k k A B A k -∆=L 都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2012个等边三角形的边长是 ▲ ． 13．已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则 n 的值为 ▲ ．14．若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2b ac =，向量()()cos ,1m A C =-u r和()1,cos n B =r 满足32m n ⋅=u r r ．（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：ABC ∆为等边三角形．16．（本题满分14分）如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=o ，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=o ．（1）证明：1BD AA ⊥；（2）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为()1g n n =+元（其中k 为常数，n Z ∈且0n ≥）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为()f n 万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．（1）求k 的值，并求出()f n 的表达式；（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？18．（本题满分16分）设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合： ①212n n n a a a +++≤ ；②n a M ≤，其中*n N ∈，M 是与n 无关的常数．（1）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，334,18a S ==，试探究{}n S 与集合W 之间的关系；（2）设数列{}n b 的通项为52n n b n =-，且{}n b W ∈，M 的最小值为m ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设1[(5)]25n n n c b m =+-+，求证：数列{}n c 中任意不同的三项都不能成为等比数列．19．（本题满分16分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（3）过椭圆C “伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln f x x =，若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“承托函数”．（1）若函数()ln tg x x x=-（t R ∈）为函数()f x 的一个“承托函数”，求实数t 的取值范围；（2）设函数()()12x F x f x e ex=-+，试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.。

江苏省如东县高三12月四校联考数学(理)试题.pdf

2012 2013学年度第一学期高三联考试卷数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1.设集合，，则=▲ ．已知复数满足，其中为虚数单位，则 ▲ ．已知点和向量，若，则点B的坐标为 ▲ ．是偶函数,则 ▲ ．5.已知，那么的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分” “既不充分又不必要”) 6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移 ▲ 个单位长度 7.若存在实数满足，则实数的取值范围是 ▲ ．的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ． ▲ ．为中的最小值，设，则的最大值是 ▲ ．中，的值等于 ▲ ．，则a,b,c的大小关系是 ▲ ．的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 ▲ ．已知函数函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ▲ ． 6个小题，共90分。

江苏省南通市2012届高三数学模拟试题

江苏省南通市2012届高三数学模拟试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．若复数z满足（i是虚数单位），则z= ▲．2．已知集合A={x|6x+a>0}，若1A，则实数a的取值范围是▲．3．命题p：函数y=tanx在R上单调递增，命题q：△ABC中，∠A>∠是sinA>sinB的充要条件，则p∨q是▲命题．（填“真”“假”）4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则 ▲ ．5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为 ▲ ．6．如果，那么= ▲ ．7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a= ▲ ．N开始输出TY结束9．将函数y ＝sin （2x ＋）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象．10. 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：1 若，则； ②若，则；③ 若，则； ④若，则.其中正确命题的序号是 ▲ ．11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式= ▲ ．12. 在中，A （1，1），B （4，5），C （—1，1），则与角A 的平分线共线且方向相同的单位向量为▲．13. 已知函数f(x)满足f(1)= ，f(x)+f(y)=4f()f()(x,y∈R)，则f(—2011)=▲．14. 已知二次函数，若函数在上有两个不同的零点，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)已知ABC的面积S满足，且=—8．（Ⅰ）求角A的取值范围；（Ⅱ）若函数，求的最大值．16．(本题满分14分)如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．ACBE.DABCDE.17．(本题满分15分)如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）已知圆O：=1，直线=1，试证明：当点P(m，n)在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．xOFAF1BCy18．(本题满分15分)各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．(Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．19．(本题满分16分)由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：吨）与上市时间（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线表示，销售价格（单位：元／千克）与上市时间（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．（Ⅰ）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1）（图2）20．(本题满分16分)如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．（Ⅰ）设a为实数，若a|a| 比a更接近1，求a的取值范围；（Ⅱ）f(x)=ln，证明：比更接近0（k∈Z）．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1　几何证明选讲已知中，,是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至.求证：的延长线平分.B．选修4—2　矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．选修4—4　参数方程与极坐标已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．D．选修4—5　不等式证明选讲设均为正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．（1）求：的值；（2）证明：为定值．参考答案一、填空题1. —1+2.3. 真4. 1005.6. 07.8. 2 9. 10.①③ 11. (n—1)2+1 12. 13. 14.二、解答题15. （Ⅰ）∵ =—8，∴=—8，∴ = ①∵②将①代入②得，由，得，又，∴.（Ⅱ）=====，当，即时，取得最大值，同时，取得最大值．16. （Ⅰ）由已知BO=,OD=在Rt△BOD中, BD=.ABCDE.（Ⅱ）方案(一)过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,,平面EFG//平面ACD原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.方案(二)过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,为使截去部分体积最小,故选用方案(二).17. （Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得∴．由△ABC的面积为5，得，=5.（2）解（1）（2）得a=3，c=2. ∴=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：．(Ⅱ) 圆O到直线=1距离d=，由点P(m,n)在椭圆M上，则，显然，∴1，>1, ∴d =<1，而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．弦长t=2=2,由得，∴, t=2, ，∴，，∴，弦长t的取值范围是[]．18．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2，　∴∴b3=＝8. ∵+2　①当n≥2时，+2 ②①-②得即∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．当n＝1时，+2，解得=1或=2，当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴．　（Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，事实上，当n≥5时，＝＜0即，∵<1 ∴当n≥5时，，故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a p,a q,a r构成等差数列，∴ 2a q=a p+a r，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．19.解(Ⅰ)．（在恒成立，所以函数在上递增当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．(Ⅱ) ，z=x—5y．令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则，∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，∴,则(z)max=11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B．∴,∴，则(z)max= ．20. (Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1|（1）当0<a<1时, |a2—1|≤|a—1|1-a2≤1—a，得a≥1或a≤0(舍去)（2）当a≥1时，a2—1≤a—1,得a= 1；（3）当a≤0时， a2+1≤1—a ，—1≤a≤0 ．综上， a的取值范围是{a|—1a0或a=1} (Ⅱ) ∵++…+=，∴=．令n（n+1）=t，∴t∈，且t∈Z，则F（t）= =．=∴F（x）在单调递减∴F（t）≤f（6）<F(2)=—ln1—0=0 ．∴,即≤0．∴比更接近0．附加题参考答案及评分标准A．选修4—1　几何证明选讲解（Ⅰ）设为延长线上一点∵四点共圆，∴ 3分又∴, 5分且, ∴, 7分对顶角, 故,即的延长线平分. 10分B．选修4—2　矩阵与变换解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，即； 3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，即， 6分解得即A＝， 7分A的逆矩阵是 10分C．选修4—4　参数方程与极坐标解由题设知,圆心2分∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30° 4分设是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=由正弦定理得8分，即为所求切线的极坐标方程. 10分D．选修4—5　不等式证明选讲证明： 3分9分即得. 10分另证利用柯西不等式取代入即证.22.解：（1）X的可能取值为4、5、6.P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=X的分布列为P456X5分(2)设 “6次取球后恰好被停止”为事件A则6次取球后恰好被停止的概率为 10分23.解：设焦点F（0,1）消得化简整理得（定值）（2）抛物线方程为过抛物线A、B两点的切线方程分别为和即和联立解出两切线交点的坐标为=（定值）。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学试题

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________. 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共16页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)和解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

江苏省南通市2012届四校联考高考数学试题

江苏省南通市2012届四校联考数学试题考试时间：120分钟满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于。

2、已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于。

3、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于。

4、已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于。

5、已知54cos ),,0(-=∈απα，则)4sin(πα-= 。

6、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于________7、化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为。

8、将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是。

9、若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是。

10、若π()sin 4n f n α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(4)(2)(6)f n f n f n f n ++++=··11、若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________12、设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．13、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 的大小为________14、设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是________二、解答题（15,16每题14分，17,18每题15分，19,20每题20分）15、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求： ①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间； ③函数)(x f 图像的对称轴。

南通市如东县四校2012-2013学年高三(上)12月联考数学试卷(文科)

2012-2013学年江苏省南通市如东县四校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式可得函数=cos[2x﹣），再根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：∵函数=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=的图象，故答案为．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（2010•如皋市模拟）已知=．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C 是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OC A1E，得到EC A1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OC A1E，因而EC A1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A= a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a ，从而可判断三角形△ABC 为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin 2AsinB+sinBcos 2A=sinA （2分）即sinB=sinA ，∴=（6分）（2）∵=，∴b=a ，∴由余弦定理=得c=a （8分）∴b 2=3a 2=a 2+2a 2=a 2+c 2， ∴B=90°（10分）∴cos （B ﹣A ）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题． 18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E 、F 分别在BC 、CD 上），根据规划要求△ECF 的周长为2km ．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF 的面积最小，试确定点E 、F 的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：综合题．分析：（1）根据规划要求△ECF 的周长为2km ，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E 、F 的位置．解答：解：（1）设CE=x ，CF=y （0＜x ≤1，0＜y ≤1），则tan α=1﹣x ，tan β=1﹣y ，由已知得：x+y+，即2（x+y ）﹣xy=2…（4分）∴tan （α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S △EAF ==AE ×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF 的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan =，∴tan =﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF 的面积最小．…（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，一条准线l ：x=2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ=，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证：点P 在定圆上，并求该定圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2﹣c2，可求b，即可求解椭圆C的方程（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．。

南通市2012届高三第一次数学调研试题及答案详解（word版）

a ¬1 b ¬2 c ¬3 c ¬a a ¬b b ¬c Print a ，b （第3题）题）南通市2012届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-å，其中11ni i x x n ==å.（2）函数()()sin f x x w j =+的导函数()()cos f x x w w j ¢=×+，其中w j ，都是常数都是常数. . 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为的离心率为 ▲▲ . 答案：22．若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲▲ . 答案：1 + 2i 3．在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是的值依次是 ▲▲ . 答案：2，1 4．一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为，则该组数据的方差为 ▲▲ . 答案：0.02 5．设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--ÎZ ≥，，则U A =ð ▲▲ （用列举法表示）（用列举法表示）（用列举法表示）. .答案：{0，1} 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则×=a b ▲▲ . 答案：0 解析：法一：法一由a ×()152-=a b 得2152-×=a a b ，即1552-×=a b ，所以0×=a b ；法二法二由a = (1，2)，12-a b =(3，1)得b = (4-，2)，所以0×=a b . 7．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为个球的概率为 ▲▲ . . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为q ，则q 的取值范围是的取值范围是▲▲ . .答案：)ππ32éêë，解析：()11tan 332y'xx q ==+≥，所以)ππ32q éÎêë，.9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴的边分别平行于两坐标轴. . . 若点若点A 的纵坐标为2，则，则点D 的坐标为的坐标为 ▲▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式：311=， 33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++××××××++= ▲▲ （（n Î*N ）答案：2(1)2n n +éùêúëû解析：法一：先看出等式右边依次为：12，(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2；再归纳出所求式子为2(12)n +++ ；最后用等差数列求和公式即得；最后用等差数列求和公式即得. . 法二：猜想数列法二：猜想数列{a n }：1，3，6，10，…的通项公式.①由①由12233445136102222´´´´====，，，猜想出(1)2n n n a +=. ②作数列{a n }：1，3，6，10，…的差分数列，知其为等差数列，…11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心的中心. . . 则空间四边形则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为中，面积的最大值为 ▲▲ . . 答案：12 OBDCyx（第9题）题）1 1 A 2OBCF 1F 2Dxy(第13题) ABCDE GD 1（第11题）题）C 1A 1B 1FABE G①A 1B 1FAD EG②A 1D 1(F ) A (E ) B ③D C FG解析：如图①，当E 与1A 重合，F 与1B 重合时，四边形AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图②，当E 与1A 重合，重合，四边形四边形AEFG 在左、右面的正投在左、右面的正投影的面积最大值为8；如图③，当F 与D 重合时，四边形AEFG 在上、下面的在上、下面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12.( (本题源于《必修本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本》立体几何章节复习题，复习时应注重课本)) 12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x éùÎêúëû，都成立，则21a a -的最小值为的最小值为 ▲▲ .答案：21π-解析：如图，当过原点的直线过点() 1p 2，时，1a 取得最大值2p；当过原点的直线为点() 00，处的切线时，2a 取得最小值1.(讲评时应强调割线逼近切线的思想方法讲评时应强调割线逼近切线的思想方法)) 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆分别为椭圆22221yx a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . . 若若127cos 25F BF Ð=，则直线CD 的斜率为的斜率为 ▲▲ .答案：1225解析：由127cos 25F BF Ð=得35e =，因为22BD CD CD b b k k k c a -=×=-×，所以2CD bc k a=，故21225CD bck a==.(讲评时，注意体会①式中“22BD CD b k k a ×=-”这一重要结论，证明略.) 14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列的等比数列.. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为的所有可能的值构成的集合为 ▲ . .答案： {}5837，解析：设1a ，1a d +，12a d +，188a +，其中1a ，d 均为正偶数，均为正偶数，则22111(2)()(88)a d a d a +=++，整理得14(22)0388d d a d -=>-，(注意体会这里用“10a >”而不用“12a ≥”的好处) 所以(22)(388)0d d --<，即22883d <<，所以d 的所有可能值为24，26，28，当24d =时，112a =，53q =；当26d =时，12085a =（舍去）；当28d =时，1168a =，87q =，所以q 的所有可能值构成的集合为{}58 37，. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求ac 的值；的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan AC 的值的值. .解析：（1）由正弦定理，得sin sin A aB b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =． ………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab +-´=．整理得a c =，即1ac =. . ………………………………………………………………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=p ，A（第16题）题）BC DD 1C 1B 1A 1M所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C p +-=p -+éùéùëûëû，即()()sin 3sin A C A C --=+．………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ……………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0¹，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分点评：本题主要考查正、本题主要考查正、余弦定理、余弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．注意，本题中的“斜三角形”条件可以省去知识，考查运算求解能力．注意，本题中的“斜三角形”条件可以省去.. 16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：求证：（1）1AA BD ^；（2）11//BB DD .解析：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ，因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ^，1BD A M ^．…………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M Ì、平面1A AM ，所以BD ^平面1A AM ．而1AA Ì平面1A AM ，所以1AA BD ^.……………………………………………………………7分（2）因为11//AA CC ，1AA Ë平面11D DCC ，1CC Ì平面11D DCC ，所以1//AA 平面11D DCC ．…………………………………………………9分又1AA Ì平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，…………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．…………………………………………………………14分点评：本题主要考查直线与直线、本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时小时..应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继组继续种植，求植树活动所持续的时间续种植，求植树活动所持续的时间..解析：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x Î*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ´==；…………………………………2分B 组活动所需时间12001002()5252g x x x´==--．…………………………………4分令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x xìÎï=íïÎ-îN N ≤，，，，≥， …………………………………………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067´-´=-（小时），………………………10分B 组所需时间为220032123133263´-´+=+（小时）， ………………………12分所以植树活动所持续的时间为637小时．小时．…………………………………14分（第18题）题）xyO1C 2CC1l2l点评：本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．讲评第（解决实际问题的能力．讲评第（22）问时，应注意引导学生思考为什么从A 组抽调6名志愿者加入B 组？而不是7名，名，55名，…呢？ 18．(本小题满分16分)如如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为截得的弦长为 65，求直线l 的方程；的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．坐标；若不经过，请说明理由．解析：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-．化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．………………………………10分②圆②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-．整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．………………………………14分由2210 620x y x y y -+=ìí+--=î，，得31223222x y ì=+ïíï=+î，；或31223 2 2.2x y ì=-ïíï=-î，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．…………16分（2）中②的另一种解法：设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），①，①易得圆1C ：2220x y x ++=， ② 圆2C ：2268240x y x y +--+=，③，③由①-②得(2)0D x Ey F -++=，将1(1 0)C -，代入得2F D =-，由①-③得(6)(8)240D x E y F ++++-=，将2(3 4)C ，代入得6E D =--，代入③得22(6)20x y Dx D y D ++-++-=，整理得22(1)620x y D x y y -+++--=，由2210 620x y x y y -+=ìí+--=î，得31223 222x y ì=+ïíï=+î，，或31223 222x y ì=-ïíï=-î，，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．点评：本题主要考查直线的方程、圆的方程、本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力． 19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02éùëû，上恒成立．上恒成立．解析：（1）由题意，得()1cos 0f x x ¢=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． …………………6分（2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．…………………………8分当当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+--1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>，所以所以()g x 在π02éùëû，上为单调增函数．上为单调增函数．所以()(0)0sin00cos00g x g a =+-´´=≥，符合题意．，符合题意． ………………10分②当②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+，于是于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．因为因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥．所以所以()h x 在π02éùëû，上为单调增函数．上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．…………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02éùëû，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()π02x Î，，使得，使得当0(0 )x x Î，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数，上为单调减函数，从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．恒成立．综上所述，综上所述，实数实数a 的取值范围为2a ≤．…………………………………………16分点评：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力． 20. ( (本小题满分本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数的各项均为正数..若对任意的n Î*N ，存在k Î*N ，使得22n k n n k a a a++=×成立，则称则称数列{n a }为“J k 型”数列．型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列是等比数列. .解析：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a==，所以所以()412212n n n a a q --==． …………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . . …………………………6分由由{n a }是“3J 型”数列，得型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1a ； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2a ； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3a ；则则431311a t a a ==，431725a t a a ==，432139a t a a ==．所以所以123a a a ==，不妨记123a a a a ===，且43t a =． …………………12分于是于是()(32)1133211k k k a a a a a ----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a a aa a ------====，()1313233339111k kk k k a a a t a a aaaa----====，所以所以()131n n a a a -=，故{n a }为等比数列．…………………………………16分（2）的另一解法：由题设知，当n ≥8时，时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等比数列；成等比数列； a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等比数列．也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2＝a n －3a n ＋3＝a n －6a n ＋6．（*）且a n －6a n ＋6＝a n －2a n ＋2．所以当n ≥8时，a n 2＝a n －2a n ＋2，即22n nn n a a a a +-=．于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等比数列，成等比数列，从而a n －3a n ＋3＝a n －1a n ＋1，故由（*）式知a n 2＝a n －1a n ＋1，A E BCDO·（第21－A 题）题）即11n nn n a a a a +-=．当n ≥9时，设1n n a q a -=．当2≤m ≤9时，m ＋6≥8，从而由（*）式知a m ＋62＝a m a m ＋12，故a m ＋72＝a m ＋1a m ＋13，从而271132126m m m m m m a a a a a a +++++=，于是21m m a q q a q+==．因此1n n a q a +=对任意n ≥2都成立．都成立．因为2417a a a =，所以23377652424132114654a a a a a a a a aq q a a a a a a a a a ×=××===××=，于是21a qa =．故数列{a n }为等比数列．为等比数列．点评：本题主要考查数列的通项公式、本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，等比数列的基本性质等基础知识，等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究考查考生分析探究及推理论证的能力．南通市2012届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲：几何证明选讲（本小题满分10分）分）如图，AB 是半圆O 的直径，的直径，延长延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．的长．解析：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE Ð=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分于是30DAC BDC Ð==Ð．而60ABD Ð= ，故30C BDC Ð==Ð．所以3DB BC ==．在△O中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分点评：本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力． B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110éùêúëû对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．的值．解析：设变换T ：x x y y ¢éùéù®êúêú¢ëûëû，则0110x x y y y x ¢éùéùéùéù==êúêúêúêú¢ëûëûëûëû，即 . x y y x ¢=ìí¢=î，………………5分代入直线y kx =，得x ky ¢¢=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………………………………10分点评：本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a r q =（0a >）与直线()cos 1r qp +=4相切，求实数a 的值．解析：将圆sin a r q =化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224a ax y +-=．将直线()cos 1r q p +=4化成普通方程为20x y --=． …………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．………………………………… 10分点评:本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． D ．选修4—5：不等式选讲：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．解析：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ ………………………………4分333333a b c ×××××≥ 327abc =×27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）．时等号成立）． …………………………………10分F Bxy O ACD M N点评：本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1n n n a a n a +=Î+N ．（1）求2a ，3a 的值；的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ÎN 都成立．都成立．解析：（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =ÎN 时，10k k a a +<<成立，……………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k kk kk ka a a a a a a a a aa a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k aa++<<，即当1n k =+时，不等式成立．时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ÎN 成立．………………10分点评：本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．23．（本小题满分10分）分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ^x 轴；轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0），求证：直线AB 过定点．过定点．解析：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p =，即2p =．所以抛物线的标准方程为24y x =．…………………………………………3分（2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x¢=．所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②，② 且D 点坐标为2( 0)x -，．由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ^x 轴．轴．………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+．所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．…………………………………………………10分点评：本题主要考查抛物线的标准方程、：本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，简单的几何性质等基础知识，简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、考查运算求解、考查运算求解、推理推理论证的能力．数学Ⅰ双向细目表命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进题号题号考查内容考查内容考纲要求考纲要求难度难度来源来源 1 双曲线的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质 A 容易题容易题自编题自编题自编题 2 复数的四则运算复数的四则运算B 容易题容易题自编题自编题自编题3 基本算法语句基本算法语句 A 容易题容易题自编题自编题自编题 4 总体特征数的估计总体特征数的估计B容易题容易题自编题自编题自编题 5 集合的运算、一元二次不等式集合的运算、一元二次不等式 B 、C 容易题容易题自编题自编题自编题 6 平面向量的数量积平面向量的数量积 C 容易题容易题自编题自编题自编题 7 古典概型古典概型 B 容易题容易题自编题自编题自编题 8 导数、基本不等式导数、基本不等式B 、C中等题中等题自编题自编题自编题 9 幂、指、对函数的图像与性质幂、指、对函数的图像与性质 A 、B 中等题中等题改编题改编题改编题 10 合情推理、等差数列合情推理、等差数列 B 、C 中等题中等题改编题改编题改编题 11 空间几何体空间几何体 A 中等题中等题改编题改编题改编题 12 导数、三角函数导数、三角函数B中等题中等题改编题改编题改编题 13 椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率直线的斜率 B 难题难题自编题自编题自编题 14 等差、等比数列等差、等比数列C 难题难题改编题改编题改编题 15 正、余弦定理、两角和的正弦正、余弦定理、两角和的正弦 B 、C 容易题容易题自编题自编题自编题 16 直线与平面平行、垂直的判定与性质与性质B 容易题容易题自编题自编题自编题 17 函数模型及其应用函数模型及其应用B中等题中等题改编题改编题改编题 18 直线与圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 C 、B 中等题中等题自编题自编题自编题 19 函数的图像与性质函数的图像与性质 B 难题难题自编题自编题自编题 20 等比数列等比数列C 难题难题自编题自编题数学Ⅱ双向细目表命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进题号题号考查内容考查内容考纲要求考纲要求难度难度来源来源 21—A 与圆有关的几何证明与圆有关的几何证明B容易题容易题容易题自编题自编题21—B 矩阵的变换矩阵的变换A 容易题容易题容易题自编题自编题 21—C 极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化 B容易题容易题容易题自编题自编题 21—D 不等式的证明不等式的证明B容易题容易题容易题改编题改编题 22 数学归纳法数学归纳法B中档题中档题中档题改编题改编题 23 抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质B难题难题难题自编题自编题。

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2、已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于。

3、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于。

4、已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于。

5、已知54cos ),,0(-=∈απα，则)4sin(πα-= 。

6、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于________7、化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为。

8、将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是。

9、若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是。

17、如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围。

18、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)一个周期的图象如右图所示．(1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f (α－π3)＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．19、已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝ea 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最小值20、已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.(1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围1、解析：由题意可得，∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，A ＝{x |－2≤x ≤3}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．主要考查集合运算。

2、解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}，集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}，则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}， ∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1} 考查定义域求解3、解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32，∴f (f (12))＝f (－32)＝11＋(－32)2＝413. 本题主要考查分段函数运算。

4、解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )， ∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1 考查函数奇偶性。

5、1027 提示：由条件可知53sin =α，则4sin cos 4cos sin )4sin(παπαπα-=-，可代入求值考查两角和与差。

6、解析：∵f (π6＋x )＝f (π6－x )∴函数f (x )关于x ＝π6对称，∴x ＝π6时，f (x )取得最值±3.主要考查三角函数对称性。

7、0 提示：令αφ=+015，则原式=αααcos 3)30cos()60sin(00-+++=αααααcos 3sin 21cos 23sin 21cos 23--++=0 考查三角函数求值化简。

8、解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x 考查函数图像平移思想。

9、解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论：①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a <1，本题考查复合函数单调性，要注意分类讨论。

10、1主要考查三角函数周期性。

11、解析：由题意得f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，∴1＋12a ＝0，∴a ＝－2.∴f (x )＝sin2x －2cos 2x[来源:学科网] ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，∴f (x )的最小正周期为π.12、解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.主要考查函数单调性。

13、解析：依题意得tan A ＝3，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝sin 2B －sin B cos B －2cos 2Bsin 2B ＋cos 2B＝tan 2B －tan B －2tan 2B ＋1＝0，所以tan 2B －tan B －2＝0，即(tan B －2)(tan B ＋1)＝0，所以tan B ＝2或tan B ＝－1.当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1，又C ∈(0，π)，因此C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C ＝－t an(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－12<0，此时B ，C 均为钝角，这显然不可能．综上所述，C ＝π4.14、解析：B ＝{x |3≤x ≤22}，而A ⊆(A ∩B )⇔A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤223a －5≥2a ＋1⇔6≤a ≤9，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是6≤a ≤9， 15、解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72.故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．16、解∵22cos 1352sin 25)(x x x f +-==2352cos 2352sin 25--x x =235)2cos 232sin 21(5--x x =235)32sin(5--πx ， ∴①)(x f 最小正周期π=T ；②由Z k k x k ∈+≤-≤+,2323222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,1211125ππππ；③由)(232Z k k x ∈+=-πππ，得)(x f 的对称轴为)(1252Z k k x ∈+=ππ。

17、解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.18、解：(1)由图知，函数的最大值为1，则A ＝1，函数f (x )的周期为T ＝4×(π12＋π6)＝π.而T ＝2πω，则ω＝2.又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin[2×(－π6)＋φ]＝0.而－π2<φ<π2，则φ＝π3，∴函数f (x )的表达式为f (x )＝sin(2x ＋π3)．(2)由f (α)＋f (α－π3)＝2425得：[来源:]sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425，化简得：sin2α＝2425.∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝4925.由于0<α<π，则0<2α<2π，但sin2α＝2425>0，则0<2α<π，即α为锐角．从而sin α＋cos α>0，因此sin α＋cos α＝75.19、解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·aax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea )＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]，令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e ，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；[来源:学科网]②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0；当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e，e]上为增函数，∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e ≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e，e]上是减函数， ∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．20、解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45]，即a ∈(14，45]．若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45]．。