2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)

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(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设312iz i-=+，则||(z = ) A ．2B ．3C ．2D ．12．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(UBA = )A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）函数2sin ()cos x xf x x x+=+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．（5分）tan 255(︒= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+8．（5分）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．12A A=+ B ．12A A=+C ．112A A=+ D ．112A A=+10．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )A ．6B ．5C ．4D ．312．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【名校推荐】专题25 概率与统计-三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析 Word版含解析

考纲解读明方向分析解读本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。

2017年数学真题及解析_2017年上海市高考数学试卷

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β），当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（s inα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷Word版含解析

2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。

2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=8．（4分）设无穷等比数列{a．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a=（a3+a4+…a n）1=（﹣a﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求求出S n分别代入不等式S n≤S n+1出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n≤3S n，即，+1∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，≤3S n，即，，S n≤S n+1∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k 的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。

2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

上海中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=．2．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．3．“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是．4．若f（x+）=x2+，则f（3）=．5．不等式x＞的解是．6．若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．7．不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是．8．已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是．9．不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10．设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为．11．对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是．12．已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．二.选择题13．不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}14．若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A 的个数为（）A．4 B．15 C．16 D．3215．不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．516．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题17．解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）≤x．18．已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．20．设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2016秋•徐汇区校级期中）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，所以∁A B={0，2，6，10}．故答案为：{0，2，6，10}．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B= {﹣1，0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】通过求解绝对值不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：∵A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故答案为：{﹣1，0，1}【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法．3．（2016秋•徐汇区校级期中）“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x ≠1，或y≠1”．【考点】四种命题．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x≠1，或y≠1”，故答案为：“若x+y≠2，则x≠1，或y≠1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键．4．（2016秋•徐汇区校级期中）若f（x+）=x2+，则f（3）=7．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，所以f（x）=x2﹣2，则f（3）=7．故答案为：7．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．5．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式x＞的解是（﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可．【解答】解：原不等式等价于等价于（x+3）（x﹣3）x＞0，由穿根法得到不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）；故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）；【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得．6．（2016秋•徐汇区校级期中）若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则，解得a的取值范围．【解答】解：若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则，解得：a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，难度中档．7．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是（0，6）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），解关于t的不等式，然后解出x范围．【解答】解：设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），所以t∈[0，3），即∈[0，3），所以（x﹣3）2＜9，解得﹣3＜x﹣3＜3，所以0＜x＜6，故原不等式的解集为（0，6）；故答案为：（0，6）．【点评】本题考查了利用换元法解不等式；属于基础题．8．（2016秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是[﹣6，8] ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则，故答案为：[﹣6，8]．【点评】本题考查了集合的交集、并集的定义，是一道基础题．9．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为16．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；转化法；不等式．【分析】利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2，然后解不等式即可．【解答】解：（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2，即（x+y）（+）的最小值为（+1）2，若不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，∴（+1）2≥25，即+1≥5，则≥4，则a≥16，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2是解决本题的关键．10．（2016秋•徐汇区校级期中）设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为25．【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】利用基本不等式可将ab=a+4b+5转化为ab的不等式，求解不等式可得ab的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴a+4b+5=ab，可得ab≥5+2=5+4，当且仅当a=4b时取等号．∴（+1）（﹣5）≥0，∴≥5或≤﹣1（舍去）．∴ab≥25．故ab的最小值为将25；故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式，将2ab=a+b+12转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档11．（2012•天宁区校级模拟）对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是（﹣3，1.5）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】由于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围．【解答】解：二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，∴即整理得解得p≥，或p≤﹣3，∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是（﹣3，）．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，是解答本题的关键．12．（2014秋•苏州期末）已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】由a，b为正实数，且a+b=2，变形可得=+a+b﹣1+=+1=f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=2，∴=a++=+a+b﹣1+=+1=f（a），0＜a＜2．f′（a）=+=，令f′（a）＞0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得，此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6﹣3时函数f（a）取得极小值即最小值，=．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题13．（2016秋•徐汇区校级期中）不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}【考点】绝对值不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】建议修改C为{x|0＜x＜1，或x＜﹣1}原不等式即x（|x|﹣1）＜0，等价转化为①，或②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：不等x|x|＜x，即x（|x|﹣1）＜0，∴①，或②．解①可得0＜x＜1，解②可得x＜﹣1．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，故选C．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14．（2016秋•徐汇区校级期中）若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（）A．4 B．15 C．16 D．32【考点】子集与真子集．【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合．【分析】利用A⊆B，A⊆C，可得A⊆（B∩C），求出B∩C，即可得出结论．【解答】解：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C），∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，∴B∩C={0，2，4，6}，∴A的个数为16，故选C．【点评】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础．15．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a与b的值，进而求出a﹣b的值．【解答】解：由不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），构造不等式（x+）（x﹣）＜0，整理得：6x2+x﹣1＜0，即﹣6x2﹣x+1＞0，与ax2+bx+1＞0对比得：a=﹣6，b=﹣1，则a﹣b=﹣6+1=﹣5，故选：C．【点评】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，是一道基础题．16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则f min（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．三.解答题17．（2016秋•徐汇区校级期中）解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）≤x．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【专题】对应思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围得到x﹣1=0或或，解出即可．【解答】解：（1）x≥2时，x﹣2+2x﹣3＜4，解得：x＜3，＜x＜2时，2﹣x+2x﹣2＜4，解得：x＜4，x≤时，2﹣x+3﹣2x＜4，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|＜x＜3}；（2）∵≤x，∴≥0，∴x﹣1=0或或解得：﹣1＜x≤0或x=1或x＞2，故不等式的解集是（﹣1，0]∪{1}∪（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题．18．（2016秋•徐汇区校级期中）已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为（ad﹣bc）2≥0，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．【解答】证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立；（2）a2+b2+c2=（a2+b2+c2+a2+b2+c2）≥（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．【点评】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．19．（2016秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|x+1|=t，t≥0，得到t2﹣t+k﹣3=0，由x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．【解答】解：（1）x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，∴﹣=﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，解得a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+1，（2）：f（x）=|x+1|﹣k+3，∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，设|x+1|=t，t≥0，∴t2﹣t+k﹣3=0，∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或解得k=，或k＜3，故有k的取值范围为{k|k=，或k＜3}【点评】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．20．（2016秋•徐汇区校级期中）设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p的范围．【解答】解：关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，则△=（p﹣1）2﹣4p（p+1）=﹣3p2﹣6p+1＞0，解得﹣1﹣＜p＜﹣1+，当x1+x2=＞0，及x1x2=＞0时，方程的两根为正．解之，得0＜p＜1．故0＜p＜﹣1．记x1=，x2=，由x2＞2x1，并注意p＞0，得3＞1﹣p＞0，∴28p2+52p﹣8＜0，即7p2+13p﹣2＜0．∴﹣2＜p＜．综上得p的取值范围为{p|0＜p＜}．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．21．（2016秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f （x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】阅读型；函数思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据新类型的定义，求解f[2]（x），再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．带入二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函数的值，即ax2+bx+c=t函数必有两个根，△＞0．化简可得（b﹣1）2﹣4ac的取值范围．【解答】解：（1）由题意：当f（x）=x2﹣x时，则：f[2]（x）=（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）=x4﹣2x3+x；那么：f[2]（x）=x；即：x4﹣2x3+x=x；解得：x=0或x=2．（2）根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+c﹣t，化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0，解得：t=0或t=．当t=0时，即ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b﹣1）2﹣4ac＞0．当t=时，ax2+bx+c=x，整理可得：，∴△==（b+1）2﹣4ac+4（b+1）=（b﹣1）2﹣4ac﹣4∵有两个不相同的实数根△＞0．∴（b﹣1）2﹣4ac﹣4＞0，即（b﹣1）2﹣4ac＞4．综上所得△=（b﹣1）2﹣4ac的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题考查了新定义的应用和理解，计算能力！反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．。

2017年高考数学上海试题及解析

2021年上海市高考数学试卷一、填空题〔本大题共12题，总分值54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕1.集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，那么A∩．{3,4} 【解析】∵集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，∴A∩{3，4}．2．〔2021年上海〕假设排列数=6×5×4，那么．2.3 【解析】∵排列数=6×5×…×(61)，∴61=4，即3. 3．〔2021年上海〕不等式＞1的解集为．3.(-∞，0) 【解析】由＞1，得1>1，那么<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.〔2021年上海〕球的体积为36π，那么该球主视图的面积等于．4.9π 【解析】设球的半径为R，那么由球的体积为36π，可得πR3=36π，解得3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．5．〔2021年上海〕复数z满足=0，那么．5 【解析】由=0，可得z2+3=0，即z23，那么±i，.6．〔2021年上海〕设双曲线=1〔b＞0〕的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，假设15，那么2．6.11 【解析】双曲线=1中，=3，由双曲线的定义，可得126，又15，解得211或﹣1〔舍去〕，故211.7．〔2021年上海〕如图，以长方体1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，假设向量的坐标为〔4，3，2〕，那么向量的坐标是．7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为〔4，3，2〕，可得A〔4，0，0〕，C(0,3,2)，D1(0,0,2)，那么C1〔0，3，2〕，∴=〔﹣4，3，2〕．8.〔2021年上海〕定义在〔0，+∞〕上的函数〔x〕的反函数为﹣1〔x〕，假设g〔x〕为奇函数，那么1〔x〕=2的解为．8 【解析】g〔x〕1〔x〕=2，可得(2)=1-3-2，即1〔x〕=2的解为.9．〔2021年上海〕四个函数：①，②，③3，④，从中任选2个，那么事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点〞的概率为．9 【解析】从四个函数中任选2个，根本领件总数=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点〞包含的根本领件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点〞的概率为.10．〔2021年上海〕数列{}和{}，其中2，n∈N*，{}的项是互不相等的正整数，假设对于任意n∈N*，{}的第项等于{}的第项，那么=10.2 【解析】∵2，n∈N*，假设对于一切n∈N*，{}中的第项恒等于{}中的第项，∴.∴b112，b422，b932，b1642.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.11．〔2021年上海〕设α1，α2∈R且α1)2α2)=2，那么|10π-α1-α2|的最小值等于．11 【解析】由-1≤α1≤1，可得1≤2 α1≤3，那么≤α1)≤≤2α2)≤α1)2α2)=2，那么α1)2α2)=1，即α12α2α1=2k1π，2α2=2k2π，k12∈Z.所以|10π-α1-α210π-(2k1π)-(k2π)10π-(2k12)π|，当2k12=11时，|10π-α1-α2|取得最小值. 12．〔2021年上海〕如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲〞的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线，使得不在上的“▲〞的点分布在的两侧．用D1〔〕和D2〔〕分别表示一侧和另一侧的“▲〞的点到的距离之和．假设过P的直线中有且只有一条满足D1〔〕2〔〕，那么Ω中所有这样的P为．12134【解析】设记为“▲〞的四个点为A，B，C，D，线段，，，的中点分别为E，F，G，H，易知为平行四边形，如下图，四边形两组对边中点的连线交于点P2，那么经过点P2的所有直线都是符合条件的直线.因此经过点P2的符合条件的直线有无数条；经过点P134的符合条件的直线各有1条，即直线P2P12P32P4.故Ω中所有这样的P为P134.二、选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕13．〔2021年上海〕关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D 为( )5,4 3)) 0,2 4)) 5,2 3)) 0,5 4))13 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式．应选C．14．〔2021年上海〕在数列{}中，〔〕n，n∈N*，那么〔〕A.等于 B.等于0 C.等于 D.不存在14 【解析】数列{}中，〔〕n，n∈N*，那么()0．应选B．15.〔2021年上海〕为实常数，数列{}的通项2，n∈N*，那么“存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列〞的一个必要条件是〔〕≥0≤00 2015 【解析】存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列，可得2[a〔200〕2〔200〕]〔100〕2〔100〕〔300〕2〔300〕，化简得0，∴使得x100，x200，x300成等差数列的必要条件是a≥0．应选A．16．〔2021年上海〕在平面直角坐标系中，椭圆C1：=1和C2：x2 =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是·的最大值．记Ω={〔P，Q〕在C1上，Q在C2上且·}，那么Ω中的元素有〔〕A.2个B.4个C.8个D.无穷个16 【解析】P为椭圆C1：=1上的动点，Q为C2：x2=1上的动点，可设P〔6α，2α〕，Q〔β，3β〕，α，β∈[0,2π],那么·=6αβ+6αβ=6〔α-β〕，当α-β=2kπ，k∈Z时，·取得最大值6，即使得·的点对()有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔2021年上海〕如图，直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．〔1〕求三棱柱1B1C1的体积；〔2〕设M是中点，求直线A1M及平面所成角的大小．17.【解析】〔1〕∵直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．∴三棱柱﹣A1B1C1的体积△·1··1×4×2×5=20.〔2〕连接.∵直三棱柱1B1C1，∴1⊥底面.∴∠1是直线A1M及平面所成角.∵△是直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，点M是的中点，∴×.由1⊥底面，可得1⊥,∴∠A1).∴直线A1M及平面所成角的大小为．18．〔2021年上海〕函数f〔x〕2x﹣2，x∈〔0，π〕．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕设△为锐角三角形，角A所对边，角B所对边5，假设f〔A〕=0，求△的面积．18.【解析】〔1〕函数f〔x〕22 2，x∈〔0，π〕.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z.1时，≤x≤π，可得f〔x〕的增区间为[，π〕.〔2〕f〔A〕=0，即有2=0，解得22kπ±.又A为锐角,故.又5，由正弦定理得,38),那么,38).所以(),2)×,38)×,38),38).所以S△××5×,38),4).19．〔2021年上海〕根据预测，某地第n〔n∈N*〕个月共享单车的投放量和损失量分别为和〔单位：辆〕，其中5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量及累计损失量的差．〔1〕求该地区第4个月底的共享单车的保有量；〔2〕该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量4〔n﹣46〕2+8800〔单位：辆〕，设在某月底，共享单车保有量到达最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】〔1〕前4个月共享单车的累计投放量为a1234=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1234=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．〔2〕令≥，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10470≥5，解得n≤，∴第42个月底，保有量到达最大．当n≥4，{}为公差为﹣10等差数列，而{}为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为×39+535×42×39+535×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．〔2021年上海〕在平面直角坐标系中，椭圆Γ：2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．〔1〕假设P在第一象限且，求P的坐标；〔2〕设P〔〕，假设以为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；〔3〕假设，直线及Γ交于另一点C且=2，=4，求直线的方程．20.【解析】〔1〕设P〔x，y〕〔x＞0，y＞0〕，由点P在椭圆Γ：2=1上且,可得2=1，22=2，))解得x22，那么P〔,3)，,3)〕．〔2〕设M〔x0，0〕，A〔0，1〕，P〔，〕.假设∠90°，那么•=0，即〔，〕•〔x0﹣，﹣〕=0，∴〔﹣〕x0=0，解得x0．假设∠90°，那么•=0，即〔﹣x0，1〕•〔﹣x0，〕=0，∴x02x0=0，解得x0=1或x0.假设∠90°，那么M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为或1或．〔3〕设C〔2α，α〕，∵=2，A〔0，1〕，∴Q〔4α，2α﹣1〕.又设P〔2β，β〕，M〔x0，0〕，∵，∴x02+1=〔2β﹣x0〕2+〔β〕2，整理得x0β.∵=〔4α﹣2β，2α﹣β﹣1〕，=〔β，﹣β〕，=4，∴4α﹣2β=﹣5β，2α﹣β﹣1=﹣4β.∴β=﹣α，β〔1﹣2α〕.以上两式平方相加，整理得3〔α〕2α﹣2=0，∴α或α=﹣1〔舍去〕.此时，直线的斜率,10)〔负值已舍去〕，如图．∴直线的方程为为,10)1．21．〔2021年上海〕设定义在R上的函数f〔x〕满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f〔x1〕≤f〔x2〕．〔1〕假设f〔x〕3+1，求a的取值范围；〔2〕假设f〔x〕是周期函数，证明：f〔x〕是常值函数；〔3〕设f〔x〕恒大于零，g〔x〕是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g〔x〕的最大值．函数h〔x〕〔x〕g〔x〕．证明：“h〔x〕是周期函数〞的充要条件是“f〔x〕是常值函数〞．21.【解析】〔1〕由f〔x1〕≤f〔x2〕，得f〔x1〕﹣f〔x2〕〔x13﹣x23〕≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的取值范围是[0，+∞〕.〔2〕证明：假设f〔x〕是周期函数，记其周期为，任取x0∈R，那么有f〔x0〕〔x0〕.由题意，对任意x∈[x0，x0]，f〔x0〕≤f〔x〕≤f〔x0〕，∴f〔x0〕〔x〕〔x0〕．又∵f〔x0〕〔x0〕，n∈Z，并且…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴对任意x∈R，f〔x〕〔x0〕，为常数.〔3〕证明：(充分性)假设f〔x〕是常值函数，记f〔x〕1，设g 〔x〕的一个周期为，那么h〔x〕1•g〔x〕，对任意x0∈R，h〔x0〕1•g〔x0〕1•g〔x0〕〔x0〕，故h〔x〕是周期函数.(必要性)假设h〔x〕是周期函数，记其一个周期为．假设存在x1，x2，使得f〔x1〕＞0，且f〔x2〕＜0，那么由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x21＞x1，∴f〔x21〕＞f〔x1〕＞0，且h〔x21〕〔x2〕．又h〔x2〕〔x2〕f〔x2〕＜0，而h〔x21〕〔x21〕f〔x21〕＞0≠h〔x2〕，矛盾．综上，f〔x〕＞0恒成立．由f〔x〕＞0恒成立，任取x0∈A，那么必存在N2∈N，使得x0﹣N2≤x0﹣，即[x0﹣，x0]⊆[x0﹣N2，x0]，∵…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴…∪[x0﹣2N2，x0﹣N2]∪[x0﹣N2，x0]∪[x0，x02]∪[x02，x0+2N2]∪…．h〔x0〕〔x0〕•f〔x0〕〔x0﹣N2〕〔x0﹣N2〕•f〔x0﹣N2〕，∵g〔x0〕≥g〔x0﹣N2〕＞0，f〔x0〕≥f〔x0﹣N2〕＞0．因此假设h〔x0〕〔x0﹣N2〕，必有g〔x0〕〔x0﹣N2〕，且f〔x0〕〔x0﹣N2〕．而由〔2〕证明可知，对任意x∈R，f〔x〕〔x0〕，为常数．必要性得证．综上所述，“h〔x〕是周期函数〞的充要条件是“f〔x〕是常值函数〞．。

2017年高考数学真题试题(江苏卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．2.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是________．5.若tan（α﹣π4）= 16．则tanα=________．6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．7.记函数f （x ）= √6+x −x 2 定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．9.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3= 74 ，S 6= 634，则a 8=________．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11.已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________．12.如图，在同一个平面内，向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1， √2 ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m+n=________．13.在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈D x ，x ∉D，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是________．二、解答题15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）AD ⊥AC ．16.已知向量a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），x∈[0，π]．（Ⅰ）若a∥b⃗，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= a⋅b⃗，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 √7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19.对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k+1+…+a n ﹣1+a n+1+…a n+k ﹣1+a n+k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．20.已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b 2＞3a ；（Ⅲ）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ 72 ，求a 的取值范围． 21.如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB ；（Ⅱ）AC 2 =AP•AB ．22.已知矩阵A= [0110] ，B= [1002] ．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 {x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．24.已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd≤8．25.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26.已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜n．(m+n)(n−1)答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】1【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】√10【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= √(−1)2+32= √10．故答案为：√10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．3.【答案】18【考点】分层抽样方法= 【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6010006，100=18件，则应从丙种型号的产品中抽取300× 6100故答案为：18，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【分析】由题意先求出抽样比例即为61004.【答案】-2【考点】选择结构，程序框图，不满足x≥1，【解析】【解答】解：初始值x= 116=2﹣log224=﹣2，所以y=2+log2116故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．5.【答案】75【考点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：∵tan（α﹣π4）=tanα−tanπ41+tanαtanπ4= tanα−1tanα+1= 16∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= 75，故答案为：75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可6.【答案】32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33= 32．故答案为：32．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．7.【答案】59【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= 3−(−2)5−(−4)= 59，故答案为：59【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．8.【答案】2 √3【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x23﹣y2=1的右准线：x= 32，双曲线渐近线方程为：y= √33x，所以P（32，√32），Q（32，﹣√32），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：12×4×√3=2 √3．故答案为：2 √3．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．9.【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= 74，S6= 634，∴a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，解得a1= 14，q=2．则a8= 14×27=32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= 74，S6= 634，可得a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，联立解出即可得出．10.【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x ×6+4x≥4×2× √900x⋅x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x×6+4x，利用基本不等式的性质即可得出．11.【答案】[-1，12]【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣1e x的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+ 1e x ≥﹣2+2 √e x⋅1e x=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣1e x=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ），即有2a 2≤1﹣a ，解得﹣1≤a≤ 12 ，故答案为：[﹣1， 12 ]．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 12.【答案】 3【考点】平面向量的基本定理及其意义，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ． ∴C (15，75) ．cos （α+45°）= √22 （cosα﹣sinα）= −35 ．sin （α+45°）= √22（sinα+cosα）= 45 ．∴B (−35，45) ．∵ OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ）， ∴ 15 =m ﹣ 35 n ， 75 =0+ 45 n ，解得n= 74 ，m= 54 ．则m+n=3．故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= 5√2，sinα= 5√2 ．C (15，75) ．可得cos （α+45°）= −35 ．sin （α+45°）= 45 ．B (−35，45) ．利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），即可得出． 13.【答案】 [-5 √2 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=502x 0+y 0+5=0 ，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 √2 ，1]，故答案为：[﹣5 √2 ，1]．【分析】根据题意，设P （x 0 ， y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 14.【答案】 8【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f （x ）= {(x −1)2，x ∈Dx −1，x ∉D ，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点；故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点；即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D={x|x= n−1n，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．二、<b >解答题15.【答案】证明：（Ⅰ）因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，且A 、B 、E 、F 四点共面，所以AB ∥EF ，又因为EF ⊊平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BC ，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以FG ⊥平面ABD ，所以FG ⊥AD ，又因为AD ⊥EF ，且EF∩FG=F ，所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ，故AD ⊥AC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB ∥EF 及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD 上点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，利用线面垂直的性质定理可知FG ⊥AD ，结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG ，从而可得结论．16.【答案】解：（Ⅰ）∵ a =（cosx ，sinx ）， b ⃗ =（3，﹣ √3 ）， a ∥ b⃗ ，∴﹣ √3 cosx+3sinx=0， ∴tanx= √3 ， ∵x ∈[0，π]， ∴x= π3 ，（Ⅱ）f （x ）= a ⋅b ⃗ =3cosx ﹣ √3 sinx=2 √3 （ √32cosx ﹣ 12sinx ）=2 √3 cos （x+ π6 ）， ∵x ∈[0，π]， ∴x+ π6 ∈[ π6 ，7π6]，∴﹣1≤cos （x+ π6 ）≤ √32，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x=5π6时，f （x ）有最小值，最大值﹣2 √3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= √3 ，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 17.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= ca = 12 ，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1 ；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 k PF 2 = y 0x 0−1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0−1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0−1y 0（x ﹣1），直线PF 1的斜率 k PF 1 = y 0x 0+1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0+1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0+1y 0（x+1），联立 {y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y(x +1) ，解得： {x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （﹣x 0 ， x 02−1y 0 ），由Q 在椭圆上，则y 0=x 02−1y 0，则y 02=x 02﹣1，则 {x 024+y 023=1y 02=x 02−1 ，解得： {x 02=167y 02=97，则 {x 0=±4√77y 0=±3√77， ∵P 在第一象限，所以P 点的坐标为（4√77，3√77）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± 2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标； 18.【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面ACM 中，过N 作NP ∥MC ，交AC 于点P ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ， ∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2 ，解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ， ∴ ANAM = NPMC ，AN 40=1230 ，得AN=16cm ．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（Ⅱ）设玻璃棒在GG 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG ，交EG 于点P ，过点E 作EQ ⊥E 1G 1 ，交E 1G 1于点Q ，∵EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为正四棱台，∴EE 1=GG 1 ， EG ∥E 1G 1 ， EG≠E 1G 1 ，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= 45，sin∠EGM=sin∠EE1G1= 45，cos ∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM= EGsin∠EMG，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= 35，∴EN= NPsin∠GEM =1235=20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= 35，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n ﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．20.【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣a3．由于当x＞﹣a3时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣a3时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣a3，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣a3）=0，即﹣a327+ a39﹣ab3+1=0，所以b= 2a29+ 3a（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣2a23+ 9a＞0，解得a＞3，所以b= 2a29+ 3a（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= −2a3，x1x2= b3，所以f（x1）+f（x2）= x13+ x23+a（x12+ x22）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= 4a327﹣2ab3+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，所以b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣a3，从而f（﹣a3）=0，整理可知b= 2a29+ 3a（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为4a327﹣2ab3+2，进而问题转化为解不等式b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因式分解即得结论．21.【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，∴ACAB = APAC．∴AC 2 =AP•AB ．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC ．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ，即可证明． 22.【答案】解：（Ⅰ）AB= (0110)(1002) = (0210) ，（Ⅱ）设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x 0 ， y 0），则 (0210)(x y ) = (2yx) ，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0 ， y= x 02，∴y 028+x 028=1 ，即x 02+y 02=8，∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 1的方程化简即可． 23.【答案】解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，∴P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√5=√2s−2)2√5，∴当s= √2 时，d 取得最小值 √5 = 4√55．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离．24.【答案】证明：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos （α﹣β）≤8．当且仅当cos （α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．25.【答案】解：在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA 1= √3 ，∠BAD=120°，∴A （0，0，0），B （ √3，−1，0 ），C （ √3 ，1，0）， D （0，2，0），A 1（0，0， √3 ），C 1（ √3，1，√3 ）．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，−1，−√3 ）， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1，√3 ）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0) ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，√3) ．（Ⅰ）∵cos ＜ A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √7×√7=−17 ．∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 17 ；（Ⅱ）设平面BA 1D 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，由 {n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {√3x −3y =0−2y +√3z =0 ，取x= √3 ，得 n ⃗ =(√3，1，2√33) ；取平面A 1AD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1，0，0) ． ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √31×√3+1+43=34． ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 34 ，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 √1−(34)2=√74．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1 ， C 1 的坐标，进一步求出 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．26.【答案】解：（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ） = n−1m+n−1×n m+n ×n m+n−1×mm+n = n 2−n+mn (m+n)(m+n−1) = nm+n ．证明：（Ⅱ）∵X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ， P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）= 1C n+mn⋅∑n+m k=n C k−1n−1k= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k＜ 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k−1= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−2n−2n−1= 1(n−1)C n+mn •（ C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2 ） = 1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1= n(m+n)(n−1) ，∴E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ，P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn）= 1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−1n−1k，由此能证明E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．。

2021年上海市夏季高考数学试卷(word解析版)

2021年上海市夏季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1、已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位）,则12z z += ． 2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 AB =3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为4、如图边长为3的正方形,ABCD 则AB AC ⋅=5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 6.已知二项式()5x a +的展开式中,2x 的系数为80,则a =________．7、已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤0830223y x y x x ,目标函数y x z -=,则z 的最大值为8、已知无穷递缩等比数列123,,n n a b a =={}n a 的各项和为9,则数列{}n b 的各项和为 9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB 为上底底面的直径,点C 是下底底面圆弧上的一个动点,点C 绕着下底底面旋转一周,则ABC ∆面积的范围10.甲、乙两人在花博会的A 、B 、C 、D 不同展馆中各选2个去参观,则两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．11、已知抛物线22(0)y px p =>,若第一象限的点、A B 在抛物线上,抛物线焦点为,F2,4,3,AF BF AB ===则直线AB 的斜率为12.已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ,且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立,16a =,99a =,则91a a ++的最小值为________．二、选择题（本大题共有4题,每题5分,满分20分） 13、以下哪个函数既是奇函数,又是减函数（）A.()3f x x =-B. 3()f x x =C.3()log xf x = D.()3x f x = 14、已知参数方程3234[1,1])21x t tt y t t⎧=-⎪∈-⎨=+-⎪⎩,以下哪个图像是该方程的图像（）15.已知()3sin 2f x x =+,对于任意的20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都存在10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得 ()()12+23f x f x θ+=成立,则下列选项中,θ可能的值是（）.A 35π .B 45π .C 65π .D 75π16、已知两两不同的312312,,,,,x y x y x y 满足112233x y x y x y +=+=+,且11x y <,22x y <,33x y <,31122302x y x y x y =>+,则下列选项中恒成立的是（）.A 2132x x x <+ .B 2132x x x >+ .C 2213x x x < .D 2213x x x >三、解答题（本大题共有5题,满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12,3AB BC AA === （1)若P 是边11A D 的动点,求三棱锥P ADC -的体积；（2)求1AB 与平面11ACC A 所成的角的大小. 18、在ΔABC 中,已知3,2a b c == （1)若2,3A π∠=求ΔABC 的面积；（2)若2sinB sinC 1-=,求ΔABC 的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元,以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多0.05亿元,该企业第一季度是利润为0.16亿元,以后每一季度的利润都比前一季度增长4%.（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20、已知2212:1,2、x y F F Γ+=是其左右焦点,(,0)(2)P m m <-,直线l 过点P 交Γ于、A B 两点,且A 在线段BP 上.（1)若B 是上顶点,11,BF PF =求m 的值；（2)若121,3F A F A ⋅=且原点O 到直线l 415求直线l 的方程；（3)证明：证明：对于任意2,m <-总存在唯一一条直线使得12//F A F B .21、如果对任意12,x x ∈使得12x x S -∈都有12()()f x f x S -∈,则称()f x 是S 关联的.（1)判断并证明()21f x x =-是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？（2)()f x 是{}3关联的,在[0,3)上有2()2f x x x =-,解不等式2()3f x ≤≤；（3)“()f x 是{}3关联的,且是[0,)+∞关联”当且仅当“()f x 是[1,2]关联的”．2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位）,则12z z += ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234z z i +=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算,属于基础题． 2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 A B =【思路分析】求出集合A,再求出A B【解析】：{}1212A x x x x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭,所以{}1,0A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题． 3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程,直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2) 【归纳总结】本题主要考查了圆的方程,属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则AB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上. 【解析】方法一：2=9AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =,||32AC =,4AC AB π<>=,则233292AB AC ⋅=⨯=；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题； 5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意,得原函数的定义域为：(,0)(0,)-∞+∞,结合反函数的定义,得312x=+, 解得3x =-,所以,1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用,属于基础题． 6.已知二项式()5x a +的展开式中,2x 的系数为80,则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。

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2017年上海市高考数学试卷1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（） A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得0x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为1y =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。