第十二章 简单回归分析

1.由原始数据及散点图的初步分析，本例 呈直线趋势，故作下列计算。
2.求
3.求回归系数b和截距a。 4. 列出回归方程
三）、直线回归方程的图示
为了进行直观分析或实际需要，可按 回归方程在坐标纸上作图。在自变量X的 实测全距范围内任取相距较远且易读的两 X值，代入回归方程，如上例取
在图上确定（37.1，3385.47）和（67.3， 5240.36)两点，用直线连接，即得直线方 程的图形。
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
二)、个体Y值的容许区间 总体中，X为某定值时，个体Y值的波动范围，其 标准差SY（请勿与样本标准差相混）它为：
例12－5 用例12－1所求回归方程，试计算当 X0=50.7时，个体Y值的95%容许区间。
即估计总体中体重50.7KG者，有95%的人，基础代 谢率在3844.83～4596.737范围内。
身高（CM） 身高（cm）
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
0
2
4
6
8
10
时间（月）
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
-.5
0.0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
对 数 时 间 （ 月 ） lnx
分别拟合三种不同的回归模型的结果综合于 表12-4中。
表12-4 拟合不同回归模型的结果
模型名称
5800
基础代谢率(KJ/d)
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
图 12－1 14名健康妇女的基础代谢率与体重的散点分 布
表12－1 不同IgG浓度下的沉淀环直径测量值
IgG(IU/ml)浓度X 沉淀环直径(mm)Y
1
2
3
4
5
4.0
5.5
6.2
第七节 小结
1、回归分析是从预测的角度，通过样本数据 在最小二乘原则下建立线性回归方程，以便用 自变量(X)的数值估计反应变量(Y)的数值及变 异； 2、最小二乘原则是指观测样本的实测反应变 量值与方程估计值之差之和最小的回归参数估 计； 3、总体回归线的95%置信带与个体值Y预测带 均由对称于回归线的弧形曲线构成，而且后者 比前者更远离回归线；
四）决定系数
第二节 线性回归的应用 一、统计预测
一） 、总体回归线的95%置信带 是总体中当 X为某一定值X0的条件下Y的均数。它的点估计 为 Yˆ0 a bX0 ，其标准误为
它的（1－）置信区间为 例12－1试计算当X0=50.7时， 的95%可信 区间。
5800
基础代谢率(KJ/d)
值到这条直线的上纵向距离的平方和为最
小，则称这一对a和b为与的最小二乘估
计（least estimation,LES)。
二）回归参数的估计方法
a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X每改 变一个单位，Y的变化的值，称为回归系数； 表示在X值处Y的总体均数估计值。为求a和b 两系数，根据数学上的最小二乘法原理，可 导出a和b的算式如下：
三、回归参数的估计
一）回归参数估计的最小二乘原则
参数与一般只能通过样本数据来估计。
当X取值为Xi时，Y的平均值的估计应为 yˆi
a+bXi,而实际观察值为Yi。两者之差称为
残差（residual)，即
ei Yi a bXi
当a与b取不同值时获取不同的候选直
线，如能求a与b的适宜值，能使所有实测
回归方程
F值 P值 R2值
简单线性
Yˆ 54.22 1.8 x
103.44 <0.0001 0.937
对数函数
Yˆ 53.20
7.04ln x
632.18 <0.0001 0.989
二次函数
Yˆ 50.6905 3.7246x .1926x2
357.85 <0.0001 0.992
5800
基础代谢率(KJ/d)
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
图12－6 基础代谢率依体重回归线的95%置信带与Y个体值95%预 测带
第三节 残差分析
残差分析（rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsidual analysis）旨在 通过残差深入了解数据与模型之间的关系， 评价资料是否符合回归模型假设，识别异 常点等。
一、通过自变量的变换实现线性化 实践中有两类非线性关系，一类是通过自变
量X的适当变换可线性化，另一类是不可能通过自 变量X的变换实现线性化的。
例如，假定观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n满 足
例如，假定观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n满足
但是诸如：
Yi

e1Xi 0
i ,Yi
4、最常用的残差定义为实测值与预测值之差， 通过绘制残差图可以简单而又直观地评价回归 分析的前提条件线性是否满足； 5、观察散点图是判断线性关系或非线性关系 及其类型的既简单又直观的方法； 6、对于非线性情形，仅对自变量X进行变换可 以线性化时才能采用线性回归的办法；当需作 Y变换才能线性化 ，建议用统计软件包直接作 非线性回归。
5800
基础代谢率(KJ/d)
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
图 12－1 14名健康妇女的基础代谢率与体重的散点分 布
四、回归系数的统计推断
前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是 否 有直线关系，是回归分析要考虑的首要问 题。我们知道即使X、Y的总体回归系数 为
7.7
8.5
在实际应用中，线性回归的自变量和应 变量的要求？
9
沉淀环直径(mm)Y
8
7
6
5
4
3 0
图 12－2
1
2
3
4
5
6
IgG(IU/ml)浓 度 X
IgG浓度与沉淀环直径的散点分布
二、回归模型的前提假设 线性回归模型的前提条件是：线性 （linear)、独立(independent)，正态 (normal)，等方差(equal variance) 1、线性是指反应变量Y的总体平均值与自 变量X呈线性关系。 2、独立是指任意两观察值互相独立。 3、正态性假定是指线性模型的误差项i服 从正态分布。 4、等方差是指在自变量X取值范围内，不 论X取什么值，Y都具有相同的方差。
零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一
定为零。因此需作
是否为零的假设检验，
用方差分析或t检验。
一）、方差分析
三、直线回归中的统计推断
一）回归方程的假设检验
1、方差分析
前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y 是否 有直线关系，是回归分析要考虑的首要问 题。我们知道即使X、Y的总体回归系数为零， 由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为 零。因此需作 是否为零的假设检验，用方差 分析或t检验。在讲述假设检验之前,我们先对 就应变量Y的离均差平方和lYY作一分析。
回归变异 4318227.72 1 4318227.22 158.36 <0.01
剩余变异 327219.30 12 27268.27
二）总体回归系数的假设检验
例12－2 检验例12－1 求体重与基础代谢率的 直线关系是否成立?
1.假设
2.检验统计量
本章例12－1，
三）回归系数的区间估计
例12－3 试用例12－11所计算的样本回归系 数b=61.422,估计总体回归系数的 95%的可 信区间：Sb=4.881，

e0 1X i
i
, Yi

0
Xi
1X i
i,
等情形，都不能通过自变量的变换实现线 性化，只能通过应变量 Y的变换 实现线性化。
二、变换自变量实现线性回归的步骤
1.将观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n 作散 点图，观察散点分布特征类似于何种函 数类型；
2.按照所选定的函数进行相应的变量变换； 3.对变换后数据用常规最小二乘法(OLS)作
第一节 简单直线回归
一、直线回归的概念及其统计描述
反应变量（Y）与自变量（X）的简单线 性模型（simple linear regression model）可表达为：
Yi Xi i
在描述两变量的关系时，一般把两个变量中能精 确容易测量的作自变量，不易测量作为因变量。即用 易测量的数据X估计不易测量的另一数据。如年龄估 算小儿体重等。在描述体重与基础代谢率的依存关系 中，将体重作为自变量（ X ），基础代谢率作为应 变量（Y）。由图12－1可见，基础代谢率随体重增 大而增大且呈直线趋势，但并非15点恰好全部都在 一直线上。两变量数量间虽然存在一定关系，但不是 十分确定的。这与两变量间严格对应的函数关系不同， 称为直线回归（Linear regression)。直线回归是 回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单 simple regression)。
第十二章 简单回归分析
宁夏医学院公共卫生学院 流行病与卫生统计学教研室