简单回归分析计算例
回归分析实例PPT课件
线性回归分析的应用
预测
使用线性回归模型来预测因变 量的值，基于给定的自变量值
。
解释变量关系
通过线性回归分析来了解自变 量与因变量之间的数量关系和 影响程度。
控制变量效应
在实验或调查中，控制自变量 的影响，以观察因变量的变化 情况。
模型的建立和检验
模型的建立
首先需要收集数据，并进行数据 清洗和预处理，然后选择合适的 自变量和因变量，建立逻辑回归
模型。
模型的检验
通过多种检验方法对模型进行评 估，包括参数估计、假设检验、 模型诊断等，以确保模型的准确
性和可靠性。
模型的优化
根据检验结果对模型进行调整和 优化，包括参数调整、变量筛选
详细描述
收集产品在过去一段时间的销售数据，包括销售额、销售量等，作为自变量， 将未来某一段时间的产品销量作为因变量，建立回归模型。通过模型预测未来 产品销量，为企业制定生产和销售计划提供依据。
实例三：疾病风险预测
总结词
基于个人健康数据和疾病历史，建立回归模型预测疾病风险。
详细描述
收集个人的健康数据和疾病历史，包括血压、血糖、胆固醇等生理指标以及家族 病史等信息，作为自变量，将未来患某种疾病的风险作为因变量，建立回归模型 。通过模型预测个人患某种疾病的风险，为预防和早期干预提供参考。
线性关系的假设
自变量x与因变量y之间存在线性关系， 即随着x的增加（或减少），y也相应 地增加（或减少）。
模型的建立和检验
01
02
03
数据收集与整理
收集相关数据，并进行必 要的整理和清洗，以确保 数据的质量和可靠性。
数值计算05-回归分析
ˆ 的置信区间为 [0.6047,0.834]; 1
r =0.9282,
2
F=180.9531,
p=0.0000
p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而 第二个数据可视为异常点. 4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
数值计算 第五章 回归分析
Galton公式:
y 33.73 0.516x
其中x 表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。
y(cm) 160.07 168.23 173.39 178.55 x(cm) 150 160 170 180
183.71
188.87 194.03
190
200 210
回归分析的内容
回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量y与自变量x 1, x2 ,… , xm 之间的回归 模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量x i(i=1,2,…,m) 对y 的影响是否 显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对y 进行预报或控制。
一元回归的Matlab实现
1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）
回归分析
回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元回归 基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式，是否 是我们所要的，要看回归方程的显著性检验（F 检验）和回归系数b的显著性检验(T检验)，还要 看拟合程度R2 (相关系数的平方,一元回归用R Square，多元回归用Adjusted R Square)
(Prob(event) <0.5 预测事件将不会发生， > 0.5 预测事件将会发生）
补充：回归分析
以下的讲义是吴喜之教授有 关回归分析的讲义，很简单， 但很实用
定量变量的线性回归分析
对例1(highschoo.sav)的两个变量的数据进行线性回归， 就是要找到一条直线来最好地代表散点图中的那些点。
b0为常数项 b1、b2、…、称为y对应于x1、x2、…、xn的偏回归系数 用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元线性回归方程的拟合程度：
用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）
一元线性回归模型的确定:一般先做散点图(Graphs ->Scatter>Simple),以便进行简单地观测（如：Salary与Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线 性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳 方程式（曲线估计）
关系是否有线性特点
Graphs ->Scatter->Simple X Axis： Salbegin Y Axis： Salary
2. 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性回归模型
Analyze->Regression->Linear Dependent: Salary Independents: Salbegin,prevexp,jobtime,jobcat,edcu等变量 Method: Stepwise
一元线性回归分析案例
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相 关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间 的关系。
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课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
分析：由于问题中要求根 据身高预报体重，因此选 取身高为自变量，体重为 因变量．
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1. 散点图；
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们 建立的回归模型是有意义的。
xi2
2
nx
,......(2)
i 1
i 1
其中x
1 n
n i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi .
(x, y) 称为样本点的中心。
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课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。
2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
然后，我们可以通过残差 e1, e2 , , en 来判断模型拟合的效果，
判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 1
2
3
4
5
回归平方和和残差平方和计算公式
回归平方和和残差平方和是统计学中常用的两个概念，它们在回归分析和方差分析中起着至关重要的作用。
在进行统计建模和分析时，我们经常需要计算回归平方和和残差平方和，以评估模型拟合的好坏程度以及分析变量间的关系。
一、回归平方和的计算公式回归平方和（SSR）是用来衡量回归模型的拟合程度的统计量。
它表示了因变量的变异中被自变量或自变量的线性组合解释的部分。
回归平方和的计算公式如下：SSR = Σ(ŷi - Ȳ)²其中，ŷi表示第i个观测值的预测值，Ȳ表示因变量的均值，Σ表示求和运算。
回归平方和衡量了因变量的变异中被回归模型解释的部分，它越大表示模型的拟合程度越好。
二、残差平方和的计算公式残差平方和（SSE）是用来衡量回归模型的拟合程度的另一个统计量。
它表示了因变量的变异中不能被自变量或自变量的线性组合解释的部分。
残差平方和的计算公式如下：SSE = Σ(yi - ŷi)²其中，yi表示实际观测值，ŷi表示对应观测值的预测值，Σ表示求和运算。
残差平方和衡量了因变量的变异中不能被回归模型解释的部分，它越小表示模型的拟合程度越好。
三、回归平方和和残差平方和的关系在回归分析中，回归平方和和残差平方和有着密切的关系。
回归平方和与残差平方和之和等于因变量的总变异，即：SSR + SSE = SST其中，SST表示因变量的总变异，是因变量观测值与均值之差的平方和。
这个公式可以用几何直观的方式理解，即总变异等于模型解释的部分加上模型不能解释的部分。
通过计算回归平方和和残差平方和，我们可以得到关于模型拟合程度的丰富信息。
四、回归平方和和残差平方和的应用回归平方和和残差平方和在统计分析中有着广泛的应用。
在回归分析中，我们经常使用这两个统计量来评价回归模型的拟合程度。
如果回归平方和较大，残差平方和较小，那么说明回归模型能够较好地解释因变量的变异，模型拟合较好；反之，则需要重新考虑模型的适用性。
在方差分析中，回归平方和和残差平方和也被用于计算F统计量，以检验因子对因变量的影响是否显著。
回归分析计算程序及检验
《实用回归分析》方开泰等，P58，例2.5例2.5 某病虫测报站为了能较准确地预报第三代棉铃虫的产卵期，以便能适时采取杀虫措施，保证棉花现根据这些数据建立预报方程。
首先画散点图（图2.9）。
从图看出y与x之间有线性关系。
年序6月份平均气温x（℃）7月份卵见期y（日）经计算得12023.9x平均=23.33，y平均=20.7821424.6Lxx=4.44，Lyy=171.56，Lxy=-23 31824.1由此得42722.7b=Lxy/Lxx=-23.433/4.44=-5.28 52622.3a=y平均-bx平均=20.78-(-5.28)* 61823.1回归方程为72422.9y=143.96-5.28x81623.5又计算得92422.9S回=123.726S残=47.834F=S回/S残(-)=18.107因为临界值F0.01(1,7)=12.25，所最后，求预测区间(α=5%）当x=x0时，y的预测区间为[y0-△这里y0=143.96-5.28x0验算y x2023.9n91424.6平均值23.3333320.777781824.1Lxx 4.442722.7Lxy-23.43332622.3Lyy171.55561823.1b-5.277782422.9a143.92591623.5回归方程y=143.93-5.28x2422.9r-0.84906S总171.5556S回123.6759S残47.87963F检验18.08142十分显著F0.05 5.591448F0.0112.24638σ 2.615329回归分析程序如下（双击后不是乱码）：' 回归分析C u r R o w = A c t i v e C e l l .R o w () ' 当前行号C u r C o l = A c t i v e C e l l .C o l u m n () ' 当前列号 c o l _x = C u r C o l - 2: c o l _y = C u r C o l - 3 ' 回归分析数据所在列 c o l _r e s = C u r C o l ' 分析结果所在列E l s e I f (F > F 001) T h e nF T e s t _R e s u l t = "十分显著" E n d I f ' 不同置信区间的预测范围 S i g m a _h a t 2 = S S E / (n - 2) S i g m a _h a t = S q r (S S E / (n - 2)) i m e t h o d = 2 ' 由于数据不多，使用n 不大情况下的算法 I f (i m e t h o d = 1) T h e n F o r i = 1 T o n ' 这种算法用于n 较大，x 0接近x _a v g 的情况 y _005(i , 1) = y _h a t (i ) - 2 * S i g m a _h a t y _005(i , 2) = y _h a t (i ) + 2 * S i g m a _h a t y _001(i , 1) = y _h a t (i ) - 3 * S i g m a _h a t y _001(i , 2) = y _h a t (i ) + 3 * S i g m a _h a t N e x t E l s e F o r i = 1 T o n ' 这是一种算法，用于n 不大的情况 S i g m a _h a t _y 02 = S i g m a _h a t 2 * (1 + 1 / n + (x (i ) - x _a v g ) ^ 2 / L x x ) D e l t a _005 = S q r (F 005 * S i g m a _h a t _y 02) D e l t a _001 = S q r (F 001 * S i g m a _h a t _y 02) y _005(i , 1) = y _h a t (i ) - D e l t a _005 ' 2 * S i g m a _h a t _y 0 y _005(i , 2) = y _h a t (i ) + D e l t a _005 ' 2 * S i g m a _h a t _y 0 y _001(i , 1) = y _h a t (i ) - D e l t a _001 ' 3 * S i g m a _h a t _y 0 y _001(i , 2) = y _h a t (i ) + D e l t a _001 ' 3 * S i g m a _h a t _y 0 N e x t E n d I f ' ---------------------输出到e x c e l 中 c o l _s t a t = C u r C o l i = 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "平均值": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = x _a v g : C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t + 1) = y _a v g : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L x x ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L x x : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L x y ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L x y : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L y y ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L y y : i = i + 1措施，保证棉花丰收，他们统计了近9年的当地6月份平均气温和7月份卵见期数据如表2.7..33，y平均=20.78，Lyy=171.56，Lxy=-23.433x=-23.433/4.44=-5.28bx平均=20.78-(-5.28)*23.33=143.96残(-)=18.107值F0.01(1,7)=12.25，所以回归方程高度显著。
简单线性回归
注意： 这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代
则
样本回归函数的随机形式/样本回归模型：
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： Yi Yˆi ˆi ˆ0 ˆ1 X i ei
式中，ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表
回归函数在坐标系中用图形表示出来就 是回归线。它表示了应变量和解释变量 之间的平均关系。
回归线图示
概率密度函数 f(Yi)
Y
x1 xi Xk
PRF
X
注意：
一般地，在重复抽样中解释变量被假定 为固定的。所以回归分析中，解释变量 一般当作非随机变量处理。
1.4 总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是 根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总 体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
1.3.1 回归分析 是对一个应变量对若干解释变量依存 关系的研究； 其目的是：由固定的解释变量去估计 和预测应变量的平均值等。
1.3.2 回归函数、回归线
应变量Y的条件期望E(Y/X i )随着解释变量 X的变化而有规律地变化。把这种变化关 系用函数表示出来，就是回归函数：
E(Y/X i ) f(X i )
列入模型的那些次要因素的综合影响。
由中心极限定理μ服从的均值
不妨假设
m
rj 1
j 1
则有
m
rj zj Z j 1
因此，由中心极限定理，无论Zj原来的分布形式如何，只要它们 相互独立，m足够大，就会有μ趋于正态分布。
而且正态分布简单易用，且数理统计学中研究的成果很多，可以 借鉴。
回归系数的标准误计算
回归系数的标准误计算回归系数的标准误是用来衡量回归系数估计值的稳定性和精确度的重要指标。
在进行回归分析时，除了关注回归系数的估计值外，我们还需要考虑其估计的精确程度，即标准误。
本文将介绍回归系数的标准误的计算方法，希望能对您有所帮助。
回归系数的标准误计算公式为：SE(β) = √(σ² / ∑(xᵢx)²)。
其中，SE(β)表示回归系数的标准误，σ²表示误差方差，xᵢ表示自变量的取值，x表示自变量的均值。
在进行回归分析时，我们通常会使用统计软件进行计算，但了解标准误的计算方法仍然是非常重要的。
下面我们将通过一个简单的示例来说明回归系数的标准误的计算过程。
假设我们有以下线性回归模型：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ε。
其中，Y表示因变量，X₁和X₂表示自变量，β₀、β₁、β₂分别为截距和回归系数，ε为误差。
首先，我们需要利用最小二乘法对回归系数进行估计。
然后，我们可以计算回归系数的标准误。
假设我们已经得到了回归系数的估计值为β̂₀、β̂₁、β̂₂，以及误差方差的估计值σ̂²。
接下来，我们可以利用上述公式来计算回归系数的标准误。
首先，我们需要计算自变量的均值x，然后计算每个观测值与均值的差值，并求平方和。
最后，将误差方差除以自变量的平方和，再开平方即可得到回归系数的标准误。
在实际应用中，我们通常会利用统计软件进行回归分析，软件会自动给出回归系数的标准误。
但了解标准误的计算方法仍然是非常有益的，可以帮助我们更好地理解回归分析的结果。
总结一下，回归系数的标准误是衡量回归系数估计值的稳定性和精确度的重要指标。
在进行回归分析时，除了关注回归系数的估计值外，我们还需要考虑其估计的精确程度，即标准误。
通过本文的介绍，希望能够帮助您更好地理解回归系数的标准误的计算方法。
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【例9-3】-【例9-8】 简单回归分析计算举例
利用例9-1的表9-1中已给出我国历年城镇居民人均消费支出和人均可支配收入的数据，
（1）估计我国城镇居民的边际消费倾向和基础消费水平。
（2）计算我国城镇居民消费函数的总体方差Ｓ2和回归估计标准差Ｓ。
（3）对我国城镇居民边际消费倾向进行置信度为95％的区间估计。
（4）计算样本回归方程的决定系数。
（5）以５％的显著水平检验可支配收入是否对消费支出有显著影响；对Ｈo：β2＝0.7，
Ｈ1：β2＜０.7进行检验。
（6）假定已知某居民家庭的年人均可支配收入为8千元，要求利用例9-3中拟合的样本
回归方程与有关数据，计算该居民家庭置信度为95％的年人均消费支出的预测区间。
解：
（1）教材中的【例9-3】
Ｙt＝β1＋β2Ｘt＋u
t
将表9-1中合计栏的有关数据代入（9.19）和（9.20）式，可得：
2
ˆ
＝2129.0091402.57614 97.228129.009 1039.68314）－（－＝
0.6724
1ˆ＝97.228÷14-0.6724×129.009÷14＝0. 7489
样本回归方程为：
tYˆ＝0.7489＋0.6724Ｘt
上式中：0.6724是边际消费倾向，表示人均可支配收入每增加1千元，人均消费支出
会增加0.6724千元；0.7489是基本消费水平，即与收入无关最基本的人均消费为0.7489千
元。
（2）教材中的【例9-4】
将例9-1中给出的有关数据和以上得到的回归系数估计值代入（9.23）式，得：
2
t
e
＝771.9598－0.7489×97.228－0. 6724×1039.683＝
0.0808
将以上结果代入（9.21）式，可得：
Ｓ
2
＝0.0808／(14-2)＝
0.006732
进而有： Ｓ＝0.006732＝
0.082047
（3）教材中的【例9-5】 将前面已求得的有关数据代入（9.34）式，可得：
2
ˆ
S
＝0.082047÷14/129.0091402.5762）（-=
0.0056
查ｔ分布表可知：显著水平为５％，自由度为12的ｔ分布双侧临界值是2.1788，前
面已求得0.6724ˆ2，将其代入（9.32）式，可得：
0560.01788.20.67240560.01788.26724.02
即：0.68460.66022
（4）教材中的【例9-6】
ｒ
2
＝1 -
SST
SSE
＝ 1- 96.72520.0808 ＝
0.9992
上式中的ＳＳＴ是利用表9-1中给出的数据按下式计算的：
ＳＳＴ＝∑2tY－（∑Ｙt）2／ｎ
＝771.9598－（97.228）
2
÷14＝
96.7252