简单回归分析(2)
简单线性回归分析2
)
lXY lXX
a Y bX
03:56
24
b＝0.1584，a＝-0.1353
Yˆ 0.1353 0.1584X
03:56
25
回归直线的有关性质
(1) 直线通过均点 ( X ,Y )
(2) 各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线小。
(Y Yˆ)2 [Yˆ a bX ]2
03:56
残 差 0.0282 22 0.0013
总变异 0.0812 23
R2=SS回归/SS总=0.0530/0.0812=0.6527 说明在空气中NO浓度总变异的65.27%与车流量有关。
03:56
48
二、简单线性回归模型
两变量关系的定量描述 统计推断 统计应用
统计预测
Y 的均值的区间估计：总体回归线的95%置信带（相应X 取值水平下，） ；
回归模型 (regression model)：
描述变量之间的依存关系的函数。
简单线性回归(simple linear regression)：
模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一个变量随 另外一个变量的变化而变化，且呈直线变化趋势，称之 为简单线性回归。
03:56
9
例如，舒张压和血清胆固醇的依存性
统计推断 通过假设检验推断NO平均浓度是否随着车 流量变化而变化；
统计应用 利用模型进行统计预测或控制。
03:56
13
两变量关系的定量描述
散点图 简单线性回归方程 回归系数的计算——回归系数的最小二乘估计 线性回归分析的前提条件
03:56
14
1. 散点图
0.25
0.2
NO浓度/×10-6
正态 (normal)假定是指线性模型的误差项服从正态 分布 。
3.3.2回归分析(二)课件(人教B版选修2-3)
C.对两个变量无需进行相关性检验,可直接求回归直线方程
D.由回归方程得到的预测值就是变量的精确值 解析:对于两个变量,在尚未断定是否具有线性相关关系的情 况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求
回归方程,这时求出的回归方程才有意义,故C不对,由回归方
程得到的预测值不是变量的精确值,而是变量的可能取值的平 均值,故D不对,根据回归分析的一般步骤,可知答案为A.
4 若某学生入学数学成绩为80分, 代入上式可求得,
ˆ 84分, 即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分. y
共 27 页
27
规律技巧:相关系数的取值范围为-1≤r≤1.相关系数为正数,表 示两变量之间为正相关;相关系数为负数,表示两变量之间 为负相关,相关系数r的绝对值的大小表示相关程度的高低.
线性相关关系,具体步骤:①假设x与y不具有线性相关关系,
②根据小概率0.05与n-2查表得出r的一个临界值r0.05;③根 据公式计算出样本相关系数r的值,④统计推断,若|r|>r0.05,
则具有线性相关关系;若|r|≤r0.05,则不具有线性相关关系.(2)
如果具有线性相关关系,求出回归直线方程
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25
2 因为x
1 (63 67 10
76) 70,
10
1 y (65 78 10
75) 76. (xi x )( yi y ) 1894,
i 1 10
(xi x )
i 1
10
2
2474, ( yi y )2 2056,
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28
D 变式训练3:下列说法不正确的是( ) A.具有相关关系的两个变量不是因果关系 B.回归直线通过样本点的中心
简单回归分析
一、线性回归分析若是自变数与依变数都是一个，且Y 和X 呈线性关系，这就称为一元线性回归。
例如，以X 表示小麦每667m 2有效穗数，Y 表示小麦每667m 2的产量，有效穗数即属于自变数，产量即属于依变数。
在这种情形下，可求出产量依有效穗数而变更的线性回归方程。
在另一种情形下，两类变数是平行关系很难分出哪个是自变数，哪个是依变数。
例如，大豆脂肪含量与蛋白质含量的关系，依照需要确信求脂肪含量依蛋白质含量而变更的回归方程，或求蛋白质含量依脂肪含量而变更的回归方程。
回归分析要解决的问题要紧有四个方面：一是依如实验观看值成立适当的回归方程；二是查验回归方程是不是适用，或对回归方程中的回归系数的进行估量；三是对未知参数进行假设考试；四是利用成立起的方程进行预测和操纵。
（一）成立线性回归方程用来归纳两类变数互变关系的线性方程称为线性回归方程。
若是两个变数在散点图上呈线性，其数量关系可能用一个线性方程来表示。
这一方程的通式为：上式叫做y 依x 的直线回归。
其中x 是自变数，y ˆ是依变数y 的估量值，a 是x =0时的y ˆ值，即回归直线在y 轴上的截距，称为回归截距，b 是x 每增加一个单位时，y 将平均地增加（b ＞0时）或减少(b <0时) b 个单位数，称为回归系数或斜率（regression coefficient or slope ）。
要使 能够最好地代表Y 和X 在数量上的互变关系，依照最小平方式原理，必需使将Q 看成两个变数a 与b 的函数，应该选择a 与b ，使Q 取得最小值，必需求Q 对a ，b 的一阶偏导数，且令其等于零，即得：()()⎩⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+212xyx b x a yx b an ()()∑∑=--=-=nn Q bx a y yy Q 1min212ˆbx a y +=ˆ()1.7ˆbx a y+=由上述（1）解得：将（）代入（2），那么得：（）的分子 是x 的离均差与y 的离均差乘积总和，简称乘积和（sum of products ），可记为SP ，分母是x 的离均差平方和，也可记为SS x 。
第12章简单回归分析2
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估
6.2.2 回归分析
6.2.2 回归分析
(一)什么是回归分析
回归分析是用来研究一个指标与几个变量间的相关关系的方法。
设有两个变量x 和y ，前者为自变量,后者为因变量,并均为随机变量。
当自变量X 变化时，Y 会产生相应的变化，如果具有大量或较多的统计数据（x i ,y i ），则可以用数学方法找出两者之间的统计关系y ＝f(x)，这种数学方法称为回归分析。
当y ＝a ＋bx 时，称之为一元线性回归；
当y ＝f(x)为非线性函数关系时，称之为非线性回归；
当x 变量不止1个，有几个时，即有（x 1，x 2···，x n ），则y ＝f （x 1，x 2···，x n ）称之为多元回归。
当有y ＝a ＋b 1 x 1＋b 2 x 2＋···＋b n x n 时，称之为多元线性回归，否则为多元非线性回归。
回归分析可用于预测、质量控制等方面。
(二) 一元线性回归方程的计算方法
设一元线性回归方程的表达式为: y=a+bx
现在给出了n 对数据(x i , y i ),要求根据这些数据去估计a 与b 的值。
则：
其中 L xx:----x 的离差平方和
L yy ----y 的离差平方和
L xy ----x ，y 的离差成积之和 2n
1i )Lxx x x i -=∑=（2n 1i )
Lyy y y i -=∑=（x b y -=a xx xy L L =b )y )(Lxy n
1i y x x i i --=
∑=（。
logistic回归分析(2)
8
非条件logistic回归
logit 因变量 自变量,[选择项]
sw logit 因变量 自变量,[选择项]
选择项： or 指定结果中给出OR值，缺失时输出回归系数 pr(#)是剔除变量的P值 pe(#)是选入变量的P值
9
例1(成组病例对照研究) 某单位研究胸膜间皮瘤与接触石 棉的关系，资料见下表。试对其进行分析。
begin with full model
p = 0.7439 >= 0.1100 removing ht
p = 0.1314 >= 0.1100 removing drug
Conditional (fixed-effects) logistic regression Number of obs = 315
4
参数估计与假设检验
参数的估计：极大似然（MLE） 假设检验：
似然比检验: G=-2lnL-(-2lnL’)
Wald检验: z 检验
2 i
(
ˆi SE(ˆi
)
)
2
5
回归系数的解释
回归系数 表示当其它自变量固定不变时， X每改变一个单位，优势对数的改变量（优 势比的对数）。
6
回归系数的解释
7
回归系数的解释
多分类变量：哑变量(dummy variable)
x＝1时： x1＝1， x2＝0， x3＝0， x4＝0 表示A型血 x＝2时： x1＝0， x2＝1， x3＝0， x4＝0 表示B型血 x＝3时： x1＝0， x2＝0， x3＝1， x4＝0 表示AB型血 x＝4时： x1＝0， x2＝0， x3＝0， x4＝1 表示O型血
➢ 回归系数β：表示病例与对照变量值之差与患病 优势的关系，即exp(β)表示病例与对照暴露水平 相差一个单位时患病的优势比。
简单回归分析-沈晓丽
表10-1 14名健康中年妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kj/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
4800
4300
Yˆ abx
3800
3300
2800 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
利用回归方程，只要给定一个40-60岁的健康妇女的体重值，
就可估计出该体重个体的基础代谢值的平均值。
h
Ｙˆ
11
基础代谢(kJ/d)
线性回归关系的特点：
5800
5300 4800
h
5
线性回归（linear regression ）又称简单回归
（simple regression ） ：讨论两个变量间的数量依存关
系的统计方法，即研究一个变量如何随另一个变量变化 的常用方法。
两个变量：
因变量dependent variable 反应变量 response variable
：非独立的、受其它变量影响的变量，常用“Y”表 示。
在所有直线中找出 Y Yˆ 2 （残差平方和，记为 SS残差 ）达最小值时所对应的直线作为回归线。
h
21
回归参数的估计方法：
按照最小二乘法原则，可得到：
n
（１b ） i1( Xi( XiX )X Y (i) 2Y)＝ L Lx x y x ,(i1,2,..n).,
（２）a Y bX
实验报告简单线性回归分析
西南科技大学Southwest University of Science and Technology经济管理学院计量经济学实验报告——多元线性回归的检验专业班级：姓名: 学号: 任课教师: 成绩:简单线性回归模型的处理实验目的：掌握多元回归参数的估计和检验的处理方法。
实验要求：学会建立模型，估计模型中的未知参数等。
试验用软件：Eviews实验原理：线性回归模型的最小二乘估计、回归系数的估计和检验。
实验内容：1、实验用样本数据：运用Eviews软件，建立1990-2001年中国国内生产总值X和深圳市收入Y的回归模型，做简单线性回归分析，并对回归结果进行检验。
以研究我国国内生产总值对深圳市收入的影响。
经过简单的回归分析后得出表EQ1：Depe ndent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/27/11 Time: 14:02 Sample: 1990 2001 In cluded observati ons: 12 VariableCoefficientStd. Error t-Statistic Prob.C -3.611151 4.161790 -0.867692 0.4059 X0.134582 0.003867 34.80013 0.0000 R-squared0.991810 Mean depe ndent var 119.8793 Adjusted R-squared 0.990991 S.D. dependent var 79.361247.02733 S.E. of regressi on7.532484 Akaike infocriteri on8Sum squared resid 567.3831 Schwarz criteri on 7.1081561211.0490.00000Log likelihood-40.16403F-statisticDurbin-Wats on stat 2.051640 Prob(F-statistic)其中拟合优度为：0.991810有很强的线性关系2、实验步骤: 1、 回归分析:(1) 在 Objects 菜单中点击 New objects ，在 New objects 选择 Group ，并以GROUP01定义文件名，点击 OK 出现数据编辑窗口，， 按顺序键入数据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16.153114.881 11.4 54 771
t6.142219.2584 14 212
4.881
查t界值表，t 0.001(12) =4.318，所以p<0.001，拒 绝H0，可以认为体重与基础代谢之间存在线 性回归关系
h
18
3、总体回归系数的可信区间
利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1α双侧可信区间为
b (x (xx )(xy) 2 y)
703.023329 114.54771
61.4229
aYbX632.93 6 2.1 42 2797.27
14
14
11.0 76 864
得到的回归方程为：
Y ˆ11.7086 6.4 4 12X 29
h
10
四、线性回归方程的假设检验
需要检验总体回归方程是否成立！
3500
线性回归直线
3000
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重
图 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的散点图
h
4
线性回归分析：用一条直线（即直线方程）来描 述两个变量间依存变化的数量关系，得出的直 线方程称为线性回归方程。
线性回归方程的一般表达式：
Yˆ abX
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标 b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)
h
6
7
8
根据求极值方法可得到a、b的值
b (X ( X X )X Y ) ( 2 Y ) X X 2 Y X X 2 Y /n /n l lX XX Y
aYbX
h
9
根据前面的计算有
(xx)211.5 47 47 1(x x)y ( y ) 70.2 33 02 39
h
16
2、t 检验
公式
t b 0 ＝ b ，υ＝n－2
Sb
Sb
Sb为回归系数的标准误
Sb＝
SY . X
X X 2
sYX
YYˆ 2 n2
SY.X为Y的剩余标准差，即扣除X的影响后Y 的变异大小。
h
17
t 检验
H0：β＝0
H1：β≠0
α=0.05
sYX
YYˆ2 n2
16,15311Sb
（1）Y的总体均数的置信区间
给 定 X X 0 时 ， 总 体 均 数 Y |X 0的 ( 1 ) 可 信 区 间 为
Yˆp t/2,n2SYˆp
SYˆp SY X
1 n
(Xp X)2 (Xi X)2
h
21
（2）个体Y值的预测区间
当X取某个固定值时，对应的Y也存在一定 的波动范围，个体Y值的预测区间（相当 于参考值范围）可以用下式求
h
2
实例
在某地一项膳食调查中，随机抽取14名40-6பைடு நூலகம்岁的健康 妇女，测得每人的基础代谢与体重数据，见下表，据此数 据如何判断这两项指标之间有无关联？
表 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号 基础代谢 体重
编号 基础代谢 体重
1
4175.6
50.7
8
3970.6
48.6
2
4435.0
53.7
b 的统计学意义是：
X 每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位
h
5
二、线性回归分析适用条件
• X与Y之间呈线性关系(Linear) • 个体观察值之间独立(Independent) • 给定X时，对应的Y服从正态分布(Normal Distribution) • 不同的X所对应Y的方差相等(Equal Variance)
第十二章 简单回归分析
h
1
一、线性回归的基本概念
两变量间的数量关系
确定性关系是指两变量间的关系是函数关系。已知一个变 量的值，另一个变量的值可以通过这种函数关系精确计 算出来。 例如圆周长与半径：c=2πr
非确定性关系是指两变量在宏观上存在关系，但并未精确 到可以用函数关系来表达
例如身高与体重的关系
b≠0原因：① 由于抽样误差引起，总体回 归系数β=0
② 存在回归关系，总体回归 系数β ≠0
假设检验方法：
方差分析(F检验)、t 检验
h
11
1、方差分析
P(X,Y)实测点
Y
(Y Yˆ)剩余部分
总情(Y况Y)
(Yˆ Y)回归部分
Y
Y Y Y Y ˆ Y ˆ Y
h
X
12
Y的离均差平方和的分解
bt,n2Sb
h
19
4、决定系数
回归平方和与总离均差平方和之比
R 2＝ SS 回 SS 总
• 它反映了回归的贡献的相对程度，即在Y的 总变异中回归关系所能解释的比例
• 实际用决定系数来反映回归的实际效果
h
20
五、线性回归的应用
1、描述两个变量之间的线性依存的数量关系 2、统计预测，通过X预测估计Y的取值
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
10
5050.1
58.6
4
4020.8
51.7
11
5355.5
71.0
5
3987.4
47.8
12
4560.6
59.7
6
4970.6
62.8
13
4874.4
62.1
7
5359.7
67.3
14
5029.2
61.5
h
3
绘制散点图
5500
5000
基 4500 础 代 谢 4000
(Y Y)(Y Y ˆ)(Y ˆ Y)
两边平方后求和
数理统计可 2(以 YY证 ˆ)Y (ˆ明 Y)0
( Y Y ) 2 ( Y Y ˆ ) 2 ( Y ˆ Y ) 2
S总 SS剩 SS回 S
总 ＝剩＋回
h
13
几个平方和的含义
S S总即 (YY)2，为 Y 的离均差平方
和，表示未考虑 X 与 Y 的回归关系时 Y 的 总变异。
Yˆp t/2, SYp
SYp SY X
11 n
(XpX)2 (XX)2
其自由度分别为
总 n 1
回 1
残 n2
h
15
如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就 要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计意义， 可计算统计量F:
F S S S S 残 回 回 残 M M S S 回 残 ， 回 1 ， 残 n 2
MS回为回归均方 MS残为残差均方。 F服从自由度为 回、残的 F 分布。
SS回＝(YˆY)2 ，为回归平方和(regressionsumof squares)，
由于X 与Y 的直线关系而使Y 变异减小的部分,即总变异中， 可以用X 解释的部分。SS回越大，回归效果越好。
h
14
SS剩＝(YYˆ)2，为剩余平方和(residualsumofsquares)，
X对Y的线性影响之外的一切因素对Y 的变异，即总变异中， 无法用X解释的部分。SS剩越小，回归效果越好。