线性回归方程题型
回归方程例题
回归方程例题
回归方程是一种用于预测因变量与自变量之间的关系的数学模型。
在例题中，我们可以使用线性回归方程来预测某个因变量的值，该因变量的值受多个自变量的影响。
下面是一个简单的线性回归方程例题:
假设有一组数据点，其横轴为自变量 x1、x2、x3 等，纵轴为因变量 y。
我们希望建立一个线性回归方程，来预测 y 的值。
首先，我们需要计算出每个数据点的平均值。
例如，对于自变量x1，我们可以计算所有数据点中 x1 的平均值，即:
mean(x1) = (x11 + x12 + x13 + ... + x1n) / n
接着，我们可以计算出每个自变量对因变量的影响。
例如，对于自变量 x1，我们可以计算 y 关于 x1 的线性回归系数，即:
b1 = (y - mean(y)) / std(x1)
其中，std(x1) 表示 x1 的标准差，mean(y) 表示 y 的平均值，std(y) 表示 y 的标准差。
最后，我们可以使用计算出的回归系数来构建线性回归方程，例如:
y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + ... + bnxn
其中，b0、b1、b2、b3 等为常数，x1、x2、x3 等为自变量。
在实际问题中，我们需要根据具体问题来选择适当的回归方程类型，并计算出相应的回归系数。
然后，我们可以使用这些系数来预测因变量的值。
线性回归练习题
线性回归练习一、选择题1.下列两个变量之间的关系中，哪个是函数关系 （ ） A.学生的性别与他的数学成绩 B.人的工作环境与健康状况 C.女儿的身高与父亲的身高 D. 正三角形的边长与面积2．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x (cm)和体重y (kg)的回归方程为 ˆ0.84985.712yx =-，则身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重 （ ）A.为6 0.316kgB. 约为6 0.316kgC.大于6 0.316kgD.小于6 0.316kg3. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ160180yx =+，下列判断正确的是 （ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资为340元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高180元C ．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高180元 D.工资为520元时，劳动生产率为2000元 4．由右表可计算出变量,x y 的线性回归方程为（ ） A. ˆ0.350.15y x =-+ B. ˆ0.350.25y x =-+ C. ˆ0.350.15y x =+ D. ˆ0.350.25y x =+ 二、填空题5．下列说法中正确的是 （填序号）①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数r ；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法. 6．三点()3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是三、解答[2016高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数r =回归方程y a b =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-【2015高考重庆，文17】随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：(Ⅰ)求y 关于t 的回归方程^^^t y b a =+(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款. 附：回归方程^^^t yb a=+中1122211()(),().nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
(完整版)数学必修三回归分析经典题型(带答案)
数学必修三回归分析经典题型1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7ˆ+=x y用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm 以上 C.身高在145.83cm 以下 D.身高在145.83cm 左右 【答案】D【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为145.83，由于回归模型是针对3-9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值，只能说左右，不能说在上或者下，没有标准。
选D2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程$y ＝$a＋b $x ，关于回归系数b $，下面叙述正确的是________．①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0. 【答案】①【解析】由b$和r 的公式可知，当r ＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是$y ＝3x ＋20，若101i i x =∑＝18，则101i i y =∑＝________.【答案】254【解析】由101i i x =∑＝18 1.8.因为点在直线$y ＝3x ＋2025.4. 所以101i i y =∑＝25.4×10＝254.4．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量其线性回归直线方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于________． 【答案】5.252.53.5，∵回归直线方程过定点， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a. ∴a ＝5.25.5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程$y ＝b$x ＋$a ，那么下列说法正确的是________．①直线$y ＝b$x ＋$a 必经过点(x ，y )； ②直线$y ＝b$x ＋$a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； ③直线$y ＝b$x ＋$a 的斜率为1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑；④直线$y ＝b $x ＋$a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差$21()ni i i b a y x =⎡⎤⎣⎦∑$－＋是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差．【答案】①③④【解析】回归直线的斜率为b ，故③正确，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心，故①正确，②不正确．6．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【答案】185【解析】设父亲身高为173176，b$＝ $a＝－b $ 176－1×173＝3， ∴$y ＝x ＋3，当x ＝182时，$y ＝185.7．下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？【答案】解：（1）0.08 1.23yx =+线性回归方程为 （2）估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元. 【解析】(1)先求然后利用公可求出回归直线y ax b =+方程.(2)把x=10代入回归直线方程可得y 的值，就可得所求的值.解：（1906543222222512=++++=∑=i ixΘ又x y 23.108.0+=∴线性回归方程为 （2）把10=x 代入回归方程得到：38.121023.108.0=⨯+=y∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元.。
高二线性回归方程试题及答案
回归直线方程1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万元)2 3 27由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.401221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑4x y x y y x2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性 别有关.（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．ξξE ξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++3、面向全市招聘事业编工作人员，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的PK比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率．答案1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万元)2 3 27由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.解：（1）设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知,故，即图中各小长方形的宽度为2. …3分（2）由（1）知各小组依次是, 其中点分别为,对应的频率分别为,故可估计平均值为.7分 （3）由（2）可知空白栏中填5.由题意可知, ，401221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑4x y x y y x m (0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==2m =[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]1,3,5,7,9,110.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.0410.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12345232573, 3.855x y ++++++++====,,根据公式,可求得 ………………10分, ………………11分 所以所求的回归直线方程为. ………………12分2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性别有关.（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．【解析】（Ⅰ）51122332455769i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑522222211234555ii x==++++=∑26953 3.8121.2,555ˆ310b-⨯⨯===-⨯3.8 1.230ˆ.2a=-⨯= 1.20.2y x =+ξξE ξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++，故不能认为选题与性别有关．…………………5分（Ⅱ）选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60＝5：3， 所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人 数为3．依题意，得，，，， ． …………………9分 故的分布列如下:所以． …………………12分 3、面向全市招聘事业编工作人员 ，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的x ，y ，z ，s ，p 的值；（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的 PK 比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率． 解：（1）由题意知，参加招聘考试的人员共有p == 50人， ∴x == 0.18， 22160(9001800) 3.74 5.0241055510060K -=≈<⨯⨯⨯3,1,1,3=--ξ33381(3)56C P C =-==ξ12533815(1)56C C P C =-==ξ21533830(1)56C C P C ===ξ30533810(3)56C C P C ===ξξ115301033(1)135********E =-⨯+-⨯+⨯+⨯=ξ160.32950y = 50×0.38 = 19， Z = 50﹣9﹣19﹣16 = 6， S = = 0.12 ----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅱ）知，参加面试的应聘人员共6人.若参加面试的6人分别记为：S 1 , S 2 , a , b , c , d .( 其中S 1 , S 2 表示松山区的参赛选手，a , b , c , d 表示其他旗、县的选手)则所有的比赛为： （S 1 , S 2 ） （S 1 , a ） （S 1 ,b ） （S 1 ,c ） （S 1 , d ） （S 2 , a ） （S 2 , b ） （S 2 , c ） （S 2 ,d ） （a , b ） （ a , c ） （ a , d ） （ b , c ） （b , d ） （c , d ） 共十五个场次的比赛，有松山区选手出现的比赛有9场. 若有松山区选手参加比赛的事件为：A 则P (A ) =-------------------------------12分65035。
线性回归方程练习及答案
13．(09·江苏理)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投1021．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？13．(09·江苏理)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10[答案] 25[解析] x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，∴s 2甲＝(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)25＝25， s 2乙＝(7－6)2＋(7－7)2＋(7－6)2＋(7－7)2＋(7－9)25＝65， 21．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？[解析] (1)散点图如图．(2)x －＝4.5，y －＝3.5，b ^＝∑x i y i －4x － y －∑x 2i －4x －2＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝3.5－0.7×4.5＝0.35，∴回归直线方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(t) ∴降低了19.65吨．教你如何用WORD 文档标签： 杂谈1. 问：WORD答：分节，不同。
2. 问：请问word 部改了？答：在插入分隔符里，个字来。
线性回归方程.附答案docx
线性回归方程一、考点、热点回顾一、相关关系：1、⎩⎨⎧<=1||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系2、相关系数：∑∑∑===-⋅---=ni ini ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，其中：（1）⎩⎨⎧<>负相关正相关00r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||<>r r3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。
二、线性回归方程：1、回归方程：a x b yˆˆˆ+= 其中2121121)())((ˆxn x yx n yx x x y yx x bn i i ni ii n i i ni ii--=---=∑∑∑∑====，x b y aˆˆ-=（代入样本点的中心） 2、残差：（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。
（2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。
（3）残差平方和∑=-ni i iyy12)ˆ(越小，模型拟合精度越高。
3、相关指数：∑∑==---=n i ini i iy yyyR 12122)()ˆ(1（1）其中：∑=-ni i iyy12)ˆ(为残差平方和；∑=-ni i y y 12)(为总偏差平方和。
（2）)1,0(2∈R ，越大模型拟合精度越高。
二、典型例题+拓展训练典型例题1：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线121+-=x y 上，则样本相关系数为（ ） 21.21.1.1.--D C B A典型例题2：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据)2,1)(,(n i y x i i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则不正确的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系；B.回归直线过样本点的中心),(y xC.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg扩展2.一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？典型例题3.为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.扩展1.下列说法正确的是（ ）（1）残差平方和越小，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差； （2）残差平方和越大，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （3）残差平方和越小，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （4）残差平方和越大，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差；A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（4）D.（2）（3）扩展2.关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有下表所示的资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，求：（1）线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中的回归系数b a ˆ,ˆ； （2）残差平方和与相关指数2R ，作出残差图，并对该回归模型的拟合精度作出适当判断； （3）使用年限为10年时，维修费用大约是多少？三、典型例题4.非线性回归模型：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
线性回归方程高考真题教师版
线性回归方程一．选择题（共11小题）1．（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A ．160 B ．163 C ．166 D ．1702．（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆy bx a =+，其中ˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元3．（2014•重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4yx =- C ．ˆ29.5yx =-+ D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 4．（2014•湖北）根据如下样本数据：得到了回归方程ˆˆy bx a =+，则( ) A ．ˆ0a>，ˆ0b < B ．ˆ0a>，ˆ0b > C ．ˆ0a<，ˆ0b < D ．ˆ0a<，ˆ0b > 5．（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程ˆybx a =+，则( )6．（2013•湖北）四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648yx =-+； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578yx =--． 其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．（2013•福建）已知x 与y 之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆy bx a =+，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ='+'，则以下结论正确的是( ) A ．ˆbb >'，ˆa a >' B ．ˆbb >'，ˆa a <' C ．ˆbb <'，ˆa a >' D ．ˆbb <'，ˆa a <' 8．（2011•陕西）设1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是( )A ．直线l 过点(,)x yB ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同9．（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1882y x =+D ．176y =10．（2011•陕西）设1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，)y11．（2011•山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元二．填空题（共3小题）12．（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程ˆ0.2540.321yx =+．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元．13．（2011•广东）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ．14．（2011•广东）工人月工资y （元)与劳动生产率x （千元）变化的回归方程为ˆ5080yx =+，下列判断正确的是 ①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．三．解答题（共2小题）15．（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x ynxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为ˆˆˆybx a =+． 16．（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：bx （Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从()I 中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）线性回归方程参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A ．160 B ．163 C ．166 D ．170【解答】解：由线性回归方程为ˆˆ4y x a =+， 则101122.510i i x x ===∑，101116010i i y y ===∑，则数据的样本中心点(22.5,160)，由回归直线方程样本中心点，则ˆˆ4160422.570ay x =-=-⨯=， ∴回归直线方程为ˆ470yx =+， 当24x =时，ˆ42470166y=⨯+=， 则估计其身高为166， 故选：C ．2．（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆy bx a =+，其中ˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解答】解：由题意可得1(8.28.610.011.311.9)105x =++++=，1(6.27.58.08.59.8)85y =++++=，代入回归方程可得ˆ80.76100.4a=-⨯=， ∴回归方程为ˆ0.760.4yx =+， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=， 故选：B ．3．（2014•重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．ˆ0.4 2.3y x =+B ．ˆ2 2.4y x =-C ．ˆ29.5y x =-+D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 【解答】解：变量x 与y 正相关， ∴可以排除C ，D ；样本平均数3x =， 3.5y =，代入A 符合，B 不符合， 故选：A ．4．（2014•湖北）根据如下样本数据：得到了回归方程ˆˆy bx a =+，则( ) A ．ˆ0a>，ˆ0b < B ．ˆ0a>，ˆ0b > C ．ˆ0a<，ˆ0b < D ．ˆ0a<，ˆ0b > 【解答】解：样本平均数 5.5x =，0.25y =，∴61()()24.5i i i x x y y =--=-∑，621()17.5i i x x =-=∑，24.51.417.5b ∴=-=-， 0.25( 1.4)5.57.95a ∴=--=，故选：A ．5．（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程ˆybx a =+，则( )【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以0b <，且回归方程经过(3,4)与(4,2.5)附近，所以0a >． 故选：B ．6．（2013•湖北）四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648yx =-+； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578yx =--． 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648yx =-+；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578yx =--．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的 故选：D ．7．（2013•福建）已知x 与y 之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆy bx a =+，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ='+'，则以下结论正确的是( ) A ．ˆbb >'，ˆa a >' B ．ˆbb >'，ˆa a <' C ．ˆbb <'，ˆa a >' D ．ˆbb <'，ˆa a <' 【解答】解：由题意可知6n =，1121762n ii x x n ====∑，11136n i i y y n ===∑， 故22217916()222nii x nx =-=-⨯=∑，171325586262ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，故可得12215ˆ7ni ii nii x ynxybxnx ==-==-∑∑，13571ˆ6723a y bx =-=-⨯=-， 而由直线方程的求解可得02212b -'==-，把(1,0)代入可得2a '=-， 比较可得?b b <'，?a a >'， 故选：C ．8．（2011•陕西）设1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是( )A ．直线l 过点(,)x yB ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 【解答】解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A 正确， 两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B 不正确， 直线斜率为负，相关系数应在(1,0)-之间，故C 不正确，所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D 不正确， 故选：A ．9．（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1882y x =+D ．176y =【解答】解：1741761761761781765x ++++==，1751751761771771765y ++++==，∴本组数据的样本中心点是(176,176)，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有1882y x =+适合， 故选：C ．10．（2011•陕西）设1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，)y【解答】解：直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，回归直线方程一定过样本中心点， 故选：D ．11．（2011•山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元【解答】解：42353.54x +++==， 49263954424y +++==，数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ˆ429.4 3.5a ∴=⨯+， ∴ˆ9.1a=， ∴线性回归方程是9.49.1y x =+，∴广告费用为6万元时销售额为9.469.165.5⨯+=，故选：B ．二．填空题（共3小题）12．（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程ˆ0.2540.321yx =+．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 0.254 万元． 【解答】解：对x 的回归直线方程ˆ0.2540.321y x =+． ∴1ˆ0.254(1)0.321yx =++， ∴1ˆˆ0.254(1)0.3210.2540.3210.254yy x x -=++--=． 故答案为：0.254．13．（2011•广东）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185 cm ．【解答】解：设X 表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化情况如下；建立这种线性模型：求解得线性回归方程3y x =+ 当182x =时，185y = 故答案为：185．14．（2011•广东）工人月工资y （元)与劳动生产率x （千元）变化的回归方程为ˆ5080yx =+，下列判断正确的是 ②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元． 【解答】解：：对x 的回归直线方程ˆ5080y x =+， ∴1ˆ80(1)50yx =++， ∴1ˆˆ80(1)50805080yy x x -=++--=．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确． ①④不满足回归方程的意义． 故答案为：②．三．解答题（共2小题）15．（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x ynxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为ˆˆˆybx a =+． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知10n =，1180810n ii x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑， 故222172010880nxx ii l x nx ==-=-⨯=∑，1184108224nxy i i i l x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，故可得240.380xy xxl b l ====，20.380.4a y bx =-=-⨯=-， 故所求的回归方程为：0.30.4y x =-；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0.30b =>，即变量y 随x 的增加而增加，故x 与y 之间是正相关；（Ⅲ）把7x =代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）．16．（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：bx （Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从()I 中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 【解答】解：88.28.48.68.89()8.56I x +++++==，1(908483807568)806y =+++++=20b =-，a y bx =-，11 / 11 80208.5250a ∴=+⨯=∴回归直线方程ˆ20250yx =-+； ()II 设工厂获得的利润为L 元，则233(20250)4(20250)20()361.254L x x x x =-+--+=--+ ∴该产品的单价应定为334元，工厂获得的利润最大．。
线性回归方程练习题
第10课时线性回归方程(1)
分层训练
1．长方形的面积一定时，长和宽具有( ) (A)不确定性关系 (B)相关关系 (C)函数关系 (D)无任何关系 2．三点（3,10），（7,20），（11,24）的线性回归方程是 （ ）
(A) x y
175ˆ-= (B) x y 517ˆ+= (C) x y 517ˆ-= (D) x y 517ˆ+-= 3．已知线性回归方程为：81.050.0ˆ-=x y
，则x ＝25时，y 的估计值为________ 4．一家保险公司调查其总公司营业部的加班效果，收集了10周中每周加班时间y （小时）与签发新保单数目x
则y 关于x 估计的线性回归方程为____________________(保留四位有效数字) 5
求y 与x 的线性回归方程。
（小数点后保留两位有效数字）
思考∙运用
6．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间相应的一组观察值如下表：
y （万元），有如下的统计资料：
试求：（1）线性回归方程a bx y
+=ˆ的回归系数a , b ; (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
本节学习疑点：
6.4.1 线性回归方程(1)
1．C 2．D 3．11.69
4．x y
003585.01181.0ˆ+= 5．x y
96.168.183ˆ+= 6．x y
304.036.5ˆ+= 7．(1) 23.1=b , 08.0=a
(2) 线性回归方程是 08.023.1ˆ+=x y
当x=10时，38.1208.01023.1ˆ=+⨯=y
即估计使用10年时的维修费用是12.38万元。
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线性回归方程
1。
【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
(Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =-
2。
【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明； （Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0。
01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
附注：
参考数据：
7
1
9.32i
i y
==∑,7
1
40.17i i i t y ==∑7
2
1
()
0.55i
i y y =-=∑，≈2.646.
参考公式:1
2
2
1
1
()()
()(y
y)n
i
i
i n n
i i
i i t t y y r t t ===--=
--∑∑∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑∑，
=.a y bt -
3。
【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y(单位:t)和年利润z （单位：千元)的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,
,8i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
（I)根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由)；
（II ）根据(I)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；
（III)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为0.2z y x =- ，根据(II ）的结果回答下列问题：
（i ）当年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?。