华北电力大学(保定)自控原理 30-33次课

z 1
z 2
k
x( k 1 ) ( 1 )
(2 )
k

x( k) ( 1 )
k 1
(2 )
k 1
( k 1 ,2 , )
第四节 脉冲传递函数 （Z传递函数）
脉冲传递函数的定义 开环脉冲传递函数的求取 闭环脉冲传递函数的求取

脉冲传递函数的定义
初始条件为零，环节或系统的输出脉冲 序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换比值为 该环节或系统的脉冲传递函数 G(z)
G k ( z) G b ( z)
B( z ) E( z ) Y( z ) R( z)
G 0 ( z ) GH ( z ) G 0 ( z ) G( z ) 1 G 0 ( z ) GH ( z )
注意多回 路的使用 条件！
练习一
选做书中相关习题。 补充： 简答题
1、根据方框图结构，怎样判断系统是否存在确定输入下的脉冲传递函数？ 2、传递函数G1(s), G2(s)乘积后的采样和采样后的乘积有区别么？写出各自的数学表达式。 3、怎样检验系统方框图是否具备使用梅逊公式求脉冲传递函数的条件？ 4、已知单位负反馈系统的开环传递函数为Gk(z), 写出特征方程和闭环脉冲传递函数。
3
150z
3 Ts
4
310z
5
310e
5 Ts
x ( s ) 10e
x
*
Ts
1
30e
70e
150e
4 Ts

( t) Z
[ X( z ) ] 4T ) 310δ( t 5T )
10δ( t T ) 30δ( t 2T ) 70δ( t 3T ) 150δ( t
n z1
1
)x(z)]
终值定理使用条件：(1-z-1)x(z)的所有极点在单位圆内。
Z反变换的求取方法


长除法
分部分式查表法
长除法
X( z ) 10z ( z 1) ( z 2) 10z z
2
3z 2
X( z ) 10z

1
30z
2
70z
2 Ts
u( t) δ( t) ; 1 z 1 1 z 2 x( 0 ) x( 1 ) 0
x ( k 2 ) 3 x ( k 1 ) 2 x ( k ) u( t) ; x( z) 1 z
2
3z 2 z z

1 (z 1)(z 2)
zx( z)
T R(s)
R*(s)
G(s)
T
C*(s) C(s)
T
G(z)
z[c * (t)] z[r * (t)]

C(z) R(z)
C(z) Z[G(s)]R(z ) G(z)R(z)
R(s)
G(s)
C(s)
C*(s)
C(s) G(s)R(s)
*

C (s) [G(s)R(s)]
*
*
R(s)
T Gh0(s) G(s)
T C(s)
ho
s
Z G (s)G (s) (1 z 1 2 R(z) 1 )Z[ 1 s 2 1 s 1 s 1)


(1 z
] (1 z
闭环脉冲传递函数的求取
1、模型的不确定性（取决于结构、开关位置及个数、采样周期等） 2、求取方法
开关
2)
1 s
,
G 2 ( s)
1 s 1
.
两个串联环节之间有采
样开关
G( z ) G 1G 2 ( z ) Z G 1 ( s ) G 2 ( s ) 1 z z 1 Z T z 1 s s 1 z e z( 1 e
T
G( z ) G 1 ( z ) G 2 ( z ) Z G 1 ( s ) Z G 2 ( s ) z z 1 1 Z Z z 1 z eT s s 1
Z变换的求取方法（对离散系统而言）
1) x( t) 1 ( t)
Ts

x

( t)


δ( t nT s )

x

( s)
n0


e
n Ts s
)
n0
令z
e
，得： z
n
x( z)

1 z
1
z
2
z
n

1 1 z
1

z z 1
n0
脉冲传递函数 与系统结构、 采样开关位置、 采样周期均有 关！
)
T
(z 1)(z e
)
求所示开环系统的传递 G(s) G(z) 1 s(s 1) C(z) ; G
函数 (s) 1e Ts . 1 )Z[ 1 s (s 1) 1 )[ Tz (z 1) 2 z z 1 z ze T ] 2 ]
5

结论：阶跃响应曲线呈
增幅振荡形式，系统不
ROUTH稳定判据

线性连续系统Routh稳定判据 S平面与Z平面根分布之间的关系
z e
Ts
e
T(σ j ω)
e
Tσ
e
j ωT

离散系统的稳定条件——所有特征根（闭环极点）在z平面的单位圆内

Z [x( t kT) ] z
n
X( z )
k 1

Z [ x ( t ) ] X( z )

Z [x( t kT ) ] z
k
[X( z )
m 0

x ( mT ) z
m
]

x ( 0)
z
l i m X( z )

x( ) lim x(nT) lim [(1 z
C(z) z[c (t)] Z[G(s)R(s) ] GR(z)
开环脉冲传递函数的求取
R(s) T G1(s)
Y( z ) X( z )
T G1(s)
T C(s)
所有采样开关，采样 周期相同且同步。
G( z )
Z [G 1( s ) ]Z [G 2 ( s ) ] G 1( z ) G 2 ( z )
)z e
T
]
R( z)
;
(1 e
K Ke
)z e
T
K 1, T 1, Y( z ) 0. 632z y
* 1
1. 097z
2
1. 205z
3
1. 12z
4
1. 014z
5
0. 96z
6

( t ) 0. 632δ( t
T ) 1. 097δ( t
T min
1 f

2
max
Ts


ω max

信号的复现
理想滤波器； 零阶保持器 一阶滤波器；
G 0 ( s) 1 e
Ts s
s
；
第三节 z变换

x
*
Z变换的定义
( t)


x ( nT s ) δ( t nT s )

X
*
( s)
n0

*

x ( nT s ) e
e
z
1e
a Ts
z
1

z z e
a Ts
Z变换的基本定理

线性定理 延迟定理 超前定理 初值定理 终值定理
Z [ a 1x 1 ( t ) a 2 x 2 ( t ) ] a 1X 1 ( z ) a 2 X 2 ( z )

Z [ x ( t ) ] X( z )
可以由脉冲函数绘制脉冲序列，从而获得系统的性能！
分部分式查表法
x( z) 0.5z ( z 1) ( z 0.5)
X( z ) z

0.5 ( z 1) ( z 0.5)

A z 1

B z 0.5
X( z )
z z 1

z z 0.5
x
*
( t)


(1
n
第五节 离散控制系统的稳定性分析

稳定性的判别方法
直接时域求解 ROUTH稳定判据

最大稳定度系统
直接时域求解
某单位负反馈离散控制系统结构方框图 如图所示，已知Ts=1秒 。 1）当K=1时，求单位阶跃响应，分析系统的稳定性； 2）当K=5时，求单位阶跃响应，分析系统的稳定性。
G k ( z) Z[ K s ( s 1) ] Kz ( 1 e
0. 5
n
) δ( t nT )
n0


( 1 0. 5
n
) δ( t nT )
n0
差分方程的求解

直接递推求解 利用Z变换求解

直接递推求解
x( k 1 ) x( k) 0 , x( k 1 ) - x( k) ; x( 1 ) - x( 0 ) - 1 ; x( 2 ) - x( 1 ) 1 ; x ( 3 ) - x ( 2 ) - 1 ; x( 0 ) 1
1）推导求取； 2）利用梅逊公式求脉冲传递函数或脉冲输出响应Z函数（注意使用条件）。
3、Z变换精度对传递函数结构的要求--传递函数分母阶次至少应高于分子两阶