人教版九年级数学上册课件实际问题与二次函数(第1课时)
4.小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成一个 4 矩形,则矩形的最大面积是 cm2. 解析:设矩形的一边长为x cm,则另一边长 为
S最大
8 2x cm, 2
矩形的面积 故填4.
8 2x 2 s x x 4 x, 2
4ac b 2 4, 4a
5.如图所示,已知AB=2,C是AB上一点,四边 形ACDE和四边形CBFG都是正方形,设
b 时， 2a
探究1
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随
矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时，场地的面 积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为
60 ( l) m，场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0< l<30). 2
可以看出，这个函数的图 象是一条抛物线的一部分， 这条抛物线的顶点是函数 图象的最高点，也就是说， 当l取顶点的横坐标时，这 个函数有最大值.
b 30 因此，当l 15时 2a 2 (1)
4ac b 2 30 2 S有最大值 225. 4a 4 (1)
解析:抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),所以抛物线y=x2-2的顶点坐标为(0,2).故选D.
2.如图所示,△ABC是直角三角形, ∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿 AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从 点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动, 其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止 运动,则△APQ的最大面积是( B ) A.8 cm2 B.16 cm2 C.24 cm2 D.32 cm2
BC=x. (1)求AC 的长度; AC=2-x(0≤x≤2). (2)设正方形ACDE 和正方形CBFG 的总面积为 S,用x表示S 的函数表达式; S=AC2+BC2=(2-x)2+x2=2(x-1)2+2.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大 值或最小值是多少? 当x=1时,S最小=2;当x=0或x=2时,S最大=4.
配方得h=30t-5t2=-5(t-3)2+45.∵-5<0,∴当 t=3时,h有最大值,为45,即小球运动的时间是3 s 时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m. 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的 顶点是最低(高)点,即当, x
4ac b 2 . 二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值 4a
九年级数学上
新课标 [人]
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与 二次函数（1）
学习新知
检测反馈
知识复习 1.通过配方,写出下列函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标. (1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10.
2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个 函数有最小值?说出两个函数的最大值、 最小值分别是多少. 3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当a>0时,图象 开口向 ,函数有最 值,等 于 ;当a<0时,图象开口向 ,函 数有最 值,等于 .
解析:根据题意,点P从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发, 沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,∴AP=2t cm,AQ=t cm,S△APQ=t2 cm2,∵0<t≤4,∴△APQ的最大面积是16 cm2.故选B.
3.在距离地面2 m高的某处把一物体以 初速度v0(m/s)竖直向上抛出,在不计空 气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛 出时间t(s)满足: s v t 1 gt 2
学习新知 问题：从地面竖直向上抛出一小球,小球的 高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之 间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的 时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高 度是多少?
分析：可以借助函数图象解决问题,画出函数图象,观察图象,抛物线的顶点就是抛物线 的最高点,即t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
方法一
b 30 观察函数图象得,当 t 2a 2 (5) 3时，
4ac b 2 302 h有最大值 4a 4 (5) 45，
即小球运动的时间是3 s时,小球最高,小球运 动中的最大高度是45 m.
h/m 40 20
o
1
2 3 4
5
6
t/s
方法二:
(4)总面积S 取最大值或最小值时,点C在AB的 什么位置?
当x=1时,点C恰好在AB的中点处,总面积最小. 当x=0时,点C恰好在B处,当x=2时,点C恰好在 A处，总面积最大.
s
200
100
O
5 10 15 20 25 30
l
即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)
总结
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低
b （高）点，所以当 x 时，二次函数 2a
2 4 ac b y=ax2+bx+c有最小（大）值 . 4a
检测反馈 1.抛物线y=x2-2的顶点坐标为 ( D ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
0
2
(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10 m/s,则该物体在运动过程中最高点距地 面 m. 7
1 2 解析:把g=10,v0=10代入 s v0t gt ， 2
得s=-5t2+10t=-5(t-1)2+5,它的图象是开口向下的 一条抛物线,所以函数的最大值为5,此时物体离 地面最高,为5+2=7(m).故填7.
合集下载
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数(第1)精品PPT教学课件
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.Biblioteka 2020/11/236
【内化导行】
问题2 [练习2]张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三 边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长 为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.
[解]（1）由题意可知AB=x m，则BC=（32-2x）m，
∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.
（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，
∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.
2020/11/23
2
【合作互动】
问题2 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时 间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？
（1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是 什么？
作修改、删除以及打印，感谢各位小主的阅览和下载
13
2020/11/23
3
【合作互动】
问题2 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时
间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【内化导行】
问题2 [练习2]张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三 边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长 为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.
[解]（1）由题意可知AB=x m，则BC=（32-2x）m，
∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.
（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，
∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.
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【合作互动】
问题2 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时 间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？
（1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是 什么？
作修改、删除以及打印，感谢各位小主的阅览和下载
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【合作互动】
问题2 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时
间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
22.3 实际问题与二次函数 第1课时 课件(共21张PPT)人教版数学九年级上册
2.(2020·湖北中考)某商店销售一批头盔,售价为每顶80元，每
月可售出200顶.在“创建文明城市” 期间，计划将头盔降价销 售，经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进 价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价 为 _7_0__元.
【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元 w= (x-50) [200+ ( 80-x ) 20]=-20 (x-70) 2 +8000 当x=70时，w取得最大值，此时w=8000 故答案为:70
请同学们思考：
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生
了变化？
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？
怎样确定x的
∴当x=5时，y最大值=6 250.
取值范围
也可以这样求最值：
当x
b 2a
5时，y最大值
1052
10056
0006
250.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.
y/元
可以看出，这个函数的图象
6250
是一条抛物线的一部分，这
6000
条抛物线的顶点是函数图象
的最高点，也就是说当x取
(0<l<2 30).
请同学们画出此函数的图象
s
问题1：用总长为60m的篱
笆围成矩形场地，矩形面 200
积S随矩形一边长l的变化 而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
人教版九年级上册数学课件：实际问题与二次函数1
小结：
1、这节课你学习了用什么方法解决哪类问题？ 2、解决此类问题的一般步骤是什么？
3、对你以后生活（买卖东西）有什么指导？
老师 提醒：
确定二次函数关系式后，应该写出相 应的自变量取值范围，这对于最后定
最值有指导意义。
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
课后训练
已知某商品的进价为每件40元，售价 是每件60元，每星期可卖出300件。市场调 查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期 要少卖出10件。该商品应定价为多少元时， 商场能获得最大利润？
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
问题三：
该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星 期要少卖10件，则此时该如何定价，才能使每周获得 利润最大？
分
析
用二
（1）、你准备用哪一个知识点解决这个问 题？为什么？
次函 （2）、找出自变量、因变量。
数解 决实
（3）、列出对应的函数关系式。
分 析 （1）、这个题用什么方法解决？
（2）、函数中，什么是自变量，什么是因变量呢？ （3）、你能列出它们之间的函数关系吗？ （4）、这里，自变量x的取值范围是多少？为什么？ （5）、如何求函数最大值呢？
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
当x
2
100
20
5时，
y最大
4 10 6000 100 2 4 10
《实际问题与二次函数》第1课时示范公开课教学PPT课件【部编新人教版九年级数学上册】
–75
25 50 75 x
225 cm² 15 cm 15 cm
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长32 m，这个矩形与墙平行的一边长为x m，则当x为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？
32m
思考： (1)菜园另一边的长＝
这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示方法过程； 3.教师带领大家完善探究过程.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
30x
x SS矩矩形形 x(x3²0x3)0x 求S的最大值
x
–
2×
30 (–
1)
15
S最大 –15²3015 225
y 225 200 175 150 125 100 75 50 25
对应的 函数值
–75–50 –25 O –25
–50
30 x 2
m，
ห้องสมุดไป่ตู้
菜园的面积＝
1 2
x2＋30 x
.
(2) x的取值范围是 0＜x≤32 .
(3) 当x＝ 30 时，菜园面积 最大，最大面积＝ 450 m².
y
500
60 x
400
2
300
x 200
x1(3x021＋ 00 x30) x 2 2 –200 –100 O 100 200 x
25 50 75 x
225 cm² 15 cm 15 cm
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长32 m，这个矩形与墙平行的一边长为x m，则当x为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？
32m
思考： (1)菜园另一边的长＝
这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示方法过程； 3.教师带领大家完善探究过程.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一起探究
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
30x
x SS矩矩形形 x(x3²0x3)0x 求S的最大值
x
–
2×
30 (–
1)
15
S最大 –15²3015 225
y 225 200 175 150 125 100 75 50 25
对应的 函数值
–75–50 –25 O –25
–50
30 x 2
m，
ห้องสมุดไป่ตู้
菜园的面积＝
1 2
x2＋30 x
.
(2) x的取值范围是 0＜x≤32 .
(3) 当x＝ 30 时，菜园面积 最大，最大面积＝ 450 m².
y
500
60 x
400
2
300
x 200
x1(3x021＋ 00 x30) x 2 2 –200 –100 O 100 200 x
九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第1课时)课
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
变式② 变式③
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
变式② 变式③
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
变式① △题型二 §例题2
变式② 变式③
◆反馈演练
△基础夯实 △能力跃升 △思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
△题型一 §例题1
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多 少？
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
人教版九年级数学上册2实际问题与二次函数第1课时教学课件
25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ，绿化带一边
2
=
−
点，当
时，二次函数 = + + 有最小（大）
2
2
4 −
.
值=
4
2 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变
量的取值范围.
3 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
应用新知
问题3
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
60
=
− ，
2
2
整理后得 = − + 30 0 < < 30 .
2
30
∴当 =−
=−
= 15 时，
2
2 × −1
2
2
4 −
−30
=
= 225.
有最大值为
4
4 × −1
60
−
2
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
随矩形一边长 的变化而变化. 当 是多少米时，
ℎ 单位：m 与小球的运动时间 单位：s 之间的关系
2
式是 ℎ = 30 − 5 0 ≤ ≤ 6 . 小球的运动时间是多少
时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
点的纵坐标最大
图象的最高点
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
.
4
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
引入新知
=−
2
=
−
点，当
时，二次函数 = + + 有最小（大）
2
2
4 −
.
值=
4
2 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变
量的取值范围.
3 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
应用新知
问题3
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
60
=
− ，
2
2
整理后得 = − + 30 0 < < 30 .
2
30
∴当 =−
=−
= 15 时，
2
2 × −1
2
2
4 −
−30
=
= 225.
有最大值为
4
4 × −1
60
−
2
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
随矩形一边长 的变化而变化. 当 是多少米时，
ℎ 单位：m 与小球的运动时间 单位：s 之间的关系
2
式是 ℎ = 30 − 5 0 ≤ ≤ 6 . 小球的运动时间是多少
时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
点的纵坐标最大
图象的最高点
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
.
4
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
引入新知
=−
精编课件人教版九年级数学上册第22章二次函数22.3实际问题与二次函数(共12张PPT)(第1课时)
… 2分
2
∴当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面积是450 cm .
课堂小结
将一 来定 的会 你感 激 现 在 拼 命 的 自 己
牛刀小试
变式1：现要用60米长的篱笆围成一个矩形 场地（一边靠墙且墙长40米）。应怎样围 才能使矩形的面积s最大？最大是多少？
变式2现要用60米长的篱笆围成一个矩形 场地（一边靠墙且墙长28米）。应怎样围才 能使矩形的面积s最大？最大是多少？
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的 最大值或最小值。
参考答案及评分标准
解：（1）S=
（2）∵S= -
-
1 2 x 30 x ，a= 2
30
1 x 2
2
30 x
1 2
… 2分
＜0,
∴S有最大值
b ∴当x= 2a
= —
S的最大值为
4ac b 2 4a
1 2 ( ) 2 2
30 … 2分
30
4 (
1 ) 2
450
临沂太平中学
牛雅琪
视频
问题
排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高 度 h（单位：m）与排球的运动时间 t（单位：s）之间 的关系式是h= 20t - 5t 2 （0≤t≤4）．排球的运动时间 是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少 ？ h
0 4
t
探究1
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l是多少米时，场地 的面积 S 最大？
A B D C
人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数(第1课时)》示范教学课件
实际问题与二次函数（第1课时）
一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可以通过配方法化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即_______________________．因此，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是____________，顶点是_________________．
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y＝ax²．
解：以点 C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
y
x
(2，－4)
H
由图象知，抛物线过点(2，－4)， ∴－4＝a×22，a＝－1． ∴ y＝－x2．
装货宽度为 2 m，在图象上为 EF，
即F 点的横坐标为 1．
分析：画出函数 h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（如图）．
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，
最当 a＞0(a＜0)时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当 时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值 ．
当 x＝1 时，y＝－1，即 CG＝1 m． ∵大门的顶部 C 离地面高度为 4 m， ∴CH＝4 m． ∴GH＝4－1＝3 m＞2.5 m． ∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2，－4)
抛物线型实际问题
一般步骤
抛物线型运动问题
抛物线型建筑问题
建
设
求
y
O
x
方法 3：以抛物线和水面的两个交点的连线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可以通过配方法化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即_______________________．因此，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是____________，顶点是_________________．
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y＝ax²．
解：以点 C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
y
x
(2，－4)
H
由图象知，抛物线过点(2，－4)， ∴－4＝a×22，a＝－1． ∴ y＝－x2．
装货宽度为 2 m，在图象上为 EF，
即F 点的横坐标为 1．
分析：画出函数 h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（如图）．
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，
最当 a＞0(a＜0)时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当 时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值 ．
当 x＝1 时，y＝－1，即 CG＝1 m． ∵大门的顶部 C 离地面高度为 4 m， ∴CH＝4 m． ∴GH＝4－1＝3 m＞2.5 m． ∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2，－4)
抛物线型实际问题
一般步骤
抛物线型运动问题
抛物线型建筑问题
建
设
求
y
O
x
方法 3：以抛物线和水面的两个交点的连线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
最新人教版初中数学九年级上册《22.3 实际问题与二次函数(第1课时)》精品教学课件
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣1a2．
2
课堂检测
基础巩固题
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大 面积是___2_82_5_m_2_.
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P
从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动
【分析】
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x
b 2a
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小
（大） 值 y 4ac b2 ．
4a
探究新知
h/m
解：
t
b 2a
30 2 （
5）
3，
40
h
4ac b2 4a
4 （3025）
45．
20
h= 30t - 5t 2
O 12 34 56
1 (x 20)2 200 2
∵0＜x＜25，
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.
课堂检测
拓广探索题
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告 设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m), 面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范 围；
链接中考
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用
旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩
形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
2
课堂检测
基础巩固题
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大 面积是___2_82_5_m_2_.
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P
从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动
【分析】
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x
b 2a
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小
（大） 值 y 4ac b2 ．
4a
探究新知
h/m
解：
t
b 2a
30 2 （
5）
3，
40
h
4ac b2 4a
4 （3025）
45．
20
h= 30t - 5t 2
O 12 34 56
1 (x 20)2 200 2
∵0＜x＜25，
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.
课堂检测
拓广探索题
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告 设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m), 面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范 围；
链接中考
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用
旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩
形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．