北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义

第02讲_因式分解进阶

知识图谱

因式分解的高级方法

知识精讲

一．十字相乘法

二．分组分解法

分组分解法分解因式常用的思路有：

十字相乘

法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++

21232=(8)(4)x x x x ++++

a 1

a 2c 2

c 1a 1c 2 + a 2c 1

分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法

（2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解

四项=二项+二项

（按字母分组、按系数分组、

符合公式的两项分组）

四项=三项+一项

（先完全平方公式后平方差

公式）

五项=三项+二项（完全平方公

式）

六项=三项+三项（完全平方公

式）

六项=二项+二项+二项（各组

之间有公因式）

六项=三项+二项+一项（完全

平方公式）

三．换元法

四．拆、添项法

三点剖析

一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项

二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项．

三．易错点：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：

在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．”

（2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解．

c 1

c 2

a 2

a 1换元法

将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程

设， 则

原

式

易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。并再次对每一项彻底的因

式分解

拆、添项

（1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式

（2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法

十字相乘法

例题1、 如果把多项式x 2﹣8x+m 分解因式得（x ﹣10）（x+n ），那么m+n=_____________． 【答案】 -18

【解析】 ∵x 2﹣8x+m=（x ﹣10）（x+n ）， ∴x 2﹣8x+m=x 2+（﹣10+n ）x ﹣10n ， ∴﹣10+n=﹣8，m=﹣10n ， 解得：n=2，m=﹣20， m+n=﹣20+2=﹣18．

例题2、 因式分解：﹣2x 2y+8xy ﹣6y=_______． 【答案】 ﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）

【解析】 原式=﹣2y （x 2﹣4x+3）=﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）

例题3、 甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则a=__，b=__． 【答案】 6；9

【解析】 分解因式x 2+ax+b ，甲看错了b ，但a 是正确的， 他分解结果为（x+2）（x+4）=x 2+6x+8， ∴a=6，

同理：乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9）=x 2+10x+9， ∴b=9，

例题4、 因式分解：2

2

1999199911999x x .

【答案】 ()()199911999x x +- 【解析】 该题考查的是因式分解．

十字相乘可得原式()()199911999x x =+- 例题5、 把下列多项式因式分解 （1）22273x xy y -+

（2）22675x xy y --

【答案】 （1）(3)(2)x y x y --（2）(2)(35)x y x y +-

【解析】 （1）22273(3)(2)x xy y x y x y -+=--

（2）22

675(2)(35)x xy y x y x y --=+- 例题6、 把下列多项式因式分解 （1）2532x x -- （2）2568x x +- （3）26525x x -- （4）26113x x -+

【答案】 （1）(52)(1)x x +- （2）(54)(2)x x -+（3）(25)(35)x x -+（4）(23)(31)x x --

【解析】 利用十字相乘法进行因式分解可得（1）2532(52)(1)x x x x --=+- （2）2568(54)(2)x x x x +-=-+ （3）26525(25)(35)x x x x --=-+ （4）26113(23)(31)x x x x -+=-- 例题7、 分解因式：2214425x y xy +- 【答案】 ()2

12x -

【解析】 略

例题8、 仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是（x ＋3），求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为（x ＋n ），得 x 2－4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）

则x 2－4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ∴343n m n +=-⎧⎨=⎩

．

解得：n ＝－7，m ＝－21 ∴另一个因式为（x －7），m 的值为－21 问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是（2x －5），求另一个因式以及k 的值． 【答案】 另一个因式为（x ＋4），k ＝20 【解析】 设另一个因式为（x ＋a ），得2x 2＋3x －k ＝（2x －5）（x ＋a ） 则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋（2a －5）x －5a ∴2535a a k -=⎧⎨-=-⎩

解得：a ＝4，k ＝20

故另一个因式为（x ＋4），k 的值为20． 随练1、 如果x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3），那么p 等于（ ） A.－2 B.2 C.－3 D.3

【答案】 B

【解析】 已知等式整理得：x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3）＝x 2－2x －3， 可得－p ＝－2，q ＝3， 解得：p ＝2．

随练2、 分解因式：22

268x y x y -++- 【答案】 (4)(2)x y x y -++-

【解析】 ()()

22222682169x y x y x x y y -++-=++--+()()()()22

131313x y x y x y =+--=++-+-+ 随练3、 阅读下列材料，并解答相应问题：

对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a ）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x 2+2ax ﹣3a 2=x 2+2ax+a 2﹣a 2﹣3a 2=（x+a ）2﹣（2a ）2=（x+3a ）（x ﹣a ） （1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是 ； A ．提公因式法 B ．十字相乘法 C ．配方法 D ．公式法 （2）这种方法的关键是 ；

（3）用上述方法把m 2﹣6m+8分解因式． 【答案】 （1）B ；

（2）利用完全平方公式及平方差公式变形 （3）（m ﹣2）（m ﹣4）

【解析】 （1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法； （2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形； （3）原式=m 2﹣6m+9﹣1=（m ﹣3）2﹣1=（m ﹣3+1）（m ﹣3﹣1）=（m ﹣2）（m ﹣4）， 故答案为：（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形 随练4、 把下列多项式因式分解 （1）2232x xy y ++ （2）2276x xy y -+ （3）22421x xy y --

（4）22215x xy y +-

【答案】 （1）()(2)x y x y ++（2）()(6)x y x y --（3）(3)(7)x y x y +-（4）(3)(5)x y x y -+

【解析】 （1）()()22

322x xy y x y x y ++=++

（2）2276()(6)x xy y x y x y -+=-- （3）22421(3)(7)x xy y x y x y --=+-