北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
第01讲_因式分解知识图谱
因式分解
知识精讲
概念（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做把这个多项式因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式，
（2）因式分解与整式乘法是互逆过程
2
222
()
2()
a a
b a a b
x yx y x y
-=-
++=+
（√）
（√）
注意事
项（1）分解的对象必须是多项式；
（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；
（3）要分解到不能分解为止
2323
623
x y x y
=⋅（×）
2
(1)(2)2
x x x x
+-=--（×）
322
9633(32)
a a a a a a
-+=-（×）
概念（1）多项式()
am bm cm m a b c
++=++，其中m叫
做这个多项式各项的公因式
（2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项
式
（1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3
的公因式是5m2n
（2）m(n-2) -m2(2-n)
可化简为m(n-2)＋m2(n-2)，
公因式是m (n-2)
分解因式得m(n-2) (m＋1)
步骤
（1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约
数
（2）公因式的字母——各因式中相同的字母 （3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂
平方差公式
（1）()()22a b a b a b -=+-
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积
()()()
2
2249232323x x x x -=-=+-
完全平方公式 （1）()2
222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全
平方式
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于
这两个数的和(或差)的平方
()()()
22
2
2
2
41292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-
三点剖析
一．考点：1．概念；2．提公因式法；3．公式法．
二．重难点：提公因式法；公式法
三．易错点：没有分解彻底，一定要分解到每一项都不能再分解为止．
概念
例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（ ） A.ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ）
B.a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1
C.（x ＋5）（x －1）＝x 2－4x －5
D.2211
()42
x x x -+=-
【答案】 D
【解析】 A 、公因式是x ，应为ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ＋1），故本选项错误； B 、a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b －1），分解不彻底，故本选项错误； C 、右边不是积的形式，故本选项错误；
D 、完全平方公式分解因式，故本选项正确．
例题2、 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
（1）2
(1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323
623x y x y =⋅ （4）2
4(2)(2)x x x -=+-
（5）3229633(32)a a a a a a -+=- A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】 B
【解析】 从左到右，式（1）是整式乘法；式（2）右端不是积的形式；式（3）中左右两边均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成几个整式的乘积形式；式（5）的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式（4）是正确的．
例题3、 若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果（x －2）（x ＋3），则a ，b 的值分别是（ ） A.a ＝1，b ＝－6 B.a ＝5，b ＝6 C.a ＝1，b ＝6 D.a ＝5，b ＝－6 【答案】 A
【解析】 ∵多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为（x －2）（x ＋3）， ∴x 2＋ax ＋b ＝（x －2）（x ＋3）＝x 2＋x －6， 故a ＝1，b ＝－6．
随练1、 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A.2xy+6xz+3=2x （y+3z ）+3 B.（x+6）（x ﹣6）=x 2﹣36 C.﹣2x 2﹣2xy=﹣2x （x+y ） D.3a 2﹣3b 2=3（a 2﹣b 2） 【答案】 C
【解析】 A 、在等式的右边最后计算的是和，不符合因式分解的定义，故A 不正确； B 、等式从左边到右边属于整式的乘法，故B 不正确；
C 、等式从左边到右边把一个多项式化成两个整式积的形式，符合因式分解的定义，故C 正确；
D 、多项式a 2﹣b 2仍然可以继续分解为（a+b ）（a ﹣b ），故D 属于分解不彻底，故D 不正确； 故选C ．
随练2、 下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2－16＝（x ＋4）（x －4） ②x 2＋3x －16＝x （x ＋3）－16 ③（x ＋4）（x －4）＝x 2－16 ④x 2＋x ＝x （x ＋1） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B
【解析】 由因式分解的意义可知： ①④是因式分解，
提公因式法
例题1、 3322222491421a bc a b c ab c +-在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A.27abc B.227ab c C.2227a b c D.337a bc 【答案】 A
【解析】 因为()
3322222224914217723a bc a b c ab c abc a c ab b +-=+-，所以提取的公因式为27abc ，故选A 选项． 例题2、 单项式2234a b c -，212ab c ，38ab 的公因式是________． 【答案】 24ab
【解析】 由公因式的定义可知，题目中三项的公因式为24ab ． 例题3、 多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是（ ） A.x+y ﹣z B.x ﹣y+z C.y+z ﹣x D.不存在 【答案】 A
【解析】 （x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）+（y+z ﹣x ）（x+y ﹣z ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z+y+z ﹣x ） =2z （x+y ﹣z ），
故多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是：x+y ﹣z 例题4、 若x －y ＝5，xy ＝6，则x 2y －xy 2＝________． 【答案】 30
【解析】 ∵x －y ＝5，xy ＝6， ∴x 2y －xy 2＝xy （x －y ）＝6×5＝30．
例题5、 计算：20182－2018×2017＝________． 【答案】 2018
【解析】 20182－2018×2017＝2018（2018－2017）＝2018×1＝2018． 例题6、 若m ﹣n=﹣1，则（m ﹣n ）2﹣2m+2n=______． 【答案】 3
【解析】 ∵m ﹣n=﹣1， ∴（m ﹣n ）2﹣2m+2n =（m ﹣n ）2﹣2（m ﹣n ） =（﹣1）2﹣2×（﹣1） =1+2 =3．
例题7、 分解因式：
（1）32
4x x y -
（2）32
4(1)2(1)q p p -+- （3）22
x y xy - （4）22
x xy -
【答案】 （1）2(4)x x y -（2）22(1)(221)p q pq --+（3）22
()x y xy xy x y -=-（4）()
2x x y -
【解析】 （1）()32244x x y x x y -=-
（2）()()()()()()3
2
2
2
41212121121221q p p p q p p q pq -+-=--+=--+⎡⎤⎣⎦ （3）()22x y xy xy x y -=- （4）()
222x xy x x y -=-
随练1、 下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A.5()m a b --与()b a - B.2()a b +与a b -- C.mx y +与x y +
D.2a ab -+与22a b ab -
【答案】 C
【解析】 A 选项公因式为a b -；B 选项公因式为a b +；C 选项没有公因式；D 选项公因式为()a a b -；故答案为C 选项．
随练2、 多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是（ ） A.x －1 B.x ＋1 C.x 2－1 D.（x －1）2 【答案】 A
【解析】 暂无解析
随练3、 在分解3225(32)(23)x a b b a --+-时，提出公因式2
(32)a b --后，另一个因式是（ ） A.35x
B.351x +
C.351x -
D.35x -
【答案】 C
【解析】 因为()()()()
2
2
2
33532233251x a b b a a b x --+-=---，所以另一个因式是351x -，故选C 选项． 随练4、 若m －n ＝－1，则（m －n ）2－2m ＋2n ＝________． 【答案】 3
【解析】 ∵m －n ＝－1， ∴（m －n ）2－2m ＋2n ＝（m －n ）2－2（m －n ） ＝（－1）2－2×（－1） ＝1＋2 ＝3．
随练5、 已知m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2，m ≠n ，求m 3－2mn ＋n 3的值． 【答案】 －2
【解析】 暂无解析
随练6、 （﹣8）2014+（﹣8）2013能被下列数整除的是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9
【答案】 C
【解析】 （﹣8）2014+（﹣8）2013 =（﹣8）2013×（﹣8+1） =﹣7×（﹣8）2013，
则（﹣8）2014+（﹣8）2013能被7整除 随练7、 把下列各多项式分解因式 （1）5232a b a b a b -+
（2）222271449x y xy x y --+
（3）22()(1)()(1)x y a a x y a a +++--++ （4）222318(2)24(2)12(2)x x y xy y x x y x ----- （5）()()()x x y z y x y z z x y z ++++++++
【答案】 （1）232(1)a b a b -+（2）7(27)xy x y xy -+-（3）22(1)y a a ++（4）26(2)(58)x y x x y --（5）2
()x y z ++
【解析】 （1）()
52322321a b a b a b a b a b -+=-+ （2）2222714497(27)x y xy x y xy x y xy --+=-+-
（3）()()()()()()()
222211121x y a a x y a a a a x y x y y a a +++--++=+++-+=++
（4）()()()()()2
2
3
2
2182242122623422x x y xy y x x y x x x y x y x y -----=--+-⎡⎤⎣⎦()()2
6258x x y x y =--
（5）()()()()2
x x y z y x y z z x y z x y z ++++++++=++
公式法
例题1、 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.a 2+（﹣b ）2 B.5m 2﹣20m C.﹣x 2﹣y 2 D.﹣x 2+9 【答案】 D
【解析】 A 、a 2+（﹣b ）2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； B 、5m 2﹣20m=5m （m ﹣4），无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； C 、﹣x 2﹣y 2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； D 、﹣x 2+9=（3﹣x ）（3+x ），符合题意，故此选项正确．
例题2、 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A.21x x ++ B.221x x +- C.21x - D.269x x -+ 【答案】 D
【解析】 A 、21x x ++不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A 错误； B 、221x x +-不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B 错误； C 、21x -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C 错误；
D 、22693x x x +=--（）
2
，故D 正确． 例题3、 下列多项式可以用公式法因式分解的是（ ）
A.m 2+4m
B.﹣a 2﹣b 2
C.m 2+3m+9
D.﹣y 2+x 2 【答案】 D
【解析】 A ．m 2+4m 只有一项平方项，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； B ．﹣a 2﹣b 2两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； C ．m 2+3m+9不符合完全平方公式形式，故此选项错误；
D ．﹣y 2+x 2符合平方差公式因式分解的式子的特点，故选项正确． 例题4、 分解因式
（1）p 2（q －1）－p （1－q ）．
（2）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2． 【答案】 （1）p （p ＋1）（q －1） （2）（a ＋2b ）2（a －2b ）2 【解析】 暂无解析 例题5、 因式分解： （1）x 2－36；
（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）； （3）（y 2－1）2－6（y 2－1）＋9． 【答案】 （1）（x ＋6）（x －6） （2）3（a －b ）（x ＋2y ） （3）（y ＋2）2（y －2）2
【解析】 （1）x 2－36＝（x ＋6）（x －6）；
（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）＝3x （a －b ）＋6y （a －b ）＝3（a －b ）（x ＋2y ）； （3）原式＝（y 2－1－3）2 ＝（y 2－4）2
＝（y ＋2）2（y －2）2．
例题6、 已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求下列各式的值： （1）x 2y ＋xy 2； （2）（x 2－1）（y 2－1）． 【答案】 （1）4 （2）－12
【解析】 （1）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， x 2y ＋xy 2＝xy （x ＋y ）＝1×4＝4； （2）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， 原式＝x 2y 2－x 2－y 2＋1 ＝x 2y 2－（x 2＋y 2）＋1
＝（xy ）2－（x ＋y ）2＋2xy ＋1 ＝1－16＋2＋1 ＝－12．
例题7、 分解因式： （1）2269x ax a ++
（2）22
44x y xy --+
（3）2
9()6()1a b a b -+-+
【答案】 （1）2
(3)x a +（2）2
(2)x y --（3）2
(331)a b -+
【解析】 （1）22222
6923(3)(3)x ax a x x a a x a +++⋅⋅++==
（2）222222
244(44)[222](2)x y xy x xy y x x y y x y --+=--+=--⋅⋅+
=--（） （3）22222
9()6()1[3()]23()11[3()1](331)a b a b a b a b a b a b -+-+-+⋅-⋅+-+-+===
例题8、 分解因式：
（1）48610
369b x c y - （2）22(2)(2)x y x y +-- （3）8881x y -
（4）
()()
2
2
3223a b a b +-+
【答案】 （1）243524359(2)(2)b x c y b x c y +-（2）8xy （3）442222(9)(3+)(3)x y x y x y +-（4）()5()a b a b +-
【解析】 （1）486104861024235224352435
3699(4)9[(2)()]9(2)(2)b x c y b x c y b x c y b x c y b x c y ---+-＝＝＝，
（2）22(2)(2)x y x y +--[(2)(2)][(2)(2)](22)(22)(2)(4)8x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy =++-+--=++-+-+=＝ （3）8881x y -
42424444442222442222442222(9)()(9)(9)(9)[(3)()](9)[(3+)(3)](9)(3+)(3)
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =-=+-=+-=+-=+-
（4）()()22
3223a b a b +-+
[(32)(23)][(32)(23)](3223)(3223)(55)()5()()
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++-+=++++--=+-=+-
随练1、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x 2﹣4x+8；②﹣x 2﹣2x ﹣1；③4m 2+4m ﹣1；④﹣m 2+m ﹣14；⑤4a 4﹣a 2+1
a
．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【答案】 C
【解析】 ①x 2﹣4x+8，不能；②﹣x 2﹣2x ﹣1，能；③4m 2+4m ﹣1，不能；④﹣m 2+m ﹣
14，能；⑤4a 4﹣a 2+1
a
，不能，
则不能用完全平方公式分解的个数为3个， 故选C
随练2、 已知a ＝20182，b ＝2017×2019，则a －b 的值为________． 【答案】 1
【解析】 ∵a ＝20182，b ＝2017×2019，
∴a －b ＝20182－2017×2019＝20182－（2018－1）×（2018＋1）＝20182－20182＋1＝1． 随练3、 因式分解x 4－4＝________（实数范围内分解）． 【答案】
2(2)(x x x ++ 【解析】 x 4－4＝（x 2＋2）（x 2－2）
222(2)[]x x =+-
2(2)(x x x =+-．
随练4、 下列各式：x 2－y 2，－x 2＋y 2，－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4中能用平方差公式分解因式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C
【解析】 x 2－y 2＝（x ＋y ）（x －y ），－x 2＋y 2＝（y ＋x ）（y －x ），－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4＝（x ＋y ）（x －y ）（x 2＋y 2），
则能用平方差公式分解因式的有3个．
随练5、 若x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2，则m ＝________． 【答案】 7或－1
【解析】 ∵x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2， ∴n ＝±4，
∴2（m －3）＝±8， 解得：m ＝7或－1．
随练6、 分解因式:（1）5a b ab -（2）44
()()a m n b m n +-+ （3）11116
m m a a +--+
【答案】 （1）2(1)(1)(1)ab a a a ++-（2）22
()()()()m n a b a b a b +++-（3）11(4)(4)16
m a a a --+-
【解析】 （1）54222
(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a ab a a a -=-=+-=++-
（2）
4444222222()()()()()()()()()()()a m n b m n m n a b m n a b a b m n a b a b a b +-+=+-=++-=+++-（3）
11121111
(16)(4)(4)161616m m m m a a a a a a a +----+=--=-+- 随练7、 把下列各式因式分解： （1）x （x －5）2－x （－5＋x ）（x ＋5） （2）（a ＋2b ）2－a 2－2ab ； （3）－2（m －n ）2＋32；（4）－x 3＋2x 2－x ； 【答案】 （1）－10x （x －5） （2）2b （a ＋2b ）
（3）－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）－x （x －1）2
【解析】 （1）原式＝x （x －5）2－x （x －5）（x ＋5）＝x （x －5）[（x －5）－（x ＋5）]＝－10x （x －5） （2）原式＝a 2＋4ab ＋4b 2－a 2－2ab ＝2ab ＋4b 2＝2b （a ＋2b ） （3）原式＝－2[（m －n ）2－16]＝－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）原式＝－x （x 2－2x ＋1）＝－x （x －1）2 随练8、 （1）分解因式2a 3－8ab 2； （2）计算：（－2a 2b ）2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－ab ）3； （3）先化简后求值：[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ，其中x ＝5，y ＝3． 【答案】 （1）2a （a ＋2b ）（a －2b ） （2）－12a 2b ＋20a 3 （3）x －y ；2
【解析】 （1）2a 3－8ab 2 ＝2a （a 2－4b 2） ＝2a （a ＋2b ）（a －2b ）；
（2）原式＝4a 4b 2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－a 3b 3） ＝（12a 5b 4－20a 6b 3）÷（－a 3b 3） ＝－12a 2b ＋20a 3；
（3）[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ＝[（x 2－2xy ＋y 2）＋（x 2－y 2）]÷2x ＝（2x 2－2xy ）÷2x ＝x －y ，
当x ＝5，y ＝3时，原式＝5－3＝2． 随练9、 分解因式：
（1）422222
44a x a x y x y -+ （2）22
()12()36x y x y z z +-++ （3）222
(4)8(4)16x x x x ++++
（4）22222241
(2)2(2)22
x y x y y y ---+
【答案】 （1）222(2)x a y -（2）2(6)x y z +-（3）4
(2)x +（4）221(2)(2)2
x y x y +-
【解析】
（1）()2
4222222422222222244(44)[()2()(2)2](2)a x a x y x y x a a y y x a a y y x a y -+=-+=-⋅⋅+=-
（2）22222
()12()36()2()(6)(6)(6)x y x y z z x y x y z z x y z +-++=+-++=+-
（3）222222222224
(4)8(4)16(4)2(4)44(44)[(2)](2)x x x x x x x x x x x x ++++=++⋅+⋅+=++=+=+（4）2
2222241(2)2(2)22x y x y y y ---+ 22222242222222222222222221
[(2)4(2)4]21
[(2)2(2)(2)(2)]21
(22)21
(4)21
[(2)(2)]21
(2)(2)2x y x y y y x y x y y y x y y x y x y x y x y x y =---+=--⋅-⋅+=--=-=+-=+-
拓展
1、 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.3x ＋3y －5＝3（x ＋y ）－5 B.（x ＋1）（x －1）＝x 2－1 C.x 2＋2x ＋1＝（x ＋1）2 D.x （x －y ）＝x 2－xy 【答案】 C
【解析】 暂无解析
2、 下列变形：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1；②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2；③3abc 3=3c•abc 2；④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2）中，是因式分解的有__________（填序号） 【答案】 ②④
【解析】 分析：直接利用因式分解的意义分析得出答案． 解：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误； ②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2，是因式分解； ③3abc 3=3c•abc 2，不是因式分解； ④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2），是因式分解； 故答案为：②④．
3、 下列从左到右的变形，是在式分解的是（ ）
①()a x y ax ay +=+ ②22111
()()a a a b b b
-=+- ③29(3)(3)ax a a x x -=+-
④221()()1x y x y x y --=+-- ⑤222222()2()x x y y x y x y -+-=---
A.②③
B.③
C.③⑤
D.③④ 【答案】 B
【解析】 暂无解析
4、 多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（ ） A.x ﹣1 B.x +1 C.x 2﹣1 D.（x ﹣1）2 【答案】 A
【解析】 ∵4x 2﹣4=4（x +1）（x ﹣1），x 2﹣2x +1=（x ﹣1）2， ∴多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（x ﹣1）． 5、 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3的公因式是（ ） A.5mn B.5m 2n 2 C.5m 2n D.5mn 2 【答案】 C
【解析】 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3中， 各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m 、n ，字母m 的指数最低是2，字母n 的指数最低是1， 所以它的公因式是5m 2n ．
6、 如多项式33
9363x y xy xy -+提取公因式________后，另一个因式是________． 【答案】 3xy ，22
3121x y -+
【解析】 由提公因式法可知，()
3322936333121x y xy xy xy x y -+=-+所以提出公因式3xy 之后，另一个公因式为
223121x y -+．
7、 分解因式()()()()x m n a b y n m b a -----=_________． 【答案】 ()()()m n a b x y ---
【解析】 ()()()()()()()()()()()x m n a b y n m b a x m n a b y m n a b m n a b x y -----=-----=--- 8、 因式分解：x 2﹣2x+（x ﹣2）=______________． 【答案】 （x+1）（x ﹣2）
【解析】 原式=x （x ﹣2）+（x ﹣2）=（x+1）（x ﹣2）． 9、 因式分解：（a －b ）2－（b －a ）＝________． 【答案】 （a －b ）（a －b ＋1）
【解析】 原式＝（a －b ）2＋（a －b ）＝（a －b ）（a －b ＋1），
10、 若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x y （填＞，＜或=）
【答案】 ＜．
【解析】 ∵x ﹣y=123456789×123456786﹣123456788×123456787 =（123456788+1）×123456786﹣123456788×（123456786+1）
=123456788×123456786+123456786﹣123456788×123456786﹣123456788 =﹣2＜0， ∴x ＜y.
11、 代数式x 4﹣81，x 2﹣9与x 2﹣6x+9的公因式为（ ）
A.x+3
B.（x+3）2
C.x ﹣3
D.x 2+9
【答案】 C
【解析】 x 4﹣81=（x 2+9）（x 2﹣9）， =（x 2+9）（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣9=（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2．
因此3个多项式的公因式是x ﹣3． 故选：C ．
12、 分解因式：9（a －1）2－4（b －2）2． 【答案】 （3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）
【解析】 原式＝[3（a －1）＋2（b －2）][3（a －1）－2（b －2）] ＝（3a －3＋2b －4）（3a －3－2b ＋4） ＝（3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）．
13、 分解因式：（1）2249a b -（2）24162516a y b -+
【答案】 （1）()23(23)a b a b +-（2）8282(45)(45)b ay b ay +-
【解析】 （1）2222
49(2)(3)(23)(23)a b a b a b a b -=-=+-
（2）2416162482228282
25161625(4)(5)(45)(45)a y b b a y b ay b ay b ay -+=-=-=+-
14、 因式分解： （1）2x 2－18；
（2）3m 2n －12mn ＋12n ； （3）（x －y ）2－6（x －y ）＋9； （4）（m 2＋4n 2）2－16m 2n 2． 【答案】 （1）2（x ＋3）（x －3） （2）3n （m －2）2 （3）（x －y －3）2 （4）（m ＋2n ）2（m －2n ）2
【解析】 （1）原式＝2（x 2－9）＝2（x ＋3）（x －3）； （2）原式＝3n （m 2－4m ＋4）＝3n （m －2）2； （3）原式＝（x －y －3）2； （4）原式＝（m 2＋4mn ＋4n 2）（m 2－4mn ＋4n 2） ＝（m ＋2n ）2（m －2n ）2． 15、 分解因式
（1）244ma ma m -+ （2）232a a a -+
（3）222
44a b ab c +--
【答案】 （1）2(2)m a -（2）2
(1)a a -（3）(2)(2)a b c a b c ---+
【解析】 （1）22244(44)(2)ma ma m m a a m a -+=-+=- （2）2322
2(12)(1)a a a a a a a a -+=-+=- （3）
2222244(2)(2)(2)a b ab c a b c a b c a b c +--=--=-+-- 16、 分解因式：
（1）2222
9()12()4()a b a b a b -+-++
（2）42363a a -+
11 （3）112n n n a a a +-+-
（4）22222(1)4m n m n +--
【答案】 （1）2(5)a b -（2）223(1)(1)a a +-（3）12(1)n a a --（4）(1)(1)(1)(1)m n m n m n m n +++--+--
【解析】
（1）22229()12()4()a b a b a b -+-++
22
22
2
22
[3()]12()()[2()][3()]23()2()[2()][3()2()](3322)
(5)a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-++⋅-++=-+⨯-⨯+++=-++=-++=-
（2）4242222223633(21)3(1)3[(1)(1)]3(1)(1)a a a a a a a a a -+=-+=-=+⋅-=+-
（3）1111121222(21)(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+---+-=-+=-+=-
（4）22222(1)4m n m n +-- 2222222222(12)(12)
[(2)1][(2)1]
[()1][()1]
(1)(1)(1)(1)m n mn m n mn m mn n m mn n m n m n m n m n m n m n =+-+⋅+--=++--+-=+---=+++--+--
北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
第01讲_因式分解知识图谱 因式分解 知识精讲 概念（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样 的式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式， （2）因式分解与整式乘法是互逆过程 2 222 () 2() a a b a a b x yx y x y -=- ++=+ （√） （√） 注意事 项（1）分解的对象必须是多项式； （2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式； （3）要分解到不能分解为止 2323 623 x y x y =⋅（×） 2 (1)(2)2 x x x x +-=--（×） 322 9633(32) a a a a a a -+=-（×） 概念（1）多项式() am bm cm m a b c ++=++，其中m叫 做这个多项式各项的公因式 （2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项 式 （1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3 的公因式是5m2n （2）m(n-2) -m2(2-n) 可化简为m(n-2)＋m2(n-2)， 公因式是m (n-2) 分解因式得m(n-2) (m＋1)
步骤 （1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约 数 （2）公因式的字母——各因式中相同的字母 （3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂 平方差公式 （1）()()22a b a b a b -=+- 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积 ()()() 2 2249232323x x x x -=-=+- 完全平方公式 （1）()2 222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全 平方式 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于 这两个数的和(或差)的平方 ()()() 22 2 2 2 41292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=- 三点剖析 一．考点：1．概念；2．提公因式法；3．公式法． 二．重难点：提公因式法；公式法 三．易错点：没有分解彻底，一定要分解到每一项都不能再分解为止． 概念 例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（ ） A.ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ） B.a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1 C.（x ＋5）（x －1）＝x 2－4x －5 D.2211 ()42 x x x -+=- 【答案】 D 【解析】 A 、公因式是x ，应为ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ＋1），故本选项错误； B 、a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b －1），分解不彻底，故本选项错误； C 、右边不是积的形式，故本选项错误； D 、完全平方公式分解因式，故本选项正确． 例题2、 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） （1）2 (1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323 623x y x y =⋅ （4）2 4(2)(2)x x x -=+-
北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)
因式分解常用方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方 法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ) )((,)(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后 两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可 以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继 续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2 222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义
第02讲_因式分解进阶 知识图谱 因式分解的高级方法 知识精讲 一．十字相乘法 二．分组分解法 分组分解法分解因式常用的思路有： 十字相乘 法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++ 21232=(8)(4)x x x x ++++ a 1 a 2c 2 c 1a 1c 2 + a 2c 1
分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法 （2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解 四项=二项+二项 （按字母分组、按系数分组、 符合公式的两项分组） 四项=三项+一项 （先完全平方公式后平方差 公式） 五项=三项+二项（完全平方公 式） 六项=三项+三项（完全平方公 式） 六项=二项+二项+二项（各组 之间有公因式） 六项=三项+二项+一项（完全 平方公式） 三．换元法
四．拆、添项法 三点剖析 一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项 二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项． 三．易错点： （1）正确的十字相乘必须满足以下条件： 在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．” （2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解． c 1 c 2 a 2 a 1换元法 将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程 设， 则 原 式 易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。并再次对每一项彻底的因 式分解 拆、添项 （1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式 （2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版
因式分解 因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是很多综合题目的重点，因此，今天和大家分享如何啃下因式分解这个骨头。 【基础知识查漏补缺】 首先我们关于因式分解的基础知识一定要了然于胸，否则一切都是空谈。基础知识有：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形； 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。 2. 整式乘法的特点： 单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc； 多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特殊情况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【因式分解的基础方法】 1.提取公因式法 顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）； 判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式； 2.公式法 说白了，就是套公式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据：多项式的项数为2或3项 3.十字相乘法 就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b); 判据：a）多项式的项数为3项； b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数； 举例如下图：
4.分组分解法 简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1); 判据：多项式项数在4项或以上 注意：一定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！ 【解题思路】 当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们到底选哪一种呢? 注意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后顺序的，如下图： 切记，解题时一定要按照这个顺序选取方法，尤其是对初学者而言，形成这样的解题思路非
8年级数学北师大版下册教案第4章《因 式 分 解》
教学设计 因式分解 1 课标分析 一、内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。对于本节，在内容标准上没有具体的要求。 二、数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。 2 教材分析 一、教材地位： 本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。因式分解是代数
式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。 二、重点、难点分析： 了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。 所以确定： 重点：体会因式分解的意义及因式分解与整式乘法的相互关系 难点：因式分解与整式乘法的相互关系 3 学情分析 一、学习条件和起点能力分析： 1.学习条件分析： （1）必要条件：因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。（2）支持性条件：七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义） ➢ 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯ 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ ➢ 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． （3）分组分解法 如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．
（4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”； ➢ 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-； ⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-． 2. 因式分解（提公因式法）： （1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---； 解：原式= 解：原式= 解：原式= （4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式= 解：原式=
数学北师大版八年级下册第四章 因式分解 3.公式法(一)
第四章 因式分解 3．公式法（一） 设计：初二数学备课组 时间：2017-5-7 讲义编号：2017C2043 班别：_______ 姓名：________ 小组：_____ 一、教学目标 1．经历探究整式乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力，体会结构的不变性，字母的可变性，感受数学知识的完整性。 2．会用平方差公式进行因式分解； 3．使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。 二、教学重点难点 1．重点：利用平方差公式分解因式。 2．难点：学会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 三、教学过程 第一环节 复习回顾 活动内容：1. 填空： （1）（x+5）（x –5） = ； （2）（3x+y ）（3x –y ）= ； （3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 这些式子有哪些相同特征？ 2. 尝试将下列式子分别写成两个因式相乘的形式： 第二环节 探究新知 （一）活动内容：谈谈你的感受。 . ____________________49_;____________________9__;____________________ 2522222=-=-=-n m y x x
结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法, 这种分解因式的方法称为运用公 式法。 （二）活动内容： 1. 说一说 找特征 ))((22b a b a b a -+=- (1) 公式左边： (2) 公式右边： 2. 试一试 写一写 下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。 （1）m 2 — 81 （2）1 — 16b 2 （3）4m 2 + 9 （4）a 2x 2 — 25y 2 （5）—x 2 — 25y 2 （6）—16x 2 + y 2 第三环节 范例学习 例1 把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 （2）–241b + 9a 2
北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结
因式分解 一、 什么是因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。如 例1、下列各式中，哪些是因式分解？ （1）2 2)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3 -+=-x x x x x （3）)11(1a a a +=+ （4）1))((12 2+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392 -=-x x x x 二、提公因式法 （一）公因式 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑 对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如 果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的 最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。 对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数 取其次数最低的。 注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。 （2）在因式分解时，经常应用下列关系： )(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=- 偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-
例2、指出下列各式的公因式 （1）mx 2-，mx 3 （2）xyz 12，z y x 3 29-，226z x （3）2)(3y x +，3 )(6-y x +，)(9y x + （4）2)(n m -，2 )(3m n - （5） 2278xy ，yz 9 4 （二）提公因式法 如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。 例3、把下列各式因式分解 （1）)1()1(-+-x b x a = （2）m m m 24164-23-+= （3）32)(6)(3x y y x ---= （4）2 2)(6)(2m n m n m ---= （5）)2()2(m b m a ---=
初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解3.公式法-《公式法》教案
《公式法》教案 教学目标 一、知识与技能 了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解. 二、过程与方法 培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 三、情感态度和价值观 积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心. 教学重点： 正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学难点： 把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学过程： 一、导入新课 提出问题： 1. 多项式的分解因式的概念： 2. 公因式的含义、提公因式法分解因式； 3. 分解因式与整式乘法关系： 4.整式的乘法公式有哪些? 学生回忆回答上述问题. 前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解. 二、新课学习 （一）探究用平方差公式因式分解 1、想一想 （1）观察多项式x2-25 和9x2-y2，它们有什么共同特征？ （2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积. 师生共同分析： 多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
x 2-25=x 2-52， 9x 2-y 2 =(3x)2-y 2 把乘法公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2反过来，就得到a 2-b 2=(a+b)(a-b)，于是有： x 2-25=x 2-52=(x+5)(x-5)； 9x 2-y 2 =(3x)2-y 2=(3x+y)(3x-y). 2、归纳总结： (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b² = (a+b)(a-b) （整式乘法） （因式分解） 特点： (1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式） ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２ 的形式. (2) 公式右边：（是分解因式的结果） ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 3、学以致用 例1、把下列各式分解因式： （1）25-16x 2 （2）9a 2- 14b 2 分析：先确定a 与b 学生根据分析，自主完成解题过程 解：（1）25-16x 2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x). （2）9a 2- 14b 2=(3a)2-(12b)2=(3a+12b)(3a-12b) 例2 把下列各式分解因式： （1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x 分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式 学生根据分析，自主完成解题过程 解：（1）9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) （2）2x 3-8x=2x(x 2-4)=2x(x 2-22)=2x(x+2)(x-2) 归纳：公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就
八年级数学下册第四章因式分解提公因式法教案北师大版
2 提公因式法 【教学目标】 知识技能目标 1.让学生会确定多项式中各项的公因式. 2.会用提公因式法进行因式分解. 过程性目标 1.通过与质因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想;通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识. 2.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力. 3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力. 情感态度目标 通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点. 【重点难点】 重点: 1.正确找出多项式中各项的公因式和公因式是多项式时的因式分解 2.用提公因式法把多项式分解因式 难点:探索多项式因式分解方法的过程 【教学过程】 一、创设情境 计算:×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么? 二、探究归纳 多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢? 结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 议一议 多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么? 结论:(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数. (2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分. (3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.
试一试 将以下多项式写成几个因式的乘积的形式: (1)ab+ac (2)x2+4x (3)mb2+nb-b 归纳:提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法. 三、交流反思 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系? 学生归纳交流:提取公因式的步骤: (1)找公因式.(2)提公因式. 教师提醒:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分. (2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同. (3)如果多项式的首项为“-”时,则先提取“-”号,然后提取其他公因式. (4)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等. 四、检测反馈 将下列多项式进行分解因式: (1)3x+x3 (2)7x3-21x2 (3)8a3b2-12ab3c+ab (4)-24x3+12x2-28x 五、布置作业 1.找出下列各多项式的公因式: (1)4x+8y (2)am+an (3)48mn-24m2n3(4)a2b-2ab2+ab 2.把下列各式因式分解:(随堂练习) (1)ma+mb. (2)6x-9xy. (3)4m3-6m2. (4)-a2+ab-ac. 六、板书设计 七、教学反思
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解教案新版北师大版20210420238
第四章因式分解 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
北师大初中数学八下《第四章因式分解》教案
第四章 因式分解 教学目的： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． （4）通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。 教学重点：提高学生因式分解的基本运算技能；能熟练地综合运用几种因式分解方法． 教学难点：提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。 教学过程： 知识点一：对分解因式概念的理解例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。 A. B. C. D. 知识点二：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ 知识点三：利用公式法分解因式 例3.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 练一练：把下列各式分解因式 （1）（a 2+4）2–16a 2 （2） 知识点四：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 知识点五：运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算： ⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）100 例6．已知 ，求 的值。 例7.已知x +y =1，求2221 21y xy x ++的值． 例8.计算下列各式： 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式： ) 1 1(1) )(()21(4414 )3(43222 22x x x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--mn mn n m 1892722-+-2 3)1(2)1(4-+-b b b 2 2)()(n m n m --+49 32++x x 25 )(10)(2++-+y x y x ab b a 8)2(2+-4 4222y x y x --x x 43-) 1()1(2)1(2222-+-+-y y x y x ) 1(4)(2-+-+b a b a xz z y x 449222++-2002199819992 ⨯-2 22 )119899(100++0232=-+x x x x x 46223-+.__________)41 1)(311)(211)(3(_________; )31 1)(211)(2(________; 21 1)1(222222=---=--=-
《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解八年级数学下册(北师大版)
《因式分解》全章复习与巩固（基础） 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()()22a b a b a b -=+- 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，22 2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨ +=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---， 其中05152a .,x .,y ===-． 【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可． 【答案与解析】
北师大版八年级下册 第四章 因式分解的应用 题型归纳 讲义设计(无答案)
因式分解的应用 因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起着重要作用. 题型一：数字计算 例题：计算 （12867＋118211＋115413）÷（11171113 ++）. 练习： 2225-63.863.837.1237.1+⨯⨯+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅22321011911...21-121-1）（）（ 222222221234......9979989991000-+-++-+- ()()()11212123842++++
二、求值 例题：一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数. 解 设这个正整数为a ，两个完全平方数分别为m 、n ， 则根据题意，得22100,168. a n a m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即m 2－n 2＝68. 因为m 2－n 2＝（m+n ）（m －n ）＝1×2×2×17，而m 、n 均为正整数， 所以68,1m n m n +=⎧⎨-=⎩（舍去）或34,2m n m n +=⎧⎨-=⎩或17,4.m n m n +=⎧⎨-=⎩ （舍去）. 从而18,16. m n =⎧⎨=⎩所以可求得a ＝156.即这个正整数是156. 练习1：如图，有一边长为a ，b 的长方形， 它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值 . : 练习2：将一条20cm 长的彩带剪成两段，恰好用来镶两张大小不同的正方形的壁画边框（不计接头处），已知两边框的面积差为20cm 2 ，问能否剪成？若能，该如何剪，若不能，请说明理由？ 例题2：若多项式x 2－xy －2y 2－x －ky －6可分解为两个一次因式的积的形式，求k 的值. 解 根据题意可设x 2－xy －2y 2－x －ky －6＝（x －2y+m ）（x+y+n ）. 即x 2－xy －2y 2－x －ky －6＝x 2－xy －2y 2+（m+n ）x+（m －2n ）y+ mn ， 则有1,2,6.m n m n k mn +=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩ 即k ＝7.
北师大版初二数学下册第4章《因式分解》
第四章：因式分解 多项式的因式分解 教学目标 （一）教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （二）能力训练要求 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. （三）情感与价值观要求 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系. 教学重点 1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学方法 观察讨论法 教学过程 一、讲授新课 1.讨论6等于2乘以哪个整数？你是怎样想的？与同伴交流. ［生］6=2×3 讨论x2－1等于x+1乘以哪个多项式？ ［生］因为（x+1）（x－1）= x2－1 （1） 所以x2－1=（x+1）（x－1）（2） ［师］从上面的过程看，等号左边是一个数或一个多项式，而等号右边是变成了几个数或多项的积的形式. 2、分析 因式：一般地，对于两个式项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么，
把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。 ［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）. 3、做一做： 例：解方程x2－1=0 把式子左端的多项式因式分解，得： （x+1）（x－1）=0 所以x+1＝0或x－1＝0 即x＝－1或x＝1 因此方程的解是x＝－1或x＝1。 二、课堂练习 P4练习题1、2 三、课时小结 本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形。 四、课后作业： P4习题1.1A组1、2、3.
八年级数学下册 第四章 因式分解 3 公式法第1课时 用平方差公式进行因式分解教案(新版)北师大版
学习资料 八年级数学下册第四章因式 分解 3 公式法第1课时用平方 差公式进行因式分解教案（新 版）北师大版 班级：科目：
3 公式法 第1课时用平方差公式进行因式分解 【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解. 【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性. 【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”. 【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式. 【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性. 一。情景导入，初步认知 填空： （1)（x+5）（x—5）=________; （2）（3x+y）（3x—y)=________； (3）(3m+2n）(3m—2n）=________________ 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积: x2－25=________； 9x2－y2=_______； 9m2－4n2=______。 【教学说明】 对平方差公式进行复习，利于本节课的教学。 二.思考探究，获取新知 1。观察下列过程，谈谈你的感受。 将多项式a2-b2进行因式分解： ∵（a+b)(a-b)=a2-b2 整式乘法 ∴a2—b2=（a+b）(a—b)
因式分解 【归纳结论】 整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法。 2。找特征 a2-b2=(a+b)(a—b） (1）公式左边:（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）2－( ）2的形式. (2）公式右边：(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 三。运用新知,深化理解 1。见教材P99例1、例2 2。下列多项式能转化成（ )2－（）2的形式吗?如果能，请将其转化成( ）2－（）2的形式. （1）m2－81=m2－92; (2）1－16b2=12－(4b)2； （3)4m2+9； （4)a2x2－25y2=（ax）2－（5y)2; （5）－x2－25y2. 3。下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2）＋b2 答案：B 4。(x＋1)2－9(x－1）2 解：原式=4(2x－1)（2－x) 5.将下列各式分解因式 （1）a2b2—a2c2=a2（b2—c2）=a2（b+c）(b—c）； (2）—x5y3+x3y5=x3y3（—x2+y2）=x3y3（x+y）（—x+y） (3)(a+b）2-9(a—b）2=［（a+b）+3（a—b）］［(a+b）-3（a-b）］=(a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a—2b）（4b—2a）=4（2a-b）（2b-a）； （4） p4－1=(p2+1）（p2－1)=(p2+1）(p—1)（p+1）. 6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2的值.
八年级数学下册 第四章 因式分解 2 提公因式法说课稿 (新版)北师大版 教案
提公因式法 尊敬的各位领导、老师，大家好！ 我今天说课的题目是：北师大版数学教材，八年级下册，第四章第二节《提公因式法》第一课时。下面，我将从课标要求、教材分析、学情分析、目标分析、教法与学法以及学习过程的设计这六方面进行说课。 一、课标要求 《标准》中要求学生能通过观察、实验、归纳、类比、猜测、推理与交流等数学活动获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例，能清晰地表达自己的思考过程，在与他人交流的过程中，能运用较清晰的数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。 二、教材分析 地位与作用：本节是因式分解的第2节，共两课时，本节是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．本节课承上启下，不仅与单项式乘多项式有着密切的联系，同时是后续学习分式的化简与运算，解一元二次方程的重要基础。 三、学情分析 在上一节课学习内容的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为本节内容的学习提供了必要的基础．由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、类比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 结合课标与学生的学情，我确定了本课时的学习目标： 理解“公因式”和“提公因式法”的意义，并能够用提公因式法把多项式进行因式分解。 2.通过观察、比较、分析、找出各项的公因式，总结提公因式法的一般步骤和方法，体会因式分解与整式乘法的互逆和思想。 重点：正确确定公因式（最大公因式）；会用提公因式法进行因式分解 难点：正确确定公因式 四、目标分析： 1．知识与能力目标：使学生了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的互逆关系，会确定最大公因式，并学会用提取公因式方法分解因式。
北师大版八年级下册4.2.2 提公因式为多项式的因式分解教案
4.2.2 提公因式为多项式的因式分解 一、教材分析 （1）教材内容的地位和作用 本节教材是初中数学八年级下册第4章第2节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一。学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想和逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有着密切的联系．因式分解的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径。因此，因式分解这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。 （2）教学目标 1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法. 2.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力. 3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点. （3）重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。 难点：让学生识别多项式的公因式
二、教学过程 1 新课导入 【问题】 把下列各式分解因式: (1)8mn 2+2mn ; (2)a 2b -5ab +9b ; (3)-3ma 3+6ma 2-12ma ; (4)-2x 3+4x 2-8x. [设计意图] 回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤. 思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式. )1()()(y x b y x a --- )2()(3)(2c b c b a +-+ )3()3(2)3(-+-x b x a )4(22)1()1(+++x y x y 思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ [设计意图] 通过设问,创设情境,活跃了课堂气氛,学生对自己探讨、发现出来的知识很有成就感,学习的兴趣自然得到了提高. 提公因式法因式分解的一般步骤： 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号； 2.公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数; 3.字母取多项式各项中都含有的相同的字母; 4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即最低次幂.