第四章因式分解复习课精编版
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《因式分解》复习课件
《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
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因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
第4章 因式分解复习课 北师大版八年级数学下册课件
解：因式分解且正确的有(5)
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
第四章因式分解复习课件
a² －b² =(a+b)(a－b) ;
a² ±2ab+b² =(a±b)²
4.因式分解的注意事项： (1)先考虑用提公因式法，再用公式法；
(2)分解一定要彻底。
复习检测3（8分钟） 1.完成报纸第27版“练习3” T1: (a+3)(a－3) T3: (x+8)(x－8) 2.完成报纸第27版“练习4” T1: (x－1)² T2: (a－b－c)² 3.完成报纸第27版“练习5” T1: 4(x－1)² T3: (x－2)² T2: (x+3y)(x－3y)
Байду номын сангаас
T2: 2(x+1)(x－1)(x² +1)
T3: x² y² (x+y)(x－y)
复习指导4（5分钟） 知识点四：因式分解的应用 1.完成报纸第27版“练习6” T1 解:原式=a² －2ab+2a² －2b² +a² +2ab+b² =4a² －b² =(2a+b)(2a－b) 当2a－b=0时 此类题型要先因式分 解，再整体代入求值。
复习检测2（4分钟）
1.完成报纸第27版“练习2” 1）x(y－3); 2）ab(a－2b);
3）a(a－2)
复习指导3（2分钟） 知识点三：公式法因式分解
1.公式法：利用乘法公式把某些多项式因式分解， 这种因式分解的方法叫做公式法。 2.完全平方式：形如a² ±2ab+b² 的式子。 3.利用公式法因式分解用到的两个公式：
3、利用分解因式简化计算： （1）、22011-22010 （2）、7.6×201.1+4.3×201.1-1.9×201.1
解：（1）、22011-22010=22010（2-1）=22010 （2）、201.1（7.6+4.3-1.9） =201.1×10=2011
第四章因式分解复习课
例 1、下列代数式变形中，哪些是因
式分解？哪些（不1是）？因为式什分么解？是对
多项式而言的一种变形；
例
(1) 2m(m－n（)=22）m2因－式2m分n解的结果 (2) 5x2y － 1必0x是y2整=5式xy的(x积－的2y形) 式；
题 分
(3) (4)
x42x－2－34x（+x+131=）=x((因2x－x正式－3好1)分+)1相2解反与。整式乘法
18.若x2 +（2 m-3）x+16是关于x的完全平方式，则m=（ ）
19.已知x+ 1 x
4, 则x 2
1 x2
（
）
19.已知2a2 3a 6 0，求代数式3a(2a1) (2a1)(2a1)的值
例5:因式分解的应用
1.简便计算
例 (1) (3 1 )2 (6 3)2
为 11, 4,1
.
例3:有关完全平方式的运用
若9x2+mx+16是完全平方式,则
m= ±24
.
例 若x2-6xy+m,是完全平方式,则
题 m= 9y2
.
分 若x2-x+m2,是完全平方式,则
析 m= ±0.5
.
若x2+25与一个单项式的和是一个
完全平方式,则这个单项式可以 是 ±10x,-x2,-25,0.01x4 .
当堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ D ）
A．3(x2+4x+3)
七年级数学下册第四章因式分解复习课课件
3．特别注意： (1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏 掉． (2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首 项系数为正． (3)公因式也可以是多项式．
【例 1】 分解因式： (1)m2－m＝________． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝________．
确的是
()
A． 2a(4a2－4a＋1)
B． 8a2(a－1)
C． 2a(2a－1)2
D． 2a(2a＋1)2
【解析】 原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2．
【答案】 C
【变式 2-2】 分解因式：
(1)x3－6x2＋9x．
(2)4x3y－9xy3．
【解析】 (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2．
【解析】 (1)m2－m＝m(m－1)． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
【答案】 (1)m(m－1) (2)3a(x－y)2(2a＋x－y)
【变式 1-1】 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是
(2)原式＝xy(4x2－9y2)
＝xy[(2x)2－(3y)2]
＝xy(2x＋3y)(2x－3y)．
专题三 因式分解的应用
1．利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值． 2．若几个完全平方式的和为 0，则每个完全平方式都等于
0．
【例 3】 已知 a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求 a＋b 的值． 【解析】 ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0， (a＋3)2＋(b－5)2＝0， ∴a＋3＝0 且 b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2． 【答案】 2
【例 1】 分解因式： (1)m2－m＝________． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝________．
确的是
()
A． 2a(4a2－4a＋1)
B． 8a2(a－1)
C． 2a(2a－1)2
D． 2a(2a＋1)2
【解析】 原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2．
【答案】 C
【变式 2-2】 分解因式：
(1)x3－6x2＋9x．
(2)4x3y－9xy3．
【解析】 (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2．
【解析】 (1)m2－m＝m(m－1)． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
【答案】 (1)m(m－1) (2)3a(x－y)2(2a＋x－y)
【变式 1-1】 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是
(2)原式＝xy(4x2－9y2)
＝xy[(2x)2－(3y)2]
＝xy(2x＋3y)(2x－3y)．
专题三 因式分解的应用
1．利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值． 2．若几个完全平方式的和为 0，则每个完全平方式都等于
0．
【例 3】 已知 a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求 a＋b 的值． 【解析】 ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0， (a＋3)2＋(b－5)2＝0， ∴a＋3＝0 且 b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2． 【答案】 2
因式分解复习
三、小结
1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫 做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2
解： （ x －y）3 － （ x －y） = （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1） a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ）
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
[ 平方差公式 ]
（1）提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形 式。这种分解因式的方叫做提公因式法。 即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
解： p（y－x）－q（y－x）
= （y－x）（ p －q）
（2）运用公式法：
练习题：1. 分解因式
解： x2－（2y）2
x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
2.下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是（ C ） （A）X2+4Y2
X2 Y2 （C） 4 9
（B） 4 9
3．分解因式： 2 2 (1) X Y
25 16
练习 练习
（三）因式分解的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑 提取公因式。
② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分
解。
练习题
（四）因式分解的应用
《因式分解》复习课
《因式分解》复习课教学目标：了解分解因式的意义，熟练运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
教学重点：掌握提公因式法、公式法进行因式分解。
教学难点；灵活运用公式法进行因式分解。
教学准备；1、教师准备：投影仪。
2、学生准备；理解并归纳本单元的知识体系和因式分解的常规思路。
教学过程：一、 回顾交流，归纳总结本单元主要是因式分解的概念以及因式分解的几种基本方法，如下图的知识结构。
（和学生共同回顾）教师活动；操作投影仪，引导学生进行总结。
学生活动：小组合作交流，在进行小组汇报总结。
教学方法和媒体：投影显示知识结构图，共同回顾、交流，师生互动。
二、 巩固延伸，加深认识 做一做：1、说出下列各式由左右的变形是因式分解，为什么 （1）a 2—9=（a+3）(a-3) (2)x 2－9+4x=(x+3)(x －3)+4x(3) a+a 2b=a 2(a1+b)教师巡视指导，思路点拨；学生先个体学习，再与同伴交流回答。
2、把下列各式分解因式：(1)（-2a 2bc+4a b 2c-2abc→(2) 3a 2)(3y x --4b2)(2x y -(3))3()2(22y x b a ++-4() 4482--a a教师关注中等或中下层学生。
学生分四人小组合作学习，共同交流，归纳总结方法。
3、如果n m bmn 2236++是完全平方公式，求b 值。
4、已知的值求y x xy y x 22,1,2+==+三、 课堂评价，评价自己和他人你对本节复习课的内容能否进行系统小结，形成自己的小结思想。
四、布置作业，反思提炼 1.课本复习题选做； 2、《学习指南》过关检测。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
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(4)19992-3994×1999+19972
例5:因式分解的应用
2.条件式计算
例 (1) 若(A+2006)2=987654321,
题
则(A+2016)(A+1996)的值是 987654221
分
(2) 若(a2 +b2)(a2 +b2-2)=-1, 则a2 +b2的值是 1
.
析 (3) 若4a2+b2+4a-6b+10=0,
分
析 1 x2 x 1 0 4
因式分解
xn 2xn1 xn2 (x2 4x 2)(x2 4x 6) 4
1.把下列各式分解因式
(1)3a2-27 (3)m4-n4
(2)-3x+6x2-3x3 (4)x4-8x2+16
2.用简便方法计算 (1)20152-15 ×2015
(2)8002-1600 ×799+7992 3.已知a+b=3,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值.
例7:解方程
例 2x2+5x=0 题 4x2=(x-1)2
例 1、下列代数式变形中，哪些是因
式分解？哪些（不1是）？因为式什分么解？是对
多项式而言的一种变形；
例
(1) 2m(m－n（)=22）m2因－式2m分n解的结果 (2) 5x2y － 1必0x是y2整=5式xy的(x积－的2y形) 式；
题 分
(3) (4)
x42x－2－34x（+x+131=）=x((因2x－x正式－3好1)分+)1相2解反与。整式乘法
析
(5)
1 x2
9
(1 x
3)(1 x
3)
例2:利用与整式乘法的关系计算
若x2+mx+n=(x-5)(x+3),则 例 m= -2 ,n= -15 .
题 若x2-2x+m=(x-4)(x+n),则
分 m= -8 ,n= 2 .
析 若x2+mx-12=(x+a)(x+b) (a,b
都是整数),则m可取的值
为 11, 4,1
.
例3:有关完全平方式的运用
若9x2+mx+16是完全平方式,则
m= ±24
.
例 若x2-6xy+m,是完全平方式,则
题 m= 9y2
.
分 若x2-x+m2,是完全平方式,则
析 m= ±0.5
.
若x2+25与一个单项式的和是一个
完全平方式,则这个单项式可以 是 ±10x,-x2,-25,0.01x4 .
则a3b-ab3的值是 105 .
8
例6:多项式除法
例 (4x2-12xy+9y2) ÷(3y-2x) 题 分 析 (-a+9a3) ÷(3a-1)
知因 式
识分 解
梳 理
概念
与整式乘法的关系
方法
提公因式法 运用公式法
提：提公因式
步骤
公：运用公式
平方差公式 完全平方公式
查：查结果是否彻底
作业
练习
例4:分解因式
6abc-3ab
二 例
-2a3+4a2-2a
题 4(x+2y)2-9(x-2y)2
分 (m-n)2-10(n-m)+25
析 4x2y2-(x2+y2) )2 (6 3)2
4
4
题 分
(2) 5×102015-102016
析 (3)9992-1002×998