x轴对称点的坐标特点
坐标平面内图形的轴对称和平移(基础) 知识讲解
坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S△ABO=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．。
平面直角坐标系中特殊位置点坐标的特点
⑴ x轴上的点，纵坐标为0. y轴上的点，横坐标为 0.
⑵ 第一、三象限夹角平分线上的点，纵横坐标相 等.
第二、四象限夹角平分线上的点，纵横坐标互 为相反数.
⑶与x轴平行（或与y轴垂直）的直线上的点纵坐 标.
与y轴平行（或与x轴垂直）的直线上的点横坐 标.
⑷关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反 数.
关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反 数.
关于原点对称的点纵横坐标都互为相反数。
点的
纵坐标的绝对值；点P到y轴的距离是这个点的横 坐标的绝对值；
注意：上述所有规律，正着 说对,反着说也对.
五种点的对称点的规律
五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ′的坐标是P的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。
四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证图2 b ） ，b ） x∵l 平分一、三象限∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OBRt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|∴P ′（b ，a ）规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B又∵l 为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P ′OB又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|∴P ′（-b ，-a ）规律：点P 关于二、四象限的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。
平面直角坐标系中特殊位置点坐标的特点
⑴ x轴上的点，纵坐标为0. y轴上的点，横坐标为 0.
⑵ 第一、三象限夹角平分线上的点，纵横坐标相 等.
第二、四象限夹角平分线上的点，纵横坐标互 为相反数.
⑶与x轴平行（或与y轴垂直）的直线上的点纵坐 标都相同.
与y轴平行（或与x轴垂直）的直线上的点横坐 标都相同.
⑷关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反 数.
关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反 数.
关于原点对称的点纵横坐标都互为相反数。
⑸平面直角坐标系中有一点P(a , b)，点P到x轴的距 离是这个点的
纵坐标的绝对值；点P到y轴的距离是这个点的横 坐标的绝对值；
注意：上述所有规律，正着 说对,反着说也对.
轴对称与坐标的变化x轴y轴
轴对称与坐标的变化x轴y轴轴对称是指一个图形或物体在某条直线上对称，即通过这条直线可以将图形或物体分为两部分，两部分完全重合。
在平面几何中，轴对称通常是指对称于x轴、y轴或其他直线的图形。
首先，我们来看x轴和y轴对称。
x轴是指平面上的一条水平直线，通常表示为y=0；y轴是指平面上的一条垂直直线，通常表示为x=0。
对于一个图形或物体来说，如果它关于x轴对称，那么它的上下两部分将完全重合；如果它关于y轴对称，那么它的左右两部分将完全重合。
以一个简单的矩形为例，如果矩形关于x轴对称，那么矩形的上下两边将是对称的，也就是上边与下边完全重合；如果矩形关于y轴对称，那么矩形的左右两边将是对称的，也就是左边与右边完全重合。
在平面几何中，轴对称可以用来判断图形的性质和解决一些几何问题。
比如，可以利用轴对称性质判断一个图形是否是对称图形，通过寻找对称轴可以更方便地对图形进行分析和计算。
除了x轴和y轴，平面上还可以存在其他直线作为对称轴。
这时，轴对称就是指图形或物体关于这条直线对称。
例如，对于圆形来说，它关于任何直径线都是对称的；对于正方形来说，它关于对角线也是对称的。
轴对称对于物体的设计和制作也有很大的作用。
在建筑设计中，常常利用轴对称原理来设计对称美观的建筑；在机械制造中，也常常利用轴对称来确保产品的理想性能。
在坐标系中，x轴和y轴分别是平面上两个互相垂直的轴线。
它们交叉的点被称为原点（0，0），x轴的正方向为向右，负方向为向左；y轴的正方向为向上，负方向为向下。
坐标系中其他点的坐标可以通过与x轴和y轴的交点距离和方向来表示。
在使用坐标系进行计算和分析时，轴对称可以帮助我们确定图形或物体的位置和特征。
通过观察图形关于x轴或y轴的对称性质，可以简化计算和分析的过程。
总之，轴对称和坐标的变化在几何中起着重要的作用。
轴对称可以帮助我们理解图形的性质和解决几何问题，而坐标系则为我们提供了一种方便的计算和分析工具。
通过深入理解轴对称和坐标的变化，我们可以更好地理解和应用几何学。
直线关于x轴和y轴对称的规律
直线关于x轴和y轴对称的规律一、概述在数学中，直线是一个非常重要的概念，直线的性质和规律对于解题和建模都具有重要的作用。
其中，关于直线在x轴和y轴上的对称性质是非常有意义的。
接下来，我们将探讨直线在x轴和y轴上的对称规律，揭示其中的数学奥秘。
二、直线关于x轴对称的规律1.定义当一条直线与x轴的交点的y坐标为正数时，此时，直线关于x轴对称，即直线在x轴的上方和下方对称。
2.数学表达式设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。
若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于x轴对称点P'的坐标为(x,-y)。
3.示例以直线y=2x+3为例，设直线上一点为A(1,5)，则关于x轴的对称点为A'(1,-5)。
在坐标系中，直线上任意一点与其关于x轴的对称点关于x轴对称。
三、直线关于y轴对称的规律1.定义当一条直线与y轴的交点的x坐标为正数时，此时，直线关于y轴对称，即直线在y轴的左侧和右侧对称。
2.数学表达式设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。
若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于y轴对称点P'的坐标为(-x,y)。
3.示例以直线y=3x-4为例，设直线上一点为B(2,2)，则关于y轴的对称点为B'(-2,2)。
在坐标系中，直线上任意一点与其关于y轴的对称点关于y轴对称。
四、直线关于原点对称的规律1.定义当一条直线通过原点(0,0)时，此时，直线关于原点对称，即直线在第一象限和第三象限对称。
2.数学表达式若一条直线通过原点(0,0)，则直线的解析式具有特殊形式，即y=ax。
这样的直线与x轴和y轴均有对称性。
3.示例以直线y=4x为例，此直线通过原点(0,0)，在坐标系中，此直线在第一象限和第三象限关于原点对称。
五、总结直线在x轴和y轴上的对称规律是数学中基础而重要的知识点。
通过了解和掌握直线关于x轴和y轴对称的规律，我们可以轻松地通过对称性质解决数学问题和分析直线的性质。
平面直角坐标系中几种点的坐标的特点
平面直角坐标系中几种点的坐标的特点（1）第一象限内点的坐标特点是：“横正纵正”第一象限内点的坐标特点是：“横负纵正”第一象限内点的坐标特点是：“横负纵负”第一象限内点的坐标特点是：“横正纵负”（2）x轴上的点的坐标特点是：“纵0横任意”y轴上的点的坐标特点是：“横0纵任意”（3）在一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点是：横坐标=纵坐标在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点是：横坐标+纵坐标=0（4）点P（a，b）关于X 轴对称的点的坐标是：（a，-b）关于Y 轴对称的点的坐标是：（-a，b）关于原点对称的点的坐标是：（-a，-b）练习：1.点M（- 8，12）到x轴的距离是（），到y轴的距离是（）2.假设点P（2m - 1，3）在第二象限，那么（）（A）m >1/2（B）m <1/2（C）m≥-1/2（D）m ≤1/2.3、若是同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线（）（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）经过原点（D）以上都不对4.假设mn = 0，那么点P（m，n）必然在上5.已知点P（a，b），Q（3，6）且PQ ∥x轴，那么b的值为( )6.点（m，- 1）和点（2，n）关于x轴对称，那么mn等于( )（A）- 2 （B）2 （C）1 （D）- 17.实数x，y知足x2+ y2= 0，那么点P（x，y）在( )（A）原点（B）x轴正半轴（C）第一象限（D）任意位置8.点A 在第一象限，当m 为何值（）时，点A（m + 1，3m - 5）到x轴的距离是它到y轴距离的一半.函数图象与方程、不等式的关系1、假设不解方程组，你能取得以下方程组的解吗？2、假设不解不等式，你能取得以下不等式的解吗？（1）10x＞40x-120 （y A＞y B）1040120 y xy x=⎧⎨=-⎩（2）10x ＜40x-120（ y A ＜y B ）两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时知足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式确实是方程组中的两个方程，因此交点的坐标确实是方程组的解．据此，咱们能够利用图象来求某些方程组的解和不等式的解集．练习1.已知函数y ＝4x －3．当x 取何值时，函数的图象在第四象限？2.画出函数y ＝3x －6的图象，依照图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 大于零？(3) x 取什么值时，函数值 y 小于零？3.画出函数y ＝－－1的图象,依照图象,求：(1)函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标；(2)函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围；(3)函数图象在x 轴下方时，x 的取值范围． 4.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函 的图象交于A 、B 两点． (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)依照图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．5.学校有一批复印任务,原先由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复印社表m y x示:假设学校先按月付给必然数额的承包费,那么可按每100页15元收费.两复印社每一个月收费情形如下图.)依照图象回答:(1)乙复印社的每一个月承包费是多少?(2)当每一个月复印多少页时,两复印社实际收费相同?(3)若是每一个月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社?6.小张预备将平常的零用钱贮存起来，他已存有50元，从此刻起每一个月存12元，小王以前没有存过零用钱，听到小张在存钱，表示也从此刻起每一个月存22元 .1）、请你在同一平面直角坐标系中别离画出小张和小王存款和月份之间的函数关系的图象；2）、在图上找一找几个月以后小王的存款和小张的一样多？至少几个月后小王的存款能超过小张？图像与解析式1.为了研究某合金材料的体积V (cm3)随温度t (℃)转变的规律,对一个用这种合金2.小明在做电学实验时,电路图如下图.在维持电压不变的情形下,•改换不同的电阻R,并用电流表测量出通过不同电阻的电流I,记录结果如下:(1)成立适当的平面直角坐标系,在座标系中描出表格中的各点,•并画出该函数的近似图象;(2)观看图象,猜想I 与R 之间的函数关系,并求出函数解析式;(3)小明将一个未知电阻值的电阻串联到电路中,查得电流表的度数为安培,你明电流I(安培)6 3 2 1函数解析式：如何求函数的自变量取值范围要紧考虑以下四个方面：一、凡是整式函数，其自变量的取值范围都是全体实数；二、分式的分母不等于0；三、平方根的被开方数为非负数；四、对于实际问题，应根据具体情况而定。
轴对称与坐标变化
3.3 轴对称与坐标变化
y A2 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 A
作点A关于x轴、y轴 的对称点A1， A2
1 2 3 4 x
A1
你有什么发现吗？
.
(2,3) 点A的坐标____
(2,－3) 点A1的坐标为____
(－2,3) 点A2的坐标为____
y A2 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 A
四、课堂小结
1、学习了在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴 对称的点的坐标的特点。
关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数。关于 y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等。
2、学习了在平面直角坐标系中如何画一个图形关 于x轴或y轴的对称图形。
先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应 点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对 称图形.
如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形？
如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形？ • 先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形 的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点, 就可以得到这个图形的轴对称图形.
即找关键点
(0,0),(5,4),(3,0),
(5,1),(5,-1),(3,0)
(4,-2),(0,0)
点(a,b)
(a,b)
1 2 3 4
x
关 于 x 轴 对 称
(a,-b)
点(a,-b)
点(-a,b)
关于y轴对称
点(a,b)
你会用语言说出关于x轴和y轴对称 的点的坐标的特点吗？
你会用语言说出关于x轴和y轴对称 的点的坐标的特点吗？
关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐 标互为相反数。
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x轴对称点的坐标特点
在平面直角坐标系中，x轴是一条水平的直线，它将平面分成上下两部分。
当一个点关于x轴对称时，它的坐标会发生变化，具体而言，对于点(x,y)，它的对称点为(x,-y)。
x轴对称点的坐标特点有很多，下面我们就来一一探讨。
1. 对称点的纵坐标相反
x轴对称点的坐标特点之一就是对称点的纵坐标相反。
因为x 轴是一个水平的直线，所以点(x,y)的对称点为(x,-y)，也就是说，对称点的纵坐标是原点纵坐标的相反数。
例如，点(2,3)的对称点为(2,-3)，点(-4,5)的对称点为(-4,-5)。
2. 对称点在x轴上
由于x轴是对称轴，所以x轴对称点一定在x轴上。
也就是说，x轴对称点的纵坐标为0。
例如，点(2,3)的对称点为(2,-3)，对称点的纵坐标为0；点(-4,0)的对称点为(-4,0)，对称点也在x 轴上。
3. 对称轴上的点不变
对称轴上的点在x轴对称时，它的对称点就是它本身。
因为对称轴就是它自己的对称轴，所以它不会发生任何变化。
例如，点(0,0)在x轴上，它的对称点也是(0,0)。
4. 对称点和原点的距离相等
对称点和原点的距离相等也是x轴对称点的坐标特点之一。
这是因为x轴是一个水平的直线，对称点和原点在x轴上的距离相
等。
例如，点(2,3)的对称点为(2,-3)，对称点和原点的距离为6；点(-4,5)的对称点为(-4,-5)，对称点和原点的距离也为6。
5. 对称点关于x轴对称
最后一个坐标特点是对称点关于x轴对称。
因为x轴是对称轴，所以点(x,y)的对称点(x,-y)关于x轴对称。
例如，点(2,3)的对称点为(2,-3)，对称点关于x轴对称；点(-4,5)的对称点为(-4,-5)，对称点也关于x轴对称。
综上所述，x轴对称点的坐标特点有五个，分别是对称点的纵坐标相反、对称点在x轴上、对称轴上的点不变、对称点和原点的距离相等、对称点关于x轴对称。
在解题时，我们可以根据这些特点来求解对称点的坐标，提高计算效率。