不定积分没有乘除法的运算法则
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。
在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。
本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。
一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。
2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。
(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。
例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。
(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。
3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。
例如，∫e^xdx=e^x+C。
(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。
例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。
4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。
例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。
5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。
例如，∫sinxdx=-cosx+C。
(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。
例如，∫cosxdx=sinx+C。
(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。
例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。
第二节不定积分基本公式和运算法则
法则 2 常数因子可提到不定积分号前面，既
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为 常 数 ）
例 4 求 x ( x 2 5)dx
解
5
1
x ( x 2 5) dx ( x 2 5 x 2 ) dx
2
7
x2
52
3
x2
C
2
x3
x 10 x
7
3
7
3
x C
x3 3x2 2x 4
例5 求
x2
dx 。
解
x 3
3x2 x2
2x
4 dx
(x
3
2 x
4 x 2 )dx
1 x 2 3 x 2 ln x 4 C
2
x
例6 求
(cos x 4 e x 1 dx 。
cos 2 x
解
(cos x 4 e x 1 )dx
cos 2 x
cos
xdx
4 e x dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
xபைடு நூலகம்
C
例8 求
x
x
不定积分的概念及运算法则
y=x2
启示 结论
-1
O 1 C2 C3
于是所求曲线方程为
2
x
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基本积分表：
(1) ( 2)
∫ kdx = k x + C ∫x
∫
μ
(8)
( k 为常数)
∫ cos 2 x = ∫ sec
即 Φ ( x) = F ( x) + C0 属于函数族 F ( x) + C .
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定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 ∫ f ( x) d x , 其中
dx
2
xdx = tan x + C
例5. 求
dx =
μ +1
1
x μ +1 + C
( μ ≠ 1)
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C sin x (10) (11) (12) (13) (14) (15)
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∫x3 x .
∫x
4 3 1 3
3 dx = x 4 +C 3 +1
i =1 i i i =1 i i
n
n
ex 5 = 2x +C ln 2 + 1 ln 2
例8. 求 ∫ tan xdx .
2 2 解: 原式 = ∫ (sec x 1)dx
不定积分计算公式
( 1);
当 a e 时, exdx ex C ;
(5) cos xdx sinx C； (6) sinxdx cos x C； (7) sec2 xdx tan x C； (8) csc2 xdx cot x C； (9) secx tan xdx secx C； (10) csc x cot xdx csc x C；
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
写出一个积分常数 C 即可.
三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分 法．
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数.
f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
解
(e x 2 sin x 2x x )dx
e xdx 2 sin xdx 2 x xdx
ex ex
C1 2( cos x
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
不定积分的运算法则
x 3
例8
3
x
arctan x C .
三角变换：
tan 2 x dx (sec2 x 1) dx
tan x x
C .
sec2 x dx tan x C 7
例9
2 2 cos 2 x cos x sin x cos x sin x dx cos x sin x dx
2
2
1 1 ( ) dx 2 1 x x
arctan x ln x
C.
1 1 x 2 dx arctan x C
1 d x ln x C x
5
例6. 求
解: 原式 =
[( 2e ) x 5 2 x )dx
( 2e ) x 2x C 5 ln 2 ln( 2e )
C， ( 1)
2
例2
(sin x 2 cos x e
x
) dx
x
sin xdx 2 cos xdx e dx
e
x
dx e C
x
2 sin x e x C . cos x
例3
( 2 x 3 x ) 2 dx ( 4 x 2 6 x 9 x ) dx
2 2
4
2
练习：设 f (sin 2 x ) cos 2 x , 求 f ( x ) .
解
令 u sin 2 x
cos x 1 u,
2
f ( u) 1 u,
1 2 f ( u) 1 u du u u C , 2 1 2 f ( x) x x C . 2
不定积分解法总结
不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。
与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。
不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。
1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。
常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。
该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。
3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。
该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。
5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。
该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。
6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。
该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。
8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。
第二节不定积分基本公式和运算法则-精品文档
则或对被积函数进行简单的恒等变形，再求积分的 方法，叫作直接积分方法。
一、 不定积分的基本运算法则 法则 1 函数代数和的不定积分等于这两个函数的不 定积分的代数和。
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
x
C
例8 求
x
x
2
4
1
dx
例 1 求不定积分 x2 xdx 。
解 根据积分公式得
x2
xdx
5
x 2 dx
2
7
x2
CLeabharlann 7例 2 求 2xexdx 。
解 根据积分公式得
2x exdx (2e)x dx 2x ex C 1 ln 2
例 3 求 (2x3 1 cos x)dx
解 (2x3 1 cosx)dx 1 x4 x sin x C 2
再见
。
解
x4
x4 1 1
x2
dx 1
dx x2 1
( x 2 1 )( x 2 1 )
x2 1
dx
1
x
2
不定积分运算法则
dx
化和
1 1 sin x x
dx
法则
1dx
1 x
dx
sin
xdx
公式1/3/6
x ln x cos x C
3
1 3 x2
2
dx
化和化幂
2 4
1 2x3 x3 dx
法则
2
4
1dx 2 x3 dx x3dx
(7) cos xdx sin x C;
(8)
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
1 sin2
x
dx csc2
xdx
cot
x C;
13
不定积分运算法则(P226)
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(3)
1 u
u
'
dx
ln
|
u
|
C
(4) au u ' dx a u C; ln a
(5) eu u 'dx eu C; 22
(6)sin xdx cos x C; (6) sin u u 'dx cosu C;
(7) cos xdx sin x C; (7) cosu u 'dx sin u C;
2
x
1 x
sin
x
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不定积分没有乘除法的运算法则不定积分是数学中一个重要的概念，在求解函数与导数及其变化过程中有着重要的作用。
在不定积分的运算法则中，乘除法是常见的运算法则，但也有特例，若该函数不能使用乘除法，则需要采取其他的方法来解决。
本文将从不定积分的定义、乘除法运算法则及其特例入手，探讨不定积分中没有乘除法的运算法则。
一、不定积分的定义
在数学中，对于给定的函数f(x)，不定积分表示为∫f(x)dx。
它表示求函数f(x)的一个非特定原函数。
即，通过对函数f(x)求导数可以得到f(x)的导函数，不定积分则是反过来的过程。
不定积分在解决函数与导数及其变化过程中有着重要的作用，也多用于求函数的面积、体积以及中心重心等问题。
二、乘除法运算法则
在不定积分的运算法则中，乘除法是常见的运算法则，其运用方法如下：
1. 乘法法则
若f(x)和g(x)是可导函数，则有：
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)−∫g(x)f'(x)dx
例如，对于函数f(x)=x和g(x)=cosx，我们有：
∫cosxdx=sinx+c
∫xcosxdx=xcosx−∫sinxdx=xcosx+sinx+c
2. 除法法则
若f(x)和g(x)是可导函数,并且g(x)≠0，则有：
∫f'(x)g(x)dx=f(x)ln|g(x)|−∫f(x)g'(x)/g²(x)dx 例如，对于函数f(x)=1和g(x)=x，我们有：
∫1/x dx=ln|x|+c
∫x/(x²+1)dx=1/2ln(x²+1)+c
三、不定积分没有乘除法的运算法则
在不定积分的运算法则中，有些函数不能采用乘除法法则进行求解。
此时需要采用其他的方法来解决不定积分的求解问题。
下面我们来看看一些常见的这类特例函数。
1. 超越函数
在函数的不定积分中，另一类常见的是超越函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。
对于三角函数的不定积分，常用的方法是换元法。
常见的三角函数如下：∫sinxdx=-cosx+c
∫cosxdx=sinx+c
∫sec²xdx=tanx+c
∫csc²xdx=-cotx+c
∫secx tanxdx=secx+c
∫cscx cotxdx=-cscx+c
对于指数函数和对数函数的不定积分，常用的方法也是换元法。
如下：
∫e^xdx=e^x+c
∫lnxdx=xlnx−x+c
2. 代数函数
除了超越函数外，代数函数也属于不能使用乘除法的运算法则之一。
对于代数函数的不定积分，常用的方法是分部积分法和积分换元法。
如下：
∫x²dx=x³/3+c
∫sinx^2dx=1/2∫ sinxdx−1/4∫sinx2dx
∫ 1/(x^2+1)dx=arctan(x)+c
∫x^2e^xdx=(x^2-2x+2)e^x+c
总之，在求解不定积分过程中，我们需要根据不同的函数特点选用不同的方法，尤其是在遇到不能使用乘除法的算式时，更需要恰当地选用更适合和正确的方法。
四、不定积分的应用
不定积分作为数学中的一个重要概念，深受各个领域的喜爱。
它的应用十分广泛。
在物理学中，不定积分用于求解速度、加速度、功率等物理量的变化过程；在工程学中，不定积分用于求解复杂的电路和信号处理的问题；在经济学中，不定积分用于求解个人所得税、贷款利息和收
益等等。
由于不定积分具有处理和求解问题的很好表现，因此在数学和其它自然科学领域中都有着广泛应用。
综上所述，不定积分是数学中的一个重要概念，用于求解函数的导数和变化过程。
在不定积分的运算法则中，乘除法是常见的运算法则，但是在一些特殊的情况下，如超越函数、代数函数等，不能使用乘除法运算法则，需要采用其他的方法来解决不定积分的求解问题。
最终，不定积分的运用在各个领域是十分广泛，堪称是一个应用极广的概念。