初二数学培优之坐标平面上的直线
【八年级上册数学培优竞赛-素养提升】专题13 直线在坐标系中的变换
专题13 直线在坐标系中的变换【专题解读】直线的变换本质上就是点的变换，两点确定一条直线，我们只要抓住变换后！直线上的两个特殊点就能求出变换后新直线的函数表达式，体现直线的本质。
同时，抓住平移、轴对称和旋转的基本特性，利用勾股定理等构建方程（组）解决计算问题. 思维索引1．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用特定系数法，求出这个一次函数的解析式．有这样一个问题：直线1l 的解析式为26y x =-+，若直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，求直线2l 的解析式． 下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线1l 与x 轴的交点A 的坐标(3,0)，与y 轴的交点B 的坐标(0,6)； 第二步：在所给的平面直角坐标系中（图1)，作出直线1l ； 第三步：求点A 关于y 轴的对称点C 的坐标为(3,0)-；第四步：由点B ，点C 的坐标；利用待定系数法，即可求出直线2l 的解析式． 小明求出的直线2l 的解析式是 ．（1）若直线3l 与直线1l 关于直线y x =对称，求出直线的解析式；（2）若点(,4)M m 在直线1l 上，过点M 作直线1l 的垂线A l ，求直线A l 的解析式．【解答】解： ∴直线2l 的表达式为：26y x =+．（1）∴直线3l 的表达式为：132y x =-+．（2）∴直线A l 的表达式1722y x =+．例2.直线l :y ＝－2x ＋1与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .（1）将直线l 平移后得到直线l 1，直线与坐标轴所围成的面积1，求直线的表达式； （2）求直线l 沿x 轴翻折后的直线l 2的表达式；（3）将直线l 绕点B 逆时针旋转90°，求所得直线l 3的表达式. 【答案】（1）y ＝－2x ±2 （2）y ＝2x －1 （3）y ＝12x ＋1.素养提升1．已知函数(0)y kx b k =+≠的图象如图，则2(0)y kx b k =-+≠的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B2.在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线上的点的坐标是( )A.（3，12）B.（1，20）C.（一0.5，26）D.（一2.5，32） 【答案】D3.直线y ＝kx ＋b （k ＜0）与x 轴交于点（3，0），关于x 的不等式x ＋2b ＞0的解是( ) A.x ＜6 B.x ＞6 C.x ＜0 D.x ＞0 【答案】A4.一次函数y ＝（m 2－4）x ＋（1－m ）和y ＝（m ＋2）x ＋（m 2－3）的图像分别与y 轴交于点P 和点Q ，这两点关于x 轴对称，则m 的取值是( )A.2B.2或－1C.1或－1D.－1 【答案】D5.在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －3与y ＝x ＋k 的交点为整点时，k 的值可以取( )A.2个B.4个C.5个D.6个 【答案】C6.直线y ＝kx ＋b 沿y 轴向上平移4个单位，得直线y ＝－2x ＋3，则k ＝ ，b ＝ 【答案】－2. －17.直线y ＝x ＋2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的表达式是 . 【答案】y=x －38.直线y ＝2x ＋1绕着原点O 旋转90°后所得直线的表达式为 . 【答案】y=－12x±129.如图，正方形ABCD 中，其中A （－1，1），D （－1，2），若直线y ＝－2x ＋b 与正方形有公共点，则b 的取值范围为 .【答案】-3≤b ≤0:10.如图，在等腰RI △ABO ，∠A ＝90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l :y ＝mx ＋m （m ≠0）与AB 边所在的直线垂直，则m 的值为 . 【答案】111.一次函数y ＝2x ＋2的图像直线l 1与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，将直线l 1绕点A 顺时针旋转45°得到直线，求直线l 2对应的函数表达式. 【答案】y=13x+212．在平面直角坐标系中，直线4:43l y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到△A OB ''．（1）求直线AB ''的解析式；（2）若直线AB ''与直线l 相交于点C ，求△A BC '的面积． 【答案】（1）y=34x －3（2）2942513．（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是 ； （2）直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移2个单位，求平移后的直线的解析式．【解答】解：（1）(0,1)-，21221y x x =+-=-； （2）2(2)123y x x =-+=-； （3）y =2x －114．如图，直线1:22L y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点(0,4)N ，动点M 从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标： ；点B 的坐标： ；（2）求NOM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，NOM AOB ∆≅∆，求出此时点M 的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，MGN ∆沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．【解答】解： （1）(4,0)；(0,2)； （2）由题题意可知AM t =，①当点M 在y 轴右边时，4OM OA AM t =-=-，(0,4)N ，4ON ∴=，114(4)8222S OM ON t t ∴==⨯⨯-=-；②当点M 在y 轴左边时，则4OM AM OA t =-=-，14(4)282S t t ∴=⨯⨯-=-；（3）NOM AOB ∆≅∆，2MO OB ∴==，(2,0)M ∴； （4）2OM =，4ON =，222425MN ∴+ MGN ∆沿MG 折叠，NMG OMG ∴∠=∠，∴OG OMNG MN =，且NG ON OG =-， ∴425OG OG =-，解得51OG =， 51)G ∴．15．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知6OA=，10OB=．点D为y轴上一点，其坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC CB-的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求OPD∆的面积S关于t的函数解析式；②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B'恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使BDP∆为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）则此时直线DP解析式为423y x=+；（2）①当点P在线段AC上时，2OD=，高为6，6S=；当点P在线段BC上时，2OD=，高为6102162t t+-=-，12(162)216 2S t t=⨯⨯-=-+；②设(,10)P m，则PB PB m='=，如图2，10OB OB'==，6OA=，228AB OB OA∴''-，1082B C∴'=-=，6PC m=-，2222(6)m m∴=+-，解得103 m=则此时点P的坐标是10(3，10)；（3）满足题意的P坐标为(6,6)或(6，272)或(6,1027)-．。
坐标平面上的直线知识点总结
第十一章 坐标平面上的直线知识点汇总11.1 直线的方程注：若已知直线l 经过定点()00,P x y ，常设直线l 的方程为（1）____________________________ （2）___________________________________________________________11.2 倾斜角与斜率1、直线的倾斜角：设直线l 与x 轴相交于点M ，将x 轴绕着点M ___时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小___角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴____________时，规定其倾斜角为________。
因此直线的倾斜角α的范围是____________。
2、直线的斜率：1） ___________ , 2___________ , 2k παπα⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，其对应关系的图像为:2）直线l 经过点()111,P x y 和()222,Px y ，其中12x x ≠，那么直线l 的斜率k =____________。
3、直线的斜率k 、方向向量d 和方向向量n之间关系：11.3 两条直线的位置关系1. 两直线的相交、平行和重合的判定行列式法（充要条件）1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不全为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不全为零）， , , ,x y D D D ===（1）相交 _________；（2）平行 ____；（3）重合 ； 系数法（非充要条件）（1）相交 _________；（2）平行 ____；（3）重合 ；2. 两直线的夹角1）1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不全为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不全为零），则这 两条直线的夹角公式：cos α= ___________；角α的范围为_______________； 2）若直线1l 和2l 的斜率都存在，分别设为1k 、2k ，则tan α= （121k k ⋅≠-） 3）1l 和2l 垂直的充要条件是___________________________________________________________; 4） 对称性：1、点关于点的对称转化为_____________________；2、点关于直线的对称转化为___________________；关于特殊直线的对称：点()111,y x P 关于直线0:=+±C y x l 的对称点()222,y x P 的坐标可通过直接代入法求得________________________________________________________________;在定直线l 上找一点，使得到两定点距离之和最小转化为_________________________________; 在定直线l 上找一点，使得到两定点距离之差的绝对值最大转化为___________________________; 3、直线关于直线的对称转化为__________________________________；11.4 点到直线的距离（1）点00(,)P x y 到直线:0l ax by c ++=（220a b +≠）的距离公式为d = .（2）两条平行直线11:0l ax by c ++=和22:0l ax by c ++=之间的距离公式d = ___. （3）用于判断点与直线的相对位置的有向距离=δ ________；位于直线l 的同侧的点的δ符号 _______；位于直线l 的异侧的点δ的符号 _______； 若直线l 与线段AB 相交⇔_________________________。
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线
第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bcx b a y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由． 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
泉州五中初二下奥数讲座(7) —— 坐标平面上的直线
泉州五中初二下奥数讲座（7）——坐标平面上的直线班 号 姓名 供稿人：李锦扬阅读与思考我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系，我们既可以用函数的方法来处理方程的问题，也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系.数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容：（1）由数定形：即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.（2）由形导数：即从给定的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值.一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛的应用价值. 运用一次函数解题时应注意： 1. 一次函数的图象是一条直线.2. 函数解析式y kx b =+中的系数符号，确定图象的大致位置及y 随x 变化的性质.3. 确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件.4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系， 任意一个一次函数y kx b =+都可以看做是一个关于x ，y 的二元一次方程0kx y b -+=； 反过来，任意一个二元一次方程0ax by c ++=，当0b ≠时，可化为形如a cy x b b=--的函数形式.能力训练A 级1．已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===，且2596m n n -++=，则关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图象一定经过第 象限．2．某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y （元)是行李质量x （千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是 千克．3．如图：一次函数y kx b =+的图象经过A ，B 两点，则AOC ∆的面积为 ．4．如图，直线122y x =+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与直线AB 垂直，垂足为B ，则直线BC 所对应的函数解析式为 ．5．某市为了鼓励节约用水，按以下规定收水费：（1）每户每月用水量不超过320m ，则每立方米水费为1.2元，（2）每户用水量超过320m ，则超过的部分每立方米水费2元，设某户一个月所交水费为y （元)，用水量为3()x m ，则y 与x 的函数关系用图象表示为( )A ．B ．C ．D ．6．下列图象中，不可能是关于x 的一次函数(3)y mx m =--的图象的是( )A B C D7．如图，点A 、B 、C 、在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是( ) A ．1 B ．3 C ．3(1)m - D ．1.53m -8．点(4,0)A -，(2,0)B 是xOy 平面上两定点，C 是122y x =-+的图象上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC 可以画出( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．随着我国人口增加速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿年份()x2000 2001 2002 ⋯入学儿童人数()y2520 2330 2140 ⋯（1（2）利用所求函数关系式，预测试地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？10．已知直线26x y k-=-+和341x y k+=+，若它们的交点在第四象限内．（1）求k的取值范围；（2）若k为非负整数，点A的坐标(2,0)，点P在直线26x y k-=-+上，求使PAO∆为等腰三角形的点的坐标．11．如图，已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线(0)y kx b k=+≠经过点(1,0)C，且把AOB∆分成两部分．（1）若AOB∆被分成的两部分面积相等，求k和b的值；（2）若AOB∆被分成的两部分面积比为1:5，求k和b的值．12．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数1y（人)与售票时间x（分)的函数关系如图①所示；每个售票窗口售出的票数2y（人)与售票时间x（分)的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数3y（人)与售票时间x（分)的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．（1）求a的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线
第九讲 坐标平面上的直线定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bc x b ay --= (0≠b )的函数形式。
坐标解由函数解析式联立的方程组。
，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结根据图象求最值直观明了。
果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ABP 的面积与△A ABC 的面积相等，求a 的值．．的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象。
折线上侧部分的图形的形状。
分段函数，这是解绝对值的一般思路。
答下列问题：x 应为P=x，EF=，则能反映y与x之间关系的图象是( )售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了( )6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含点M的横坐标为。
B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（）既进水又出水，得到时间x (分)与水量y(升)之间的关系如下图．若20分钟后只出水不进水，求这时直线l的函数解析式。
过的电流有关．现经过试验得到下列数据：将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y 利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该。
10、坐标平面上的直线-培优 数学张老师
10、坐标平面上的直线一般地，若y=kx +b(k ，b 是常数，k≠0)，则y 叫做x 的一次函数(1inear function)，它的图象是一条直线，函数解析y=kx+b 中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)．如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数y=kx+b 都可看作是关于x ，y 的一个二元一次方程kx-y+b=0；任意一个关于x ，y 的二元一次方程ax+b+c=0可化为形如)0(=/--=b bc x b a y 的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而使用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线的交点坐标可转化为解由函数解析式联立的方程组．【例l 】(1)一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为 ． (2005年黑龙江省中考题) (2)在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，n)，D(m ，0)，当四边形ABCD 的周长最短时，则nm的值为 (湖北省竞赛题) 思路点拨对于(1)，把直线与坐标轴交点坐标用k 的代数式表示，用勾股定理建立h 的方程；对于(2)，AB 的长度不变，只需使其余的三条线段的和最短，设法将折线拉直，不妨考虑运用对称的知识与方法．【例2】设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n (n=1，2，…2000)，则S 1+S 2+… S 2000的值为( )．20022001.20012000.0201999.1.D C B A θ (河北省竞赛题)思路点拨求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从一般形式入手，把Sn 用含n 的代数式表示．【例3】 甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶的过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：(1)分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程S(千米)与时间t(时)的函数解析式(不要求写出自变量t 的取值范围)；(2)当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；(3)在(2)的条件下，设乙同学从A 处继续登山，甲同学到达山顶后休息l 小时，沿原路下山，在点B 处与乙相遇，此时点B 与山顶距离为l ．5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米? (2005年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(3)，解题的关键是从图象获取信息，确定直线BD 的解析式．【例4】如图，在平面直角坐标系中，CA ⊥x 轴于点A(1，O)，DB⊥x 轴于点B(3，0)，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点F 、E ，且解析式为y=kx+3，S 四边形ABD C =4．(1)求直线CD 的解析式；(2)试探索在x 轴正半轴上存在几个点P ，使△EPF 为等腰三角形，并求出这些点的坐标．(2005年包头市中考题)思路点拨:对于(1)，利用面积关系建立k 的方程；对于(2)，由于等腰三角形底未确定、应根据P 点的位置分情况讨论．【例5】如图，直线133+-=x y 与x 轴、Y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=900，如果在第二象限内有一点),21,(a P 且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求a 的值． (天津市竞赛题)思路点拨．利用ABC ABP S S ∆∆=c ，建立含a 的方程，解题的突破口是把ABP S ∆表示成有边落在坐标轴上的三角形面积的和差．1．直线y=mx+n 如图所示，化简=--2||m n m (2005年山西省中考题) 2．如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在X 轴上的点B 处，则直线AM 的解析式为 ． (2005年重庆市中考题)3．点A 为直线y=一2x+2上的一点，点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 的坐标为 ．(2004年无锡市中考题) 4．已知abc≠0，并且,P bac a c b c b a =+=+=+则直线y=px+p 一定通过 象限． (2004年镇江市中考题)5．如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1，y 2的图象L 1，L 2，设Y 1=k 1x+b 1，Y 2=K 2X+b 2，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222111b x k y b x k y 的解是( )．⎩⎨⎧=-=22.y x A ⎩⎨⎧=-=32.y x B ⎩⎨⎧=-=33.y x C ⎩⎨⎧=-=43.y x D6．如图，Rt△ABC 中，∠C=900，AC=4，BC=8，P 是AB 上一动点，直线PQ⊥ AC 予点Q ，设AQ=x ，则图中阴影部分的面积y 与X 之问函数关系的图象是( ) ( 2005年河南省中考题)7．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数P 和q(p≠q)，构成函数Y 1=px 一2和Y 2=X 十q ，使两个函数图象的交点在直线X=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( )．(2005年嘉兴市中考题) A ．12组 B ．6组 C ．5组 D ．3组8．甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间 的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列 说法： (1)他们都行驶了l8千米；(2)甲在途中停留了0．5小时； (3)乙比甲晚出发0．5小时； ． (4)相遇后，甲的速度小于乙的速度； (5)甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有( )．A．2个 B．3个， C．4个 D．5个(2005年陕西省中考题)9．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y随时间x 变化的图象(全程)．根据图象回答下列问题：(1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；(2)求这次比赛全程是多少千米；(3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．(2004年黑龙江省中考题)10．春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到00C以下的天气现象称为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0。
坐标平面上的直线的知识点及部分例题
坐标平面上的直线的知识点及部分例题1、已知直线上一点()00,y x P ，方向向量()v u d ,=→，法向量()b a n ,=→则直线的点方向式方程为vy y u x x 00-=- 0,0≠≠v u ； 直线的点法向式方程为 ()()000=-+-y y b x x a ； 直线的点斜式方程为 (00x x bay y --=- 0≠b ； 直线的斜截式方程为 00y x bax b a y ++-= 0≠b ； 直线的一般式方程为 ()000=+-+by ax by ax ；2、直线的倾斜角的定义是 设直线l 与x 轴交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小正角α叫做直线l 的倾斜角。
； 直线的倾斜角的范围是 [)π,0 ； 直线的斜率的定义是 2πα≠时，αtan =k 叫做直线l 的斜率 ；已知直线的斜率k ，则直线的倾斜角α为 ⎩⎨⎧+=<=≥k k k k a r c t an ,0a r c t an ,0παα ；3、已知直线1l ：0111=++c y b x a ；直线2l ：0222=++c y b x a （1）如何判定两条直线位置关系？ 判定方程组⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a 解的情况 ；（2）1l //2l ⇔ 1221b a b a =，12211221c b c b c a c a ≠≠或 ； （3）求1l 与2l 的夹角α的公式：222221212121cos b a b a b b a a +++=α；角α的范围： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（4）⇔⊥21l l 02121=+b b a a ；4、已知直线l ：0=++c by ax ，点()00,y x P 是直线l 外一点，则点P 到直线l 的距离公式为d =5、已知直线1l ：01=++c by ax ；直线2l ：02=++c by ax ，则1l // 或重合 2l ，且1l 与2l 之间的距离公式为d =6、如何判定点与直线的位置关系： 有向距离 ； 习题1、已知ABC ∆中，90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为()2,4，()8,2，向量()2,3=→d 且→d 与AC 边平行，求ABC ∆的两条直角边所在直线的方程。
参考答案(第11章坐标平面上的直线)
参考答案第 11 章 坐标平面上的直线知识梳理思考 1：将两直线 x、y 前面的系数化成一致，再用两平行线之间的距离公式. 思考 2：找 A 关于 l 的对称点 A′，A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点，求得 P (5, 6) .分节练习11.1 直线的方程 1. 4 x − 3 y − 1 = 0 2. y = kx + b 5. (2,3) 6. 解 ： （ 1 ） 解 一 ： n = (4, −3), d = (3, 4) ， 又 直 线 过 点 A(−2,5) ， 故 直 线 的 方 程 为 3. ( a, b) ， (b, − a ) 4. x − 2 − 3( y + 1) = 04( x + 2) = 3( y − 5) 化简得 4 x − 3 y + 23 = 0 .（精锐教育）解 二 ： n = (4, −3), 又 直 线 过 点 A( −2,5) ， 故 直 线 的 点 法 向 式 方 程 为4( x + 2) − 3( y − 5) = 0 化简得 4 x − 3 y + 23 = 0 .解 三 ： 设 与 l1 : 4 x − 3 y − 9 = 0 平 行 的 直 线 方 程 为 4 x − 3 y + c = 0 ， 又 直 线 过 点A(−2,5) 故 4(−2) − 3 ⋅ 5 + c = 0 ， c = 23 ，所以直线的方程是 4 x − 3 y + 23 = 0 .（2）解一：l1 的法向量 n1 = (3, 7) 为所求直线的方向向量，又直线过点 B (3, −4) ，故直线的 方程为 7( x − 3) = 3( y + 4) 化简得 7 x − 3 y − 33 = 0 . 解 二 ： 设 与 l2 : 3 x + 7 y − 6 = 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 7 x − 3 y + c = 0 ， 又 直 线 过 点B (3, −4) 故 7 ⋅ 3 − 3 ⋅ (−4) + c = 0 ， c = −33 ，所以直线的方程是 7 x − 3 y − 33 = 0 .7. 3 x + 5 y + 7 = 0 8. B19. 解：(1) A + B ≠ 0, C = 02 2(2) A • B ≠ 0 . (3) B = 0, A ≠ 0 . (4) B = C = 0, A ≠ 0 . 10. 解：设直线 l 的方程为 y − 4 = k ( x − 1) ， 令 x = 0, 得 y = 4 − x ,令 y = 0, 得x = 1 −4 4 ,∴ A(1 − , 0), B (0, 4 − k ) ,交于正半轴， k k∴1 −4 > 0, 4 − k > 0 ，得 k < 0 （精锐教育） k 1 1 4 1 16 ∴ S ΔAOB = | OA | ⋅ | OB |= | (1 − )(4 − k ) |= | 8 + (− k ) + (− ) |≥ 8 , k k 2 2 2 16 ，即 k = ±4 时等号成立，但 k < 0 ,故直线 l 的方程为： 4 x + y − 8 = 0 . 当且仅当 k = k11. 解 ： 从 确 定 直 线 AB, AC 的 条 件 入 手 ， 直 线 AC 满 足 : 经 过 点 A 且 垂 直 于 直 线2x + y − 6 = 0 ,直线 AB 满足:经过点 A 且与直线 2 x + y − 6 = 0 成π4， （或 | AB | 等于点 A 到直线2 x + y − 6 = 0 的距离的 2 倍）由条件知直线 AC 垂直于直线 2 x + y − 6 = 0 ，设直线 AC 的方程为 x − 2 y + c = 0 , 把 A(1, −1) 代入得 c = −3 , 故直线 AC 的方程为 x − 2 y − 3 = 0 , ∵| AC |=5 = 5 ∴| AB | = 10 ， 5⎧( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 10 设 B ( x, y ) ,则 ⎨ ， 2x + y − 6 = 0 ⎩解得 B(2, 2) 或 B(4, −2) ，所以直线 AB 的方程为 3 x − y − 4 = 0 或 x + 3 y + 2 = 0 12.解： （1） 4 x − 3 y = 0 或 x + y − 7 = 0 . （2） 2 x − y − 2 = 0 或 8 x − 9 y + 12 = 0 ； （3） x − y + 1 = 0 或 x + y − 7 = 0 ；斜率为 1 或-1，由点斜式易得. （4） x + 2 y − 11 = 0 或 4 x − 3 y = 0 ；当直线经过原点时，方程为 4 x − 3 y = 0 ， 当直线不经过原点时，设直线方程为x y 3 4 + = 1 ，由 + = 1 和 a = 2b 求得 a b a b2a = 11, b =11 . 211.2 直线的倾斜角和斜率1.斜率 −3 5π ，倾斜角 . 3 6 24 （3） 3或 − 3 73.2.（1） ( −∞, −1] ∪ [1, +∞) ） （2） −π3 或 π 4 44. A5. y = −1 3 x+ 2 26. 0 ≤ α ≤ 8. Bπ6和5π ≤α <π 62 7. k ∈ (−∞, − ] ∪ [1, +∞ ) 39. 解： （1） ( 3 − 2) x − y − 3 + 2 − 1 = 0 . （2） ( 3 + 2 2) x − y − 2 2 − 4 = 0 .⎧不存在，m = 1 ⎪ 10. 解： （1） d = ( m − 1. − m − 1) , k = ⎨ m + 1 ,m ≠1 ⎪ ⎩1 − mm +1 ⎧ ⎪arctan 1 − m , −1 ≤ m < 1 ⎪ ⎪π α − ⎨ ,m =1 ⎪2 m +1 ⎪ ⎪π + arctan 1 − m , m < −1或m > 1 ⎩（2）解法一： AB = ( −4 − m, 2m − 2 ) , BC = ( 9,1 − 2m ) ，由于 AB 与 BC 平行， 故−4 − m 2m − 2 7 = ⇒ m = 2或 （精锐教育） 9 1 − 2m 2解法二：由于三点 A ( m, 2 ) , B ( −4, 2m ) , C ( 5,1) 在同一直线上，故 k AB = k BC11. (0,π5 ] ∪ [ π ,π ) 6 612． [ , 2] .2 511.3 两条直线的位置关系31.（1） arctan 3 (或 arccos 2. （1） a = 1 4. 解： D = （2） 2010 ) （2）0 （3） 1 或 −6 103. A(4) 0 < k <1 21m2m − 2 3m Dx = −6= −m3 + 2m 2 + 3m = − m(m + 1)(m − 3) ， m2−2m 3m= 2m(m + 3)(m − 3)Dy =−6 1 = 4(m − 3) m − 2 −2m故（1）当 m ≠ −1 m ≠ 3 且 m ≠ 0 时， l1 与 l2 相交； （2）当 m = −1 或 m = 0 时， l1 // l2 ； （3）当 m = 3 时， l1 与 l2 重合. 5.-10 6. C→7. 解：设 l 的方程为 a ( x + 4) + b( y − 1) = 0 （其中 n = ( a, b) 为 l 的一法向量） ， 则| 3a − b | a 2 + b 2 32 + (−1) 2=3 10 , 即 3 a 2 + b 2 =| 3a − b | ， 10化简为 b(3a + 4b) = 0 解方程，得 b = 0,3a = −4b ，当 b = 0 时，则 a ≠ 0 ，此时方程为 x = −4 ， 当 3a = −4b ≠ 0 时，方程为 4( x + 4) − 3( y − 1) = 0 ，即 4 x − 3 y + 19 = 0 ， 综上, l 的方程是 x = −4 或 4 x − 3 y + 19 = 0 . 8. 解:（1）直线 AB 的方程为: y = 1 ， 直线 AC 的方程为: 4 x − 3 y − 5 = 0 , 设它们的夹角为 α ,又 ∠A 为锐角,所以 ∠A = α ， 则 cos A =3 3 ,∴ A = arccos 即为所求. 5 5（2）设角平分线所在直线方程 a ( x − 2) + b( y − 1) = 0 ，即 ax + by − 2a − b = 0 由角平分线与两边 AB, AC 成等角，运用夹角公式得4|b|a +b2 2=| 4a − 3b | 5 a 2 + b2⇒ 5 | b |=| 4a − 3b |,解得 a = 2b或 − 2a = b ,由题意,舍 a = 2b 所以角平分线的方程为： x − 2 y = 0 . 9. 解:三条直线不能构成三角形 ⇔ 三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行. （1）若三条直线交于同一点时,⎧3x − y + 2 = 0 ⎧ x = −1 , 得⎨ ，即 l1 与 l2 的交点是 (−1, −1) ，把点 (−1, −1) ⎩2 x + y + 3 = 0 ⎩ y = −1 代入直线 l3 的方程得 m = −1 ． （精锐教育）解方程组 ⎨ （2）若其中至少有两条直线平行时， 由 l1 // l2 得： m = −3 ; 由 l2 / / l3 得: m = 2 ， 综上：当 m = −1 或 m = −3 或 m = 2 时三条直线不能构成三角形. 10.解：设 l3 的方程为 a ( x + 2) + b( y − 0) = 0 （其中 n = ( a, b) 为一法向量，→a, b 不同时为零） ， l1 与 l2 的夹角是 θ1 ， l2 与 l3 的夹角是 θ 2 ， 1 , 由夹角公式得 cos θ1 = 10 又 l1 , l2 , l3 所围成的三角形是等腰三角形，所以 θ1 = θ 2 , a+b 1 cos θ 2 =| |= ⇒ 2a 2 + 5ab + 2b 2 = 0 即 a = 2b或2a = b 2 2 10 a +b 2 舍去 2a = b (否则与直线 l1 平行), ∴ l3 的方程是： 2 x − y + 4 = 0 .11.解：由 ⎨⎧2 x + y − 2 = 0 ，得反射点的坐标为(2, −2) . ⎩x + 2 y + 2 = 0→ ٛ 设 l3 的方程为 a ( x − 2) + b( y + 2) = 0 （其中 n = ( a, b) 为一法向量， a, b 不同时为零）由 反 射 原 理 , 直 线 l1 与 l2 的 夹 角 等 于 l2 与 l3 的 夹 角 ， 得2+2 a + 2b = ⇒ a = 2b或11a = −2b ,舍去 a = 2b (否则与 l1 重合) ,所以 5⋅ 5 5 ⋅ a 2 + b2 2 a = − b ,得 l3 的方程为 2 x − 11y − 26 = 0 . 1112. 7 x + y − 17 = 0 或 x − 7 y + 19 = 0 . 11.4 点到直线的距离1.3 或-12.3 13 133. ( −7, 24)4. 解： （1）当斜率不存在时 l 为 x = 5 ，符合题意；5（2）当斜率不存在时， l 设为 y − 10 = k ( x − 5) ，d=|10 − 5k | 1+ k 2= 5 ，则 k =3 .即： 3 x − 4 y + 25 = 0 . 4a−6 | = 2 ，则 a = 32 或 −20 . 135. 解：设 l1 的方程为： 5 x − 12 y + a = 0 ， d = |即 l1 ： 5 x − 12 y + 32 = 0 或 5 x − 12 y − 20 = 0 . 6. 3 x − y − 10 = 0 7. a ∈ (−∞, −2] ∪ [1, +∞) 9. A 10. A 8. 2 + 2, 2 + 2 或 2 − 2, 2 − 2 12. 2 2() ()11. 2 + 213. 4 x + y − 6 = 0 或 3 x + 2 y − 7 = 014.解析： （1）将直线 l 的方程化为： a (2 x + y + 1) + b( x + y − 1) = 0 ，∴ 无论 a, b 如何变化，该直线系都恒过直线 2 x + y + 1 = 0 与直线 x + y − 1 = 0 的交点，由⎨⎧2 x + y + 1 = 0 ⎧ x = −2 得⎨ ，∴ 直线 l 过定点 Q ( −2,3) ⎩x + y − 1 = 0 ⎩y = 3（2）当 l ⊥ PQ 时点 P 到直线 l 的距离最大，此时直线 l 的斜率为-5，∴ 直线 l 的方程为y − 3 = −5( x + 2) 即 5 x + y + 7 = 0真题链接1.3 6. D 2.1 7. C 3. x + 2 y − 11 = 0 4. arccos2 5 55. arctan 28. 解： （1）双曲线 C 的渐近线为 x ±2y = 0∴直线 l 的方程 x ±2y + 3 2 = 0∴直线 l 与 m 的距离 d =3 2 = 6 1+ 2（2）设过原点且平行于 l 的直线 b : kx − y = 0, 则直线 l 与 b 的距离 d =3 2k 1+ k 2，6当k >2 时， d > 6 . 22y = 0 ，又双曲线 C 的渐近线为 x ±∴双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方， （精锐教育）∴双曲线 C 的右支上的任意点到直线 l 的距离大于6.故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ( x0 , y0 ) 到到直线 l 的距离为 6 .章节测试1. (6, −3) 2. (1, 2) 3. a = −1 4. (− , 2) 7. (1, 0) 11. C3 25.56. 8 x − 5 y + 20 = 0 和 2 x − 5 y − 10 = 0 ． 9. C 10. D8.（1） （2） （3）(4)12. 解：设直线 l 的倾斜角为 α ，则 MN 的倾斜角为 2α .由 2α ∈ [0, π ) 得 α ∈ [0, 知 tan 2α = k MN =π2) .由已−2 − (−5) 3 2 tan α 3 = ,∴ = ，即 3 tan 2 α + 8 tan α − 3 = 0 . 2 3 − (−1) 4 1 − tan a 4 1 3解得 tan α = −3或 ， 由 α ∈ [0,π1 1 ) 得 tan α > 0 ， 故 tan α = ， 直线 l 的斜率为 . 3 2 313. 解：设 B x B ，1 ，则 AB 的中点 D⎜AB()⎛ xB + 1 ⎞ ， 2⎟ ⎝ 2 ⎠∵ D 在中线 CD ： x − 2 y + 1 = 0 上 ∴xB + 1 − 2 · 2 + 1 = 0 ，解得 x B = 5 2故 B (5,1) 同样，因点 C 在直线 x − 2 y + 1 = 0 上，可以设 C 为 2 y C − 1，y C ， 求出 y C = −1，C −3， − 1 根据两点式，得 ΔABC 中()()AB : y − 7 = 0 BC : x − 4 y − 1 = 0 AC : x − y + 2 = 0714. 解： （1） ∵ l1 ⊥ l2 ,∴ a ( a + 1) + (−b) ⋅ 1 = 0, 即 a − a − b = 02① ②又点 (−3, −1) 在 l1 上， 由①②解得： a = 2, b = 2. （2）∵ l1 ∥ l2 且 l2 的斜率为 1 − a . 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为：∴ −3a + b + 4 = 0∴ l1 的斜率也存在， 即a a = 1 − a ，b = . 1− a bl1 : (a − 1) x + y +4(a − 1) a = 0, l2 : (a − 1) x + y + =0 a 1− a∴4∵原点到 l1 和 l2 的距离相等.a −1 a 2 = ，解得： a = 2 或 a = . 3 a 1− a2 ⎧ ⎧a = 2 ⎪a = 因此 ⎨ 或⎨ 3. ⎩b = −2 ⎪b = 2 ⎩15. （1）以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，则x y M (a,0), N (0, b), (a > 3)，则C (3,2), 直线MN的方程为 + = 1 a b 3 2 2 3 由 C 在直线 MN 上得 + = 1 ⇔ = 1− a b b a 32 2 3 ∴ S AMPN = ab > 32 ⇔ a > = 16 ⋅ = 16(1 − ) b b a⇔ a 2 − 16 x + 48 > 0 ⇔ a < 4或a > 12∴ AM 的长取值范围是 (3, 4) ∪ (12,+∞)（2）由(Ⅰ)知3 2 3 2 6 + = 1 ∴1 = + ≥ 2 ∴ ab ≥ 24 ，即 S AMPN = ab ≥ 24 a b a b ab当且仅当3 2 = 即 a = 6, b = 4 时取等号 a b所以 a = 6, b = 4 时，矩形 AMPN 的面积取得最小值 2416. 解：由 ⎨⎧2 x + y + 8 = 0 交点 M (−5, 2) ．（精锐教育） ⎩ x+ y+3=0设所求直线 l 与 l1 、 l2 分别交于 B、A 两点， 由已知 | AB |=85 ，又 l1、l2 间距离| AC |=3 1 ， 在 Rt ΔABC 中， | BC |= ． 2 2 | AC | = 3 . 设直线 l 的斜率 为 k ，由夹角 公 式得 | BC |设 l1 到 l 的角为 α ，则 tan α =| k − 1| 1 = 3 ⇒ k = −2或k = − （精锐教育） | k + 1| 2所求直线的方程为 2 x + y + 8 = 0 或 x + 2 y + 1 = 0 .9。
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初二数学培优之坐标平面上的直线阅读与思考我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系，我们既可以用函数的方法来处理方程的问题，也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系.数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容： （1）由数定形即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置. （2）由形导数即从给定的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值.一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛的应用价值. 运用一次函数解题时应注意：1. 一次函数的图象是一条直线.2. 函数解析式y kx b =+中的系数符号，确定图象的大致位置及y 随x 变化的性质.(0,0)k b >> (0,0)k b >< (0,0)k b <> (0,0)k b <<3. 确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件.4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系，任意一个一次函数y kx b =+都可以看做是一个关于x ，y 的二元一次方程0kx y b -+=；反过来，任意一个二元一次方程0ax by c ++=，当0b ≠时，可化为形如acy x b b=--的函数形式.例题与求解【例1】（1）如图，已知A 点坐标为(5,0)，直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，75α∠=︒，则b = .（苏州市中考试题）（2）一次函数y ax b =+的图象l 1关于直线y x =-轴对称的图象l 2的函数解析式是 .（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），先求出相应函数解析式；对于（2），l 1与x 轴、y 轴交点的坐标分别为(,0)bA a-，(0,)B b ，求出A ，B 两点分别关于直线y x =-对称点的坐标，这是解题的关键.【例2】已知0abc ≠，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限（全国初中数学竞赛试题）解题思路：求出p 的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.【例3】如图，△AOB 为正三角形，点B 的坐标为(2,0)，过点C (2,0)-作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等，求直线l 的函数解析式.（太原市竞赛试题）解题思路：由ADE DCO S S =△△得AOB CBE S S =△△，设法求出E 点的坐标.【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运会赛场A ，B 两馆，其中运往A 馆18台、运往B 馆14台. 运往A ，B 两馆的运费如下表：（1）设甲地运往的设备有x 台，请填写下表，并求出总运费y （元）与x （台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？（深圳市中考试题）解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解，为此需求出自变量的取值范围.当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起. 求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点. 当一次函数自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了.【例5】已知长方形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8,6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC m =，已知点D 在第一象限且是直线26y x =+上的一点，若△APD 是等腰直角三角形.（1）求点D 的坐标；（2）直线26y x =+向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D ，使△APD 是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.（浙江省中考试题）解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：甲乙（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）（扬州市中考试题）解题思路：观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定，图象与器具的对应关系. 对于（3）、（4），根据注水时间与注水速度求解，而解题的关键是挖掘出隐含信息.例6是图象信息题. 函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息，解题的关键是获取数据、数量关系信息，并能整合信息，还原到问题的情境之中.能力训练A 级1. 已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===296n n +=，则关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图象一定经过第 象限.（湖北省黄冈市竞赛试题）2. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，其图象如图所示，旅客最多可免费携带行李 千克.（南京市中考试题）3. 如图，一次函数y kx b =+的图象经过A ，B 两点，则△AOC 的面积为.行李重量行李票费用（第2题） （第3题） （第4题）4. 如图，直线122y x =+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与直线AB 垂直，垂足为B ，则直线BC 所对应的函数解析式为 .5. 某市为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20m 3，则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m 3，则超过的部分每立方米水费2元. 设某户一个月所交水费为y （元），用水量为x （m 3），则y 与x 的函数关系用图象表示为（ ）3)3)3)3)A B C D（荆州市中考试题）6. 下列图象中，不可能是关于x 的一次函数(3)y mx m =--的图象是（ ）（北京市中考试题）7. 如图，点A ，B ，C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）A.1B.3C.3(1)m -D.3(2)2m -（宁波市中考试题）8. 点(4,0)A -，(2,0)B 是坐标平面上两定点，C 是122y x =-+的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（北京市竞赛试题）9. 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势. 试用你学过的函数知识解决下列问题：（1）求入学儿童人数y （人）与年份x （年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.（沈阳市中考试题）10. 已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点在第四象限. （1）求k 的取值范围；（2）若k 为非整数，点A 的坐标为(2,0)，点P 在直线26x y k -=-+上，求使△P AO 为等腰三角形的点P 的坐标.（大连市中考试题）11. 如图，已知直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点(1,0)C ，且把△AOB 分成两部分.（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5，求k 和b 的值.（厦门市中考试题）12. 某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票. 经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图2所示. 某天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3所示. 已知售票的前a 分钟开放了两个售票窗口，求：/ 分分分图1 图2 图3（1）a的值；（2）售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口. 若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？（咸宁市中考试题）13. 2011年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购A种票张数为x，C种票张数为y.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）设购票总费用为w元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数.（陕西省中考试题）B 级1. 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点(3,0)A ，(2,7)B ，P 为线段OC 上一点，若过B ，P 两点的直线为111y k x b =+，过A ，P 两点的直线为222y k x b =+，且BP ⊥AP ，则1212()k k k k += .（绍兴市竞赛试题）2. 设直线(1)1kx k y ++=（k 是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为S 1，S 2，…，S 2000，则122000S S S +++=L . （湖北省选拔赛试题）)（第1题） （第3题） （第4题）3. 如图，直线210y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 沿AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是 . （黄冈市竞赛试题）4. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6)，直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b = . （全国初中数学竞赛试题）5. 在直角坐标系中，有两点(1,1)P -和(3,3)Q ，M 是x 轴上任意点，则PM QM +的长度的最小值是（ ）A. B.4C. D.36. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）kg ()A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg（成都市中考试题）7. 一个一次函数的图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(1,25)--，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个（全国初中数学竞赛试题）8. 设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 的取值，使得下列4幅图中正确的是（ ）A B C D（全国初中数学联赛试题）9. 求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点.（江苏省竞赛试题）10. 已知四条直线3y mx =-，1y =-，3y =和1x =所围成的四边形面积是12，求m 的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）11. 在直角坐标系xOy 中，一次函数2(0)y kx b k =++≠的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，且使得3OAB S OA OB =++△. （1）用b 表示 k ；（2）求△AOB 面积的最小值.（浙江省竞赛试题）12.如图，一次函数y=+x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC =30°.（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点(P m，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求出当△ABP与△ABC的面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）。