浙江省2016年中考数学考点复习冲刺集训4开放型问题
浙江新中考中考数学专题突破强化训练课件：专题十+规律探索与开放型问题(共50张PPT)
相差 5， 第三列与第四列相差 6， 第四列与第五列相差 7；
知识结构
典例精选
能力评估检测
第 7 行的第一列与第二列相差 8，是 30，第二列 与第三列相差 9，是 39，第三列与第四列相差 10，是 49，第四列与第五列相差 11，是 60，第五列与第六列 相差 12，是 72，第六列与第七列相差 13，是 85. 答案： 85
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能力评估检测
(1)当 t＝
s 时，四边形 EBFB′为正方形．
(2)若以点 E，B，F 为顶点的三角形与以点 F，C， G 为顶点的三角形相似，求 t 的值． (3)是否存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合？若存 在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
第 4行
第 5行 第 6行 第 7行 …
7
11 16 22
12
17 23 …
18
24 … …
25
… …
…
⋮
⋮ ⋮
…
…
x
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典例精选
能力评估检测
【思路点拨】先根据第 1 行的第一列与第二列相 差 2，往后分别相差 3,4,5,6,7，第 2 行的第一列与第二 列相差 3，往后分别相差 4,5,6,7,8，第 3 行的第一列与 第二列相差 4，往后分别相差 5,6,7,8,9，由此得出第 7 行 的第一列与第二列分别相 差 8，往后分别相 差 9,10,11,12,13，从而求出答案．
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能力评估检测
规律方法： 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按 照全等三角形的判定方法分别确定缺少的条件.
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能力评估检测
如图①，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心， AB＝10 cm，BC＝12 cm.点 E，F，G 分别从 A，B，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动， 点 E 的运动速度为 1 cm/s， 点 F 的运动速度为 3 cm/s， 点 G 的运动速度为 1.5 cm/s.当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时， 三个点随之停止运动． 在运动过程中， △EBF 关于直线 EF 的对称图形是△EB′F，设点 E， F，G 运动的时间为 t(单位：s)．
浙江省中考数学总复习专题3开放与探索型问题课件
③DE＝CE；④DE∥AB； ⑤CB是⊙O的切线；⑥DE＝12AB； ⑦∠A＝∠CDE＝45°；⑧∠C＝∠CDE＝45°；
⑨CB2＝CD·CA；⑩CCDA＝CCEB＝DABE； ⑪AB2＋BC2＝AC2；⑫CDDA＝CEBE.
答案
考查角度三 存在开放与探索型问题
例3 已知点A(1,2)和B(－2,5)，试求出两个二次函数，使它们的图 象都经过A、B两点.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查了对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着 另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值， 函数值有且只有一个值.
练习2
如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E. (1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？[要求：不再 标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程，写出4个结论即可.]
答案
规律方法
解 解法一： 设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1,2)，B(－2,5)， 则25＝＝a4＋a－b＋2bc＋，c，①② ②－①，得3a－3b＝3，即a＝b＋1. 设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1， 故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1. 又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1， 故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.
分析
答案
答案
规律方法
解法二：因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确
定一条抛物线，可以另外再取一点，
2＝a＋b＋c， 不妨取 C(0,0)，则5＝4a－2b＋c，
c＝0，
∴a4＋ a－b＝ 2b2＝，5，
中考数学一轮复习训练：《开放与探究型问题》 (浙教版)精品
2019
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专题突破五┃ 开放与探究型问题
②当 m＝－3 时，如图 Z5－3（b） ，过点 P 分别作 x 轴、直 线 l 的垂线，垂足为 E，F.是否存在这样的点 P，使以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由.
图 Z 5 －3
2019
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专题突破五┃ 开放与探究型问题
【例题分析】
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专题突破五┃ 开放与探究型问题 【方法提炼】
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专题突破五┃ 开放与探究型问题
解：(1)设该抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c， 由题意得 解得
1 2 ∴抛物线的函数表达式为 y＝－ x ＋x＋4. 2
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专题突破五┃ 开放与探究型问题
（3）如图 Z5－2③，当 E，F 分别在 CD，BC 的延长线上移 动时，连结 AE 和 DF， （1）中的结论还成立吗？请说明理由； （4）如图 Z5－2④，当 E，F 分别在 DC，CB 上移动时，连 结 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之运 动，请你画出点 P 的运动路径的草图，若 AD＝2，试求出线段 CP 的最小值.
2019
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20
专题突破五┃ 开放与探究型问题
(2)①设抛物线对称轴与直线 l 的交点为 D， ∵OC＝4，对称轴为直线 x＝1，即 CP＝1， ∴OP＝ 42＋12＝ 17. ∵m＝0，∴直线 l 与 x 轴的夹角为 45°， ∴∠PDH＝45°，点 D 的坐标为(1，1)， ∴PD＝4－1＝3， 3 2 ∴PH＝PD·sin45°＝ ， 2 ∴OH＝ 3 2 2 5 2 （ 17） －（ ）＝ ， 2 2
浙江省2016年中考数学考点复习冲刺集训5探索型问题
冲刺集训5 探索型问题一、选择题1. 观察下列数对：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，那么第32个数对是( )A. (4，4)B. (4，5)C. (4，6)D. (5，4)2. (2014·湖北武汉)观察如图所示的一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点……按此规律，第5个图中点的个数是( )(第2题)A. 31B. 46C. 51D. 663. 探索图中的规律：(第3题)根据规律，从2013到2015的箭头方向是( )4. 如图所示的图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成的，其中，图①中一共有1个平行四边形，图②中一共有5个平行四边形，图③中一共有11个平行四边形……则图⑥中平行四边形的个数为( )(第4题)A. 55B. 42C. 41D. 295. 在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是10 m，如图．第一棵树左边5 m处有一块路牌，则从此路牌起向右510～550 m 之间树与灯的排列顺序是( )(第5题)(第6题)6. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A(1，1)，B(1，－1)，C(－1，－1)，D(－1，1)，y轴上有一点P(0，2)．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B 的对称点P6……按如此操作下去，则点P2015的坐标为( )A. (0，2)B. (2，0)C. (0，－2)D. (－2，0)二、填空题7. 观察一列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，…，根据你发现的规律，第n个单项式为________．8. 通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形．(第8题)9. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如图所示：(第9题)则第n次的运算结果＝________(用含字母x和n的代数式表示)．(第10题)10. 如图，直线l1⊥x轴于点(1，0)，直线l2⊥x轴于点(2，0)，直线l3⊥x轴于点(3，0)……直线l n⊥x轴于点(n，0)．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n.如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3……四边形A n－1A n B n B n－1的面积记作S n，那么S2016＝________．三、解答题11. (2014·浙江台州)研究几何图形时，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．(1)研究性质：①如图①，在等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论．②如图②，在等角六边形ABCDEF 中，如果有AB ＝DE ，则其余两组正对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗？证明你的结论．③如图③，在等角六边形ABCDEF 中，如果三条正对角线AD ，BE ，CF 交于一点O ，那么三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么数量关系？证明你的结论．(第11题)(2)探索判定：三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°才能保证该六边形—定是等角六边形？12. (2015·浙江衢州)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，S △ABC ＝272，动点P 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，以相同的速度在线段AC 上由点C 向点A 运动，当点Q 运动到点A 时，P ，Q 两点同时停止运动．以PQ 为边作正方形PQEF (点P ，Q ，E ，F按逆时针排序)，以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH .(第12题)(1)求tan A的值．(2)设点P的运动时间为t(s)，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．(3)当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点(点Q除外)落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．参考答案1．B 2．B[第1个图中共有1＋1×3＝4(个)点，第2个图中共有1＋1×3＋2×3＝10(个)点，第3个图中共有1＋1×3＋2×3＋3×3＝19(个)点……第n 个图中共有(1＋1×3＋2×3＋3×3＋…＋3n )个点．所以第5个图中点的个数是1＋1×3＋2×3＋3×3＋4×3＋5×3＝46．] 3．B[以4个数字为一组，观察每组所给的4个数字组成的正方形和它们的位置，发现被4整除的数字在正方形的左上角，被4除余1的数字在正方形的左下角，被4除余2的数字在正方形的右下角，被4除余3的数字在正方形的右上角．2013÷4＝503……1，2015÷4＝503……3，∴2013在4个数字组成的正方形的左下角，2015在4个数字组成的正方形的右上角．故选B ．] 4．C[∵图②中平行四边形有1＋2＋2＝2×3－1＝5(个)，图③中平行四边形有1＋2＋3＋2＋3＝3×4－1＝11(个)，图中平行四边形有n (n ＋1)－1＝(n 2＋n －1)个，∴图⑥中平行四边形的个数为6×7－1＝41．] 5．B[根据题意得：第一盏灯的里程数为15 m ，第二盏灯的里程数为55 m ，第三盏灯的里程数为95 m ，…，第n 盏灯的里程数为15＋40(n －1)＝(40n －25)m ．故当n ＝14时，40n －25＝535(m)处是灯，则515 m ，525 m ，545 m 处均是树，故树与灯的排列顺序应该是树，树，灯，树．] 6．D[由题意，得点P 1(2，0)，P 2(0，－2)，P 3(－2，0)，P 4(0，2)，P 5(2，0)，…，按如此操作下去，每4次变换一循环，∵2015÷4＝503……3，点P 2015的坐标与点P 3的坐标相同，∴点P 2015的坐标为(－2，0)．] 7．(－2)n－1a n8． 9．2nx （2n －1）x ＋110．2015．5[∵函数y ＝x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，∴点A 1(1，1)，A 2(2，2)，A 3(3，3)，…，A n (n ，n )．又∵函数y ＝2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，∴点B 1(1，2)，B 2(2，4)，B 3(3，6)，…，B n (n ，2n )，∴S 1＝12×1×(2－1)，S 2＝12×2×(4－2)－12×1×(2－1)，S 3＝12×3×(6－3)－12×2×(4－2)，…，S n ＝12·n ·(2n －n )－12·(n －1)[2(n －1)－(n －1)]＝12n 2－12(n －1)2＝n －12．当n ＝2016，S 2016＝2016－12＝2015．5．] 11．(1)①结论：三组正对边分别平行(AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF )．证明：连结AD ．∵六边形ABCDEF 是等角六边形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝120°，∴在四边形ABCD 中，∠ADC ＋∠BAD ＝120°．∵∠FAB ＝∠FAD ＋∠BAD ＝120°，∴∠ADC ＝∠FAD ，∴CD ∥AF ．同理，BC ∥EF ，AB ∥DE ． ②相等．证明如下：连结AE ，BD ．由(1)知，AB ∥DE ．又∵AB ＝DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ＝BD ，∠AED ＝∠ABD ．∵∠FED ＝∠ABC ＝120°，∴∠FED －∠AED ＝∠ABC －∠ABD ，即∠FEA ＝∠CBD ．又∵∠F ＝∠C ，AE ＝DB ，∴△AEF ≌△DBC ，∴EF ＝BC ，AF ＝CD ． ③三组正对边分别对应相等．证明如下：∵ED ∥AB ，∴a 2a 1＝OE OB ．由EF ∥BC ，得c 1c 2＝OE OB ．∴a 2a 1＝c 1c 2．同理，由ED ∥AB ，CD ∥AF ，得a 2a 1＝b 1b 2．∴c 1c 2＝b 1b 2．由BC ∥EF ，CD ∥AF ，得c 2c 1＝b 1b 2．∴c 1c 2＝c 2c 1，∴c 12＝c 22．∵c 1＞0，c 2＞0，∴c 1＝c 2．同理，a 1＝a 2，b 1＝b 2．即AB ＝DE ，BC ＝EF ，CD ＝AF ． (2)如解图，连结BF ．(第11题解)∵BC ∥EF ，∴∠CBF ＋∠EFB ＝180°．∵∠A ＋∠ABF ＋∠AFB ＝180°，∴∠A ＋∠ABC ＋∠AFE ＝360°．同理，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝360°．∴∠AFE ＝∠C ．同理，∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E ．①若只有1个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形．反例：当∠A ＝120°，∠ABC ＝150°时，∠D ＝∠A ＝120°，∠E ＝∠ABC ＝150°．∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE ＝∠C ＝12(720°－120°－120°－150°－150°)＝90°．此时该六边形不是等角六边形．②若有2个内角等于120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形．反例：当∠A ＝∠D ＝120°，∠E ＝∠ABC ＝150°时，∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE ＝∠C ＝12(720°－120°－120°－150°－150°)＝90°．此时该六边形不是等角六边形．③若有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．设∠A ＝∠D ＝α，∠ABC ＝∠E ＝β，∠AFE ＝∠C ＝γ，则2α＋2β＋2γ＝720°．∴α＋β＋γ＝360°．∵有3个内角等于120°，∴α，β，γ中至少有两个角为120°．若α，β，γ都等于120°，则六个内角都等于120°；若α，β，γ中有两个为120°，根据α＋β＋γ＝360°可得第三个角也等于120°，则六个内角都等于120°．综上所述，至少需要3个内角为120°才能保证该六边形一定是等角六边形． 12．(1)过点B 作BM ⊥AC 交AC 于点M ．∵AC ＝9，S △ABC ＝272，S △ABC ＝12AC ·BM ，∴272＝12×9·BM ，解得BM ＝3．又∵AB ＝5，∴根据勾股定理，得AM ＝AB 2－BM 2＝52－32＝4．∴tan A ＝BM AM ＝34． (2)存在．过点P 作PN ⊥AC 于点N ，经过时间t ，AP ＝CQ ＝5t ．∵tan A ＝34，∴AN ＝4t ，PN ＝3t ．∴QN ＝AC －AN －CQ ＝9－9t ．根据勾股定理，得PQ 2＝PN 2＋NQ 2＝(3t )2＋(9－9t )2＝90t 2－162t＋81，∴S ＝PQ 2＝90t 2－162t ＋81(0<t <95)．∵a ＝90>0，且－b 2a ＝－－1622×90＝910，在t 的取值范围内，∴S 最小值＝4ac －b 24a ＝4×90×81－16224×90＝8110．∴S 存在最小值，这个最小值是8110． (3)t ＝914或911或1或97．[分四种情况讨论：①如解图①，当点E 在HG 上时，t 1＝914．,(第12题解①)),(第12题解②))②如解图②，当点F 在HG 上时，t 2＝911．③如解图③，当点P 在QH 上(或点E 在QC 上)时，t 3＝1．,(第12题解③)) ,(第12题解④))④如解图④，当点F 在CG 上时，t 4＝97．综上所述，当t ＝914或911或1或97时，正方形PQEF 的某个顶点(点Q 除外)落在正方形QCGH 的边上．]。
浙江中考数学课件PPT 专题二 规律探索与开放型问题
如图，每个正方形由边长为 1 的小正方形组成，正方形 中灰色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为 n(n≥1) 的正方形中，设灰色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数 为 P2，当偶数 n＝ 12 时，P2＝5P1.
【思路点拨】分别对当 n 是奇数和偶数时，灰色小正方形的 个数进行分析，从中找出规律，当 n 是偶数时，用含字母 n 的代 数式表示出 P1 和 P2 的值，最后列方程求解．
232
018
.∵2
018×30°÷360°＝168……60°，∴OA2
018 与
OA2
Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2 017A2 018.若点 A0(－1，0)，
则点 A2 018 的横坐标为
．
【解析】∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，A0(－1，0)，
∴OA1＝
2 .同理可求 3
OA2＝
232…OAn＝
23n.∴OA2
018 长度为
4．(2018·台州书生中学检测)如图是按一定规律排成的三角形 数阵，按图中数阵的排列规律，第 9 行从左至右第 5 个数是( B )
1
23
256 7 2 2 3 10
…
A．2 10 B． 41
C．5 2
D． 51
5．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以
CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边
第二篇 专题突破·强化训练 专题二 规律探索与开放型问题
知识结构
【专题分析】规律探索问题在中考中的常见考点有数字规律 探索问题，图形规律探索问题，性质规律探索问题；开放型问题 在中考中的常考点有条件开放型、结论开放型、方法开放型、存 在开放型等．
九年级数学中考专题系列-开放型专题辅导全国通用
开放性问题数学开放性问题是指那些条件不完备、结论不确定（或不明确）、方法不惟一的数学问题．此类试题是能使学生展开思维去发散、去发现、去创新的数学问题．中考将开放性问题作为命题创新的突破口，是近几年中考数学命题的一大特点，而且考查力度逐年加大．一、数学开放性问题的类型数学开放性问题的具体表现形式多种多样，依据不同的标准有不同的分类．一般有以下几种分类方法． 1、按问题要求的发散倾向来分，有情境开放、条件开放、策略开放、结论开放、综合开放等； 2、按解题目标的操作模式来分，有探索类，讨论、迁移类等；3、按学习过程中价值取向来分，有知识巩固、技能考查、能力检测、信息迁移等． 二、数学开放性问题的特点1、强调过程的探究性，指数学开放性问题给学生提供了广阔的思维空间，能够激发学生创新意识，可使学生积极参与创造性活动，开发学生创造潜能；2、突出情境模拟的新颖性，指数学开放性问题所附设的材料新、条件复杂、结论多样、解决问题的思路和方法新颖而独特；3、展示问题形式的生动性，指数学开放性问题的开放，可能在于条件、结论、解法驰可能在于问题的设问角度、方式的变化；4、注重问题解决的发散性，指解题者在解决问题过程中，一方面需要动用多种思维方法，另一方面需要多角度、多侧面地进行分析研究，以获取解决问题的方法，并从中选择最佳的解题途径．三、数学开放性问题的解题策略 1、执因索果，直接探求【例1】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．（2）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果． （3）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数关系式_____________ （4）如图，将一X 等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称． 【解析】（1）答案不唯一：如2230x x +-= （2）答案不唯一，如2x x 42+＋2＝2（x ＋1）2第（4）题图（3）答案不唯一，如：y ＝－2x（4）平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种即可）【点评】 这几道小的开放性填空题都是由因索果，根据所给的限制条件，可以探究出很多开放的结果．我们在处理此类题时注意的是所写的答案尽量简洁、贴近题意，不提倡过分的标新立异．【例2】在市区内，我市乘坐出租车的价格y （元）与路 程x （km ）的函数关系图象如图1所示． 请你根据图象写出两条信息．【解析】在0到2km 内都是5元；2km 后，每增加加1元． （答案不唯一）【点评】这类识图写信息的开放性问题近年来是命题热点，解决的关键是，认真看准图形中的关键点所对应的横坐标与纵坐标的意义．【例3】某校八年级共有150名男生，从中随机抽取30名男生在“阳光体育活动”启动日进行“引体向上”测试，下表是测试成绩记录（单位：个）：（1）我们已经会列频数分布表、画条形统计图、折线统计图和扇形统计图．为了能让体育老师一目了然知道整个测试情况，请你选择一种．．合适的统计表或统计图整理表示上述数据； （2）观察分析（1）中的统计表或统计图，请你写出两条从中获得的信息： ①______________________________________________________ ②______________________________________________________ 【解析】（1）选择条形统计图图1绘图略．（2）获得的信息如：成绩为五个的有3人，占10%等等．【点评】从统计图表中获取相关的信息也是我们识图的一个重要能力，解决此类问题的技巧是，抓住特征数据进行描述，描述时注意结合题目的问题背景展开．【例4】如图1，线段PB 过圆心O ，交圆O 于A B ，两点，PC 切圆O 于点C ，作AD PC ⊥，垂足为D ，连结AC BC ，．（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC 变为图2中割线PCE 的情形，PCE 与圆O 交于C E ，两点，AE 与BC 交于点M ，AD PE ⊥，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；【解析】（1）图1中相等的角有：ACD ABC BAC CAD ∠=∠∠=∠，．证明：连结OC ，则OC PC ⊥，AD PC ⊥，AD OC ∴∥，CAD OCA ∴∠=∠，又OA OC =，BAC OCA ∠=∠， BAC CAD ∴∠=∠．又AB 为直径，9090ACB BAC B ∠=∴∠+∠=，， 90CAD ACD ACD ABC ∠+∠=∴∠=∠，．（2）ACD ABE ABC AEC BAE BCE BEA BCA CBE CAE ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，，，，（三组即可）【点评】第（1）问寻找所有相等的角这种问题的解决一定要注意分类思想和有序化的处理方法，不少同学图1图2总是漏解或重解，其原因就是没有一种有序的思路，比如从某字母为顶点有序的出发依次寻找．第（2）问探究相等的角时，主要知识运用是圆中角的关系、相似三角形性质及直角三角形锐角关系的应用．2、执果索因，反溯探求【例5】（1）如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是（•只需填上一个立体图形）．（2）（2007年某某市）如图，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于点O AE AD =，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）．【解析】（1）答案不唯一如：长方体、圆柱等；（2）B C ∠=∠，AEB ADC ∠=∠，CEO BDO ∠=∠，AB AC BD CE ==，（任选一个即可） 【点评】 由所给的结果出发，找寻适合的条件，这种逆向思维方式在这种开放性问题中得好较好的考查．当然，准确而快速地得到合适的条件还要靠我们对具体知识或某数学模型的熟练程度．【例6】已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：．【解析】(13)-，，(12)-，，(11)-，，(21)-，，(22)-，，(31)-，六个中任意写出一个即可．【点评】这道题要求我们根据所给的要求，探究符合条件的点P 的坐标，结果开放，在寻找过程 中，我们注意严格按照所限制的要求去寻找，不能顾此失彼，得到一个符合条件的坐标后再代入题中逐个验证，确保不出差错．【例7】X 强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和城区初中生人数作了调查：城区人口约3万，初中生人数约1200．全等人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12万．但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很大偏差．请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因______________．【解析】本题是一道开放性试题，既然推断存在偏差，说明问题是出在估计的可靠性上，进而言之，在样本选取上出现了问题．原因可能如下：样本选取过少；或样本不具代表性、广泛性、随机性等等（只要答对其中一项即可）样本在总体中所占比例太小；或样本不具代表性、广泛性、随机性；（只要答对其中一项均可得分）【点评】近年来对统计内容的考查已经摆脱了单纯的数据运算，而是注重考查统计知识的理解和统计思想OC EA DB图在现实生活中的应用，重要引导学生树立统计意识、形成统计观念，学会分析、学会明理、学会应用． 【例8】如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．【解析】有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =，2(1y x =-．【点评】本题有多种探究思路，如从抛物线向上平移一定会经过点A ，而不会经过点B 可以探究到相应的解析式，再如假设抛物线的顶点平移到A 处，也可得到解析式2(1)2y x =-+等．只有不过分的标新立异，解答本题难度不大．3、关注过程，考查方法【例9】（1）学习和研究《反比例函数的图象与性质》《一次函数的图象与性质》时，用到的数学思想方法有、（填2个即可）．（2）学数学不仅仅是听课和解题，三年初中数学学习期间，教材中给你留下深刻印象的选学内容、数学活动、课题学习有、、（填3个即可）．【解析】（1）填数形结合、分类讨论、类比、从特殊到一般、化归、函数方程思想等中的2个即可； （2）填教材中的选学内容（如阅读与思考、观察与猜想、实验与探究、信息技术应用等）、数学活动、课x图①题学习等的标题，只要意思对即可．【点评】此题针对学习过程中对数学思想方法重视不够、体会和落实不到位等现象，希望考查学生学习函数学习时对所用到的数学思想方法是否清楚，增强从数学思想方法的角度看待问题，当然为了降低难度，答题时设置成了开放题，只要求答出其中2个即可．“学数学不仅仅是听课和解题”引导学生正确处理课内学习与课外学习的关系，重视有用的、学生能接受的、生动活泼的数学知识和学生数学素养提提高．体现了对整个数学学习过程的关注．4、探索结论，自选解答 【例10】给出三个多项式：2221111,31,,222x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．【解析】如选择多项式：22111,3122x x x x +-++， 则：22211(1)(31)4(4)22x x x x x x x x +-+++=+=+．【点评】观察所给的三个多项式，选择两个进行加法运算后再进行因式分解，结论开放，有效的考查了整式的加减及因式分解，能充分还学习主动权给学生，是一道设置新颖的中考试题．【例11】甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个，并展示求解思路）．图13【解析】（1）5020(km /h)2.5V ==甲，6030(km /h)2V ==乙； （2）5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）或6030S t =-乙（02t ≤≤）（答对一个即可）．如，求解甲距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式时，我们考虑到甲的图象是一条线段，是一次函数图象一部分，可以选取上面两点坐标应用二元一次方程组来确定待定系数． 把（2.5,0）（0,50）代入.S kt b =+解得5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）．【点评】 本题也是一道识图问题，在确定一个函数解析式时给了学生以选择权，这在紧X 的考试中，让学生稍稍轻松，是一道值得提倡的命题设计．【例12】如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由． 解： 需添加条件是． 理由是：【解析】需添加的条件是：BD =CD ，或BE =CF ．添加BD =CD 的理由：如图，∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ． 又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BDE =∠CDF ． ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴ DE = DF ． 添加BE =CF 的理由： 如图，∵ AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD ． 又∵ BE =CF ， ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴DE = DF ．【点评】本题考查了等腰三角形底边上哪一点到两腰距离相等，熟悉等腰三角形性质就能很快知道，只要D 为底边中点即可，这是从等腰三角形性质出发的一种思路；也可以从全等三角形的性质入手，如果我们知道BE=CF ，也可以根据直角三角形全等的来获得问题的解决．5、特例引路，探究说明【例13】按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大． （1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p (100－x )，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求； （2）若按关系式y ＝a (x －h )2＋k (a ＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解析】（1）当P=12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502x +． ∴y 随着x 的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）又当x=20时，y=1100502⨯+=100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h=20,y=()220a x k -+,∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大， 令x=20,y=60，得k=60 ①令x=100,y=100，得a ×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+． 【点评】 本题以程序问题为背景，第（1）问以一次函数为引子，拓展到第（2）问中的开放性问题，这种特例引路，探究说明问题，要认真阅读特例，再去探究新问题是否符合题意，类比意识很重要．6、有效探究，细心求证【例14】已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE【解析】（1）证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ．∴∠BAD =∠DAC ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ADC CEA ∠=∠=90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．（2）例如，当AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵AB=AC ，AD ⊥BC 于D ．∴DC=12BC ．又 AD=12BC ，∴DC=AD ．由（1）四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．【点评】 第（1）问已证得矩形的基础上，添加一个适当的条件推证出正方形，没有多大的难度．这样的题型，只要充分分析矩形与正方形之间还差什么有效的条件即可，即添加邻边相等就可以证明了，这样我N(例14)们结合等腰三角形ABC 的性质，只要AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．【例15】如图，把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D CE ''△如图乙．这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ． （1）求OFE '∠的度数； （2）求线段AD '的长．（3）若把三角形D CE ''绕着点C 顺时针再旋转30得D CE ''''△，这时点B 在D CE ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．【解析】（1）315∠=，90E '∠=，12∠=∠，175∴∠=．又45B ∠=，14575120OFE B '∴∠=∠+∠=+=．（2）连结AD '．120OFE '∠=，60D FO '∴∠=，又30CD E ''∠=，490∴∠=．又AC BC =，6AB =，3OA OB ∴==，90ACB ∠=，116322CO AB ∴==⨯=． 又7CD '=， A C B ED（甲） E 'A CB OFD ' （乙）C '24题答图734OD CD OC ''∴=-=-=．在Rt AD O '△中，5AD '==． （3）点B 在D CE ''''△内部．理由如下：设BC （或延长线）交D E ''''于点B '．153045B CE '''∠=+=，在Rt B CE '''△中，2CB '''==，又32CB =<，即CB CB '<， ∴点B 在D CE ''''△内部．【点评】本题中，主要变化经过程是把三角板CDE 绕点C 顺时针旋转．边操作，边设置问题，从而，实施了图形变换与问题探究的有机结合．动手练一练1．用同一种正多边形地板砖密铺地面，为铺满地面而不重叠，那么这种正多边形的地板砖可以是正边形．（只需写出一种即可）1．三（或四，或六）2．小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用 __分钟．2．经分析，安排工序为①、（④②③）、⑤共计12分钟． 3．如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，若不添加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △≌△，则还需增加的一个条件是．4．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在BC AD ，上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个．．适当的条件，使ABE △和CDF △全等，你添加的条件是，并给出你的证明．3．ABC DCB ∠=∠或AC DB =均可． 4．解：①DE DF CG +=证明：连结AD ，则ABC ABD ACD S S S =+△△△，Ｂ即111222AB CG AB DE AC DF =+ 因为AB AC =，所以CG DE DF =+②当点D 在BC 延长线上时，①中的结论不成立，有DE DF CG -=． 理由：连结AD ，则ABD ABC ACD S S S =+△△△，即有，111222AB DE AB CG AC DF =+ 因为AB AC =，所以DE CG DF =+，即DE DF CG -=． 当D 点在CB 的延长线上时，则有DF DE CG -=，说明方法同上．5．如图1，2所示，将一X 长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB 剪下，将AOB △完全展开．（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB △应满足的条件．AG E BDFAG BFDC EＣ图1图2图3ABO5．（1）展开图如图所示，它是菱形．（展开图只要求画出示意图即可．） 证明：由操作过程可知OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．又OA OB ⊥，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．（2）AOB △中，45ABO =∠（或45BAO =∠或OA OB =）．6．将图（1）中的矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ABC △沿着AD 方向平移，得到图（2）中的A BC ''△，除ADC △与C BA ''△全等外，你还可以指出哪几对．．．全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．6．有两对全等三角形，分别为：AA E C CF ''△≌△分 A DF CBE '△≌△解法一：求证：AA E C CF ''△≌△ 证明：由平移的性质可知：AA CC ''=，又A C '∠=∠∵，90AA E C CF ''∠=∠=AA E C CF ''∴△≌△解法二：求证：A DF CBE '△≌△证明：由平移的性质可知：A E CF '∥，A F CE '∥∴四边形A ECF '是平行四边形D CBE FA '图（2）A F CE '=∴，A E CF '= AB CD '=∵DF BE =∴又90B D ∠=∠=∵A DF CBE '∴△≌△7．如图，ABC △中，90ACB =∠，AC BC =，CO 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC CB ，的延长线于点G H ，．（1）试写出图中除AC BC OA OB OC ===，外其他所有相等的线段； （2）请任选一组你写出的相等线段给予证明． 我选择证明=．7．（1）CG BH AG CH OG OH ===，， （2）90ACB AC BC AO BO ===∠，，，45CO OB CO AB ABC ∴=⊥=，，∠． 9090COG GOB BOH GOB +=+=∠∠，∠∠，COG BOH ∴=∠∠．又4518045135ABC OCB OBH ==∴=-=∠∠，∠，9045135GCO =+=∠， GCO OBH ∴=∠∠． （利用等角的补角相等证GCO OBH =∠∠亦可） GCO HBO ∴△≌△ CG BH ∴=．8．为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯的现象时有发生的实际情况，八年级某班开展一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，它们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志. 数据汇总如下：BC OHG部分时段车流量情况调查表回答下列问题：⑴请你写出2条交通法规：①. ②.⑵画出2枚交通标志并说明标志的含义.标志含义: 标志含义:⑶早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是，这三个时段的车流总量的中位数是. ⑷观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一个现象并分析其产生的原因. ⑸通过分析写一条合理化建议.8．（1）如：红灯停、红灯行；过马路要走人行横道线；不可酒后驾车等． （2）标志及标志含义只要解释合理即可． （3）74；2747．（4）现象：如果行人违章率最高，汽车违章率最低；产生原因是汽车驾驶员是专门培训过的，行人存在图方便的心理等． （5）建议：如：广泛宣传交通法规；增加值勤警力等．（只要建议合理均可）9．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．图略．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FEFD =． （2）答：（1）中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ．因为12∠=∠，AF 为公共边， 可证AEF AGF △≌△．所以AFE AFG ∠=∠，FE FG =．由60B ∠=，ADCE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=．所以60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=． 所以60CFG ∠=．由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△． 所以FG FD =． 所以FE FD =． 证法二：如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ．ONPM图3图1 图2图4因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线， 所以可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． 所以601GEF ∠=+∠，FG FH =． 又因为1HDF B ∠=∠+∠， 所以GEF HDF ∠=∠． 因此可证EGF DHF △≌△． 所以FE FD =．10．如图（8－1），四边形ABCD 是O 的内接四边形，点C 是BD 的中点，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．（1）求证：AB DE CD BC =． （2）如果四边形ABCD 仍是O 的内接四边形，点C 在劣弧BD 上运动，点E 在AD 的延长线上运动，切线CE 变为割线EFC ，请问要使（1）的结论成立还需要具备什么条件？请你在图（8－2）上画出示意图，标明有关字母，不要求进行证明．10．证明：（1）连结AC ．C 是BD 的中点BC DC BAC DAC ∴==，∠∠CE 切O 于点C ，点C 在O 上 DCE DAC BAC ∴==∠∠∠图8－1图8－2四边形ABCD 是O 的内接四边形，EDC B ∴=∠∠ EDC CBA ∴△∽△AB BCCD DE∴=AB DE CD BC ∴=（2）条件为：DF BC =（或DF BC =或DAF BAC =∠∠ 或DCF BAC =∠∠或FC BD ∥等） 如右图，（图中虚线为可能画的线）11．如图（a ），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O ． （1）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转90角，在图14（b ）中作出旋转后的OAB △（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．（2）在图14（a ）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是，直线AC ，BD 相交成度角． （3）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图14（c ），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若OAB △绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．11．（1）如图（a ）（请注意一些问题，AB ，字母位置不能互换，加弧线，连结AB ） （2）AC BD =；90(90)图（a ）图（b ）图（c ）（3）成立．如图（90COD AOB ∠=∠=∵COA AOD AOD DOB ∠+∠=∠+∠∴即：COA DOB ∠=∠（或由旋转得COA DOB ∠=∠）CO OD =∵OA OB =COA DOB ∴△≌△ AC BD =∴延长CA 交OD 于E ，交BD 于F （下面的证法较多）COA DOB ∵△≌△，ACO ODB ∠=∠∴CEO DEF ∠=∠∵90COE EFD ∠=∠=∴AC BD ∴⊥旋转更大角时，结论仍然成立．图（a ）图（b ）。
2016年中考数学专题复习和训练 七：数学探索与开放问题
赵中2016中考数学专题复习和训练 七 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2016年中考数学专题复习和训练七:数学探索与开放问题班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平专题透析：数学探索与开放问题是近年来新课标背景下中考中数学的常考题型，多在压轴题中出现，考查题型虽以解答题为主，但也有部分设计为选择题、填空题，多是几何与函数结合、规律探索来、命题的条件和结论开放的形式来考查.探索性的解答题除与函数结合外，还通常以几何图形（三角形、四边形、圆等）为背景考查探索位置关系和数量关系等；开放性的问题分为条件开放和结论开放两种情况，这类题能较好的考查同学们的数学个性品质和创造性思维的能力.典例精析：例1. 在数学课上，李老师出示了一道题目：如图①，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交DC 于M ,交AB 的延长线于N .当CP 6=时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC AB 、于F G 、，如图②，则可得：DF DEFC EP =.因为DE EP =,所以DF PC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 和EN 的比值.⑴.请按照小明的思路写出求解的过程；⑵.小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 分析：⑴.本问主要仿照阅读材料所点拨的思路，通过转移比例即可使问题得以解决；⑵.本问是一个探索结论的题，通过观察、猜测、验证、推理可以得出DP MN 、分别所在的△DPC ≌△MNH ，所以问题即可解决.略解：⑴.如图②，过点E 作直线平行于BC 交DC AB 、分别于点F G 、，则:DF DE EM EF,,GF BC 12FC EP EN EG====; ∵DE EP = ∴DF FC = ∴11EF CP 63EG GF EF 1231522==⨯==+=+=，∴EM EF 31EN EG 155===⑵.正确.证明：如图③，作M H ∥BC 交AB 于点H ,则MH CB CD,MHN 90==∠= .∵DCP 1809090∠=-= ∴DCP MHN ∠=∠∵MNH CMN DME 90CDP ∠=∠=∠=-∠ ,DPC 90CDP ∠=-∠∴DPC MNH ∠=∠ ∴△DPC ≌△MNH ∴DP MN = 点评：本例的⑴问主要运用数学的转化思想，通过比例之间的转移从而使问题得以解决；本例的⑵问可以视作是一个存在性的探索题，在思想时可以先假设其存在的情况下思考证明线段相等的路子有哪些，然后破题切入.例2. 如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为()+2x 17cm ，正六边形的边长为()+2x 2x cm.分析：本题抓住“等长的铁丝”实际上就是两个正多 边形的周长相等，由此利用方程思想可以求出x 的值， 从而使问题可以获得解决.略解：由已知可得，正五边形的周长为()+25x 17cm ，正六边形的周长为()+26x 2x cm . 因为正五边形和正六边形的周长相等，所以()()+225x 176x 2x =+整理得2x 12x 850+-=， 配方()+2x 6121=，解得：12x5,x 17==-（舍去） 故正五边形的周长为()()+25517210cm ⨯=又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm . 答：两段铁丝的总长为420cm师生互动练习：1.如图所示，把同样大小的黑色棋子放在正 多边形的边上，按照这样的规律围下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色 棋子的个数是 .2. 列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其 中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子。
中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
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冲刺集训4 开放型问题
考点精讲本P109
一、填空题
1. 写出和为6的两个无理数：____________(只需写出一对)．
2. 请写出一个二元一次方程组：____________________，使它的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 3. 写出一个不可能事件：___________________________________________________.
4. 现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数(每个数用且只能用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.请你写出一个符合条件的算式：________________________．
5. 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个表达式：________________________．
6. (2015·江苏盐城)如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD ＝AB .在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC .只需要再添加的一个条件可以是________________________．
,(第6题)) ,(第7题))
7. (2014·湖南邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：________________． 8. (2014·四川内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ∥BC .请添加一个条件：________________，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线)．
,(第8题)) ,(第9题))
9. 如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是AB ︵上一点，E 是BC 延长线上一点，AE 交⊙O 于点F ，为使
△ADB ∽△ACE ，应补充的一个条件是________________________．
10. 李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个特征．甲：它的
图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x的增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数表达式：________________________________________________________________________.
11. 如图，菱形ABCD(图①)与菱形EFGH(图②)的形状、大小完全相同．请选择正确选项的序号填写：①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F.
(第11题)
如果图甲经过一次平移后得到图乙，那么点A，B，C，D对应的点分别是________；如果图甲经过一次轴对称后得到图乙，那么点A，B，C，D对应的点分别是________；如果图甲经过顺时针旋转180°后得到图乙，那么点A，B，C，D对应的点分别是________．
二、解答题
12. 看图说故事．
(第12题)
请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足如图所示的函数图象，要求：①指出x和y的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需涉及“速度”这个量．
13. (2015·浙江宁波)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形．
(第13题)
(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．
14. 如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.
(第14题)
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，并证明．
(2)连结BF，CE，在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE，且∠1＝∠B＝∠C.
(第15题)
(1)由题设条件，请写出三个正确结论(要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明)：
结论一：__________________________________________________________________.
结论二：__________________________________________________________________.
结论三：__________________________________________________________________.
(2)若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时(点D不与点B，C重合)，
①求CE的最大值．
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
[注意：在第(2)题的求解过程中，若有运用(1)中得出的结论，须加以证明．]
参考答案
1．3－3，3＋3(答案不唯一) 2．⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一) 3．2月有31号(答案不唯一) 4．3×(－6＋4＋10)＝24或4－(－6)÷3×10＝24等(答案不唯一) 5．y ＝－2x ＋3(答案不唯一，只要满足k <0，b >0即可) 6．DC ＝BC (答案不唯一)
7．△ABP ∽△AED (答案不唯一) 8．AD ＝BC (答案不唯一)
9．BD ︵＝CF ︵(答案不唯一) 10．y ＝2x ＋1或y ＝2x 2(答案不唯一) 11．① ② ④ 12．本题答案不唯一，举例如下：该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y (km)与他所用的时间x (min)的关系，小明以0．4 km/min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以0．5 km/min 的速度匀速骑回出发地．
13．(1)如解图．
(第13题解)
(2) m ＝1，n ＝12
． 14．(1)答案不唯一，如EH ＝FH ，∠BEH ＝∠CFH ，∠EBH ＝∠FCH ，BE ∥CF 等，证明略． (2)当BH ＝EH 时，四边形BFCE 是矩形，理由略． 15．(1)AB ＝AC ；∠AED ＝∠ADC ；△ADE ∽△ACD ． (2)①∵∠B ＝∠C ，∠B ＝45°，∴∠C ＝45°，∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝90°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴AC ＝
22BC ＝22×2＝2．∵∠1＝∠C ，∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，∴AD ∶AC ＝AE ∶AD ，即AD 2＝AE ·AC ，∴AE ＝AD 2AC ＝AD 22＝22
·AD 2．当AD 最小时，AE 最小，此时AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AD ＝12BC ＝1，∴AE 的最小值为22×12＝22，∴CE 的最大值为2－22
＝22
． ②当AD ＝AE 时，∠1＝∠AED ＝45°，∴∠DAE ＝90°，∴点D 与点B 重合，不合题意，舍去；当EA ＝ED 时，如解图①．∵∠EAD ＝∠1＝45°＝12
∠BAC ，∴AD 平分∠BAC ，∴AD 垂直平分BC ，∴BD ＝1．
(第15题解)
当AD＝DE时，如解图②．∵△ADE∽△ACD，∴AD∶AC＝DE∶CD，∴CD＝AC＝2．∴BD＝BC－CD＝2
－2．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2－2．。