泛函分析知识总结
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间与赋范线性空间;二、有界线性算子与连续线性泛函;三、内积空间与希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间与赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中就是最基本的概念,它就是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推广,所以学好它有助于后面知识的学习与理解。
1.度量定义:设X 就是一个集合,若对于X 中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)就是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
(这个定义就是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为就是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 与度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 与2d ,则我们认为(X, 1d )与(X, 2d )就是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定就是数集,也不一定就是代数结构。
为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d,而称“度量空间X ” 。
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识点总结
泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。
解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。
⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。
注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。
这个经常被⽤来证明。
例如，开映射定理、闭图像定理等。
2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。
导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。
所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。
3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。
4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。
不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。
5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。
e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。
然后再除以对应范数，进⾏单位化。
6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。
（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。
7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。
泛函分析报告知识的总结
泛函分析报告知识的总结泛函分析是数学中的一个重要分支领域，它研究的是无穷维空间上的函数及其性质。
泛函分析的应用广泛，包括函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等等。
下面是我对泛函分析的一些知识进行总结。
首先，泛函分析的基础是线性代数和实分析。
线性代数研究的是向量空间及其线性关系，实分析则研究的是实数空间上的函数性质，例如收敛性、极限、连续性等等。
这两个基础学科为泛函分析的理论及应用打下了坚实的基础。
其次，泛函分析的核心是函数空间的研究。
函数空间是指一组函数的集合，其中的函数可以是有界函数、可积函数、连续函数等等。
泛函分析研究的是函数空间上的线性算子及其性质，例如范数、内积、完备性等等。
常见的函数空间有Lp空间、C(X)空间、Sobolev空间等等。
然后，泛函分析的重要工具是算子理论。
算子理论研究的是线性算子的性质和作用。
在泛函分析中，线性算子可以将一个函数映射到另一个函数，例如导数、积分等。
算子理论主要研究线性算子的性质，例如有界算子、紧算子、自伴算子等等。
算子理论在解析、几何等问题中有着广泛的应用。
此外，泛函分析也研究了拓扑结构及度量空间的性质。
拓扑结构是用来描述集合上点的邻域关系的概念，是泛函分析中重要的概念。
度量空间是带有度量函数的拓扑空间，度量函数可以度量空间中两个点之间的距离。
拓扑结构和度量空间的研究为泛函分析提供了一种统一的框架。
最后，泛函分析的应用广泛，特别是在数学的其他分支领域中。
在偏微分方程中，泛函分析可以用来研究问题的存在性、唯一性和稳定性；在概率论中，泛函分析可以用来研究随机过程的性质和收敛性；在图像处理中，泛函分析可以用来研究图像的压缩和恢复等等。
总之，泛函分析在数学及其应用领域中具有重要的地位和作用。
总结起来，泛函分析研究的是无穷维空间上的函数及其性质，它的基础是线性代数和实分析。
泛函分析的核心是函数空间的研究，它的重要工具是算子理论及拓扑结构和度量空间的性质。
泛函分析的应用非常广泛，涉及到数学的各个分支领域。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间nR（有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d()≥0 ，d()=0 ⇔x=y（非负性）2°d()= d() （对称性）3°对∀z ，都有d()≤d()() （三点不等式）则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为()度量空间或距离空间()。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
1.1举例1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令()1x y d x y =0x=y ≠⎧⎨⎩，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。
1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ςηςη∞=-+-∑；1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点，定义d()＝A t ∈sup )()(t y t x -1.14 可测函数空间M(X)：M(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体。
d(f,g)=dt t g t f t g t f x ⎰-+-)()(1)()(1.15 C[]空间（重要的度量空间）：C[]表示闭区间[]上实值（或复值）连续函数全体，对C[]中任意两点，定义d()＝)()(max t y t x bt a -≤≤ 1.16 l 2：无限维空间（重要的度量空间）★ 例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。
2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1 0x 的ε—领域：设（X ，d ）为度量空间，d 是距离，定义{}00(,)U x x X εε==∈∣d(x,x ）＜为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε—领域。
注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。
2.2度量空间的收敛点列：设(X ，d)是一个度量空间，{}n x 是（X ，d ）中点列,如果存在x X ∈，{}n x 收敛于x ，使lim n n x x →∞=，即(,)0()n dx x n →→∞，称点列{}n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 叫做点列{}n x 的极限，且收敛点列的极限是唯一的。
注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
2.3有界集：设M 是度量空间（X ，d ）中的点集，定义,()(,)sup x y MM d x y δ∈=为点集M 的直径。
若()M δ∞＜，则称M 为（X ，d ）中的有界集。
（类似于n R ，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集）2.4闭集：A 是闭集⇔A 中任意收敛点列的极限都在A 中，即若n x A ∈，1,2，....n x x →,则x A ∈。
（要会证明）2.5举例2.5.1 n 维欧氏空间n R 中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量收敛。
2.5.2 C[]空间中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量一致收敛。
2.5.3 序列空间S 中，点列依坐标收敛。
2.5.4 可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f ，即 (,)0n n d f f f f →⇔⇒。
2.6稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。
2.6.1定义：设 X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，如果E⊂M，则称集M在集E中稠密，当时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。
注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。
这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。
2.6.2举例①n维欧式空间n R是可分空间：坐标为有理数的全体是n R的可数稠密子集。
②离散度量空间X可分⇔X是可数集。
（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）③l∞是不可分空间。
数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。
3. 连续映射3.1定义：设（X，d）（Y，~d）是两个度量空间，T是X到Y中的映射xєX，如果对∀ε>0，∃δ>0 ，使对X中一切满足d （x ，0x ）<δ的x ，有~0(,x )d Tx T ε＜，则称T 在0x 连续。
（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R =时，映射就是度量空间上的函数。
） 注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。
下面用邻域描述：对T 0x 的ε-邻域U ，存在0x 的某个δ—邻域V ，使⊂，其中表示V 在映射T 作用下的像。
3.2 定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，~d ）中映射，T 在0x X ∈连续⇔当0n x x →()n →∞时，必有0()n Tx Tx n →→∞。
在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。
3.3 原像的定义：映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射，称集合{x ∣x ∈X ，⊂M ⊂Y}为集合M 在映射T 下的原像，简记为1T M -。
★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。
3.4定理2：度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射⇔Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集（除此之外，利用1T -（M 的补集）=（1T M -）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。
）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。
在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。
现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。
4. 柯西（Cauchy）点列和完备的度量空间。
4.1柯西点列的定义：设（X，d）是度量空间，{x}是X中的点n列，对∀ε>0，∃正整数（ε），使当ｎ，ｍ>N时，必有ｄ（x，m x）<ε，则称{n x}n是X中的柯西（）点列或基本点列。
【会判断：柯西点列是有界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是列，这由实数的完备性所致。
在度量空间中，这一结果未必成立。
但在度量空间中的确存在完备的度量空间。
4.2完备的度量空间的定义：如果度量空间（X，d）中每一个柯西点列都在（X，d）中收敛，那么称（X，d）是完备的度量空间．★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。
4.3举例（记住结论）4.3.1有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间n R是完备的度量空间。
4.3.2在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列：C、C[]、l∞也是完备的度量空间。
4.4定理完备度量空间X的子空间M，是完备空间⇔M是X中的闭子空间。
P［ａ，ｂ］（表示闭区间［ａ，ｂ］上实系数多项式全体，作为C［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间．5. 度量空间的完备化。
5.1等距映射：设（X，d），~~,X d（）是两个度量空间，T是从X到~∈,~d()(),则称T是等距映X上的映射，即对∀X射。
5.2定义：设（X，d），~~,X d（）是两个度量空间，如果存在一个从X到~X上的等距映射T，则称（X，d）和~~,X d（）等距同构，此时T称为X到~X上的等距同构映射。
（像的距离等于原像的距离）注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。
5.2定理1（度量空间的完备化定理）：设（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间~~~（），使X与~X的某=,X X d个稠密子空间W等距同构，并且~X在等距同构下是唯一的,即若（ˆX，ˆd）也是一个完备的度量空间，且X与ˆX的某个稠密子空间等距同构，则~~,X d（）与（ˆX，ˆd）等距同构。
(不需要掌握证明但是要记住结论)5.2.1定理1的改述：设X=X（，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间~~~=,（），使X为~X的X X d稠密子空间。
6. 压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。
6.1压缩映射定义：X是度量空间，T是X到X的映射，如果存在一个数α，0,1α∈（），使对∀ x，y X∈，d（，）≦αd（x，y）则称T为压缩映射。
6.2（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且仅有一个不动点（即方程，有且只有一个解）。
（x是T的不动点⇔x是方程的解）这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。
6.3压缩映射原理的应用：在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程(,)dy f x y dx =（1）为例来说明这一点。
求微分方程（1）满足初始条件00()y x y =的解与求积分方程00()(,())xx y x y f x y t dt=+⎰（2）等价。
我们做映射00()(,())xx Ty x y f x y t dt =+⎰则方程（2）的解就转化为求y ，使之满足Ty y =。