泛函分析课程总结

泛函分析课程总结
数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯
一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足
()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭
、的充要条件是、、对任意都成立。

则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。

2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d
设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令
()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫
=⎨⎬=⎩⎭
当当
②序列空间S
令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点
()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令
()11,21i i
i
i i i
d x y ξηξη∞
=-=+-∑
③有界函数空间B （A ）
设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义
(),()()sup t A
d x y x t y t ∈=-
④可测函数空间m(X)
设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令
()()(),1()()
X
f t
g t d f g dt f t g t -=+-⎰
⑤[],C a b 空间
令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对[],C a b 中任意两点,x y ，定义
(),max ()()a t b
d x y x t y t ≤≤=-
⑥2l 空间 记{}12k k k x x
x l ⎧
⎫⎪⎪⎨⎬⎪
⎪⎩⎭
∞
===<∞∑
，设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，2
y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
∈=，定义 ()12
21,()k k k d x y y x ∞
=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑
注：度量空间中距离的定义是关键。

3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3.1收敛点列和极限
定义： 设{}n x 是(),X d 中的点列，如果存在x X ∈,使
(),0lim n
d x x n =→∞
，则称点列{}n x 是(),X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。

注：1.度量空间(),X d 中的收敛点列的极限是唯一的。

2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。

依测度收敛等）
3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间
定义：设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个自己，令M -
表示M 的闭包，如果E M -
⊂,那么称M 在集E 中稠密，当E = X 时称M 是X 的一个稠密子集。

如果X 由一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

注：1.若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密。

2. 欧氏空间R n 、空间C[a,b]、空间p p l b a L ],,[是可分的。

3. ∞l 不可分。

4.完备度量空间 4.1 柯西点列
定义：设(),X X d =是度量空间，{}n x 是X 中的点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有
(),n m d x x ε<
则称{}n x 是X 中的柯西点列。

那么称(),X d 是完备的度量空间。

4.2 完备度量空间的例子 ① l ∞是完备度量空间 ② C 是完备度量空间 ③[],a b C 是完备度量空间
4.3定理的证明
定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的
闭子空间。

证明：设M 是完备子空间，对每个x M -
∈，存在M 中点列{}n x ，使
()x x n n
→→∞，由前述，{}n x 是M 中的柯西点列，所以在M 中收敛，有极限的唯一性可知x M ∈，即M M -⊂,，所以M M -
=，因此M 是X 中的闭子空间。

5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射
定义：设(),X d ，~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭是两个度量空间，
如果存在X 到~
X 上的保距映射T ，即()()~
,,d Tx Ty d x y =，则称(),X d 和~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
等距同构，T 称为X 到~
X 上的等距
同构映射。

5.2 度量空间的完备化定理
定理：设(,)X X d =是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构。

并且~
X 在等距同构的意义下时唯一的，即^
^
(,)X d 也是一完备度量空间，且X 与^
X 的某个稠密子空间等距同构，则
~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
与^^
(,)X d 等距同构。

注：任一度量空间(),X d 都存在唯一的完备度量空间~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使X 为~
X 的稠密
子空间。

6.压缩映射。