(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
泛函分析总复习
泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。
因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间与赋范线性空间;二、有界线性算子与连续线性泛函;三、内积空间与希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间与赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中就是最基本的概念,它就是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推广,所以学好它有助于后面知识的学习与理解。
1.度量定义:设X 就是一个集合,若对于X 中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)就是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
(这个定义就是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为就是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 与度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 与2d ,则我们认为(X, 1d )与(X, 2d )就是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定就是数集,也不一定就是代数结构。
为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d,而称“度量空间X ” 。
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
泛函分析期末复习提要.doc
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间（一）教学内容1.距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2.距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3.完备距离空间：Cauc/巧列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5.拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射, 同胚、分离公理。
6.紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7.距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela定理。
重点掌握距离空间的基本概念、距离空间中的点集、完备距离空间、压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点完备距离空间、压缩映射原理。
（-）教学基本要求1・理解距离空间、距离空间中的点集等基木概念。
2•了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基木概念及其运算性质。
二、赋范线性空间（一）教学内容1.赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2.空间L p（p>\）：Holder不等式与Minkowski不等式、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o3•赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4.有穷维赋范空间。
重点赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski不等式、空间（£）（/?> 1） >空间匕（E）、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点Holder不等式与Minkowski不等式、赋范空间的完备化、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o(-)教学基本要求1•理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
(完整)泛函分析知识总结,推荐文档
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识点
泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间例6 l 2第二节 度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义 设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s 、t 、 ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义 设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。
第三节 连续映射1、定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节 柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义 设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。
泛函分析知识点
泛函分析知识点泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s 、t 、()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ?∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。
第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ?? 中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。
应用泛函分析复习小结
.第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些根底知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。
第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数. 1.第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1〕A∪A A,A∩A A;2〕A∪ ΦA,A∩ ΦΦ；3〕假设A⊂B，则A∪B B,A∩B A,A\BΦ；4) 设*为根本集，则A ∪ A C * , A ∩ A CΦ, ( A C)C A, A \B A ∩ B C又假设A⊂B，则A C⊃B C。
集合的运算法则：2交换律 A ∪ B B ∪ A, A ∩ B B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C A∪ (B∪C) A∪B∪C；( A∩B) ∩C A∩ (B∩C) A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C ( A∩C) \ (B∩C) .定理1.1 设*为根本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B) A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义2.1(闭区间套)设{[a n ,b n ]}(n 1,2,L, ) 是一列闭区间，a n b n，如果它满足两个条件：1〕渐缩性，即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[a n,b n]⊃L;2) 区间长度数列{b n− a n }趋于零，即lim(b n−a n)0n→∞4定理2.1 (区间套定理)设{[a n ,b n ]} 为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，则存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n ,b n ](n 1,2,L) ，即ξ∈ ∩[a n ,b n ]，并且n 1lim a n lim b nξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理〔定理 2.2〕，这个定理的名称的含义在第二章中解释。
泛函分析总结
泛函分析知识点小结及应用§1 度量空间的进一步例子设X 是任一非空集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d,与之对应，且满足 1．非负性：()y x d,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);3．三角不等式：对∈∀z y x ,,X ，都有()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,， 则称(X ，d )为度量空间，X 中的元素称为点。
欧氏空间n R 对nR 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n i i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表示闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . p l （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k x x x . 设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=p i p i i y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=. 例1 序列空间S令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k k k k k k y x y x -+-1. 例2 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .例3 可测函数空间()X M设()X M为X 上实值(或复值)的可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令 ()g f d,=()()()()t 1f t g t d Xf yg t -⎰+-.§2 度量空间中的极限设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t. ()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .注 (*)式换一个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d,是x 和y 的连续函数.具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m n m m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为nR 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211n m n m m x x x x x x -++-+- . x x m → ()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .4. 可测函数空间()X M设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-X nn dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒. §3 度量空间中的稠密集 可分空间定义 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间. 例1 n 维欧氏空间nR 是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是nR 的可数稠密子集. 例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可数集. 例3 ∞l 是不可分空间.§4 连续映射 定义 设X =()d X ,，Y =()dY ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射：X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：定理 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映射：()d X ,T →()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .定理2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映射 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.定理2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.§5 柯西点列和完备度量空间定义 1 设X =(X ，d )是度量空间，{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<ε，则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ，d )中每个柯西点列都收敛，则称(X ，d )是完备的度量空间.在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41, ,412.1 在1R 中收敛于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X中的闭子空间.常见例子：(1)C （收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间 (2) []b a C,是完备的度量空间(3) []b a P ,(实系数多项式全体) 是不完备的度量空间§6 度量空间的完备化 定义 1 设(X ,d )，(X ~,d ~)是两个度量空间，若存在X 到X ~上的保距映射T (∀1x ,2x ∈X ，有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x ))，则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构，此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照。
泛函分析部分知识点汇总
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。
x 中的元素称为点。
2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。
（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。
收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。
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《泛函分析》复习与总结(2014年6月26日星期四 10:20---11:50)第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于(,)X ρ,,x y z X∈(i) 【非负性】，并且当且仅当(,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】；x y =(ii) 【对称性】；(,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。
(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、s S 所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果(,||||)X ⋅是数域（或）上的线性空间，对于和X K =¡K =£a K ∈，成立,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】||||0x ≥||||0x =0x =；(ii) 【齐次性】；||||||||||ax a x =⋅(iii) 【三角不等式】。
||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果(,(,))X ⋅⋅是数域（或）上的线性空间，对于和X K =¡K =£a K ∈，成立,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正(,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】；(ii) 【第一变元可加性】；(,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】；(,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。
(,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间、空间。
1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系:{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.⊂⊂2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内积.3) 在距离空间中，，当0k x x ρ−−→⇔0(,)0k x x ρ→；k →∞赋范线性空间中，，当；||||0k x x ⋅−−→⇔0||||0k x x -→k →∞内积空间中， ，当||||0k x x ⋅−−→⇔00(,)0k k x x x x --→.k →∞重点. ！ 要求会验证距离, 范数和内积.二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach 空间；完备的内积性空间称为Hilbert 空间. 重点. 验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。
注. 距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性若, 则称在中稠密. 当时, 也称是的A B ⊇A B A B ⊂A B 稠密子集.关于在中稠密的等价命题:A B 在中稠密, 存在, 使得;A B ⇔y B ∀∈n x A ∈n x y ρ−−→, .⇔0ε∀>(,)x AS x B ε∈⊇U （3）！可分性如果有可数的稠密子集, 则称具有可分性. 类似地可以B A B 定义可分的距离空间, 可分的赋范线性空间, 可分的内积空间等. 不具有可分性的空间称为不可分空间.B 可分空间的典型代表：空间（）、空间（n ¡1,2,3,n =L n£）、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤<∞([,])p L a b ）、空间、空间.1p ≤<∞[,]C a b [,]k C a b 不可分空间的典型代表：空间、空间.l ∞([,])L a b ∞重点. 要求会找出具体的可分空间中可数稠子集. 掌握不可分空间的证明方法.！不可分空间的证明方法: 如果空间中含有一个不可数子集, X A 且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数, 则是X 不可分的. （例如中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全l ∞体；中这样的集合是上的集特征函数全体）([,])L a b ∞[,]a t 三 空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a ．和或有限维赋范线性空间中：Weierstrass 定理（有n ¡n£界集是列紧集）;b. ！中： Arzela-Ascoli 定理（一致有界且等度连续）；[,]C a b （4）内积空间中的正交集， ！正交基.Parseval 恒等式、Bessel 不等式。
（5）有限维赋范线性空间的性质：1. 有界集即列紧集；2. 有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。
四 具体的空间已经学过的具体空间有：◆空间（）;n ¡1,2,3,n =L ◆空间（）;n £1,2,3,n =L ◆空间（）;p l 1p ≤≤∞◆空间（）;([,])p L a b 1p ≤≤∞◆空间;[,]C a b ◆空间。
[,]k C a b注. 1. 要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、点列的收[,]C a b 敛意味着函数列的一致收敛等等)。
2. ！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass 定理和空间中的Arzela-Ascoli 定理）；[,]C a b 3. ！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（的完备性证明不作要求）([,])p L a b 4. 会用Holder 不等式、Minkowski 不等式、Cauchy 不等式、Schwartz 不等式和Bessel 不等式等；5. 具体空间的共轭空间， 仅限于要求掌握：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，p l 1p ≤≤∞证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等([,])p L a b 1p ≤≤∞距同构，证明不作要求）；第二部分 映射 算子 泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。
也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理, 例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。
以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。
一. 泛函分析中的映射在泛函分析中, 映射:T X Y→当是空间时称为算子; 当是空间, 是数域(或,X Y X Y Y K ==¡)时称为泛函;£当是线性空间时, 主要考虑线性算子:X, , ;()T ax by aTx bTy +=+,a b K ∈,x y X ∈泛函分析中的非线性映射:1.*压缩映射: , 其中. (,)(,)Tx Ty x y ραρ≤[0,1)α∈Banach 不动点定理.2.*紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质).二. 有界线性算子（1）是由映射到的有界线性算子全体所组成的赋范(,)L X Y X Y 线性空间（尤其是当是Banach 空间时也是Banach 空间）Y (,)L X Y ；（2）有界线性算子列的收敛：0{}(,)k k T L X Y ∞=⊂算子列的按算子范数收敛： ；(,)||||0L X Y k T T ⋅−−−−→算子列的强收敛： 对于每一个，；x X ∈||||0()()Y k T x T x ⋅−−−→（参见Banach-Steinhaus 定理，P59）（3）重要定理开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、 ！一致有界定理、 ！Banach-Steinhaus 定理；闭图像定理、！范数等价性定理（P63引理1）；注. 重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。
（4）共轭算子 *T 共轭算子的定义（）以及简单性质；[*]():()T f x f Tx =重要实例：*以为核的积分算子的共轭算子、 ！左位移(,)K s t （右位移）算子的共轭算子。
（5）具体的线性算子●！以为核的积分算子；(,)K s t ●！由变上限积分所定义的算子；●微分算子；●！由到的左位移（右位移）算子.p l p l 注. 线性算子的有界性等价于连续性.重点. 要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、 ！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。
三. 有界线性泛函（1）的概念和简单性质 ().*X *(,)X L X K =（2） 的概念和简单性质: 在等距同构（自然投射）的意义**X 下可以视为的子空间（），当在等距同构意义X **X **X X ⊂下与相等时，称为自反空间；X **X （3）的实例：！空间（）的共轭空间（泛函的*X pl 1p ≤≤∞表示形式，等距同构，证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，([,])p L a b 1p ≤≤∞等距同构，证明不作要求）；（3）泛函列的收敛： 设，0{}*k k f X ∞=⊂按算子范数收敛于（称为强收敛）： ；k f 0f *||||0X k f f ⋅−−−→弱收敛于： 对于每一个：k f 0f **F X ∈；0()()k F f F f −−→弱*收敛于： 对于每一个： 。
k f 0f x X ∈0()()k f x f x −−→注. 1. 当是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。
X 2. 对于泛函列的弱收敛，也有相应的Banach-Steinhaus 定理。
（4）点列的收敛：◆在赋范线性空间中，设，X 0{}k k x X ∞=⊂按范数收敛于（称为强收敛）： ；k x 0x ||||0X k x x ⋅−−−→弱收敛于： 对于每一个： ；k x 0x *f X ∈0()()k f x f x −−→弱*收敛于： 对于每一个： 。