《应用泛函分析》前四章重点复习大纲

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第1章预备知识

1.1集合的一般知识

1.1.1概念、集合的运算

上限集、上极限

下限集、下极限

1.1.2映射与逆映射

1.1.3可列集

可列集

集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构

1.2.1建立实数的原则及实数的序关系

阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理

上确界sup E（定义1.5）

下确界inf E

确界原理（定理1.7）

1.2.3实数集的度量结构

数列极限与函数极限

单调有界原理

区间套定理

Bolzano-Weierstrass定理

Heine-Bore定理

Cauchy收敛准则

1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续

函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛

逐点收敛（定义1.11）

一致收敛（定义1.12）

Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质

极限与积分可交换次序

1.4 Lebesgue积分

1.4.1一维点集的测度

开集、闭集

有界开集、闭集的测度m G m F

外测度内测度

可测集（定义1.16）

1.4.2可测函数

简单函数（定义1.18）

零测度集

按测度收敛

1.4.3 Lebesgue积分

有界可测集上的Lebesgue积分

Levi引理

Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）

R可积、L可积

1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理

1.5 空间

Lp空间（定义1.28）

Holder不等式

Minkowski不等式（性质1.16）

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第2章度量空间与赋范线性空间

2.1度量空间的基本概念

2.1.1距离空间

度量函数

度量空间（X，ρ）

2.1.2距离空间中点列的收敛性

点列一致收敛 按度量收敛

2.2度量空间中的开、闭集与连续映射

2.2.1度量空间中的开集、闭集

开球、闭球

内点、外点、边界点、聚点

开集、闭集

2.2.2度量空间上的连续映射

度量空间中的连续映射（定义2.7）

同胚映射

2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性

2.3.1度量空间的可分性

稠密子集（定义2.9）

可分性

2.3.2度量空间的完备性

度量空间中Cauchy列（定义2.11）

完备性

完备子空间

距离空间中的闭球套定理（定理2.9）

闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性

列紧集、紧集（定义2.13）

全有界集

2.4 Banach压缩映射原理

压缩映像

不动点

Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用

隐函数存在性定理（例2.31）

2.5 线性空间

2.5.1线性空间的定义

线性空间（定义2.17）

维数与基、直和

2.5.2线性算子与线性泛函

线性算子

线性泛函（定义2.18）

零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间

2.6.1赋范线性空间的定义及例子

赋范线性空间

Banach空间（定义2.20）

2.6.2赋范线性空间的性质

收敛性——一致收敛

绝对收敛

连续性与有界性

2.6.3有限维赋范线性空间

N维实赋范线性空间

3

Riesz定理（引理2.2）

第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子

算子、线性算子、泛函、线性泛函

线性算子连续←→有界

有解线性算子的范数（定义3.3）

有界线性算子空间L(X, Y)

L(X, Y)的完备性

3.2共鸣定理及其应用

有界线性算子列的一致收敛、强收敛

稀疏集、第一纲

Baire纲定理

算子列的一致有界原理（定理3.8）

算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理

次可加正齐次泛函

Hahn-Banach定理（定理3.12）

Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子

3.4.1共轭空间

共轭空间（注定理3.6 p.93）

嵌入子空间、等距同构（定义3.7）

自反空间（定义3.8）

嵌入算子（定理3.15）

弱收敛点列（定义3.9）

共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）

线性算子列弱收敛

3.4.2共轭算子

共轭算子（定义3.12）

共轭算子的性质

3.5开映射、逆算子及闭图像定理

逆算子的有界性

开映射

Banach开映射定理

Banach逆算子定理

乘积赋范线性空间

闭图像

闭算子

闭图像定理→算子连续

3.6算子谱理论简介

复Banach 空间线性算子的正则点

谱点：特征值、连续谱、剩余谱

正则集——开集

谱——有界闭集

谱半径（定义3.17）

全连续算子（定义3.18）

Riesz-Schauder定理