习题课(二) 平面向量
[集训冲关]
1. 已知两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结
论正确的是
()
A．a∥b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．a＋b＝a－b
解析：选 B 因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法 法则，知以 a，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故 该平行四边形是一个矩形，所以 a⊥b.
(2)已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
结论
几何表示
坐标表示
模 夹角 a⊥b 的条件
|a|＝ a·a cos θ＝|aa|·|bb|
a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
高频考点三 平面向量的数量积
(1)平面向量数量积 ①a，b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则|a||b|·cos θ 叫 作 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos θ.规定 0·a＝0. 当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝0. ②a·b 的几何意义： a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
则当 t 为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线
上．
[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错
误的，对于④，与非零向量 a 共线的单位向量是|aa|或－|aa|， 故④也是错误的．
(2)由向量的加法法则，得
uuuuuuur
BE
＝12(
uuuuuur
BA
＋
uuuuuuur
么 a 和 b 的夹角 θ 的大小为
()
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
(3)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α ＜π.
①若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； ②设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值． [解析] (1)∵―B→C ＝―A→C －―A→B ＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)， |―B→C |＝1， ∴ 12＋t－32＝1，解得 t＝3，∴―B→C ＝(1,0)， ∴―A→B ·―B→C ＝2×1＋3×0＝2.
相交于点
G，
若
uuuuuuur
AB
＝a，
uuuuuuur
AD
＝b，则
uuuuuuur
AG
＝(
)
A. 27a＋17b
B. 72a＋37b
C. 37a＋17b
D. 47a＋27b
解析：选 C
设
uuuuuuur
AG
＝ma＋nb(m，n∈R)，则
uuuuuuur
AG
＝m AB ＋4n AF uuuuuuur
有关系． (2)对向量坐标运算注意 a∥b，a·b 的坐标运算形式易混
淆．
[集训冲关]
1．已知向量 a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则 b 可以为
A．(1,2)
B．(1，－2)
C．(2,1)
D．(2，－1)
()
解析：选 A 设 b＝(x，y)，则 a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为 (a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得 y－2x＝0， 只有 A 满足．
＝0，可得
－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，
所以 c＝235.
②∵
uuuur
AB
＝(－3，－4)，
uuuur
AC
＝(c－3，－4)＝(2，－4)，
∴cos
A＝
uuur uuur uuAuBuruAuuCur | AB || AC |
＝－6＋16＝ 5 20
5 5.
[方法技巧] (1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点
(3)相等向量一定是平行向量． (4)向量 a 的单位向量为|aa|. (5)λa 依然是一个向量，与 a 的方向相同(λ>0)或相反 (λ<0)．
[典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量 a 共线的单位向量是|aa|.
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥b.
②因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以cos sin
α＋cos β＝0， α＋sin β＝1.
由此得，cos α＝cos(π－β)，
由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π.
又 0＜α＜π，故 α＝π－β.
2．已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，
如果 c∥d，那么
()
A．k＝1 且 c 与 d 同向
B．k＝1 且 c 与 d 反向
C．k＝－1 且 c 与 d 同向
D．k＝－1 且 c 与 d 反向 解析：选 D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若 k＝1，则 c＝a
代入 sin α＋sin β＝1 得，sin α＝sin β＝12，
而 α＞β，所以 α＝56π，β＝π6.
[方法技巧] (1)平面向量数量积的计算方法： ①已知向量 a，b 的模及夹角 θ，利用公式 a·b＝|a||b|cos θ 求解． ②已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． (2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利 用数量积的运算律化简，再进行运算． (3)计算|a|时注意|a|＝ a2，易出错．
2.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，
D 是半圆弧的两个三等分点，uAuuuBuuur ＝a，
AC ＝b，则 AD ＝ uuuuuuur
uuuuuuur
()
A．a－12b
B. 12a－b
C．a＋12b
D. 12a＋b
解析：选 D 连接 CD，由点 C，D 是
半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且
习题课二提升关键能力平面向量
高频考点一 平面向量的有关概念及线性运算 (1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确
定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若 a ∥b，b∥c，则 a∥c”是假命题，因为当 b 为零向量时，a 与 c 为任意向量，两者不一定平行．
(2)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线 也可以平行．
BC
＝－23
uuuuuuur
AB
－
uuuuuuur
AD
＝－23a－b.∵C，G，E
三点共线，∴
m－－231＝n－－11，即 3m－2n＝1.
联立m3m＋－4n2n＝＝1，1， 解得mn＝＝1737.，
∴
uuuuuuur
AG
＝37a＋17b.
高频考点二 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x12＋y12. a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)由 a·(a－b)＝0，∴a2－a·b＝0， ∴a·b＝1.
又 cos θ＝|aa|··b|b|＝1×1
＝ 2
22，且
0°≤θ
≤180°，
∴θ＝45°.
[答案] (1)C (2)B (3)解：①证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
CD＝12 AB ＝12a，所以 AD＝ AC ＋CD uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuur
＝b＋12a.
3.
如图，在平行四边形
ABCD
中，
uuuuuuur
AE
＝
1 3
AB ，AF uuuuuuur uuuuuuur
＝14
uuuuuuur
AD
，CE
与
BF
A．2
B．3
()
C．4
D．6
(2)已知点
A(0,1)，B(3,2)，向量
uuuuuuur
AC
＝(－4，－3)，则
向量 ＝ uuuuuuur BC
()
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
(3)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，
C(c,0)．
①若
x1x2＋y1y2＝0
|x1x2 y1y2|≤
x21＋y12x22＋y22
[典例] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知―A→B ＝(2,3)，―A→C ＝(3，
t)，|―B→C |＝1，则―A→B ·―B→C ＝
()
A．－3
B．－2
C．2
D．3
(2)如果向量 a 和 b 满足|a|＝1，|b|＝ 2，且 a⊥(a－b)，那
uuuuuuur
，∵F，G，B
三点共线，
∴m＋4n＝1.连接
AC，则CG ＝ AG － AC ＝ uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
AG
－(
uuuuuuur
AB
＋
uuuuuuur
AD
)＝(m－1)a＋(n－1)b，CuuuuEuuur
＝
uuuuuuur
BE
－
uuuuuuur
＋
uuuuuuur
04-第二节 平面向量的运算-课时3 向量的数量积高中数学必修第二册人教版
2
=
2
，
4
即向量 − 与 + 夹角的余弦值是
1
2
2
.
4
知识点2 向量的垂直关系 4年2考
7.[2024北京房山区期中]已知向量,满足|| = 3，|| = 2，且
( − ) ⊥ ，则向量与的夹角为( B
π
A.
3
π
B.
6
)
2π
C.
3
5π
D.
6
【解析】 设向量与的夹角为 ，由( − ) ⊥ 得，
同的值，所以该集合中有4个元素.
5.（多选）[2024海南海口期中]△是边长为2的等边三角形，已知
=
1
+ ，
2
A.是单位向量
=−
1
，则下列结论中正确的是(
2
B.|| = 3
C.//
BCD
)
D. ⊥
【解析】 因为△是边长为2的等边三角形， = +
D.若圆的半径为2，则在上的投影向量的
模的最大值为6
AB
)
【解析】 如图，取的中点D，连接，则 ⊥ ，
由数量积公式及投影向量可得 ⋅ = |||| = 2，
⋅ = −|||| = −2,A,B正确；因为点C为圆上
任意一点，故当C,A重合时， ⋅ = 0，当 ⊥ 时， ⋅ = 0，故
) = 9 + 2( ⋅ + ⋅ + ⋅ ) = 0，所以 ⋅ + ⋅ + ⋅ =
9
− .
2
2.设向量,满足| + | = 3，| − | = 1，与的夹角为 ，则
||
(北师大版)高中数学-必修四-同步习题-第二章平面向量 2.7.1 点到直线的距离公式
§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式课时过关·能力提升1.已知点(3,m)到直线x的距离等于则等于A或解析:d -故m或答案:D2.若且分别是直线和直线的方向向量则的值可以分别是A.2,1B.1,2C.-1,2D.-2,1解析:直线l1的一个法向量为n1=(a,b-a),直线l2的一个法向量为n2=(a,4b).又分别为直线l1,l2的方向向量,则a+2(b-a)=0,-2a+4b=0,即a=2b,令b=1,则a=2.答案:A3.若点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是()A解析:|OP|min即为原点到直线的距离,故|OP|min-答案:B4.已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=()A.10B.-16C.10或-16D.13解析:在l1上取点则M到l2的距离d解得m=10或-16.答案:C5.过点P(1,-3),且与向量m=(5,2)平行的直线方程为.解析:设M(x,y)是所求直线上任一点,则∥m.因为所以2(x-1)-5(y+3)=0,即2x-5y-17=0.答案:2x-5y-17=06.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.解析:由题意,得点P(4,a)到直线4x-3y-1=0----≤3即|15-3a|≤15 解得0≤a≤10.所以a∈[0,10].答案:[0,10]7.已知直线l1:x+2y+10=0,直线l2:5x+my=0,若l1⊥l2,则实数m=. 解析:分别取直线l1和l2的法向量m=(1,2)和n=(5,m),则m⊥n,所以m·n=0.所以1×5+2m=0,解得m=答案:8.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m=.解析:由已知得直线的一个法向量为n=(m,1),其同向单位向量为n0在直线上任取一点P(0,-3),则依题意有·n0|=·n0|,---解得m或m=-6.答案:或9.已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为.解析:∵直线l的法向量n=(m,2)与向量(1-m,1)垂直,∴(m 2 · 1-m,1)=0,即m(1-m)+2=0,∴m=-1或m=2.答案:-1或210.用向量方法判断下列各组直线的位置关系.(1)l1:5x+4y=0,l2:5x+4y+1=0;(2)l1:3x+2y+1=0,l2:6x+4y+2=0;(3)l1:7x+y-2=0,l2:x-7y+1=0;(4)l1:4x-y+3=0,l2:3x+2y+1=0.分析利用两条直线的法向量间的关系来判断.解(1)分别取l1和l2的一个法向量m=(5,4)和n=(5,4),则m∥n,但点P(0,0)在l1上,不在l2上,故l1∥l2.(2)分别取l1和l2的一个法向量m=(3,2)和n=(6,4),则m∥n,且-在l1上,也在l2上,故l1与l2重合.(3)分别取l1和l2的一个法向量m=(7,1)和n=(1,-7),则m·n=1×7+1× -7)=0,所以m⊥n.故l1⊥l2.(4)分别取l1和l2的一个法向量m=(4,-1)和n=(3,2),则4×2-(-1 ×3≠0 且4×3+(-1 ×2≠0.所以m与n既不平行也不垂直.故l1和l2相交但不垂直.11.求经过点A(2,1),且与直线l:4x-3y+9=0平行的直线方程.解因为向量(4,-3)与直线l的方向向量垂直,所以向量n=(4,-3)与所求的直线的方向向量垂直.设P(x,y)为所求直线上的一动点,则点P在所求直线上,当且仅当n·所以4(x-2)+(-3)(y-1)=0.整理,得4x-3y-5=0.故所求的直线方程为4x-3y-5=0.★12.在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线所在直线的方程.解(方法一)向量从而∠A的平分线所在直线的一个方向向量为--则∠A的平分线所在直线的方程可设为将点A(4,1)的坐标代入,得m=整理得∠A的平分线所在直线的方程为7x+y-29=0.(方法二)设为∠A的平分线所在直线的的一个方向向量,则有··由方法一可得即7λ+μ=0,令λ=-1,得μ=7,则从而∠A的平分线所在直线的方程为---即7x+y-29=0.。
平面向量复习课习题
3.两个向量数量积的重要性质:
①a2=|a|2即|a|= a2 (求线段的长度); uuur uuur
②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作 OA a,OB b,
则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,
cosθ=cos<a,b>= a b
x1x2 y1 y2
uuur uuur r
uur uuur uuur r
C.PB PC 0 D.PA PB PC 0
uuur uuur uuur uur B 【解析】 Q BC BP BP BA,
uuur uuur uuur uuur PC AP, PC AP 0.
uuur uur r 即PC PA 0,故选B.
重要考点回顾
一、向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的
模可以比较大小.
r
r
2.零向量:长度为0的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向
量平行.
3.单位向量:模为1个单位长度的向量.
4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
8.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 ,则|a+b|=
.
3
7 【解析】 因为 | a b |2 (a b)2 | a |2 | b |2 2a b
1 4 21 2 cos 7,故 | a b | 7.
3
9.已知|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为
19.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于 ( )
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的概念 知识点经典练习
名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案]3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6课时跟踪检测 A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC→＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB→|AB→|，AN →＝AC→|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的练习题
9 设 a，是两个不同的向量，已 b
知 AB ＝ 2 a＋ k b， ＝ a＋ 3 b CB k。 8
CD ＝ 2 a－ b，若 A ， B ， D 三点共线，求实数
10 平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别为 DC 、 BC 的中点， 已知 AM ＝ c， ＝ d，用 c， 表示 AB ， 。 AN d AD AB ＝ 2 3
3 如图，已知 AM ＝ AB ， AN ＝ AC ，求证：MN ＝ BC 3 3 1 3 4 △ ABC 中， ＝ AB ， DE ∥ BC , 与边 AC 相交于 E ,△ ABC AD 4
的中线 AM 与 DE 相交于 N ，设 AB ＝ a， ＝ b，用 a， 表示 DN 。 AC b
A
M N
y B
A
o x
28 .如图 AOE 和 BOE 都是边长为 1的等边 三角形，延长 OB 到 C ，使 | BC | t ( t 0 ).
y A
连 AC 交 BE 于 D . （1）用 t 表示 OC 的坐标 ; . （ 2）求 OD 和 EC 所成的角的大小 . .
O
E
x
D
B
C
29 .已知四边形 ABCD ， AB | | AD | ， | | BC | | CD | .试用向量方法证明它的 对角线互相垂直 30 .如图，已知； 两条
3 , 5 , 求 A 1 , B 1 , C 1
2 ,3 , 3 , 7 , 4 , 5
ABCD ， AB ， AD 边长分别为 1， 2 0
24 .已知平行四边形
A 60 ，求 AB CD AC DB AD BC
25 .已知 O 0， ， A 1， ， B 3， ， C 在线段 OB 上，向量 0 2 5 63 105 OA BA AC 与 OB 垂直，求 C 。 ， 34 34
平面向量习题课(教师)
平面向量习题课1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 平行的单位向量为________． 解：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭2．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________． 解：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2. 答案：24．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝________.解：a |a |和b|b |分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p |＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 35．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶2EX ：设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝_____. 解：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S△APD S△ABC＝12×15＝110.答案：1106．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解：分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使得AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S△ABC＝BM BC ＝14.7．若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 答案：358．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________． 解：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5.答案：459．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ＝2GO ，若CD ∥AG ，且AD＝15AB ＋λAC (λ∈R )，则实数λ的值为________．解：法一：因为AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BO ＝AB ＋23(AO －AB )＝13AB ＋23AO ＝13AB ＋13AC ，CD ＝AD －AC ＝15AB ＋(λ－1)AC ，又因为CD ∥AG ，所以λ－1＝15，即λ＝65.法二：不妨设CD ＝m AG ，则有AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋m AG ＝AC ＋m (AO ＋OG )＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ＋13 OB ＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC －13 BO ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12( BA ＋BC ) ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12(BA ＋AC －AB ) ＝m ＋33AC ＋m3AB .又AD ＝15AB ＋λAC ，所以m 3＝15，从而m ＝35，所以λ＝m ＋33＝65. 答案：6510．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________________. 解：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0，又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c )BC ＋(4b －5c )CA ＝0，从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0， 故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶1211．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －1312．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则|MN |的最小值为________． 解：法一：由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，m ＋4n ＝1，所以AN ＝12AB ＋12AC ，AM ＝12AE ＋12AF ＝m 2AB ＋n 2AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB ＋n 2AC ，所以MN ＝AN －AM ＝2n AB ＋1－n 2AC .而AB ·AC ＝1×1×cos 120°＝－12，所以||MN ＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.法二：以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°，得N (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以AF ＝n AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ，AE ＝m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －34，34n ＋14，所以||MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .14．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．15．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解：(1)因为|a|＝cos2(λθ)＋cos2[(10－λ)θ]，|b|＝sin2[(10－λ)θ]＋sin2(λθ)，所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为a⊥b，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ10，k∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sinλπ20－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，所以a∥b.16．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝m AB，AF＝n AC，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN . 设AM ＝λAN (λ∈R )，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )． 因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n .(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m )AB ＋12(1－n )AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m )AB ＋12m AC ，所以|MN |2＝14(1－m )22AB ＋14m 22AC ＋12(1－m )m ·AB ·AC ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，故当m ＝12时，|MN |min ＝34.17．如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)， 当t ＝22时，其最小值为12， 即|OC ＋OD |的最小值为22.(2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤3π2，因为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12所以CE ＝OE －OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α，－12－sin α. DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－22，14＋22.18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎨⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α， 故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α(2cos α＋sin α)2.因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12， 所以(λ＋μ)min ＝12.。
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
平面向量的概念及线性运算习题课答案
例1解：A解决平面向量概念问题的关注点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是与a 同向的单位向量． 例2解：（1）C ； （2）D ；（3）B ．例3解：如图所示，过C 点作AB 的垂线，垂足为D ．依题意可知：AB =“向东走4km ”，BC =“向东偏北60︒走4km ”，则AC AB BC =+．在Rt ACD ∆中，3sin 60423DC BC =︒== 1cos60422BD BC =︒=⨯=， 所以()()()22422343AC km =++．由AB =BC 可知，AC 与AB 的夹角是30︒．所以AC 表示沿东偏北30︒方向走3km ．平面向量的线性运算方法：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．例4解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ， 连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ， BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 因为有共同的点B 。
所以B 、E 、F 三点共线．向量共线定理应用： (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．三、运用知识 强化练习1. 解：如图所示，ED C BA 11111()()22222=+=+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 2. 解：（1）AC ）（2）AB CA +=CA +AB =CB (3) PB AC BA ++=PB BA AC ++=PC(4) AB MB BO OM +++=AB +0=AB (5)AC AB BD CD -+-=BC +BD +DC =2BC(6) AB AD DC --=DB DC CB -=3. 解：（1）()21213232643233⎛⎫---=--=- ⎪⎝⎭a b a b a b a +b a +b（2）()()()523222*********a b b c c a a b b 6c +c a =a b c --++-=------4. 解： 1AB DC,AB DC 2=边与边平行且不等，AD BC =，腰AD 与腰BC 相等。
新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)
第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。