双曲线高考标准化讲义(解析版)

双曲线标准化讲义

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)___的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.

注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；

(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___；

(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___；

(3)当a＞c时，集合P是__空集___.

2．双曲线的标准方程和几何性质

x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

考点一：定义与基本量

1.已知两点1(5,0)

F-，2(5,0)

F，则与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程_________.

解：设动点(,)

M x y满足

126

MF MF

-=

6=

移项后两边平方并整理得：59x -=两边再平方并整理得：2

2

169144x y -=两边同时/144得：至22

1916

x y -=

2.已知动园M 与圆221;(3)9C x y +÷=外切且与圆222,(3)1C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是_________.

解： 设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆1C 外切且与圆2C 内切，

所以123,1MC r MC r =+=-，两式相减得124MC MC -=

又因为点12(3,0),(3,0)C C -，并且1264C C =>，所以点M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线的右支，且有2,3a c ==..

所以2

5b =，所以所求的机迹方程为22

1(2)45

x y x -=…

3.已知双曲线方程为28832x y -=，则（ ）.

A.实轴长为，虚轴长为2

B.实轴长为4

C.实轴长为2，虚轴长为

D.实轴长为4，虚轴长为

解：双曲线方程2

8

832x y -=化为标准方程为22

1324

x y -=，可得2a b ==，所以双曲线

的实轴长为 4.

4.双曲线22

1916x y -=-的焦点坐标为（ ）.

A.(3,0)±

B.(5,0)±

C.(0,5)±

D.(0,

解：双曲线221916x y -=-即为221169

y x -=，焦点在y 轴上，

且4,35a b c ===,，可得焦点为(0,5)±

所以C 选项是正确的.

5．(2019·福州质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2

－y 2

9

＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，

且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( D )

A ．5

B ．3

C ．7

D ．3或7

[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.

6.(2019·哈尔滨质检)已知双曲线x 2

－y 2

24

＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，

若|PF 1|＝4

3

|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( B )

A ．48

B ．24

C ．12

D ．6

[解析] 由双曲线的定义可得

|PF 1|－|PF 2|＝1

3

|PF 2|＝2a ＝2，

解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1

2

|PF 1|×|PF 2|＝24.

7.已知F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最

小值为__9___.

[解析]设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图像，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 8.方程22

121x y k k +=--的图象是双曲线，则k 取值范围是（ ）.

A.1k <

B.2k >

C.1k <或2k >

D.12k << 解： 由题意可得：方程22121

x y k k +=--的图象是双曲线，

所以(2)(1)0k k --<，

解得：1k <或2k >，故选C.

9.如果方程

22

1||12

x y m m -=--表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ ）. A.2m > B.1m <或2m >

C.12m -<<

D.11m -<<或2m >

解：由双曲线的标准方程可知m 符合||1020m m ->⎧⎨->⎩或||10

20m m -<⎧⎨-<⎩

，解得2m >或11m -<<。

故本题正确答案为D 。

10.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ）.