解三角形复习课(一)教学设计
《解直角三角形》 教学设计
《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
（2）能够将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，并能正确选用适当的锐角三角函数关系式解决问题。
2、过程与方法目标（1）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）通过将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想。
3、情感态度与价值观目标（1）通过数学学习，让学生体验数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的科学态度和合作交流的意识。
二、教学重难点1、教学重点（2）将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
2、教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、复习引入（1）提问：直角三角形的三边有什么关系？锐角之间有什么关系？边角之间有什么关系？（2）在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。
已知 a ＝ 3，b ＝ 4，求 c 的长度。
（3）已知∠A ＝ 30°，斜边 c ＝ 6，求∠A 的对边 a 的长度。
通过复习，为学习解直角三角形做好知识铺垫。
2、讲授新课（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。
只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。
（3）解直角三角形的方法①已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及锐角 A、B。
由勾股定理\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（＼tan A ＝＼frac{a}｛b}＼），则\（A ＝＼arctan\frac{a}｛b}＼），＼（B ＝ 90° A\）。
28.2解直角三角形(第1课时)-教学设计
28.2解直角三角形教学设计第1课时一、教学任务分析二、教学流程安排三、教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图 活动一：复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a bA b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．3．通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形。
教师引导学生进行锐角三角形相关知识回顾与复习。
要求学生了解解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。
活动二：探究新知通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形，详见书本P85页. 进行探究1：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？思考与提问：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？例题1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=22详见P86-88页，例2，例3，例4；教师提问，学生互动； (1)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。
九年级数学《解直角三角形-复习课》教案
第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。
问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。
【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。
用数学的意识。
帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。
【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。
活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。
2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。
3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。
2、组织学生交流和点评，得出正确答案。
【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。
《解三角形》(复习课案例)
《解三角形》（复习课案例）发表时间：2011-11-18T15:23:06.347Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年31期作者：郝言阳[导读] 以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。
山东省莱阳第一中学数学组郝言阳一、教学设计1.学情分析：以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。
正如皮亚杰强调的“教师的工作不是‘教给’学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并以种种方式刺激学生的欲望。
这样，学习对学生来说，就是一个‘主动参与’的过程”。
我们初步进行了让学生自己建构总结，学生较平时有了一些主动性，能独立思考总结，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究索取知识，增强了学习数学的兴趣。
2.教材分析：《课标》把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章有联系密切的内容，这使这部分的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。
比如对余弦定理的证明常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
3.课标要求：掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
在处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。
4.设计思路：多媒体展示本章的知识网络及重要知识点，让学生自己加以对比补充。
②展示题目、小组讨论、教师环视：小组讨论时，教师要巡视教室，参与到学生的讨论中，并积极捕捉学生中出现的一些“意见”，尽量快速判断出教学中有利用价值的动态资源，并力求能巧妙地运用在教学活动中。
解三角形思维导图复习课教学设计
一轮复习解三角形教学设计临高中学吴金竹教学目标同步教学知识内容掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题个性化学习问题解决主要利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题教学重点熟练运用正、余弦定理解三角形教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力教学过程教师活动一、知识点复习二、典型例题题型1 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有().A.1个B.2个C.0个D.无法确定在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,且sin C=2sin B,则角A的大小为.题型2 与三角形面积有关的问题【例2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=a cos C.(1)求A 的值;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值; (3)若a=2,求△ABC 周长的取值范围.变式训练2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足2ac sin B=a 2+b 2-c 2.(1)求角C 的大小;(2)若b sin (π-A )=a cos B ,且b=,求△ABC 的面积.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。
（边化角）三、课堂练习：1、满足︒=45A ，c=6，a=2的ABC ∆的个数为m ，则m a 为2、已知a=5，b=35，︒=30A ，解三角形。
(完整版)解直角三角形的复习课教案.doc
解直角三角形的复习课教案（ 1）执教者：上海市园南中学姚春花教学目标： 掌握直角三角形的基本方法，能灵活运用锐角三角比解直角三角形。
并在解题过程中渗透化归方程等数学思想。
通过习题的变式， 让学生感悟图形间的联系，以及知识的本质。
通过一题多解，培养学生的发散思维。
教学重点与难点 ：寻找合适的方法灵活求解直角三角形。
教学过程 ： 一、回顾与思考1、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°， b=2，c= 2 2 ,则∠ B=度； a=2、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，∠ A=3 0°， AB=3，则 AC= ；∠ B=度、在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， sin A= 3， a=3，则 c= ；b=3 54、在 Rt △ABC 中，∠ A=60°∠ B=75°， AB=8，则 AC=归纳：1、解一个直角三角形要具备什么样的条件？生：除直角外，已知三角形的两个元素（其中至少有一个条件与边有关） ，才能解这个直角三角形。
2、解直角三角形运用到哪些定理或定义？（依据） ①勾股定理 ②锐角三角比 ③两锐角互余（以上四题均给出图形，教师根据学生的回答，让学生回顾知识）归纳：解直角三角形首先要根据题目给出图形， 其次关键在于正确选用只含有一个未知数的三角比的式子。
3、你能归纳出解一般三角形的思路吗？ 构造有效的直角三角形二、小试牛刀1、已知在 Rt △ABC 中，∠ ACB=9 0°， CD 是斜边 AB 上的高，AB=10， tan A3，求 AC 的长 C4A BD归纳：常用解法：①寻找 Rt△（根据三角比）②转化角（等角的同名三角比相等）③设元（列方程求解）2、已知，如图，在△ ABC 中，∠ A=3 0°，F 为 AC上一点，且 AF : FC 4 : 1, EF ⊥ AB，E 为垂足，联结 EC，求 tan∠CEB 的值。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
几何背景下的三角形解法教学设计-2025届高三数学一轮专题复习
解三角形复习课——几何背景下的三角形解法一、教学目标：1.能够识别什么样的三角形可解；2.形成解三角形的基本思路；3.突出核心素养，提升思维能力. 二、学情分析：教学对象为高三学生，对正余弦定理有一定的了解，但是对几何背景下的三角形求解思路没有系统的复习，没有形成思路. 三、教学重、难点：教学重点：形成解三角形的基本思路，提升思维能力，核心素养的培养. 教学难点：提升思维能力，核心素养的培养.四、教学过程:教师活动学生活动 设 计 意 图一、复习引入引例：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c . （1）若3,4,13,c b a ===求.A ∠ 解：由余弦定理:2221cos ,22b c a A bc +-==(0,)A π∈,3A π∴=.（2）若2cos ,4,33C b a ===，求sin B .解：方法一:余弦定理：2222cos ,23a b c C ab +-==3c ∴=,5sin 3C =,正弦定理：sin sin b cB C=得:45sin 9B =. 方法二:由余弦定理：2222cos ,23a b c C ab +-==3c ∴=,余弦定理：2221cos 29a cb B ac +-==,45sin 9B ∴=. （3）30,120,23,C A a ∠=∠==求边b . 解：由题知：30B ∠=,正弦定理sin sin b aB A=, 2.b = 学生完成3道练习题，复习回顾所学知识.给学生提供简单的例子，首先起到复习定理的作用，同时让学生在操作过程中感悟问题及问题的解法，让学生思考、归纳具备什么样的边角关系三角形可解.问1：以上三道题中剩下的边角是否可解？ 问2：以上三道题减少一个条件三角形是否可解？ 思考1：已知哪些边、角三角形可解？ 已知：三边、两边一角、两角一边三角形可解.通过以上3道训练题思考、总结.引导学生自我探究、发现问题. 在老师的引导下总结什么样的三角形可解.二、学以致用、能力提升 例1：（2023年高考全国乙卷）在ABC △中，已知120BAC ∠=，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=，求ADC △的面积.DAB C解：（1）由余弦定理:2222cos1207BC AB AC AB AC =+-⋅= 所以7BC =. 由正弦定理：sin sin AC BCB A =,即17sin sin120B =， 所以21sin 14ABC ∠=. （2）因为90BAD ∠=,所以30CAD ∠=. 又因为21sin 14ABC ∠=,所以57cos 14ABC ∠=，3tan 5ABC ∠=. 因为2AB =,所以235AD =,所以11717224ADC S =⨯⨯⨯=△. 学生根据刚刚所总结的“可解三角形”的条件解决一道高考题，学生亲身体验、实践所学方法.在学生归纳出解三角形基本思路基础之上，通过练习进一步强化思路，为形成解三角形的基本思路作铺垫.思考2：解三角形的基本思路：选择三角形⇒判断三角形是否可解⇒构建可解三角形⇒根据三角形几何特征选择定理.学生根据已经做出来的例题，思考、总结解三角形的基本思路. 在学生归纳出“可解三角形”所具备的条件后，通过一道高考题加以实践，重点在于通过这两个问让学生感悟、总结解三角形基本思路.课堂练习：在四边形ABCD 中，,10,1460,135AD CD AD AB BAD BCD ⊥==∠=∠=，,求BC 的长. 思路分析：选择△BCD ,目前只知道BCD ∠, 目前△BCD 不可解，需要 利用余弦定理求出BD 、cos ADB ∠、sin BDC ∠,利用正弦定理：sin sin BC BDBDC BCD=∠∠求出.BC 解析：由余弦定理得：2222cos 156BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=所以239BD =.由余弦定理得：22239cos 226AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅, 由题知90ADC ∠=, 所以39sin cos 26CDB ADB ∠=∠=. 由正弦定理得：sin sin BC BDCDB BCD=∠∠， 即239392262BC =，32BC =.及时演练，感受解题思路与方法.考虑到课堂时间的有限，本题只让学生思考解题思路，巩固所总结的解三角形基本思路.DABC例2（2024年南京二模）在平面四边形ABCD 中，135,90,2,2A B D AB AD ∠=∠=∠===,求四边形ABCD 的面积. 解析：连接ABCD ABD BCD S S S =+△△, 由题知45C ∠=. 由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅∠，10BD =.由正弦定理得：sin sin sin BD AD ABA ABD ADB ==∠∠∠, 解得10sin 10310cos 10ABD ABD ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩,5sin 525cos 5ADB ADB ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩.因为90B D ∠=∠=,所以310sin 1025sin 5CBD CDB ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩.由正弦定理得：sin sin sin DC BC BD CBD CDB C==∠∠∠，解得32,4DC BC ==,所以1sin 62BCD S DC BC C =⋅⋅⋅∠=△，因为1sin 12ABD S AB AD A =⋅⋅⋅∠=△，所以7.ABCD ABD BCD S S S =+=△△ 根据“思路”思考解决问题方案.将四边形面积转化为两个三角形面积之和，在求BCD △的面积时，发现边角不够，暂不可解，需要分析，算出BCD △相应边角，构造出可解三角形，进而求BCD △的面积.提炼升华、提升能力。
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（Ⅱ）若 ，求△ 面积的最大值．
教师提问：
【第一问】
问题1：恒等式化解的关键是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关键是利用正、余弦定理实施边角的转化
引导学生“边化为角”
问题2：恒等式化解的实质？解方程，而解方程就是消元
请大家试着将第一问的过程完整的下来
【第二问】
问题：问题已知一个角及其它的对边，怎么求解面积？
问题：任意一个三角形有没有它的外接圆？
不共线的三个点都能组成一个三角形，不共线的三个点共圆。
解完这个题后，我们回过头来看看，你有什么收获？
教师注意：提升数学方法和思想（1．边角互化
2．结合图形，列出方程）这正是体现了数学中的方程思想。
学生看题
师生共同完成
大概1-2分钟时间读题
教师巡视，个别指导
引导学生借助图形求解
设计意图：数形结合在解题过程中的优越性。
解三角形高三复习课
教学设计【第一课时】孙显才
环节
教师活动
学生活动
备注
课前引入
近几年高考中，解三角形或数列作为中档题出现在高考解答题中，（多媒体展示2015—2019年的解三角形分值）可见，解三角形在高考中占有重要的地位。
请看考纲要求：（多媒体展示）
这部分考题多以利用正、余弦定理进行边角互化，解决三角形中边、角、面积等计算问题，有时也与三角函数性质，平面向量相结合。
课堂练习
（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
学生做题
设计意图：通过例题的讲解，让学生做到举一反三
教师巡视，指导
课堂小结
解三角形的实质？
1.解三角形问题的特点？
2.恒等式化解的关键是？
看考纲要求
设计意图：直观感受解三角形在高考的地位
课前复习
1、正弦定理及其变形
， ，
， ，
（5） （等比定理）
2、余弦定理及其推论
3、常用的三角形面积公式
（1） ；
（2） （两边夹一角）；
（3）
4、三角形中常用结论
在内角 的对边分别为
1.
2.
3.A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
学生自己填写
设计意图：巩固基础知识
自助完成
接下来，我们试着自己独立完成例题，
[例1 ]在 中，若 ，则角 的度数为
找一名学生的试题过程展示
学生做题
学生展示讲解
教师巡视，关注学生，适当指点
设计意图：锻炼学生巧用公式的能力
师生共同完成
小组探究
接下来，我们挑战一下高考题，请看题
[例2]（2013新课标Ⅱ） 在内角 的对边分别为 ，已知 ．
3.恒等式化解的实质？
4..三角形的最值问题的解决方法有哪些？
学生畅所欲言
课后作业
1.（2014全国卷）已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为.
2. 在内角 的对边分别为 ，已知 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，求△ 周长的最大值．
学生课后完成
设计意图：巩固知识点，加强思想方法的训练