九年级数学中考第一轮复习方程和不等式冀教版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式冀教版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

复习三：方程和不等式

1. 整式方程和分式方程．

2. 二元一次方程组．

3. 一元一次不等式（组）．

4. 方程与不等式的应用问题．

二、知识要点：

1. 等式及其性质

表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个等式，所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．

2. 不等式和不等式的基本性质

用不等号连接起来的式子叫做不等式．不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3. 一元一次方程

（1）在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax＋b＝0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．

（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．4. 一元一次不等式（组）的解法

解不等式和解方程的步骤基本一样，相同点是：去分母，移项，合并同类项．不同点是：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，要注意改变不等号的方向；在数轴上表示不等式的解集时，要注意包括的点用实点，不包括的点用虚点．

解不等式组的步骤：（1）分别求出各个不等式的解集；（2）借助数轴确定不等式的公共解集．

5. 二元一次方程组

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．任何一个二元一次方程都有无数个解．

二元一次方程组的常用解法是：代入消元法和加减消元法．

6. 分式方程的解法

解分式方程去分母时，方程两边要同时乘各分母的最简公分母，确定最简公分母时，如果分母能够因式分解的要先分解，这样才能确保公分母为最简；去分母时要注意防止漏乘不含分母的项．

解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根；否则，该解是原方程的解．

7. 一元二次方程

（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，其一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

（2）解法：

①直接开平方法：其理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，

而右边是一个非负数的方程，即形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程．

②配方法：其理论依据是完全平方公式．一般步骤是：（a ）二次项系数化为1，也就是在方程左右两边同除以二次项系数；（b ）移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（c ）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x ＋m ）2＝n 的形式；（d ）开方，若n ≥0，则用直接开平方法求解；若n ＜0，则原方程无解．

③公式法：该方法由配方法推导而来，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公

式为x ＝－b ±b 2－4ac 2a

． 当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．

④分解因式法：其理论依据是几个数的积为0，那么这几个数中至少有一个为0．一般步骤是：（a ）将方程右边化为0；（b ）将方程左边分解成两个因式的积；（c ）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（d ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

三、重、难点：

解方程或不等式是本讲的重点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是本讲的难点．

四、考点分析：

本讲内容一直是中考的热点和重点，以方程和不等式的概念、解法为基本考点，多以填空题、选择题的形式出现；而考查方程和不等式的应用时多以解答题的形式出现，且与一次函数、二次函数等知识紧密结合，难度较大．今后几年中考仍会延续这一趋势．

【典型例题】

例1. 选择题：

（1）关于x 的方程ax 2＋5x ＋b ＝0一定是（ ）

A ．一定是一元二次方程

B ．一定是一元一次方程

C ．一定是整式方程

D ．也可能是分式方程

分析：当a ≠0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元二次方程；当a ＝0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元一次方程，因为一元一次方程和一元二次方程都是整式方程，所以原方程一定是整式方程．故选C ．

（2）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）

A ．2

B ．－2

C ．27

D ．－27

解析：由方程的解的定义知，把x ＝m 代入方程4x －3m ＝2中，得4m －3m ＝2，所以m ＝2．故选A

（3）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4ax ＋by ＝2 的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ，则2a －3b 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．－6 D ．－4

解析：将方程组的解代入方程组中转化为关于a 、b 的方程组⎩

⎪⎨⎪⎧2a －b ＝42a ＋b ＝2 ，再求出a 、b ．选B ．

（4）不等式－x －5≤0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）

A B C D

解析：解不等式－x －5≤0，得x ≥－5，故选B

（5）已知关于x 的一元二次方程（m －2）2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．

A ．m ＞34

B ．m ≥34

C ．m ＞34且m ≠2

D ．m ≥34

且m ≠2 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0．即（2m ＋1）2－4（m －2）2×1＞

0．解得m ＞34．又∵二次项的系数（m －2）2≠0，∴m ≠2．∴m 的取值范围是m ＞34

且m ≠2．故选C ．

例2. 填空题：

（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ≥1x －a ＜0

无解，则a 的取值范围是__________． 解析：由不等式3＋2x ≥1，得x ≥－1，由不等式x －a ＜0，得x ＜a ，依据不等式组解集的确定法则，可知a ≤－1．解不等式组要熟记其确定法则（大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小取不了）．

（2）已知方程14－x 2＋2＝k x －2

有增根，则k ＝__________． 解析：∵方程14－x 2＋2＝k x －2

有增根，∴由4－x 2＝0或x －2＝0得其增根可能为x 1＝2，x 2＝－2，分别将x 1＝2，x 2＝－2代入1＋8－2x 2＝－k （x ＋2）中，知当x ＝－2时，等式不

成立．∴x ＝－2不是增根，∴方程的增根是x ＝2．∴k ＝－14

． （3）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此

项工程所需天数的45

，由甲队单独完成此项工程需__________天，乙队单独完成需__________天．

解析：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需45x 天，根据题意得10x ＋1245

x ＝1．解这个方程得x ＝25．经检验：x ＝25是所列方程的根．当x ＝25时，45x ＝20．所以甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天和20天．

例3. 若0是关于x 的方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．

解：由题意知，（m －2）·02＋3×0＋m 2＋2m －8＝0，

∴m 2＋2m －8＝0，即（m ＋4）（m －2）＝0．

∴m 1＝－4，m 2＝2，

当m ＝2时，原方程为3x ＝0，此时方程只有一个解，为0；

当m ＝－4时，原方程为－6x 2＋3x ＝0．

即3x （－2x ＋1）＝0．

∴x 1＝0，x 2＝12

，