九年级数学中考第一轮复习方程和不等式冀教版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：复习三：方程和不等式1. 整式方程和分式方程．2. 二元一次方程组．3. 一元一次不等式（组）．4. 方程与不等式的应用问题．二、知识要点：1. 等式及其性质表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个等式，所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．2. 不等式和不等式的基本性质用不等号连接起来的式子叫做不等式．不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3. 一元一次方程（1）在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax＋b＝0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．4. 一元一次不等式（组）的解法解不等式和解方程的步骤基本一样，相同点是：去分母，移项，合并同类项．不同点是：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，要注意改变不等号的方向；在数轴上表示不等式的解集时，要注意包括的点用实点，不包括的点用虚点．解不等式组的步骤：（1）分别求出各个不等式的解集；（2）借助数轴确定不等式的公共解集．5. 二元一次方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．任何一个二元一次方程都有无数个解．二元一次方程组的常用解法是：代入消元法和加减消元法．6. 分式方程的解法解分式方程去分母时，方程两边要同时乘各分母的最简公分母，确定最简公分母时，如果分母能够因式分解的要先分解，这样才能确保公分母为最简；去分母时要注意防止漏乘不含分母的项．解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根；否则，该解是原方程的解．7. 一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，其一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．（2）解法：①直接开平方法：其理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程．②配方法：其理论依据是完全平方公式．一般步骤是：（a ）二次项系数化为1，也就是在方程左右两边同除以二次项系数；（b ）移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（c ）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x ＋m ）2＝n 的形式；（d ）开方，若n ≥0，则用直接开平方法求解；若n ＜0，则原方程无解．③公式法：该方法由配方法推导而来，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式为x ＝－b ±b 2－4ac 2a． 当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．④分解因式法：其理论依据是几个数的积为0，那么这几个数中至少有一个为0．一般步骤是：（a ）将方程右边化为0；（b ）将方程左边分解成两个因式的积；（c ）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（d ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．三、重、难点：解方程或不等式是本讲的重点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是本讲的难点．四、考点分析：本讲内容一直是中考的热点和重点，以方程和不等式的概念、解法为基本考点，多以填空题、选择题的形式出现；而考查方程和不等式的应用时多以解答题的形式出现，且与一次函数、二次函数等知识紧密结合，难度较大．今后几年中考仍会延续这一趋势．【典型例题】例1. 选择题：（1）关于x 的方程ax 2＋5x ＋b ＝0一定是（ ）A ．一定是一元二次方程B ．一定是一元一次方程C ．一定是整式方程D ．也可能是分式方程分析：当a ≠0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元二次方程；当a ＝0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元一次方程，因为一元一次方程和一元二次方程都是整式方程，所以原方程一定是整式方程．故选C ．（2）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．27D ．－27解析：由方程的解的定义知，把x ＝m 代入方程4x －3m ＝2中，得4m －3m ＝2，所以m ＝2．故选A（3）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4ax ＋by ＝2 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ，则2a －3b 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．－6 D ．－4解析：将方程组的解代入方程组中转化为关于a 、b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝42a ＋b ＝2 ，再求出a 、b ．选B ．（4）不等式－x －5≤0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）A B C D解析：解不等式－x －5≤0，得x ≥－5，故选B（5）已知关于x 的一元二次方程（m －2）2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠2 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0．即（2m ＋1）2－4（m －2）2×1＞0．解得m ＞34．又∵二次项的系数（m －2）2≠0，∴m ≠2．∴m 的取值范围是m ＞34且m ≠2．故选C ．例2. 填空题：（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ≥1x －a ＜0无解，则a 的取值范围是__________． 解析：由不等式3＋2x ≥1，得x ≥－1，由不等式x －a ＜0，得x ＜a ，依据不等式组解集的确定法则，可知a ≤－1．解不等式组要熟记其确定法则（大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小取不了）．（2）已知方程14－x 2＋2＝k x －2有增根，则k ＝__________． 解析：∵方程14－x 2＋2＝k x －2有增根，∴由4－x 2＝0或x －2＝0得其增根可能为x 1＝2，x 2＝－2，分别将x 1＝2，x 2＝－2代入1＋8－2x 2＝－k （x ＋2）中，知当x ＝－2时，等式不成立．∴x ＝－2不是增根，∴方程的增根是x ＝2．∴k ＝－14． （3）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，由甲队单独完成此项工程需__________天，乙队单独完成需__________天．解析：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需45x 天，根据题意得10x ＋1245x ＝1．解这个方程得x ＝25．经检验：x ＝25是所列方程的根．当x ＝25时，45x ＝20．所以甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天和20天．例3. 若0是关于x 的方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．解：由题意知，（m －2）·02＋3×0＋m 2＋2m －8＝0，∴m 2＋2m －8＝0，即（m ＋4）（m －2）＝0．∴m 1＝－4，m 2＝2，当m ＝2时，原方程为3x ＝0，此时方程只有一个解，为0；当m ＝－4时，原方程为－6x 2＋3x ＝0．即3x （－2x ＋1）＝0．∴x 1＝0，x 2＝12，即此时方程有两个解，分别为0，12． 评析：这是一道易错题，既确定选定系数m ，又讨论方程解的情况，不要一看到方程解的情况，就考虑b 2－4ac ，而应审明题意，当已知方程的一个解时，往往以把解代入原方程作为切入点．例4. 已知m 、n 为两圆的半径（m ≠n ），d 是两圆的圆心距，且方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根，求证：这两个圆相外切．证明：∵方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根，该方程整理，得x 2－2mx ＋n 2＋（m －n ）d ＝0，∴b 2－4ac ＝（－2m ）2－4×1×[n 2＋（m －n ）d ]＝4m 2－4n 2－4（m －n ）d ＝0，即4（m －n ）（m ＋n －d ）＝0．又∵m ≠n ，即m －n ≠0，∴m ＋n －d ＝0，即d ＝m ＋n ，∴两圆相外切．评析：证明两个圆相外切，就是证明两圆圆心距等于两圆半径之和，即d ＝m ＋n ，根据题意可由b 2－4ac ＝0来证明d ＝m ＋n ．例5. 晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A 、B 两种型号的轿车，用300万元可购进A 型号轿车10辆，B 型号轿车15辆；用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A 、B 两种型号轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型号轿车可获利8000元，销售1辆B 型号轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A 、B 两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？分析：本题中的问题（1）应用方程组解答．（2）中应根据条件，用不等式组的整数解来解答．解：（1）设A 型号的轿车每辆为x 万元，B 型号的轿车每辆为y 万元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋15y ＝3008x ＋18y ＝300 ． 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝10 ． 所以A 、B 两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元．（2）设购进A 种型号轿车a 辆，则购进B 种型号轿车（30－a ）辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧15a ＋10(30－a )≤4000.8a ＋0.5（30－a ）≥20.4． 解此不等式组得18≤a ≤20，∵a 为整数，∴a ＝18、19、20，∴有三种购车方案．方案一：购进A 型号轿车18辆，购进B 型号轿车12辆；方案二：购进A 型号轿车19辆，购进B 型号轿车11辆；方案三：购进A 型号轿车20辆，购进B 型号轿车10辆．汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案一获利18×0.8＋12×0.5＝20.4（万元）；方案二获利19×0.8＋11×0.5＝20.7（万元）；方案三获利20×0.8＋10×0.5＝21（万元）．答：有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后获利分别为20.4万元、20.7万元、21万元．例6. 2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．分析：本题为列方程（组）解应用题，解题关键是审题，弄清已知量与未知量之间的数量关系，列出方程，并求解．解：（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是：6000－1250＝4750（万元）．（2）设市政府2008年投入“需方”x 万元，投入“供方”y 万元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4750（1＋30%）x ＋（1＋20%）y ＝6000 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3000y ＝1750 ． ∴2009年投入“需方”资金为（1＋30%）x ＝1.3×3000＝3900（万元），2009年投入“供方”资金为（1＋20%）y ＝1.2×1750＝2100（万元）．答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元．（3）设年增长率为x ，由题意得6000（1＋x ）2＝7260，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（不合实际，舍去）．答：从2009~2011年的年增长率是10%．【方法总结】1. 本讲主要的数学思想方法有两个：一个是解方程和方程组时要注意消元和降次的思想；另一个是解决方程和不等式实际问题时的建模思想．2. 本讲有几个问题要格外注意：①方程变形时，两边尽量不要同除以一个含有未知数的式子；②不等式两边都乘以或除以一个负数时，注意不等号的方向要改变；③分式方程的验根．【预习导学案】（复习四：函数）一、预习前知1. 什么叫平面直角坐标系？2. 什么叫常量、变量、函数？3. 若两个变量x 、y 之间的关系为__________（k 、b 为常数，k ≠0），我们称y 是x 的一次函数．当b ＝0时，我们称y 是x 的__________函数．4. 若两个变量x 、y 之间的关系可以表示成__________（k 为常数，k ≠0）的形式，我们称y 是x 的反比例函数．5. 形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数）的函数中，若a __________，则其为二次函数．二、预习导学1. 分四种情况讨论一次函数的图像所经过的象限与k 、b 的符号的关系？2. 反比例函数图像的两个分支在平面直角坐标系中的分布情况与k 的符号有何关系？3. 写出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值． 反思：（1）平面直角坐标系中各象限内以及坐标轴上点的坐标有何特征？体会坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系．（2）如何用函数的观点看方程（组）和不等式（组）？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如果5x －7与4x ＋9互为相反数，则x 等于（ ）A. 92B. －92C. 29D. －292. 已知y ＝1是方程2－（13m －y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程m （x －3）－2＝m （2x －5）的解是（ ）A. x ＝10B. x ＝0C. x ＝43D. 以上答案都不对 3. 方程x （x ＋3）＝x ＋3的解是（ ）A. x ＝1B. x 1＝0，x 2＝－3C. x 1＝0，x 2＝3D. x 1＝1，x 2＝－34. 当x ＝2时，式子ax 3＋bx ＋1的值为6，那么当x ＝－2时，ax 3＋bx ＋1的值为（ ）A. 6B. 5C. －4D. 15. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）50kgA B D C6. 关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定*7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 58. 一副三角板按如图所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则可得到的方程组为（ ）A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝180B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝180C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝90D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝9012*9. 如图所示，两个天平平衡，则3个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．A. 2B. 3C. 4D. 5**10. 已知1－a a 2＝1－a a ，则a 的取值范围是（ ） A. a ≤0 B. a ＜0 C. 0＜a ≤1 D. a ＞0二、填空题1. 将方程54x －14＝1.5x 变形为5x －1＝6x 的依据是__________，把方程两边都__________． 2. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________（写出二次项系数不同的两个方程）．3. 如果x ＝1是方程ax －b ＋1＝－c 的根，则（a －b ＋c ）2009的值为__________，a －b c ＋1的值为__________．*4. 阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－ b a ，x 1·x 2＝c a．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为__________． 5. 若ax 2－2x －3＝0是一元二次方程，不等式2a ＋4＞0的解集是__________．*6. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是__________cm ．**7. 已知关于x 的方程2x ＋m x －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________． **8. 如果2x ＋3y ＋z ＝130，3x ＋5y ＋z ＝180，迅速求出x ＋2y x ＋y ＋z的值是__________．三、解答题1. 解下列各题．。