概率初步单元复习与巩固

概率初步单元复习与巩固撰稿：庄永春审稿：严春梅责编：张杨一、知识框图二、目标认知学习目标1．理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必然发生的事件概率为1，不可能发生事件的概率为0，随机事件发生的概率在0和1之间；2．会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系；3．用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.重点1．随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；2．用列举法求概率；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.难点1．用试验得出概率；2．列表法与树形图法的选择使用；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.三、知识要点梳理(一)概率的有关概念： 1.概率的定义：某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2.概率论：研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题.3.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.4.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.5.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.(二)概率的计算：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.或从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根(纸签的形状，大小相同)，抽出的签上的号码有5种可能，即1，2，3，4，5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是.以上两个试验的共同特点是：1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等.具有这些特点的试验称为古典概型.如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率P(A)=，可以利用列表法或树状图来球其中的m、n，从而得到事件A的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.四、规律方法指导1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率.这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算.3．你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.经典例题透析类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生思路点拨：共有9个小球，从中摸出8个还剩下一个，不管剩下什么颜色的球，这8个球中必然红、白、黑都有，故选D.答案：D.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高答案：C.【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A. B. C. D.答案：A.类型二：概率的意义：2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中；事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数.在这几个事件中，发生的概率恰好等于的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是.解：事件1：在前100个正整数中，不大于50的数共有50个(1，2.…，50)，因此，事件1发生的概率为而；事件2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前100个正整数中恰好有50个偶数，因此，事件2发生的概率也是.事件3：1到50这50个正整数的2倍都在前100个正整数之中，且只有这50个正整数符合这一要求，因此，事件3发生的概率仍然是.事件4：前100个正整数3的倍数有33个(3，6，…，99)，5的倍数有20个(5，10，…，100)，既是3的倍数，又是5的倍数有6个(15，30，…，90).所以前100个正整数中恰好是3的倍数或5的倍数有33+20-6=47(个)，而47≠50，因此，事件4发生的概率不是.答案：C举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.答案：.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.答案：.类型三：概率的计算 1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.思路点拨：如下表所示、两球都是黄球只有一种，而所有的情况共有12种，所以两个球都是黄球的概率是.解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)总结升华：列表法可以不重复、不遗漏地列举所有可能结果.举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?思路点拨：试验涉及的因素多，可能的结果数目较多，且要计算朝上一面的点数之和，用列表法列举比较容易.由表可以看出两个向上一面的点数之和共有36种结果，符合条件的有20种.∴P(点数之和大于5而不大于9)=.【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?通过上表可知，生男孩和生女孩的概率各是.【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?解：两人所写整数相加的和的所有可能如下：由此可知，绝对值是1的有8种.所有可能有25种.所以两人所写数字之和的绝对值是1的概率是.【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？从表中可看出两张都是C的情况有4种，所有可能情况有15种，所以两张都是C的概率是.2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？解：(1)P(奇数)=.(2)从树形图中得到所组成的两位数有6个：12，13，21，23，31，32.恰好是32的概率是.举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？ 思路点拨：可列出下面的树形图，如图所示.所以一个回合不能决定胜负的概率为.3.进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； (2)0.75．总结升华：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．举一反三(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)思路点拨：用频率估计概率的方法是根据试验中，试验次数增多时，频率值稳定在哪个常数附近.解：(1)表中频率依次为0.60，0.85，0.83，0.78，0.78，0.82，0.81，0.80(2)可以看出：随着射击次数的增多，该运动员射中8环以上的频率稳定在0.8左右，从而估计，他随机射击一次，“射中8环以上”的概率约为0.8.总结升华：用频率估计概率实质上看频率的变化趋势.类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.解：解法1：设口袋中有x个白球，由题意得，解得，经检验知是原方程的根.答：口袋中大约有30个白球.解法2：因为P(50次摸到红球)，所以.所以白球的个数为40-10=30.答：口袋中大约有30个白球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.思路点拨：根据第二个样本有鱼200条，其中有20条鱼带有记号，说明捕捞得到带标记鱼的概率为，那么鱼塘中鱼的总条数是第一个样本中的100条鱼的10倍，算出鱼塘中每条鱼的平均质量，即可估算出鱼塘中鱼的总质量.解：由题意可知：第一次捞出的鱼的条数占鱼塘中鱼的总条数的.所以估计鱼塘中的鱼的总条数为(条)，鱼塘中每条鱼的平均质量为：(千克)，∴鱼塘中估计有1000条鱼，总质量为2.011×1000=2011(千克).总结升华：本题的信息引导学生用数学的方法去分析，看待身边的事物，有利于提高数学意识和应用数学的能力.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？(3)请设计一种模拟方案.思路点拨：(1)三角形的构成必须符合任意两边之和大于第三边，如2，4，6就不可以.(2)2，4，6，8，10这5个数中抽3个数组成一组总共有10种情况.而能构成三角形条件的共有3种，即机会为.(3)模拟实验的方法有很多，如纸片、小球、扑克牌等，只要合情合理即可.解：(1)不一定；(2)30%；(3)在5只球上分别写上2，4，6，8，10，放在一个不透明的袋中，闭上眼睛任摸3只，考查摸出的3只球上的数字满足任意两数之和大于第三个数的机会.总结升华：此题为概率与三角形内容的综合应用题.举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.思路点拨：设红球、黄球和蓝球分别有、和个，摸到3种颜色乒乓球的理论概率分别为，和，分别等于摸到它们的频率.解：由题意，得，，，解之，得，，.所以，红、黄、蓝3种乒乓球分别有25个、18个、29个.总结升华：只要让试验频率等于理论频率，列出方程即可.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？思路点拨：本题是从实际问题中抽象出概率模型，计算事件发生的可能性.正确解决问题，作出合理推断.解：(1)由条形统计图可知，超过60人的月份有：1月份，2月份，3月份，7月份，8月份，9月份，10月份，11月份，12月份.(2)出生人数最多的是1月份.(3)10月份出生的学生共有80人，所以有两个人生日在10月5日是可能的.(4)5月份出生的频率最小，所以这位学生的生日在5月份的概率最小.11 / 11。