概率初步单元复习与巩固
概率初步单元复习与巩固撰稿：庄永春审稿：严春梅责编：张杨一、知识框图二、目标认知学习目标1．理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必然发生的事件概率为1，不可能发生事件的概率为0，随机事件发生的概率在0和1之间；2．会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系；3．用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.重点1．随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；2．用列举法求概率；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.难点1．用试验得出概率；2．列表法与树形图法的选择使用；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.三、知识要点梳理(一)概率的有关概念： 1.概率的定义：某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2.概率论：研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题.3.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.4.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.5.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.(二)概率的计算：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.或从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根(纸签的形状，大小相同)，抽出的签上的号码有5种可能，即1，2，3，4，5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是.以上两个试验的共同特点是：1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等.具有这些特点的试验称为古典概型.如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率P(A)=，可以利用列表法或树状图来球其中的m、n，从而得到事件A的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.四、规律方法指导1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率.这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算.3．你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.经典例题透析类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生思路点拨：共有9个小球，从中摸出8个还剩下一个，不管剩下什么颜色的球，这8个球中必然红、白、黑都有，故选D.答案：D.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高答案：C.【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A. B. C. D.答案：A.类型二：概率的意义：2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中；事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数.在这几个事件中，发生的概率恰好等于的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是.解：事件1：在前100个正整数中，不大于50的数共有50个(1，2.…，50)，因此，事件1发生的概率为而；事件2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前100个正整数中恰好有50个偶数，因此，事件2发生的概率也是.事件3：1到50这50个正整数的2倍都在前100个正整数之中，且只有这50个正整数符合这一要求，因此，事件3发生的概率仍然是.事件4：前100个正整数3的倍数有33个(3，6，…，99)，5的倍数有20个(5，10，…，100)，既是3的倍数，又是5的倍数有6个(15，30，…，90).所以前100个正整数中恰好是3的倍数或5的倍数有33+20-6=47(个)，而47≠50，因此，事件4发生的概率不是.答案：C举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.答案：.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.答案：.类型三：概率的计算 1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.思路点拨：如下表所示、两球都是黄球只有一种，而所有的情况共有12种，所以两个球都是黄球的概率是.解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)总结升华：列表法可以不重复、不遗漏地列举所有可能结果.举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?思路点拨：试验涉及的因素多，可能的结果数目较多，且要计算朝上一面的点数之和，用列表法列举比较容易.由表可以看出两个向上一面的点数之和共有36种结果，符合条件的有20种.∴P(点数之和大于5而不大于9)=.【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?通过上表可知，生男孩和生女孩的概率各是.【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?解：两人所写整数相加的和的所有可能如下：由此可知，绝对值是1的有8种.所有可能有25种.所以两人所写数字之和的绝对值是1的概率是.【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？从表中可看出两张都是C的情况有4种，所有可能情况有15种，所以两张都是C的概率是.2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？解：(1)P(奇数)=.(2)从树形图中得到所组成的两位数有6个：12，13，21，23，31，32.恰好是32的概率是.举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？ 思路点拨：可列出下面的树形图，如图所示.所以一个回合不能决定胜负的概率为.3.进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； (2)0.75．总结升华：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．举一反三(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)思路点拨：用频率估计概率的方法是根据试验中，试验次数增多时，频率值稳定在哪个常数附近.解：(1)表中频率依次为0.60，0.85，0.83，0.78，0.78，0.82，0.81，0.80(2)可以看出：随着射击次数的增多，该运动员射中8环以上的频率稳定在0.8左右，从而估计，他随机射击一次，“射中8环以上”的概率约为0.8.总结升华：用频率估计概率实质上看频率的变化趋势.类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.解：解法1：设口袋中有x个白球，由题意得，解得，经检验知是原方程的根.答：口袋中大约有30个白球.解法2：因为P(50次摸到红球)，所以.所以白球的个数为40-10=30.答：口袋中大约有30个白球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.思路点拨：根据第二个样本有鱼200条，其中有20条鱼带有记号，说明捕捞得到带标记鱼的概率为，那么鱼塘中鱼的总条数是第一个样本中的100条鱼的10倍，算出鱼塘中每条鱼的平均质量，即可估算出鱼塘中鱼的总质量.解：由题意可知：第一次捞出的鱼的条数占鱼塘中鱼的总条数的.所以估计鱼塘中的鱼的总条数为(条)，鱼塘中每条鱼的平均质量为：(千克)，∴鱼塘中估计有1000条鱼，总质量为2.011×1000=2011(千克).总结升华：本题的信息引导学生用数学的方法去分析，看待身边的事物，有利于提高数学意识和应用数学的能力.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？(3)请设计一种模拟方案.思路点拨：(1)三角形的构成必须符合任意两边之和大于第三边，如2，4，6就不可以.(2)2，4，6，8，10这5个数中抽3个数组成一组总共有10种情况.而能构成三角形条件的共有3种，即机会为.(3)模拟实验的方法有很多，如纸片、小球、扑克牌等，只要合情合理即可.解：(1)不一定；(2)30%；(3)在5只球上分别写上2，4，6，8，10，放在一个不透明的袋中，闭上眼睛任摸3只，考查摸出的3只球上的数字满足任意两数之和大于第三个数的机会.总结升华：此题为概率与三角形内容的综合应用题.举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.思路点拨：设红球、黄球和蓝球分别有、和个，摸到3种颜色乒乓球的理论概率分别为，和，分别等于摸到它们的频率.解：由题意，得，，，解之，得，，.所以，红、黄、蓝3种乒乓球分别有25个、18个、29个.总结升华：只要让试验频率等于理论频率，列出方程即可.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？思路点拨：本题是从实际问题中抽象出概率模型，计算事件发生的可能性.正确解决问题，作出合理推断.解：(1)由条形统计图可知，超过60人的月份有：1月份，2月份，3月份，7月份，8月份，9月份，10月份，11月份，12月份.(2)出生人数最多的是1月份.(3)10月份出生的学生共有80人，所以有两个人生日在10月5日是可能的.(4)5月份出生的频率最小，所以这位学生的生日在5月份的概率最小.11 / 11。
第7课时 《概率初步》单元复习
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数学 15.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘,当指针指 向阴影������部分时,该顾客可获奖品一份,那么该顾客获奖的概率 为 ������������ .
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数学
16.某十字路口设有交通信号灯,东西向信号灯的开启规律如
下:红灯开启30秒后关闭,紧接着黄灯开启3秒后关闭,再紧接
着绿灯开启42秒,按此规律循环下去.如果不考虑其他因素,当
.
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数学
3.一个不透明的盒同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率
为 ������
.
4.有9张卡片,每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自
然数,从中任意抽出一张卡片,则抽到的卡片上的数是2的倍
������
数的概率是 ������
������
概率是 ������������ .
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数学
巩固训练
7.下列事件:①两直线平行,同位角相等;②掷一枚硬币,国徽的
一面朝上.其中随机事件是 ② .(填序号)
8.一个不透明的口袋中,装有5个红球,2个黄球,1个白球,这些
球除颜色外������ 完全相同,从口袋中随机摸一个球,则摸到红球的
概率是 ������
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数学
11.用 6 个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏:
摸到白球的概率为������������,摸到红球的概率为������������,则应有 4
个
白球, 2 个红球.
12.如图,小球在地板上自由滚动,并随机停留在某块正方形的
������
地砖上,则它停在白色地砖上的概率是 ������ .
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数学 13.如图,一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成,向
数学九年级上册第二十五章《概率初步》小结与复习(共27张PPT)
B）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸 出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
第二十五章 概率初步
小结与复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.巩固并能熟练运用列举法、列表法和树状图法求 概率.（重、难点） 3.能应用频率估计概率解决生活中的实际问题.
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件
考点二 概率的计算 例2 (1)一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后
1
随机地从中摸出一个球是绿球的概率是___3___.
(2)三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的 卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，
从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称 2
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购 物？说明理由.
(2) 选甲超市.理由如下： ∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
成活 数
47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活 频率
0.94
0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率约为（ C ） (结果保留小数点后两位)
《概率》全章节复习与巩固
《概率》全章节复习与巩固【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,等表示。
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=13称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。
要点二、超几何分布在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =L ， 其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N *≤≤∈，，，，，称分布列为超几何分布列。
离散型随机变量X 服从超几何分布。
要点三、独立性1.条件概率的概念设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(|)P B A 表示。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2.条件概率的公式 ①利用定义计算先分别计算概率P （AB ）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =， 此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 3.事件的独立性事件A 、B 满足()()P A B P A =，则称事件A 、B 独立。
巩固练习_《概率》全章节复习与巩固最新修正版
【巩固练习】、选择题 1. 2. 抛掷两颗骰子，所得点数之和为 E ，那么E =4表示的随机试验结果是( ) A.两颗都是2点 B.一颗是3点，一颗是1点 C.两颗都是4点 D. —颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 (2015春 宁夏校级期末)设随机变量 A . 1.6 B . 3.2 C. 6.4 D . 3. 已知随机变量E 的分布列为P (E =k ) A. — B.- 16 4 袋中有大小相同的5个球，分别标有 件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 A.5 B.94. X 〜B (10, 0.8)，贝U D (2X+1)等于( ) 12.8 1=1, k=1 , 2,…，贝y P (2<E w 4)等于() 2k 1 1 C. — D.- 16 5 1, 2, 3, 4, 5五个号码，现在在有放回抽取的条 E ,则E 所有可能取值的个数是( ) C.10 D.25 5. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直 10次时停止，设停止时共取了 (3) 8 (5 ) 8 到红球出现 A.C 10cQ i 10.( 5 ) 28 9.( 3 ) 28 B.C 91 ( 3) 8 6.甲、乙、 E 次球，则P ( E =12)等于( ) ,2 • 3 8 9.( ?))8 20次，三人的测试成绩如下表 9( § ) 2 8 D.C191 ( rn ) 8 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭s , S 2, S 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差, 则有( A. S 3 >S i >S 2 B. S 2>S>S 3 C. S i > S 2 >S 3 D. S 2 > S 3 > Si 二、填空题 7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 为了准时起床, 他用甲、 乙两个闹钟叫醒自己，假 设甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一准时响 的概率是 8.在平面直角坐标系 xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入E 中的概9. 随机变量E 的分布列如下:-10 1Pabc其中a , b, c 成等差数列，若,1 E E =-, 3贝U D 匕的值是 .10.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数m 、n 得点P(m,n)，则点P 在圆的概率为 三、解答题件产品中至多有1件是二等品”的概率 P(A) =0.96 •(1)求从该批产品中任取 1件是二等品的概率 P ;(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，©表示取出的2件产品中二等品的件数，求©的分布列.12. (2014陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(I )设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求 X 的分布列；(n )若在这块地上连续 3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的 概率. 13.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，22 2 1 答错得零分。
11 概率单元复习与巩固
概率单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．● 会用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率．● 理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件发生的概率．● 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义．重点难点：● 重点：互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率．古典概型及其概率计算公式．几何概型的意义．● 难点：古典概型及几何概型．学习策略：● 通过本章的学习，我们要了解随机现象与概率的意义．正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性．认清古典概型和几何概型的特征，多尝试如何把实际问题转化为古典概型和几何概型．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识要点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx6#253788 知识框图 通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
知识点一：随机事件的概率（一）随机事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．（1）随机事件：在一定条件下可能也可能的事件；（2）必然事件：在一定条件下要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下发生的事件．（二）随机事件的概率：事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）．由定义可知≤P（A）≤，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是．（三）事件间的关系：（1）互斥事件：不能的两个事件叫做互斥事件．（2）对立事件：不能，但的两个事件叫做对立事件．（3）包含：事件A发生时事件B，称事件A事件B（或事件B事件A）．要点诠释：（1）随机事件是指在一定条件下出现的某种，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在条件下进行研究．随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现．（2）频率与概率的区别与联系：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的．频率在大量重复试验的前提下可以地作为这个事件的概率．（3）从集合角度理解互斥事件为两事件交集为，对立事件为两事件．若两事件A与B对立，则A与B必为事件，而若事件A与B互斥，则是对立事件．知识点二：古典概型（一）基本事件：试验结果中不能的最的随机事件称为基本事件．基本事件的特点：（1）每个基本事件的发生都是的．（2）因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有个．（3）任意两个基本事件都是的，一次试验只能出现个结果，即产生个基本事件．（4）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的的形式来表示．（二）古典概型的定义：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性；我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（三）计算古典概型的概率的基本步骤为：（1）计算所求事件A所包含的m；（2）计算基本事件的n；P A=计算概率．（3）应用公式()（四）古典概型的概率公式：P A=．应用公式的关键在于准确计算事件A所()包含的和基本事件的．要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型．如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题．知识点三：几何概型（一）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内地取一点，该区域中每一点被取到的机会；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是，图形，图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（二）几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有个；（2）每个基本事件出现的可能性．（三）几何概型的概率：一般地，在几何区域D中取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率()P A ．说明：（1）D的测度不为；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是，和；（3）区域为＂开区域＂；（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度而与其无关．要点诠释：几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=知识点四：随机数的产生（一）随机数的概念：随机数是在一定范围内产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是的．它可以帮助我们，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到成本，时间的作用．（二）随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数．在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用．（三）随机模拟法（蒙特卡罗法）：用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的M和N；f A 作为所求概率的值．（3）计算频率()n要点诠释：（1）对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大时间．（2）随机函数RANDBETWEEN（a，b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．（3）随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中．（4）在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．（5）利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求、、等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．（6）用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的作为参照，通过计算机产生某区间内的，再利用两个图形的面积之比等于分别落在这两个图形区域内的之比来解决．（7）利用计算机和线性变换，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数．类型一：随机事件的概率例1（1）计算表中击中10环的各个频率，（2）各射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？思路点拨：（1）将m，n的值逐一代入mn计算，（2）观察各概率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估测概率．解析：总结升华：．举一反三：经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
第二十五章+概率初步+单元复习+课件-2023-2024学年人教版数学九年级上册
由树状图得：共有16个等可能的结果，两次摸到的球中有1个绿 球和1个红球的结果有8个，故两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为 ．
知识点4 用频率估计概率
一般的随机事件 ，在大量重复试验时，如果事件 出现的频率稳定于某个常数 ，那么估计该事件发生的概率 .
第二十五章 《概率初步》单元复习
知识要点
知识点1 随机事件与确定性事件
对点训练
1. 下列事件中，是必然事件的是( )
B
A.掷一次骰子，向上一面的点数是6B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C.射击运动员射击一次，命中靶心D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
知识点2 利用概率公式求概率
1. (2022· 海珠区一模)2022春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了 ， ， 三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过.
2. （人教九上P152T4）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起.求颜色搭配正确的概率.
4. 一个不透明袋子中有1个红球、1个绿球和 个白球，这些球除颜色外其余都相同.从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25.
（1）填空： 的值是___；
2
（2）小童与小郑进行摸球游戏，一次性摸出3个球，若有2个球颜色相同，则小童获胜，否则为小郑获胜，试通过计算说明这个游戏是否公平.
5. (2022·南海区一模)在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在 ，则随机地从布袋中摸出一个球是红球的概率是____.
《概率初步》单元复习与巩固
《概率初步》单元复习与巩固一、概率1、事件的划分必然事件：一定发生的事件为必然事件事件不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件2、概率（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数）（2）因为0≤m≤n，所以0≤mn≤1，即0≤P（A）≤1。
当A为必然发生事件时，m＝n，mn＝1，P（A）＝1.当A为不可能事件时，m＝0，mn＝0，P（A）＝0.当A为随机事件时，0<P（A）<1.（3）概率反映可能性大小的一般规律，它从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.二、用列举法求概率1、对于某些特殊类型的试验（如古典概型），实际上不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。
2、古典概型是具有如下两种特点的试验：①一次试验中，可能出现的结果有限多个；②一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
3、在古典概型中事件An表示在一次试验中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等；m表示事件A包含其中的m种结果。
4、列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
5、树形图法：当一次试验要涉及三个或更多个因素（当事件要经过三次或更多步骤完成）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法。
三、利用频率估计概率1、当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。
2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
第二十五章概率初步单元复习+课件-2023-2024学年人教版数学九年级上册
1 2.
思维拓展
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(2)该家庭生育两胎，假如第一胎生育一个小孩，第二胎生育一对双胞胎，
求这三个小孩中至少有一个女孩的概率． 解：画树状图如答图2：
由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，这三个小孩中至少有1个女
孩的有7种结果，
∴P(这三个小孩中至少有1个女孩)＝
7 8.
课后强化
1．下列事件是必然事件的是( C ) A．经过有信号灯的十字路口，遇见红灯 B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D．明天一定下雨
例1
变1
例2
变2
例3
变3
03
四基三级练
一级
1
2
二级
3
4
三级
5
四基三级练
一级 1．下列事件中是随机事件的是( B ) A．瓮中捉鳖 B．抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．没有水分，种子发芽 D．如果a、b都是实数，那么a(b＋c)＝ab＋ac
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1
2
3
4
5
四基三级练
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2．(2022秋·东方期末)不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除
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6．“全面二孩”政策出台后，某家庭准备生育两个孩子(生男、生女概率 均等，且与顺序无关) (1)该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1 女的概率；
解：画树状图如答图1：
由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好是1男1
女的有2种可能，
∴P(恰好是1男1女)＝
A．0.600 C．0.595
B．0.640 D．0.605
1
2
人教版九年级上册数学《用频率估计概率》概率初步教学说课复习课件巩固
n
n
随着试验次数的增大，频率 m 稳定在0.5的附近。
n
探究一：通过频率估计概率
活动3
m
掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率 n 的变化趋势。
可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币 出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一 个概率的近似值！
谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，那么这种
探究一：通过频率估计概率
大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少 吗？
有的同学回答“针尖向上”概率为0.5，其实由于图钉不是 均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出 现的可能性不一样大。
你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？
探究一：通过频率估计概率
类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率。
200
250
销售人员首先从所有的柑橘中随机 300
抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统 350
400
计，并把获得的数据记录在右表中．请 450
你帮忙完成此表．
500
5.50 10.50 15.15 19.42 24．25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地 均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：
朝上的点数 1 出现的次数 7
23 98
456 11 15 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。
人教版数学九年级上册《概率初步》复习与巩固课件
如果小明已经抽到的纸片上的数字为3，然后小芳抽纸片，则小芳获胜 的概率是 ______.
16
素养提升
• 15．【辽宁抚顺中考】为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选 修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选
修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一 次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
13
• (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑 球的概率；(精确到0.01)
• (2)估算袋中白球的个数．
解：(1)251÷1000＝0.251.∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到 0.25 附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 0.25.
(2)设袋中白球有 x 个，则有1＋1 x＝0.25，解得 x＝3.估计袋中有 3 个白球．
学生选修课程统计表
课程 人数 所占百分比
声乐 14 舞蹈 8 书法 16 摄影 a 合计 m
b% 16% 32% 24% 100%
学生选修课程统计图
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• 根据以上信息，解答下列问题： • (1)m＝____5_0___，b＝__2_8_____； • (2)求出a的值并补全条形统计图；
• (3)该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名；
• C．抛一枚硬币，出现正面的概率
• D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
11
• 10．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其
中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再
放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，
由此估计口袋中共有小球________个．