基于匈牙利算法的指派问题优化分析
指派问题实例研究报告
指派问题实例研究报告指派问题是一种在组织或团队中分配资源或任务的决策问题。
指派问题的目标是在给定的约束条件下，找到最佳的分配策略，以最大化整体效益或满足特定的目标。
以下是一个指派问题实例的研究报告：标题：某医院护士调班指派问题研究报告一、背景介绍某医院的护士人员经常需要调整工作班次，以适应不同的工作需要和员工的个人需求。
然而，手动调整班次非常耗时且容易出错。
为解决这个问题，研究团队决定使用指派问题的方法来自动化调班过程，提高整体效率和员工满意度。
二、问题描述该医院有10个护士，每天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。
每个班次需要不同数量的护士进行工作，早班需要4个护士，中班需要3个护士，晚班需要3个护士。
护士们的个人需求不同，包括对班次的偏好和工作时长的限制。
研究团队的目标是找到一种最佳的调班指派策略，使得整体的工作需求得到满足，同时最大限度地满足护士的个人需求。
三、问题建模研究团队将这个指派问题建模为一个二部图匹配问题，其中：- 每个护士是一个节点，表示第一部分。
- 每个班次是一个节点，表示第二部分。
- 然后建立起两部分节点之间的边。
根据班次的需求量和护士的个人需求进行边的权重赋值。
四、算法实现研究团队选择使用匈牙利算法来解决这个指派问题。
该算法能够在多项式时间内找到最大匹配，以满足所有的需求。
该算法的具体实现过程如下：1. 初始化所有边的权重。
2. 选取一条边进行匹配。
3. 如果找到了一条可行路径，将匹配进行调整。
4. 如果找不到可行路径，将权重进行调整并回到第二步。
5. 重复前面几步，直到找到最优解或无法找到新的匹配。
五、结果分析通过实际测试和模拟实验，研究团队发现，使用匈牙利算法可以高效地解决护士调班指派问题。
该算法能够在合理的时间内找到最佳的调班方案，满足医院的工作需求，并且最大程度地满足护士的个人需求，提高员工满意度和工作效率。
六、结论本研究报告基于指派问题实例，研究了某医院护士调班指派问题。
指派问题的改进算法
指派问题的改进算法【摘要】匈牙利算法是解决指派问题的常用方法。
该算法将效率矩阵或系数矩阵作行列缩减处理后，往往要进行多次迭代，且常出现经过一次迭代之后并不能增加可指派零位的情况，解题效率并不是很高。
因此，在实际的解题应用中，还有很多其他的方法，本文主要介绍改进的匈牙利算法、削高排除法和缩阵分析法等算法。
【关键词】指派问题；改进的匈牙利算法在生活中，我们经常遇到这样的问题，某单位需要完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。
又由于每个人的专长不同，各人完成任务所费的时间效率不尽相同。
于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高，即所需的时间或所消耗的资金等最小。
这类问题称为指派问题或分派问题（assignment problem）。
１指派问题的标准形式和数学模型例１、有一份说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。
现有甲、乙、丙、丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需的时间如下表所示。
问应指派哪个人完成哪项工作，使所需的总时间最少?表1有n项任务，n个完成人，第i人完成第j项任务的代价为ｃij（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）。
为了求得总代价最小的指派方案，引入0-1型变量xij，并令xij=1，指派第ｉ人去完成第ｊ项任务0，不指派第ｉ人去完成第ｊ项任务数学模型为ｍｉｎＺ＝■■ｃijxijｓ．ｔ．■xij＝１，ｊ＝１，２，．．．，ｎ■xij＝１，ｉ＝１，２，．．．，ｎxij ＝０ｏｒ１可见指派问题是0-1型整数规划的特例。
不难发现，指派问题也是运输问题的特例，其产地和销地数都为n，各产地的产量和各销地的销量都为1。
２指派问题的求解方法——匈牙利算法２.1匈牙利算法匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
其基本思想是修改矩阵的行或列，使得每一行或每一列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。
在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。
问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。
算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。
具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。
如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。
3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。
增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。
4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。
5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。
匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。
该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。
总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。
通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。
指派问题的最优解法
指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。
指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。
匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。
其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。
KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。
它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。
KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。
无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。
这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。
除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。
这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。
总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。
求解指派问题的匈牙利算法.doc
3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。
算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。
若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。
由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。
下面通过一例子来说明该算法。
例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。
有时问题会稍复杂一些。
例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。
指派问题的求解方法
指派问题的求解方法嘿，咱今儿就来聊聊指派问题的求解方法。
你说这指派问题啊，就好像是给一群小伙伴分任务，得让每个人都能分到最合适的事儿，这可不容易嘞！咱先来说说啥是指派问题。
就好比有一堆工作，有几个人可以去做，每个人对不同工作的效率或者效果不一样。
那咱就得想办法，怎么把这些工作分配给这些人，才能让总的效果达到最好呀。
那咋求解呢？有一种方法叫匈牙利算法。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开指派问题的大门。
咱就把那些工作和人当成一个个小格子，通过一些计算和摆弄，找到最合适的搭配。
你想想啊，如果随便分，那可能就浪费了某些人的特长，或者让一些工作没被最合适的人去做，那不就亏大啦？用了这个匈牙利算法，就能一点点地把最合适的工作和人配对起来。
就像你去拼图，得找到每一块的正确位置，才能拼成一幅完整漂亮的图。
这匈牙利算法就是帮咱找到那些正确位置的好帮手呀！它能让那些工作和人都找到自己的“最佳搭档”。
还有啊，咱在生活中也经常会遇到类似的指派问题呢。
比如说，家里要打扫卫生，每个人擅长打扫的地方不一样，那怎么分配任务才能又快又好地打扫完呢？这不就是个小小的指派问题嘛。
或者说在公司里，有几个项目要分给不同的团队，哪个团队最适合哪个项目，这也得好好琢磨琢磨，才能让项目都顺利完成，取得好成果呀。
总之呢，指派问题的求解方法可重要啦，就像我们走路需要一双好鞋一样。
掌握了这些方法，咱就能在面对各种指派问题的时候，不慌不忙，轻松应对，找到那个最优解。
你说是不是很厉害呀？所以啊，可别小瞧了这指派问题的求解方法哦，说不定啥时候就能派上大用场呢！。
匈牙利算法求解教学任务指派问题
匈牙利算法求解教学任务指派问题思想，用增广路径求二分图最大匹配的算法，算法的核心是寻找增广路径，也可用于指派问题的求解。
针对多人执行多项工作的指派问题，张云华采用匈牙利算法的基本和步骤进行了研究。
目标分配问题作为指派问题的一种类型，谷稳综合匈牙利算法及其进化算法的特点，对机器人足球的目标分配问题进行了研究。
为避免匈牙利算法多次试分配导致处理速度慢的不足，周莉等人对寻找独立零的次序进行改进，得到匈牙利算法求解指派问题的一次性分配算法。
李延鹏等人提出利用虚拟工作代替并联环境，将具有并联环节的人员指派问题转化为典型的指派问题，提高了匈牙利算法的适用性。
谢博耶夫采用反圈法和对称差，对匈牙利算法进行了推广。
对于“人少任务多”型指派问题的解决，与“加边补零”法、“加边补最小值”法等传统解法不同，马晓娜通过差额法对匈牙利算法进行了改进。
3 基于匈牙利算法的任务指派优化模型问题描述教学课程的指派优化问题，需要综合考虑教学特长、学生满意度、课程内容等多因素，追求教学质量、满意度和教学精力等多目标的优化决策问题，任何一个参数的改变都可能影响最终的指派结果。
该类问题可描述为：假设有n名不同教研室的教师，N={N1，N2，...，Nn}，所有教师可以讲授课程共m门，M={M1，M2，...，Mm}。
已知n 名教师对m门课程的擅长程度矩阵G、n名教师的课时上限序列U和学员对教师满意度序列S，如何安排n名教師教授的课程，使得总体教学质量、教师精力和学生满意度最优化？指派优化模型由于该问题涉及因素较多，因此，采用解析方法或传统的匈牙利算法难以给出合适结果。
总体最优化的前提是教师擅长课程、精力和学生满意度满足基本要求，本文采用比值的方式求解三种因素的综合表现。
矩阵G元素值为百分比，Gij 值越高，表明第i名教师对第j门课程的擅长程度越好。
序列U 和S经过归一化处理后，也可表现为百分比形式，Ui值越高，表明第i名教师的教学任务越饱满；Si值越高，表明学生对第i名教师的满意度越高。
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第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
0 7 1 6
4 3 0 8
5 0 8 0 3 3 2 0
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5 0 8
3 3 2 0
（3）观察矩阵中的零元素的个数是否等于矩阵的阶数，若两
者相等则算法结束，否则需要对矩阵进行变化。直到矩阵中零元
的个数与矩阵的阶数相等则算法结束。
第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•第26章
•基于匈牙利算法的指派问题优化分 析
第二十六章
•26.1 匈牙利算法
MATLAB优化算法案例分析与应用
1955年，库恩（w·w·Kuhn）提出了匈牙利算法，它是一种关于指派问题的求解
方法。匈牙利算法引用了匈牙利数学家康尼格（D.konig）的一个关于矩阵中独立0
% 初始化变量 Matching = zeros(size(Perf)); % 初始化
% 移除Inf，加速算法执行效率 % 针对每一列找inf
num_y = sum(~isinf(Perf),1); % 求列和 % 针对每一行找inf
num_x = sum(~isinf(Perf),2); % 行和
8
10
7
5
0 9 1 6
4 5 0 8
5 2 8 0
3
5
2
0
0 7 1 6
4 3 0 8
5 0 8 0 3 3 2 0
第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
（2）先找出仅有一个“0”元素的行，并划去与该“0”同 列的其他“0”元素，然后找出仅有一个“0”元素的列，并 划去与该“0”同行的其他“0”元素。
0 7 1 6
4 3 0 8 5 0 8
3 3 2 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
26.3 指派问题的数学模型
nn
min Z
cij xij
i1 j1
n
xij 1, i 1, 2,
,n
j1
n
s.t. xij 1, j 1, 2, , n
i1
xij
0或1, i,
j
1, 2,
,n
第二十六章
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表26-1 效率矩阵指派问题
人员 任务 A
B
C
D
甲
1
1
7
4
乙
0
6
3
0
丙
8
7
1
8
丁
2
8
03戊来自824
1
% 匈牙利算法
clc,clear,close all
% 清屏、清工作区、关闭窗口
warning off
% 消除警告
feature jit off
% 加速代码执行
A=[1 1 7 4
0630
8718
2803
8 2 4 1];
[Matching,Cost] = Hungarian(A)
第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
function [Matching,Cost] = Hungarian(Perf) % [MATCHING,COST] = Hungarian_New(WEIGHTS) % 匈牙利算法 % 给定一个n x n矩阵的边权矩阵，使用匈牙利算法求解最小边权值和问题，类 似最小树问题 % 如果矩阵中出现inf，则表示没有边与之相连 % 输出： % Matching 为一个 n x n的矩阵，只有0 和 1 % COST 为对应Matching处为1所在位置的元素和
第二十六章
MATLAB优化算法案例分析与应用
第三步，作出覆盖所有零元素的最少数量的直线集合：（1）标 记没有完成分配的行。（2）标记已标记行上所有未分配零元素 所对应的列。（3）对标记的列中，已完成分配的行进行标记。 （4）重复（2）、（3）直到没有可标记的零元素。（5）对未 标记的行和已标记的列画纵、横线，这就得到能覆盖所有零元 素的最少数量的直线集合。
元素个数的定理：矩阵中独立0元素的个数等于能够覆盖所有0元素的最少直线数。
匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一 个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得 到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。
当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为 最小。这种方法总是在有限步内收敛于一个最优解。该方法的理论基础是：在效益 矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。其求解步骤如下 ：
•26.2 匈牙利算法计算实例步骤
以下列矩阵为例：
2 11 3 8
C 5 6
1
9
7 4 10 2
8
10
7
5
计算步骤如下： （1）先让矩阵C中每行元素减去该行元素中的最小值，再让每列元素减去该列元 素中的最小值，这样每行必然会产生至少一个零元素：
2 11 3 8
C 5 6
1
9
7 4 10 2
第一步，修正效益矩阵，使之变成每一行和每一列至少有一个零元素的缩减矩 阵：（1）从效益矩阵的每一行元素减去各该行中最小元素；（2）再从所得缩减矩 阵的每列减去各该列的最小元素。
第二步，试制一个完全分配方案，它对应于不同行不同列只有一个零元素的缩 减矩阵，以求得最优解：（1）如果得到分布在不同行不同列的N个零元素，那么 就完成了求最优解的过程。结束。（2）如果所分布于不同行不同列中的零元素不 够N个，则转下步。
% 寻找独立的列向量和行向量 x_con = find(num_x~=0);
Matching =
第二十六章
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0100 1000 0000 0010 0001
Cost =
6 有结果可知，甲做B任务，乙做A任务，丙不做任务，丁做C任务，戊做D任务。 匈牙利算法对于目标分配是适用的，且仿真速度较快。