第二章 解析函数积分
科西公式
f ( z) dz
l k 1
n
lk
f ( z ) dz
2i , n 1 dz , l: za r l ( z a) n 0 , n 1
ez 2、 z 1 dz ? z
§2.3 科希公式
Cauchy Formula
一、 Cauchy公式：
§2.3 科希公式
d 设 max f ( ) M , d min z , s l长, z 2 d 则 z d , z z z z 2 f ( ) z f 1 f ( ) 1 d d 2 2 z 2 i l ( z ) 2 l z z z
a
l
l
f ( z ) f (a) l z a dz 2 f ( z ) f (a) dz 0 l za
一、 Cauchy公式：
注： 1)更一般：
f ( z) 1 f ( ) d 2i l z
§2.3 科希公式
2）意义： 解析函数在区域内的值由边界上 的积分值确定
注意：（1）上述公式成立，实际上只用到条件： 1 f ( ) 1) f ( z ) d , 2) f ( z ) 连续 l 2i ( z )
（2）对复变函数，若一阶可导，则任意阶导数存在； 对实变函数则不然。
二、科西公式的推论
注意： （3）科西导数公式可用来计算积分： f ( z) 2i ( n ) l ( z a) n1 dz n! f (a)
例2
计算：
*
e
1 z i 2 2
z
z(z 1 )
dz
答：π (sin 1 i cos1)
机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数
u ex siny
u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosy i siny)在全平面可导，解析
f'( z ) u i v e x cy o is x e si y n f( z ) x x
29
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
C-R方程 f (z )在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3 x4 y
其 lx 中 i m 0 k0 ,(k1 ， 2 ,3 ,4 )
y 0
f(z z)f(z) u i v
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
12
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
y0
iy
y0
iy
1uvviu i y y y y
19
f '(z )存在
u i v v i u x x y y
u v v u
x y x
y
定义 方程
uv v u x y x y
记忆
u u
x
y
v
v
x
y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
20
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
第2章、解析函数
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
复变函数与积分变换第二章：解析函数
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程 , 故函数 w z Re( z ) 仅在 z 0 处可导,
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
f ( z z ) f ( z ) z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方 程.
C R方程：
u x v y 0 u y v x 0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )，则在点z 0满足
但u ( x, y )、v( x, y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
定理 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt
的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知 在C 上可导， 在 上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即 在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析． 由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
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定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
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下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一 点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
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2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数 把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数 的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
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第2章 解析函数
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
复变函数与积分变换答案-第2章解析函数
11 27、第二章 解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。
- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。
4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。
1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。
f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。
uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。
z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
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n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
23
2.2 柯西定理
讨论复变函数积分与积分路径的关系 （一） 单通区域情形 单连通区域： 在区域中做任何简单闭合围道，围 道内的点都属于该区域 复连通区域，或称多连通区域
区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一 点。
连续变形：变形时曲线始终属于该区域。
例3 计算 z dz , 其中 C 为 : 圆周 z 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π ),
2π 0
dz 2ie d
i
C
z dz 2 2ie i d ( 因为 z 2 )
4i (cos i sin )d
0 2π
1 k n
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分, 记为
n
y
k z k zk 1
B
C z n 1
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
o
A
1 2
性质(5)可以写为
L
f ( z )dz f ( z ) dz
L
特别地，若在L上有 则性质(5)成为 (6) f ( z)dz ML
L
f ( z) M
，L的长记为L，
注意：高等数学中的积分中值定理不能推移到 复变函数积分上来，例如：
而
2
0
1 2 e i d e i 0 0 i
o
y
B
A
x
3
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个 作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义:
y
简单闭曲线C的正向 P 是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线 o 的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
C2
22
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
y
z
z0
o
r
x
C
1 i 2π dz n (cos n i sin n )d 0; n1 ( z z0 ) r 0
2i , 1 所以 dz n1 ( z z0 ) 0, z z0 r
12
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 ( k , k ) 的取法如何, 下式两端极限存在,
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]k , k )xk u( k , k )yk ]
L L L
函数的和的积分等于各函数积分之和
(4) f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz, 其中L是
L L1 L2
由L1和L2组成的
L
全路径上的积分等于各段上积分之和
L
8
(5) f ( z)dz f ( z) ds
注意到
dz dx idy (dx) 2 (dy) 2 ds
(1) f ( z )dz f ( z )dz; 反转积分路径，积分反号 L L
(2) Rf ( z ) dz R f ( z ) dz, 其中R为复常数
L L
常数因子可以移到积分号外
(3) f ( z ) g ( z )dz f ( z )dz g ( z ) dz;
设 k k i k , 因为 zk zk zk 1 xk iyk ( xk 1 iyk 1 )
( xk xk 1 ) i ( yk yk 1 ) xk iyk ,
11
所以
f ( k ) zk
k 1 n k 1
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z( t ) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt ,
y
C
Re zdz tdt 1 idt
0 0
1
1
i
1 i
y x2
1 i. 2
o
1
x
20
ei 0 (2 0) 0 (0 0 2 )
9
3. 存在的条件和计算法
如果 f ( z ) 是连续函数而 C 是光滑曲线时, 积分 f ( z )dz 一定存在.
C
证 设光滑曲线 C由参数方程给出
z z( t ) x( t ) i y( t ), t
15
C f ( z )dz
f [ z( t )]z( t )dt
如果 C 是由 C1 , C 2 , , C n 等光滑曲线依次 相互连接所组成的按段光滑曲线, 则
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz .
C2 Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
16
例1 计算 zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
C
x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
10
并且 z( t ) 0, t , 如果 f ( z ) u( x , y ) i v ( x , y ) 在 D 内处处连续 , 那么 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 D 内均为连续函数,
C zdz 0 (3 4i ) tdt (3 4i ) 0 tdt
2 2
1
1
( 3 4i )2 . 2
17
例2 计算 Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 上从原点到点1 i 的弧段;
2
(3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
z( t ) t it (0 t 1),
i
y
于是 Re z t , dz (1 i )dt ,
1 i
1 C Re zdz 0 t (1 i )dt 2 (1 i );
1
o
1
x
18
(2) 积分路径的参数方程为
z ( t ) t it 2 (0 t 1),
P P P
x
4
2.积分的定义:
设函数 w f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线, 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A z0 , z1 , , zk 1 , zk ,, zn B ,
在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2,, n) 上任意取一点 k ,
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
{u[ x ( t ), y( t )] iv[ x ( t ), y( t )]}{ x( t ) iy( t )}dt
f [ z ( t )]z( t )dt .
于是 Re z t , dz (1 2ti )dt ,
C Re zdz 0 t (1 2it )dt
t 2i 3 1 2 t i; 2 3 0 2 3
2 1
i
1
y
1 i
y x2
o
1
x
19
(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z( t ) t (0 t 1),
n
[u( k , k ) i v ( k , k )]( xk iyk )
[u( k ,k )xk v ( k , k )yk ]
k 1
n
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
k 1
n
由于 u, v 都是连续函数, 根据线积分的存在定理,
z1 z1
25
z2
z2
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域 B上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边 界），有
l
B
f ( z)dz 0
l
26
由定理得
C1
f ( z )dz f ( z )dz z
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、柯西定理 不定 积分 柯西公式
重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式 难点： 复合闭路定理与复积分的计算
2
2.1复变函数的积分 ——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
1.有向曲线:
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .