第二章解析函数演示文稿
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解析函数的性质ppt课件
即存在 f (z) a ib. 于是 w f z z f z a ib z z ( 0,当z 0) （可微）
(a ib)z (1 i2 )z (a ib)(x iy) (1 i 2 )(x iy)
ax by 1x 2y i bx ay 2x 1y ux, y ivx, y
2
1 1 1
2 4 6
8
10
解析函数退化为常数的几个充分条件：(课下练习) (a)函数在区域内解析且导数恒为零； (b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)解析函数的共轭在区域内解析。
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
6810 y
两族分别以直线y=x和坐标轴 u=024
2
为渐近线的等轴双曲线
8 64 1
v=10 8 6 4
x2y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。
u v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
1x 2x
2y 1y
u
v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
o o
ux vx
vy u
a,
y b.
f
(z)
ux
ivx
vy
iuy .
即w f (z) u(x, y) iv(x, y)在D内一点x,y解析
第二章 解析函数(研究生)
lim R( z )
z 0
lim x 0
x 0 y 0
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【例2】 证明
f ( z ) x 2 yi 在任意点处不可导
f ( z z ) f ( z ) 证明: lim z 0 z
[( x x ) 2( y y )i ] ( x 2 yi ) lim z 0 x yi
存在，则称w = f (z)在z0处可导. 记为
dw f ( z0 ) dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
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【例1】 设 f ( z ) z Re( z ), 求 f (0)
f ( z ) f ( 0) 解: f (0) lim z 0 z 0 zR( z ) lim z 0 z
1. 定理1：
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域D内有定义, 则
f(z)在D内一点z处可导的充要条件是 u (x, y), v (x, y), 在z=(x, y)处可微，且满足C-R条件 .
u x v x
u y v y
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第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 解析函数的充要条件
§3 初等函数
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§1
解析函数的概念
一. 复变函数的导数与微分
1. 导数的定义：设 w = f (z) 在D上有定义, z0 D,
z0 z D 若极限
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
解:方法一:
第二章解析函数
第二章解析函数§1 解析函数的概念§2 函数解析的充要条件§3 初等函数一、重点与难点重点：难点：1. 解析函数的概念；2. 函数解析性的判别1. 解析函数的概念；2. 初等函数中的多值函数及主值的概念二、内容提要复变函数导数微分解析函数初等解析函数指数函数三角函数对数函数幂函数性质解析函数的判定方法可导与微分的关系可导与解析的判定定理双曲函数§1 解析函数的概念1.复变函数的导数与微分2.解析函数的概念1. 复变函数的导数与微分•存在, 则就说f (z)在z0可导, 此极限值就称为f (z)在z0i ) 导数的定义定义设函数w=f (z)定义于区域D, z0为D中一点, 点的导数,记作不出D的范围。
如果极限也就是说, 对于任给的时, 有, 存在, 使得当若f (z )在D 内处处可导, 就说f (z )在Ｄ内可导。
•应当注意, 定义中任意的, 定义中极限值存在的要求与无关, 也就是说, 当都趋于同一个数。
(即)的方式是的方式在区域D 内以任何方式趋于z 0时, 比值例1求f (z)=z2 的导数。
[解] 因为所以例2问f (z)=x + 2yi 是否可导？[解]设沿着平行于x轴的直线趋向于z，因而这时极限设沿着平行于x轴的直线趋向于z ，因而这时极限设沿着平行于y轴的直线趋向于z，因而这时极限所以f (z)=x + 2yi 的导数不存在。
ii)可导与连续容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。
事实上, 由在z0点可导的定义，对于任给的相应地有一个令则,, 使得当时, 有由此得所以即在连续。
iii) 求导法则与实函数相同, 复变函数也有类似的求导公式与法则，罗列如下：, 其中c为复常数。
, 其中n为正整数。
, 其中c为复常数。
, 其中n为正整数。
，其中。
，其中w = f (z)与是两个互为反函数的单值函数，且。
iv) 微分的概念小量, 而设函数w =f (z )在z 0可导, 则有其中因此, 如果函数在z 0的微分存在, 则称函数f (z )在z 0可微。
第二章解析函数
z x iy 处可微且满足C-R条件
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
2第二章-解析函数
Lnz = ln z + i arg z
2/26/2011
而其余各个值可由
Lnz = ln z + 2kπi (k = ±1,±2, …) 表达，对于每一个固定的k, Lnz = ln z + 2kπi(k = ±1,±2,…) 为单值函数，称为Lnz的一个分支，特别，当 z=x>0，Lnz的主值lnz=Lnx，就是实变数对数函数.
2/26/2011
定理二 ： 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的 充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足 柯西‐黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v = , = ∂x ∂y ∂y ∂x
2/26/2011
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 1）
w= z
解： x x 2）因为 u = e cos y, v = −e sin y
∂u x ∂u x = e cos y, = −e sin y; ∂x ∂y ∂v x ∂v x = e sin y, = e cos y, ∂x ∂y
u = e x cos y, v = −e x sin y ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
2/26/2011
并且由于上面四个一阶偏导数都是连续的， 所以f(z)在复平面内处处可导，处处解析， 并且根据
∂u ∂v 1 ∂u ∂v + f ′(z ) = + i = ∂x ∂x i ∂y ∂y
有
x ′ f (z) = e (cosy +i siny) = f (z)
2/26/2011
解： 2 3）由 w = z Re( z ) = x + ixy, 得 所以 ∂u ∂u
第02章_解析函数
z = 0时 z ≠ 0时
0 当∆y = 0, ∆x → 0时 ∆x Q lim 不存在！ = ∴ 不存在！ ∆ z → 0 ∆ x + i∆ y 1 当∆x = 0, ∆y → 0时
֠
复变函数在一点处可导， (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多， 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 这是因为Δ →0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中， 但在复变函数中，却轻而易举。
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程 简称 方程(简称 方 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 在 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 在点 处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 可微， Cauchy-Riemann方程 方程
f (z)在点 0处可导。称此极限值为 (z)在z0的导数， 在点z 在点 处可导。称此极限值为f 在 的导数，
dw 记作 f ' ( z 0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z → 0 ∆z
如果w=f(z)在区域 内处处可导，则称 在区域D内处处可导 如果 在区域 内处处可导， f (z)在区域 内可导。 在区域D内可导 在区域 内可导。
的可导性， 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 的可导性， 函数 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
第2章解析函数new
例2 判断f (z) x 2 yi是否可导？
解 设：z x iy，z x iy，
z z x x i y y
lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
z0
z
lim x 2yi z0 x yi
该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取值
的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
解法二：
考虑极限：
z
lim z 0
z
z
z
lim z 0
z z
设z 0时保持幅角不变：z z ei，z z ei
lim lim lim z0
z z z
z =
z
z z0
z0
z ei z ei
e2i
则z沿不同路径趋于零时，不同，lim z z z 不同
z0
z
则该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取 值的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
复变函数与积分变换
2020/3/27
07:57
Huafeng Zhang
School of Physics and Optoelectronic Engineering, Yangtze University
Δz沿x轴趋于零时：
lim z0
f
z
z
z
f
z
u x
i
v x
Δz沿y轴趋于零时：
lim z0
f
z z
z
f
z
v y
i
u y
若f(z)在z点可导，沿任意方向，极限 lim z0
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第一节 导数
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为 函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节 导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处 处不可导
可导必连续
第一节 导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
第二节 解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析 函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
d dz
1
2
1
d2
dz
2
d1
dz
d dz
1 2
12 12 22
d 1 dz dz d
dF() dF d dz d dz
第一节 导数
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后 在z0处的转动角
=f(z)
d df (z0 ) dz(t0 )
dt tt0
z, f (z) ez , z Re z
设函数 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ) 问当a,b,c,d取何值时，函数f(z)在复平面上处处解析？
如果函数f(z)的导数在区域D内处处为零，那么函数 f(z)在D内为常数。
第二节 解析函数
解析函数的主要性质
x x y y
逆命题不成立
f (z)
Re
z
Im z
xy ,
xy 0
在z=0处不可导
i | xy |, xy 0
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Cauchy
1789年8月2l日出生生于法国巴黎，是一位虔诚的 天主教徒。18l3年在巴黎被任命为运河工程的工 程师；1816年先后被任命为法国科学院院士和综 合工科学校教授；1821年又被任命为巴黎大学力 学教授。1832-1833年任意大利都灵大学数学物理 教授；1833-1838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹 担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后 被授予“男爵”封号。1838年回到巴黎。于1848 年担任了巴黎大学数理天文学教授。
Cauchy-Riemann条件
必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内点z=x+iy可导，则有
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
u v , v u x y x y 3. 在z点处的导数 f (z) u i v v i u .
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
第二节 解析函数
3. 解析函数的充分必要条件 函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
4. 解析函数的充分条件 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且连续； (2)在B内每一点满足Cauchy Riemann条件 那么f(z)在B内解析。
第二节 解析函数
举例
判断下列函
举例
dez ez dz
dLnz 1 dz z
d sin z cosz dz
d cosz sin z dz
d sinh z coshz dz
d coshz sinh z dz
第二节 解析函数
解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数 f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析， 则称f(z)在区域B内是解析函数
dz
dt
Argf '(z0)
第一节 导数
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率
=f(z)
lim f (z) f (z0 ) lim exp( i) lim ei( )
zz0
z z0
zz0 r exp( i ) zz0 s
第一节 导数
f
(z)
zz
sin
1 zz
,
z0
0,
z0
其实部在原点不连续
第一节 导数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 df (z) u i v v i u dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , v 1 u r r r r
举例
f (z) z2
实部
虚部
f (z) sin z
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
第二节 解析函数
给定实部或虚部，求解析函数
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
数理弹性理论的奠基人之一。在单复变函数、分析基础理论、 常微分方程、积分几何、代数学等领域做出了开创性的贡献。
第一节 导数
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u(x, y),v(x, y)在(x, y)点处可微； 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件