九年级上册数学试题

九 年 级 期 末 数 学 试 题 一．选择题（共10小题,每小题3分）1．如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN ；②MP=0.5BD ；③BN+DQ=NQ ；④(AB +BN)/BM 为定值．其中一定成立的是（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①②③④2．已知关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜-2B ．k ＜2C ．k ＞2D ．k ＜2且k≠13．已知M （a,b ）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a 是从l,2,3,4三个数中任取的一个数,b 是从l,2,3，4,5五个数中任取的一个数．定义“点M （a ，b ）在直线x+y=n 上”为事件Q n （2≤n ≤9,n 为整数），则当Q n 的概率最大时,n 的所有可能的值为（ ）A ．5 B ．4或5 C ．5或6 D ．6或74．如图在△ABC 中,D 是BC 中点,DE ⊥BC 交AC 与E,已知AD=AB ，连接BE 交AD 于F,下列结论：①BE=CE ；②∠CAD=∠ABE ；③AF=DF ；④S △ABF =3S △DEF ；⑤△DEF ∽△DAE ，其中正确有（ ）个A ．5 B.4 C.3 D ．25．当你站在博物馆的展览厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P 距地面2.5米，最低点Q 距地面2米，观赏者的眼睛E 距地面1.6米，当视角∠PEQ 最大时，站在此处观赏最理想，则此时E 到墙壁的距离为（ ）米 A ．1 B ．0.6 C ．0.5 D ．0.4 1题图4题图5题图7题图 6．函数y=x 4和y=x 1在第一象限内的图象如图,点P 是y=x 4的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=x 1图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④3CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m 与y=xm （m ≠0）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．8．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）A ．55B ．552C ．5D ．32 9．如图，▱ABCD 中，E 为AD 的中点．已知△DEF 的面积为1，则▱ABCD 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．188题图9题图10．关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ）A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．2二．填空题（共8小题，每小题3分） 11．如图坡面CD 的坡比为1：3，坡顶的平地BC 上有一棵小树AB ，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=3米，则小树AB 的高是____________12．如图，直线y=-x+b 与双曲线y=-x1（x ＜0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则OA 2-OB 2=_______________13．如图是某几何体的三视图及相关数据，请写出一个a ，b ，c ，关系的等式__________11题图12题图13题图 14．如图，点A 在反比例函数y ＝x 4(x ＞0)的图象上，点B 在反比例函数y ＝−x 9(x ＜0)的图象上，且∠AOB=90°，则tan ∠OAB 的值为________．15．如图在△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③AC 2=AP •AB ；④AB •CP=AP •CB ，能满足△APC 与△ACB 相似的条件是___________（只填序号）．16．已知a 、b 可以取-2,-1,1,2中任意一个值(a ≠b),则直线y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是_____17．对于实数a,b,定义运算“﹡”:a ﹡b=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-)(,)(,22b a b ab b a ab a ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2-5x+6=0的两个根，则x 1﹡x 2=____18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠CAB 的平分线交BD 于点E ，交BC 于点F ．若OE=1，则CF=_________14题图15题图18题图三．解答题（共9小题）19．解方程(1)x(x-3)=-x+3 (2) 0.5x 2-2x+1=020．已知关于x 的方程x 2+2（k-3）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2-9|=x 1x 2，求k 的值．21. 点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD=3AE；（2）当α=90°时（如图2），求BD/AE的值．22．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．23．如图，两棵树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？k（x＞0）的图象上，24．如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=x（1）k的值为_____；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．8的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和25．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y＝−x点B的纵坐标都是-2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．26．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．27．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据2=1.414，3=1.732，6=2.449）答案1.【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=0.5AC=0.5BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：2，∴(AB+BN)/BM=2: 2=2，故④正确．故选D．2.【解答】解：根据题意得：△=b2-4ac=4-4（k-1）=8-4k＞0，且k-1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．3.【解答】解：∵a是从l，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．又∵点M（a，b）在直线x+y=n上，2≤n≤9，n为整数，∴n=5或6的概率是1/4，n=4的概率是3/16，∴当Q n的概率最大时是n=5或6的概率是1/4最大．故选C．4.【解答】解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD，∴CE=BE，故本答案正确；∴∠C=∠7，∵AD=AB，∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，∵∠8=∠C+∠4，∴∠C+∠4=∠6+∠7，∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确；作AG⊥BD于点G，交BE于点H，∵AD=AB，DE⊥BC，∴∠2=∠3，DG=BG=0.5BD，DE∥AG，∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，∴CD：CG=DE：AG，HG=0.5DE，设DG=x，DE=2y，则GB=x，CD=2x，CG=3x，∴2x：3x=2y：AG，解得：AG=3y，HG=y，∴AH=2y，∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1∴△DEF≌△AHF∴AF=DF，故本答案正确；EF=HF=0.5EH，且EH=BH，∴EF：BF=1：3，∴S△ABF=3S△AEF，∵S△DEF=S△AEF，∴S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，∴∠5=∠3+∠4，∴∠5≠∠4，∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．综上所述：正确的答案有4个．故选B．5.【解答】解：由题意可知：据PR=2.5m，QR=2m，HR=1.6m，HE=x，∴HQ=QR-HR=0.4m，PH=PR-HR=0.9m，∵HE是圆O的切线，∴HE2=HQ•HP，∴x2=0.4×0.9解得：x=0.6．故选：B．1上的点，∴6.【解答】解：∵A、B是反比函数y=xS△OBD=S△OAC=1/2，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；4的图象上一动点，∵P是y=x∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4-0.5-0.5=3，故③正确；连接OP，S△PO C/S△OAC=PC/AC=4，∴AC=1/4PC，PA=3/4PC，∴PA/AC=3，∴AC=1/3AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．m的图象可知m＞0，故A选项正7.【解答】A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=xm的图象可知m＞0，相矛盾，故B选项确；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=x错误；C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m ＜0，相矛盾，故D选项错误；故选：A．8.【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=25．∴cos∠ABC=552．故选B．9.【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF：S△BCF=（DE/BC）2，又∵E是AD中点，∴DE=0.5AD=0.5BC，∴DE：BC=DF：BF=1：2，∴S△DEF：S△BCF=1：4，∴S△BCF=4，又∵DF：BF=1：2，∴S△DCF=2，∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．故选B．10.【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴(3a+1)/a-(2a+2)/a=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选：B．11、43【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为1：3，得：DE=3x，则根据勾股定理得：x2+(3x)2=(3)2，得x=±3/2，-3/2不合题意舍去，所以，CE=3/2米，则，ED=3/2米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+3/2=9/2米，在Rt△AFD中，由三角函数得：AF/FD=tan∠ADF，∴AF=FD•tan60°=9/2×3=93/2米，∴AB=AF-BF=AF-CE=93/2-3/2=43米，故答案为：43米．12、2【解答】解：∵直线y=-x+b与双曲线y=-x1（x＜0）交于点A，设A的坐标（x，y），∴x+y=b，xy=-1，而直线y=-x+b与x轴交于B点，∴OB=b∴又OA2=x2+y2，OB2=b2，∴OA2-OB2=x2+y2-b2=（x+y）2-2xy-b2=b2+2-b2=2．故答案为：2．13、a2+b2=c2【解答】解：∵圆锥的母线长为c，圆锥的高为b，圆锥的底面半径为a，且圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形，∴根据勾股定理得：a2+b2=c2故答案为：a2+b2=c214、【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴S △OB D /S △A OC ＝(OB/OA)2，∵点A 在反比例函数y ＝x 4(x ＞0)的图象上，点B 在反比例函数y ＝−x9(x ＜0)的图象上，∴S △OBD =4.5，S △AOC =2，∴OB/OA=3/2，∴tan ∠OAB=OB/OA=3/2．故答案为：1.5．15、【解答】解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．故相似的条件是①，②，③． 16、1/6．【解答】解：列表如下：-2 -1 1 2 -2（-1，-2） （1，-2） （2，-2） -1（-2，-1） （1，-1） （2，-1） 1（-2，1） （-1，1） （2，1） 2 （-2，2） （-1，2） （1，2）所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b 不经过第四象限情况数有2种， 则P=2/12=1/6．故答案为：1/6．17、【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-5x+6=0的两个根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2，①当x 1=3，x 2=2时，x 1﹡x 2=32-3×2=3； ②当x 1=2，x 2=3时，x 1﹡x 2=3×2-32=-3．故答案为：3或-3．18、【解答】解：作EG ⊥AB 于G ，根据角平分线的性质可得，EG=OE=1，又BD 平分∠ABC ，则∠ABE=45°∴△EBG 是等腰直角三角形，可得BE=2，则OB=1+2，可得BC=2+2又∠AFB=90°-∠FAB ，∠FEB=∠OEA=90°-∠FAC ，∴∠AFB=∠FEB∴BF=BE=2则CF=BC-BF=2+2-2=2．19、【解答】(1)x=3或x=1 (2)x=2+3或x=2-320、【解答】（1）根据题意，得△≥0，即[2（k-3）]2-4k 2≥0，解得，k ≤1.5；（2）根据韦达定理，得x 1+x 2=-2（k-3），x 1x 2=k 2，∴由|x 1+x 2-9|=x 1x 2，得|-2（k-3）-9|=k 2，即|2k+3|=k 2，以下分两种情况讨论：①当2k+3≥0，即k ≥-1.5时，2k+3=k 2，即k 2-2k-3=0，解得，k 1=-1，k 2=3；又由（1）知，k ≤1.5，∴-1.5≤k ≤1.5，∴k 2=3不合题意，舍去，即k 1=-1；②当2k+3＜0，即k ＜-1.5时，-2k-3=k 2，即k 2+2k+3=0，此方程无实数解．综合①②可知，k=-1．21、【解答】解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由：∵∠ABC=∠ACB=60°∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB∴△ABC是等边三角形②证明：同理△EBD也是等边三角形.连接DC，则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°在Rt△EDC中CD/ED＝tan30°＝3/3，∴AE/BD＝3/3，即BD＝3AE．（2）连接DC，∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°,∴△ABC∽△EBD∴AB/EB＝BC/BD，即AB/BC＝EB/BD又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，AE/CD＝BE/BD∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=3x,在Rt△EDC中CD=DE•tan60°＝23x∴AE＝DC•BE/BD＝23x•3x/X＝6x＝6BD，即BD/AE＝1/6．22、【解答】（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，AB＝AC,∠BAE＝∠ACF, AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°-∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴AP/AC＝AE/AP，即AP/6＝2/AP，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=23，点P的路径是l＝120π•23/180＝43/3π．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：33．所以，点P经过的路径长为43/3π或33．23、【解答】解：设FG=x米．那么FH=x+GH=x+AC=x+4（米），∵AB=6m，CD=8m，小强的眼睛与地面的距离为1.6m，∴BG=4.4m，DH=6.4m，∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD，∴FG：FH=BG：DH，即FG•DH=FH•BG，∴x ×6.4=（x+4）×4.4，解得x=8.8（米），因此小于8.8米时就看不到树CD 的树顶D ．24、【解答】解：（1）将A （1，6）代入反比例解析式得：k=6；故答案为：6；（2）将x=3代入反比例解析式y=x6得：y=2，即M （3，2）， 设直线AM 解析式为y=ax+b ，把A 与M 代入得：a +b ＝6, 3a +b ＝2，解得：a=-2，b=8，∴直线AM 解析式为y=-2x+8；（3）直线BP 与直线AM 的位置关系为平行，理由为：当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，∵A （1，6），M （m ，n ），且mn=6，即n=m 6，∴B （0，6），P （m ，0）， ∴k 直线AM =n n --16=)1(66---m m m =-m 6，k 直线BP =-m 6，即k 直线AM =k 直线BP ，则BP ∥AM ． 25、【解答】（1）由题意A （-2，4），B （4，-2），∵一次函数过A 、B 两点，∴4＝−2k +b,−2＝4k +b ，解得k ＝−1, b ＝2，∴一次函数的解析式为y=-x+2；（2）设直线AB 与y 轴交于C ，则C （0，2），∵S △AOC =0.5×OC ×x A ，S △BOC =0.5×OC ×x B ，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =0.5OC • |x A |+0.5OC • |x B |=0.5×2×2+0.5×2×4=6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围是x ＜-2或0＜x ＜4．26、【解答】（1）设平均每次下调的百分率为x ．由题意，得5（1-x ）2=3.2． 解这个方程，得x 1=0.2，x 2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x 1=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．27、【解答】解：在Rt △ABC 中，∵AB=5，∠ABC=45°，∴AC=ABsin45°=5×2/2=52/2，在Rt △ADC 中，∠ADC=30°，∴AD=AC/ sin30°=52=5×1.414=7.07，AD-AB=7.07-5=2.07（米）．答：改善后滑滑板约会加长2.07米．。