四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆 全国通用
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1)，而上式的右端，可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时，有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
整数的拆分(三、四年级)
整数的分拆【例1】（★★）把10个相同的乒乓球分成两堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【拓展1】（★★）把10个相同的乒乓球分成三堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【例2】（★★★）妈妈买了15根相同的巧克力，明明和黄黄都特别喜欢吃。
他俩把所有巧克力都吃完，有多少种不同的情况（每人至少吃3根）？【拓展2】（★★★）把20本相同的故事书放在一个三层书架上，每层至少放5本，那么有多少种不同的放法？【例3】（★★★）一个农民准备用一根长36米的铁丝网围成一块长方形的菜地，要求长方形的长和宽都是自然数。
这块菜地的面积最大是多少平方米？【拓展3】（★★★）用一段木栅栏围出一个面积是36平方米的长方形，要求每条边都是整数，那么这个长方形的周长最短是多少？【例4】（★★★）把17分成若干个整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展4】（★★★）把10拆成若干个可重复的自然数的和，使这些自然数的乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【例5】（★★★★）把25分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展5】（★★★★）把40分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？【拓展5】（★★★★）把43分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？小测试1.（★★）把15件相同的衣服分成两堆，每堆至少有1件衣服，有多少种不同的分法？2.（★★★）把11张相同的照片分成三堆，每堆至少有2张照片，有多少种不同的分法？3.（★★★）把21枝相同的铅笔分给明明和黄黄两位同学，每人至少分得6枝，有多少种不同的分法？4.（★★★）把18只小狗关在三个铁笼子里，每个笼子至少关4只，那么有多少种不同的关法？5.（★★★）有一段20米长的木栅栏，围出一个长方形，要求长方形的长和宽都是自然数，那么这个长方形的面积最大是多少？6.（★★★）两个自然数的积为60，这两个数分别可能是多少？它们的和最大可以为多少？最小呢？7.（★★★）把19分成几个可重复自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？8.（★★★）把14分成若干个可重复的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？9.（★★★★）（1）把20分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（2）把21分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（3）把26分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？。
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
思维训练整数的拆分
整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？例2 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.例3 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？例4将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.例5将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.自我挑战1．把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？2.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.作业1.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.3.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.4.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？5.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？（思考）6.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个？。
第05讲 整数分拆
第五讲 整数分拆整数分拆这一讲属于奥数七大重点专题——计数的基础；培养同学们有序思考问题的能力——思考问题时要按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
本讲涉及到三方面的内容：1.与整数分拆相关的计数问题（这是本讲的重点）；2.与整数分拆相关的应用题（如何分析题意把实际问题转化成数学问题）；3.与整数分拆相关的最值（最大与最小）问题（数论中最值问题的基础）；一、 与整数分拆相关的计数问题数数计数最重要的是按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
超常123班学案一：将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？分析与答：本题相当于把15拆成4个互不相同的非0自然数相加，问有多少种不同的分拆方法？（注意不能有0，否则就不是4堆了）15=1+2+3+9（注意拆分顺序：几个数由小到大排列或有大到小排列保证不重复）=1+2+4+8（注意变化顺序：尽可能多的固定前面的数，变化最后两个数，并且按顺序依次调整，保证不遗漏）=1+2+5+7（1、2开头的已经没有了，即变化后两个数已经调整不出来其他结果，再按顺序调整倒数第三个数）=1+3+4+7=1+3+5+6（只变化后三个数已经调整不出来了，最后再调整第一个数） =2+3+4+6小结：本题不难，希望同学们通过本题理解整数分拆的枚举顺序。
有序枚举，不重不漏。
例1：从1~12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同自然数之和。
分析与答：体会本题和上题的区别：上题没有给范围，而这道题要求数的范围在1~12之间。
这时孩子们通常会有两种入手角度：（1）26=1+2+11+12（2）26=12+11+2+1那么哪个角度拆分起来既容易且迅速呢？是第二种。
方法一里26=1+后三个数，相当于把25分拆成后三个数的和，而方法而里26=12+后三个数，相当于把14分拆成后三个数的和，明显14较容易分拆一些。
所以，一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
四年级下册数学精品课件-思维拓展训练：4.2整数的分拆 全国通用 (17页PPT)
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一 面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
长：60÷2=30（米） 宽：30÷2=15（米）
“长+2×宽”的和一定，长与2×宽越接近， 乘积越大。
和为10的两个整数很多啊，两个 整数相乘，积最大的是哪个呢？
把和为10的两个整数分别列举出来， 算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
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2
16
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3
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4
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5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
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18
12
37
20
15
4
6
9
6
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
30×15=450（平方米）
答：这个院子面积最大是450平方米。
例4：把12分成几个自然数的和，再求出这些自然数的积，要使乘积尽 可能的大，最大的积是多少？
四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆 全国通用 17页
1.花 朝 ， 是 成 都花 会开幕 的日子 地点在 南门外 十二桥 边的青 羊宫花 会期有 一个月 这是一 个成都 青年男 女解放 的时期 花会与 上海的 浴佛节 有点相 像，不 过成都 的是以 卖花为 主，再 辅助着 各种游 艺与各 地的出 产。
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最 后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
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20154696
13
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小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
4.联 系 实 际 ， 挖掘 材料的 闪光点 。生活 中有些 事情看 似平淡 无奇， 但它却 是整个 社会的 基础， 对这些 生活素 材进行 多方面 的思考 ，深入 的开掘 ，就能 够从具 体的人 事景物 概括出 人类普 遍的感 情和抽 象的道 理。
5． 重 视 细 节 描写， 于细微 处见大 。这是 很重要 的一个 环节， 因为要 于细微 处见事 物的大 ，往往 是通过 其细部 特征传 达出来 的，写 得越细 致，越 深入， 给读者 留下的 印象就 越深， 所体现 出的道 理就越 深。
2这篇文章用河神见海神的寓言故事说 明哲理 ，通篇 都是设 喻而这 些比喻 又是通 过奔放 新奇的 想象和 浓厚的 浪漫主 义情调 抒写出 来的。 庄子把 一切自 然事物 、神话 传说都 具体化 、人格 化。
整数分拆
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
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把和为10的两个整数分别列举出来， 算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
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例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
12÷4=3 3×3×3×3=81
12÷5=2……2 2×2×2×3×3=72
12÷6=2 2×2×2×2×2×2=64
6×6=36 4×4×4=64 3×3×3×3=81 2×2×2×3×3=72 2×2×2×2×2×2=64
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最 后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
2、整数的分拆
张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两 堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的 篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？
甲数
乙数
积
10
0
09Leabharlann 1982
16
7
3
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6
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5
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例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
板书：
[教学目标]
1．知识与技能
通过复习加深对乘法意义的认识，复 习巩固1 —9的 乘法口 诀，提 高学生 用数学 知识解 决数学 问题的 能力。 培养学 生认真 、仔细 的学习 习惯。
2．过程与方法
对所学知识技能、思想方法进行总结 与反思 ，系统 认识本 单元的 学习内 容，培 养学生 对所学 知识进 行系统 整理的 能力。
师：今天我们来学习100以内减法中的 不退位 减法。 同学们 先将课 本翻到 17页， 看书上 的图。
教师先提问几个问题引起同学的兴趣 ，如： 大家知 道奥运 会么？ 奥运会 几年举 办一次 ？大家 知不知 道2008 年的奥 运会是 在哪里 举办的 ？2008 年奥运 会哪个 国家取 得的金 牌最多 ？
1、把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它 们的积最大。
2、把一个整数分成几个因数相乘，当几个因数相等或接 近时，和最小。
3、把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最后 一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
1、教学例1。
答：这两个数的积最大是25。
把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们 的积最大。
例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？
能直接把58分拆吗？
不能，58是两个长与两个宽的和。 根据周长=（长+宽）×2，
可以求出长与宽之和。
知道了长与宽的和，求长方形面积， 也就是求长与宽的积，就可以用 上面的模型了。
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
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小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
然后，教 师引导 学生读 金牌榜 。
师：同学们都看完了么？现在请大家 翻到课 本的第1 8页， 看例题1 。
教师板书 ：“美 国比俄 罗斯多 多少枚 金牌？ ”
教师带同 学审清 题意， 弄清条 件和问 题，找 到有用 的数据 。
师：哪位 同学能 告诉老 师这道 题怎么 列竖式 ？
教师根据同学的回答进行总结，板书 ：36－2 3＝。
58÷2=29（米） 29÷2=14（米）……1（米） 14×（14+1）=210（平方米） 答：这个长方形的面积最大是210平方米。
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一 面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
长：60÷2=30（米） 宽：30÷2=15（米）
“长+2×宽”的和一定，长与2×宽越接近， 乘积越大。
师：现在 我们已 经列出 了算式 ，接下 来就要 计算了 ，怎么 计算呢 ？哪位 同学能 计算出 来，请 举手。
教师引导 同学站 起来说 出自己 的计算 思路， 并进行 总结和 评价。
师：很好，同学们都会用自己的方法 计算这 道题。 今天老 师要向 大家介 绍一个 新的办 法，用 竖式解 决这道 题。这 就是我 们今天 所要学 的:不退 位减法 的竖式 计算方 法。现 在老师 就把这 个算式 的竖式 列出来 。
30×15=450（平方米）
答：这个院子面积最大是450平方米。
例4：把12分成几个自然数的和，再求出这些自然数的积，要使乘积尽 可能的大，最大的积是多少？
没有限制我们分成几个数， 有很多种分法啊，这怎么做？
简单啊，从分成两个数 的情况开始考虑。
12÷2=6 6×6=36
12÷3=4 4×4×4=64
3．情感·态度·价值观
激发学生 的学习 兴趣， 对学生 进行学 习兴趣 的培养 。
[教学重点和难点]
重点：巩固表内乘法,能熟练地用口诀 计算,并 能解决 简单的 实际问 题。