微分方程习题及解答
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第十二章 微分方程
§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程
一、单项选择题
1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．
(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；
(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．
答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．
(A)1； (B)2； (C)3； (D)4；
答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．
(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；
(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+
答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．
(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；
(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．
答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．
(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；
(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．
答(D). 二、填空题
1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .
2．微分方程3d d 0,4x x y y y x
=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32
52
x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.
5．'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．
6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x
=． 三、解答题
1．求下列微分方程的通解．
(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x
++= 解： 解：
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2
sin ln ,x y x y y y e π='==；
解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x
+=． 解： 解：
3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅．
§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程
一、单项选择题
1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).
2d (A)3(ln )d y y x y x x
+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x
=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．
(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；
(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).
3. 方程y y x y x ++='22是( )．
(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).
二、填空题
1．微分方程d d x y y e x
-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：3
3
x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=．
三、简答题
1．求下列微分方程的通解：
(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x
=； 解： 解：
(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x
-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：
(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．
解：
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x
=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：
3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x
-=的通解． 解：
§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程
一、单项选择题
1. 方程x y sin ='''的通解是( ).
(A)32212
1cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=；