线性代数 矩阵及其运算
线性代数的矩阵运算
线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。
通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。
本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。
对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。
而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。
新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
记作C = A × B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。
线性代数3.矩阵及其运算
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
0
注意：丌同型
0 0 0 0 . 的零矩阵是丌
相等的.
0 0 0 0
10
2.2 矩阵运算
一、矩阵的加法和减法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 不 B 的加法和减法规定为：
a11 b11
A
B
a21
b21
a21b11
a22b21
a2sbs1
a21b12 a22b22 a2sbs2
a21b1n
a22b2n
a2sbsn
.
am1b11
am2b21
amsbs1
am1b12 am2b22 amsbs2
am1b1n
am2b2n
amsbsn
mn
17
例
? 2
1
4 2
2
22
3
aaaa1212111
aa1122 aa222
aaaa12123333aaaa1212111
bb1122 bb222
aaaa1212333322aaaa1212111
aa1122bb1122 aa222bb222
aa2212a3a3 1233
aa3311 aa3322 aa333 aa3311 bb3322 aa333 2aa3311 aa3322bb3322 a23a3 33
1
2
4 2
2 0
3 1
0
17
14 13
3
10
,
解法2
0
( AB)T
14
3
17
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数矩阵运算法则
线性代数矩阵运算法则线性代数是数学的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射。
在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它可以用来表示线性变换和解线性方程组。
矩阵运算是线性代数中的重要内容，它包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等运算法则。
本文将详细介绍矩阵运算的各种法则，以及它们的应用。
1. 矩阵的加法。
设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和记作C=A+B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
即C的第i行第j 列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
例如，如果。
A=[1 2 3。
4 5 6]B=[7 8 9。
10 11 12]则A+B=[8 10 12。
14 16 18]。
2. 矩阵的减法。
矩阵的减法与矩阵的加法类似，设A和B是两个m×n的矩阵，它们的差记作C=A-B，其中C中的每个元素都等于A和B对应位置的元素之差。
即C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素减去B的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的数乘。
设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数，则kA记作B，其中B 中的每个元素都等于k乘以A对应位置的元素。
即B的第i行第j 列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
4. 矩阵的乘法。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作C=AB，其中C是一个m×p的矩阵，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
即C的第i行第j列的元素等于A的第i行的每个元素与B的第j列的对应元素的乘积之和。
矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一，它在解线性方程组和表示线性变换等方面有着重要的应用。
5. 矩阵的转置。
设A是一个m×n的矩阵，则A的转置记作AT，AT是一个n×m的矩阵，AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
即AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数中的矩阵运算
线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。
本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。
其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。
二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。
矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。
加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。
三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。
设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。
在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。
矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。
用向量的形式表示C = A×B。
在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。
(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是一个由数个数按照矩形排列的数表。
矩阵的运算是对矩阵进行各种数学操作的过程，通过矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置。
矩阵的加法是指将两个矩阵对应元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
加法的交换律指两个矩阵相加的结果与顺序无关；加法的结合律指三个矩阵相加的结果与加法的顺序无关。
乘法的结合律指三个矩阵相乘的结果与乘法的顺序无关；乘法的分配律指一个数与两个矩阵相乘的结果等于这个数与每个矩阵相乘后再相加的结果。
矩阵运算的应用非常广泛，特别是在线性代数、概率论和统计学中。
在线性代数中，矩阵的运算可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和行列式、求解特征值和特征向量等问题。
在概率论和统计学中，矩阵的运算可以用于计算协方差矩阵、相关矩阵和条件概率矩阵，从而帮助我们分析和理解数据的关系和分布。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算。
例如，矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵，可以找到一个矩阵使得两个矩阵相乘等于单位矩阵。
矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的迹运算是指矩阵主对角线上元素的和。
这些特殊的矩阵运算在实际应用中也有着重要的作用。
总的来说，矩阵的运算及其运算规则是线性代数中的重要内容，通过对矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算，如矩阵的逆运算、转置运算和迹运算。
这些矩阵运算在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们解决各种数学和统计问题。
矩阵及其运算详解
矩阵及其运算详解矩阵是线性代数中重要的概念之一，它不仅在数学理论中有广泛应用，也在各个领域的实际问题中发挥着重要作用。
本文将详细介绍矩阵的概念、性质以及常见的运算法则，以帮助读者深入了解和掌握矩阵相关的知识。
一、矩阵的定义和基本性质矩阵是一个按照矩形排列的数集，通常用方括号表示。
一个 m×n的矩阵包含 m 行和 n 列，并用 aij 表示第 i 行、第 j 列的元素。
例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [ a11 a12 a13a21 a22 a23 ]其中，a11、a12 等分别表示矩阵中不同位置的元素。
对于一个 m×n 的矩阵 A，当且仅当存在 m×n 的矩阵 B，满足 A = B，我们称 B 是 A 的转置矩阵。
转置矩阵中的每个元素是原矩阵对应位置元素的转置。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则使其成为一个线性空间。
对于同型矩阵 A 和B，它们的和 A + B 的结果是一个与 A、B 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素的和。
减法规则类似，也是对应元素相减。
矩阵的数乘指的是将一个矩阵的每个元素乘以一个标量。
即对于矩阵 A 和一个实数 k，kA 的结果是一个与 A 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素乘以 k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算。
对于矩阵 A 和 B，若A 的列数等于B 的行数，则可以进行乘法运算 AB。
结果矩阵C 是一个 m×p 的矩阵，其中的元素 cij 是通过计算矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B的第 j 列对应位置元素的乘积，并将结果相加得到的。
4. 方阵和单位矩阵方阵是指行数和列数相等的矩阵，也称为正方形矩阵。
单位矩阵是一种特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其它位置元素均为0。
单位矩阵通常用 I 表示。
三、矩阵的性质和应用1. 矩阵的转置性质矩阵的转置运算具有以下性质：- (A^T)^T = A，即两次转置后得到原矩阵。
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例2 设
1 2 3 A= , 4 5 6
求AB. 解
1 0 −1 B = 0 1 2 3 −1 0
1×0+2×1+3× −1) 1× −1) + 2×2 +3×0 1× 1) +2×2+3×0 − 1×1+2×0+3×3 1×0+2×1+3×((−1) 1×(((−1)+2×2+3×0 AB= ( × 4×1+5×0+6×3 4×0+5×1+6×(−1) 4×−1) +5 2+6×0
a11 A= a22 ⋱ ann
对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, ann) 对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E(或 E I). n阶单位矩阵也记为En(或In), 即 E
1 1 E=I= ⋱ 1
例4 求矩阵
4 −8 A= , −2 4 1 2 B= 2 4
求AB BA AB和BA AB BA。 解
−12 −24 AB = 12 6
0 0 BA = 0 0
由例题可见，即使AB BA AB与BA AB BA都是2阶方阵, 但它们还是。 A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出 A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY B 也不能得到X=Y的结论。
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij A =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B A+B. A B A+B 即
a11 + b11 a21 + b21 A+B = ... a + b m1 m1 a12 + b12 a 22 + b22 ... a m 2 + bm 2 a1n + b1n ... a2 n + b2 n ... ... ... amn + bmn ...
定义2.2 定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 A B AB=BA BA=E AB BA E 则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 A B A B A 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵. 显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆。 E E 若矩阵A, B, C A, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则 A 由 由 BA=C AB=C 可得 CA-1=B B 可得 A-1C=B B
0 1 0 0 A= , B = 0 0 0 1
A1=A， A2= A1 A1 ，…, Ak+1=AkA1
矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵, k和l A B
如
有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,…), 但AB≠BA. ≠
设A= ij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A的行 A=(a A= A 列式, 记为detA(或|A|), 即detA=|A|=|aij|n. 方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k A B 是常数) （ⅰ）det(AT) =detA （ⅱ）det(kA) =kndetA （ⅲ）det (AB)=detA·detB =
n阶单位矩阵也可表示为: En=(δij)n, 其中
1, δ ij = 0, i = j, i ≠ j.
单位矩阵具有性质：Am×nEn= Am×n , ：
EmAm×n= Am×n
设A为方阵, 定义A的幂为: A0=E, 是非负整数) （ⅰ）Ak Al =Ak+l （ⅱ）(Ak)l=Akl （ⅲ）AB=BA时有: (AB)k=AkBk = 注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA. =
a11 a21 A= ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn a11 T a12 A = ... a1n a21 a22 ... a2 n ... am1 ... am 2 ... ... ... amn
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:
a11 a 21 A= ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的 A A 第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。 A A 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素为复数的矩阵称 实矩阵, 实矩阵 为复矩阵 复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。 复矩阵 下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t, A aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为 A B A=B. B 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）(AT)T=A ； （ⅱ）(A+B)T=AT+BT ； （ⅲ）(kA)T=kAT ； （ⅳ）(AB)T=BTAT ； 行数和列数相等的矩阵称为方阵. n×n阶矩阵称为n阶 方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也 称为对角矩阵. 即
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 = ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
n
... c1 p ... c2 p ... ... ... cmp
其中
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj = ∑ aik bkj
k =1
注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B A, B A B 的行数, 且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同. A B
注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例1 设
1 2 3 1 0 2 A= , B = , 4 5 6 −1 3 0
2 2 5 则 A+ B = 3 8 6
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同 的零矩阵是不同的. 设A=(aij)m×n, 称矩阵(−aij)m×n为A的负矩阵, 记− A. A A 定义两个矩阵的减法为: B−A=B+(− A). A B 矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵): A (ⅰ)交换律：A+B=B+A A+B=B+A (ⅱ) 结合律: (A+B C=A+(B+C) A+B)+C A B C A+B (ⅲ) A+0 A A+0=A (ⅳ) A+(− A)=0 0
矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ; (AB)C= A(BC) (AB) （ ⅱ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ; AB C AC (B+C)A= BA+CA; B+C A BA CA; B+ （ ⅲ ）数的结合律：k(AB =(kA)B=A kB); AB)= A B=A B B=A( AB 五 矩阵的转置 设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , A B i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A′, 即 A B A
三、数乘法 设k为数, A=(aij)m×n为矩阵, 则矩阵(kcij)m×n (其中cij 称为k与B的乘积记作kA或Ak. 即 B A A
ka11 ka21 kA = Ak = ... kam1 ka12 ka22 ... kam 2 ... ka1n ... ka2 n ... ... ... kamn
数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵) A （ⅰ）1A= A A= （ ⅱ ）结合律：(kl)A= A) A=k(l A= （ ⅲ ）数的分配律： (k+l) A= A+lA A=kA A （ ⅳ ）矩阵的分配律： k(A+B =kA+kB. A+B)= A B. A+B
四、乘法 设矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, 则矩阵C=(cij)m×p (其 A C 中cij =∑aikbkj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,p) 称为A与B的乘积, A B 记作C=AB 即 C AB AB.
称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵 是方阵. 设A=(aij)n, 则A是对称矩阵⇔aij=aji , 即
a11 a12 A= ... a1n a12 a22 ... a2 n ... a1n ... a2 n ... ... ... ann
第二章
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论