半角旋转模型

.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型，EAF＝45°分别是BC、CD上的点，且∠ABCD 探究：（1）如图1，在正方形中，E、F结判断，直接写出系三条线段之间的数量关断试判BE、DF与EF ；果：、，E＋∠D＝180°在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“1）问中的结论是否仍然成立？若1∠BAD”，则（BCF分别是边、CD上的点，且∠EAF=2成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；延长CDF运动到BC、AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、3（）在（2）问中，若将△线上时，）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予1如图3所示，其它条件不变，则（..以证明边上的点，BC分别为DC、1，在正方形ABCD中，点E、F小伟遇到这样一个问题：如图=45°EF．DE，连结EF，求证：+BF=∠EAF yDADADDAC首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段要想解决这个问题，小伟是这样思考的：EEEA上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将BOCCBGBFBFCx90°顺时针旋转BFDE+．A（如图△ADE绕点得到△ABG2），此时GF即是4图3图图1图2y．中，∠请回答：在图2GAF的度数是DDAADAD参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：C BC，＞AD∥BC（ADABCD）（1）如图3，在直角梯形中，EEEA∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，yBOCCBFBCGBFx，则DE=4BE= ．D4图3图图1图2（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B是x轴上一C1 / 7AOBx4图动点，且点A（，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作3 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y= ．?MAN?45AABCD、DC已知：正方形顺时针旋转，它的两边分别交中，，绕点CB、N．（或它们的延长线）于点MABM?DNBM?DN?ANMN?MAN?M时，有绕点旋转到．当（1）如图1，当ABM?DN 时，如图2，旋转到请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请绕点给予证明，如果不成立，请说明理由；AMNDNMAN，BM?之间有怎样的等绕点和旋转到如图3（2）当的位置时，线段量关系？请写出你的猜想，并证明．24．如图在，1腰等角直△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF 与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF 与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．lABCDEFDE?2，和有一条边在同一条直线上，，25海淀．如图1两个等腰直角三角板MEBE?45ABCADAB?1．于点．将图1中的三角板将直线绕点逆时针旋转，交直线E klC．沿直线向右平移，设、两点间的距离为2 / 7图3 图1 图2解答问题：AM FC与点重合时，如图2所示，可得；的值为（1）①当点DM AM k②在平移过程中，；的值为（用含的代数式表示）DM C ABCA落在逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变绕点.当点（2）将图2中的三角板AM DF所示，请补全图形，计算线段3的值；上时，如图DM??90?0，原题中的其他条件保度，）将图（31中的三角板ABC绕点C逆时针旋转≤AM的值（用含k的代数式表示）．.持不变计算DM昌平22.阅读下面材料：，=5=4，PCABC 内有一点P，且PA=3 ，PB小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形.APB的度数求∠??CAPPP，得到两，利用旋转和全等的知识构造△，连接小伟是这样思考的：如图2 个特殊的三角形，从而将问题解决．AACD'PPPPBBABCC 4图图 2 图 3 图1DECFPBA请你回答：图1中∠APB的度数等于.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：1722，则∠APB，A，且内有一点，在正方形）如图（13ABCDPP=PB，=1PD=的3 / 7度数等于，正方形的边长为；132，则∠APB=的，PB=1，PF（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=度数等于，正六边形的边长为．通州24.（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E 在CP上，求点C的坐标．PABC yy x中，正方形1，将其沿xOy轴的正(西城19)如图所示，在平面直角坐标系的边长为yPAB得到第二个90为旋转中心将正方顺时针旋方向连续滚动即先以顶方形再以顶为旋转中心将第二个正方形顺时针旋90得到第三个正方形，依方法继续滚动下去得到第四个正方形，个正方形．设滚动过程中的点P的标为xxxCOOO的坐标；1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P（备用图备用图题图第24x),yP(x x轴所围成区域的面）0≤，并直接写出该曲线与≤4）画出点（2运动的曲线（积．东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形AD∥BCABCD中，，AB=BC=CD，在AD，CD点M，N 分别上，若1∠ABC，试探∠MBN=2究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AMDA，CD的延长线上，若∠MBN=，2CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△ABC．（1）如图1，当点C在线段CA的延长线上时，求∠CCA的度数；11111（2）如图2，连接AA，CC．若△CBC的面积为3，求△ABA的面积；1111（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P，直接写出线段EP长度的最大值与最小值．114 / 7C1APC1A CA11AA1E1PCBCBCB3图图1图2A1AC分别为AB、上的点．ABC中，∠A=90°，D、E朝阳24．在Rt△，交EB于点G∥EB，且CF=EB，连接DF（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB连接BF，请你直接写出的值；DC1EB，求kkAB，BD=kAE，的值．（2）如图2，CE=?2DC AA?EE在△，点中，∠ACB=90°，∠ABC=ABC的内部．西城24P．在Rt△ABC?D如图分别在(1) PB=3，点M、BC边上，则cosN=_______，1，AB=2AC，AB、DG PMN 周长的最小值为_______△；BCBC10 ，求△=ABC，PC的面积；2，若条件AB=2AC不变，而PA=1=，PB(2) 如图2??nm k sin?k?mcosn，直接写出∠，且=APB，PC=(3) 若PA=的度数．，PB F21 图图边上一点，点是ABD为BC边的中点，点F门头沟24．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，线段DM 与AE之间的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段DM 与AE之间的数量关系是；?<90?<?0?）时，线段DM 与AE（3）①如图3，当（之间的数量关系??ABC是；②在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连结CP，若AB＝7，AE＝，72求sin∠ACP的值．ABCDABCDE A与正方形将三角板放在正方形使三角板的直角顶点上，24顺义．如图1，G.CBCDFA的顶点，另一边交重合．三角板的一边交于点的延长线于点EE EG?EF；（1）求证：AEA ACABCDE始终在正方形使顶点移动三角板，）如图2，的对角线上，其他条件不变，（2FFFM（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；MM ABCDABCD”，且使三角板”改为“矩形的一边经3（）如图3，将（2）中的“正方形BBBDCD EF CDC AB?aBC?bB，其他条件不变，若，，求的值．过点图1图2图3EG朝阳5 / 722．阅读下列材料：ABC，AC=5，在△1 小华遇到这样一个问题，如图,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6AD 的最小值．PB+PC求，连接PA、PB、PC，PA+内部有一点P EA首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分要解决这个问题，小华是这样思考的：DAB离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线CPCB，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，段最短”3P1图C△顺时针旋转60发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如，APC绕点CB ．BE、BE，则的长即为所求得到△EDC，连接PD2 图；中，PA+PB+PC的最小值为（1）请你写出图2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：（2=60o，在菱形ABCD 内部有一点ABCP，请在图3 ①如图3，菱形ABCD中，∠中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．丰台24．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；AO1，若于E、F两点，AB当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，BC2）?AC4OE的值．求OF A A A CD?ABCAB???ACB?90DEACBE在于点25朝阳期末已知：在，上，中，点交EF?BEABCDGF O 。