2019-2010九年级数学培优讲义：旋转综合之角含半角模型
初三专题复习几何变换之旋转辅导讲义
几何变换之旋转【中考剖析：】内容要求考点旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、面积【专题结构：】一、旋转有关概念1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．二、中心对称1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS）P'Q'QPODCBAO共顶点等边三角形共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形四、旋转前后具有以下性质1、对应线段相等，对应角相等2、对应点位置的排列次序相同3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．π⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么 'CC =_________．【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．D'C'B'D CB A二、大角夹半角模型在大角夹半角模型中比较常见的是90和 45， 120和 60．【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=AD 3，求AEF ∆的面积．【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，FEDCBA（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、等边三角形的“Y ”字型模型【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+．P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠PCBADCBA【课后作业：】1、如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为433，则这个旋转的角度为多少？2、如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．3、矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____4、正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．HA'CAOFEDA5、（2012•珠海）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45得到正方形'''CD B A （此时，点'B 落在对角线AC 上，点'A 落在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，连接'AA 、CE ．求：直线CE 是线段'AA 的垂直平分线．6、如图，四边形ABCD 中， 135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD7、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分DAC ∠． 求证：EO AD AC-=2．P'DCBA8、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?四、等腰直角三角形的“Y ”字型旋转【例1】如图，P 是正方形ABCD 内一点， 135=∠APB ，2=BP ，1=AP ．求PC 的长．【巩固】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且2=BP ，5=AP ，1=PC ，求BPC ∠度数大小和正方形ABCD 的边长．【例2】在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=．【巩固】 D ,E 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上的两点,满足135=∠DAE ,求证：222DE BE CD =+．【例3】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【巩固】如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果4=AB ，7=AO ，求AC 的长．DCBA五、三角形中的费马点【例4】若P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角三角形ABC 的费马点，且︒=∠60ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为______，（2）如图，在锐角三角形ABC 外侧作等边三角形'ACB ，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且'BB PC PB PA ++=．【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转︒60得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ∆≅ENB∆；（2）①当M 点在何处时，CM AM +的值最小；②当M 点在何处时，CM BM AM ++的值最小，并说明理由； （3）当CM BM AM ++的最小值为时，求正方形的边长．【课后作业：】1、如图，P 是正方形ABCD 内一点，a 2=BP ，a AP =，a 3=PC ）（0a >．求：（1）APB ∠的度数．（2）正方形的面积．2、已知：2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．3、已知正方形ABCD 内一点，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 62+,则此正方形的边长为_______．。
初三数学培优旋转模型及解题方法探究
【模型概述初三数学旋转之半角模型及解题方法探究】全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.【经典例题】——方法整合，对接中考1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数，参考数据：1.7≈）．2．（2022·河北邢台·模拟演练）学完《旋转》，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF，BE，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,12EAF BAD ∠=∠,求证：EF＝BE＋DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级模拟）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系（不要求证明）.②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．【讲练结合】——开发思维，熟能生巧【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC 之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE 的长．【拓展提高】(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠ABC 与∠ADC 互补，点E、F 分别在射线CB、DC 上，且∠EAF=12∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF 的周长等于．(4)如图4，正方形ABCD 中， AMN 的顶点M、N 分别在BC、CD 边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD 分别交AM、AN 于点E、F，若2EF 的长．(5)如图5，已知菱形ABCD 中，∠B=60°，点E、F 分别是边BC，CD 上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD 分别与边AE、AF 交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN 2+DN 2=BM 2．【专项训练】——举一反三，巩固提高1.（2022·江西九江·一模）如图(2),在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AB AD =,以点A 为顶点作EAF ∠,且12EAF BAD ∠=∠,连接EF．(1)【观察猜想】如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF 之间的数量关系为______．(2)【类比探究】如图（1），线段BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)【问题解决】如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若2BD =，求DE 的长．2．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．3．（2022·重庆市育才中学二模）（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．。
中考数学必会几何模型：半角模型
中考数学必会几何模型：半角模型半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。
通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。
常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。
要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥XXX于点H，求证：AH=AB。
证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。
由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。
在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。
得AE=AM，∠XXX∠BAM。
由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。
在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。
得MN=EN。
因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。
2.由(1)得△AMN≌△XXX。
因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。
又因为MN=EN，得AH=AD。
因此AH=AB。
在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。
要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
1) 当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。
2) 猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。
证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。
因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。
因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。
因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
旋转模型-角含半角模型
旋转模型-角含半角模型【内容介绍】本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解旋转模型相关知识，掌握不同旋转模型的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握角含半角模型的含义和解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型。
建议大家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对学习目标的综合把握。
【要点梳理】1）半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半2）思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化3）基本模型要点一、正方形含半角图1 图2△△△△AEF AEB AFDS S +S ）4（；BEF 分平 EA ，DFE 分平 FA ）3（；半一的长周形方正是长周的(2) CEF EF=BE+DF;）1（：论结的下以明证，EAF=45，点的上边CD 、BC 是别分F 、E ，中ABCD 形方正在：1图如：题例=∠∠∠︒。
化转的角和段线现实，形角三等全造构转旋过通，型模角半合符，角45有含中角90：析分︒︒△△△△△△△△△AEG AEF AEG AEF G AFE AFD CEF BE BG BE DF AEF AEG AEB AEG AEB AFD 证得S S =S S S S ；证得；证得EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD,(2)长周的。
立成=+=+≅∴∠=∠∠=∠=∠∴∴+=+,(4),,,(3)=(1),△△△△△EF EG AEG AEF AE AE AEG AEF EAG EAF AG AF EAG EAF EAF G B C GBC ABG ABC ABG AG AF ABG D BG DF ABCD AD AB ，，中和在，，线共点三、、则，到得，转旋针时顺点沿将，中形方正在，图如：答解∴==∴≅⎩=⎪⎨∠∠⎪⎧=∴∠∠︒∠︒∴∴∠∠+∠︒∠︒∆=∠=∠=︒=∠=︒=︒,===45=45==180ABC =90,90,,GAF 90,2,ADF A 90。
第5讲角含半角模型(解析版)
中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF 的长为4．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．变式练习>>>1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠F AG＝∠DAE，∴∠F AG+∠F AB＝∠EAD+∠F AB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD 交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1＝45°，∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠BAF＝DAN，∴∠BAB1+∠BAF＝45°，∴∠F AM＝45°，∴∠F AM＝∠E1AB1，∵AM＝AM，AF＝AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM＝MN，∵FB2+BM2＝FM2，∴DN2+BM2＝MN2，变式练习>>>2. （1）【探索发现】如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD 上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．【解答】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，∴BC+CD＝6，∴BC＝CD＝3，故答案为3．（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE，∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30°在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，∴AK＝KN，∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，∴∠MAN＝75°＝∠BAD，由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.变式练习>>>3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.例题4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【解答】解：（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．∴∠GAM＝∠MAN．又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∴MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG，∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，∴∠MAG＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．达标检测领悟提升强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC 于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．【解答】解：（1）BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠F AD．∴∠MAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△F AN．∴MN＝FN，即MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；（3）∵正方形的边长为16，DN＝4，∴CN＝12．根据（1）可知，BM+DN＝MN，设MN＝x，则BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中，∵MN2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得x＝13.6．∴MN＝13.6cm．2. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案为EF＝BE+FD.（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．【解答】解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝BC，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH（2）结论：EG：FH＝3：2证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN．，∵AB＝2，BC＝AD＝3，∴．（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，∵．∴在Rt△ABM中，BM＝．将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠P AM＝∠MAN＝45°，从而△APM≌△ANM，∴PM＝NM．设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM＝．在Rt△CMN中，解得．∴．4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.。
人教初三数学旋转模型含详细解析
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：旋转模型授课日期时 间主 题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；知识结构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型（一）正三角形类型在正ABC ∆中，P 为ABC ∆内一点，将ABP ∆绕A 点按逆时针方向旋转60o，使得AB 与AC 重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个'P CP ∆中，此时'P CP ∆也为正三角形。
【例题】如图：（1-1）：设P是等边ABC∆内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB∠的度数是________.οοο1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90o，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。
九年级旋转专题讲义
九年级旋转专题讲义旋转专题讲义（九年级）一、基础知识1. 旋转的定义：在平面内，一个图形绕着某一点转动一定的角度而不改变其位置的运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
2. 旋转的性质：（1）旋转中心到图形上任意一点的距离在旋转前后保持不变。
（2）图形上任意两点绕旋转中心按同一方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等。
（3）图形上任意两点绕旋转中心按相反方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等，但方向相反。
二、常见题型及解题方法1. 确定旋转角：在题目中，常常会给出一些图形经过某种运动后的位置，需要确定这些图形是绕哪个点按什么方向旋转了多少度。
此时可以通过观察图形变化前后的位置，找出旋转中心和旋转角。
2. 求解旋转问题：在求解与旋转相关的问题时，常常需要利用旋转的性质，通过已知条件推导出其他未知条件。
例如，在求解几何图形的面积或周长时，可以通过旋转将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。
3. 判断是否为旋转对称图形：在判断一个图形是否为旋转对称图形时，可以通过观察图形是否能够绕某点按一定角度旋转后与自身重合来确定。
如果可以，则该图形是旋转对称图形。
4. 求解旋转对称图形的中心和角度：在求解旋转对称图形的中心和角度时，可以通过观察图形自身旋转的过程，找出旋转中心和旋转角度。
例如，在求解正多边形的中心和角度时，可以通过将多边形的各顶点绕中心点按相同的方向旋转相同的角度后与自身重合来确定。
三、典型例题解析例1：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上一点，且CF=3BF。
将△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG。
则下列结论：①AF=AG；②BF=BG；③AF=FG；④△AFD≌△GFC中，正确的有（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④分析：根据题意，通过全等三角形的判定与性质分别判断即可。
解答：①∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG，∴AF=AG，故①正确；②∵CF=3BF，E为CD的中点，∴BF=DF=CG=BG，故②正确；③在△AFD与△GFC中，∵AD=AG，DF=CG，AF=FG，∴△AFD≌△GFC （SSS），∴∠AFC=∠AFD=90°+∠DFA，又∵∠AFC+∠AFD+∠DFA=180°，∴AF≠FG，故③错误；④由③得：AF≠FG，故④错误；故选A。
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旋转综合之角含半角模型
初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。
在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。
基本图形
1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=︒，
将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+
2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=︒，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+
角含半角模型的解题步骤
1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转；
2、证全等；
3、利用全等、相似得到边角的关系．
例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=︒，BD CD =，60MDN ∠=︒．求AMN △的周长．
解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ．
易证
BMD △≌(SAS).CED △ 所以
,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得
60,NDE NDM ∠∠=︒= 所以
MDN △≌(SAS).EDN △ 从而
,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为
2.AMN C AB AC =+=△
例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连接MC ,NC ,MN ．
（1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示）
（2）求MCN ∠的度数；
（3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．。