九年级数学培优讲义与测试

第一讲 一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。

若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。

当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。

当12k k ≠时，两直线相交。

当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。

解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。

设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得(21)2100x y k x y ----+=。

因为等式对一切有意义的k 成立，所以得2102100,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得12519,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55⎛⎫⎪⎝⎭.例3：已知m 、n 、c 为常数，220m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。

解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=-○1用1x +代换原方程中的x ，得()()(1).mf x nf x c x +-=+○2 m ⨯○2n -⨯○1得22()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以()22()c m n x m n f x m n ++-⎡⎤⎣⎦=-，所以()c cf x x m n m n=+-+. 例4:如图，设111()(1),f x mx x m x m m m ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭因为当1m ≥时，10,()m f x m -≥为递增函数，()f x 在[]0,1上的最小值为11(1).1.f m m m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以1(0)(1).()(1)(01).f mg m mf m m ⎧=≥⎪=⎨⎪=<<⎩ 因此1()g m m=在[]1,+∞上为递减函数；()g m m =在()0,1上为递增函数，故()g m 的最大值为(1) 1.g = 例5：画函数242x y x-=-的图像。

解 0x =，0x =，240x -=，2,x =±将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为2x ≠±的一切实数。

2,2,2,2,x x y x x -⎧⎪-⎪=⎨+⎪⎪--⎩2;20;022x x x x <--<<≤<> 例6：一次函数(1)y kx k k =->图像交x 轴于A 点，将此直线沿直线y x =翻折交y 轴于B 点，这两条直线相交于P 点，且四边形OAP B 的面积为3， 求k 的值。

解 设点P 坐标为'(,),t t 又OAP ∆与OBP ∆是翻折而成，所以OAP S ∆面积是四边形OAPB的一半等于32。

设0y =代入,y kx k =-得1,x =点A 为(1,0).由1131,222OAP S OA PC t ∆=⨯=⨯⨯=得3,t =即点(3,3).p 因点33,k k =-3.2k =P在y kx k=-上，代入得A 卷 一、填空题1.设21(2)k y k x -=+是反比例函数，则k =；其图像经过第 象限时；当0x >时，y 随x 增大而。

2.两个一次函数312,y x =+33,2y x =-的图像与y 轴所围成的三角形面积是。

3.等腰三角形一个底角的度数记作y ，顶角的度数记作x ，将y 表示成x 的函数是，其中x 的取值范围是。

4.如果函数12ay =--的图像与直线32y x =-平行，则a =。

5.已知四条直线3y mx =-、1y =-、3y =、1x =所围成的车边形的面积是12，则m =。

6.一次函数y kx b =+的图像经过点(1,2)p 且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。

若5sin ,PAO ∠=则线段OB 的长为。

7.已知一次函数y kx b =+中，若x 的值每增加4，y 的值也相应增加8，则k =。

8.如果把函数2y x =的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是的图像。

9.已知一次函数24(31)(21)3,n y n n x =-++则n 的值为。

10.若直线(1)5y m x m =-+-不经过第二象限，则m 的取值范围是。

二、解答题11.求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图像恒过一定点。

12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？B 卷一、填空题1.函数1(1)(0,01)y ax x a x a=+->≤≤的最小值为。

2.如图，正比例函数y x =和(0)y ax a =>的图像与反比例函数(0)ky k x=>的图像分别交于A 点和C 点。

若直角三角形AOB 和直角三角形COD 的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的大小关系是。

3.点(4,0)A -、(2,0)B 是平面直角坐标系中的两定点，C 是122y x =-+图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC 或画出个。

4.直线0(0,0)ax by c ab ac ++=>>经过象限。

5.一个三角形以(0,0)A =、(1,1)B 及(9,1)C 为三个顶点，一条与x 轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为 。

6.已知函数3y x=及4,y x =-+则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为。

7.双曲线ky x=与一次函数4,y kx =-+的图像有两个不同的交点，则k 的取值范围是。

8.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当0x >时y 随x 的增大而增大，则一次函数142y kx k =-的图像经过象限。

9.已知实数x 、y 满足43120,x y +-=则22a x y =+的取值范围是。

10.一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，则整数m =。

二、解答题11.设直线2(1)y x =-与直线2(5)y x =--相交于点A ，它们与x 轴的交点为,B C ，求ABC ∆中BC 边上的中线所在的直线方程。

12.已知函数()(2)23f x m x m =-+-，(1) 求证：无论m 取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x 在12x ≤≤内变化时，y 在45y ≤≤内，求实数m 的值。

13.若对于满足02x ≤≤的一切实数x ，函数(2)37y k x k =-+的值恒大于0，求实数k 的取值范围。

14．A 、B 两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。

甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。

从A 厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B 厂到三商店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？C 卷一、填空题1．函数3y x b =-与2y ax =+的图像关于直线y b =对称则a =， b = 。

2．三个一次函数11y k x b =+、22y k x b =+、33y k x b =+在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线1l 、2l 、3l ，则1k 、2k 、3k 的大小关系是 。

3.已知函数(2)31,y a x a =---当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，有y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围是 。

4．已知a b c <<，则函数y x a x b x c =-+-+-的最小值是 。

5．一次函数()y f x =满足[]{}()87f f f x x =+，则()f x = 。

6．已知0abc ≠并且,a b b c c ap c a b+++===则一次函数(1)y P x =+的图像一定通过 象限。

7.已知一次函数y ax b =+ (a 为整数）的图像经过点(98，19)，它与x 轴的交点为(p ，0)，与y 轴的交点为(0，q ).若P 为质数，q 为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是 个。

8.把函数1y x-=的图像沿x 轴向平移个单位，再沿y 轴向平移个单位，得到12x y x-=-的图像。

9.方程224620x y x y --++=表示成两个一次函数是。

10.一次函数y ax b =+的图像经过点(10，13），它在x 轴上的截距是一个质数，在y 轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有个。

二、解答题11.如图，设直线(1)10kx k y ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积是k S ，求1231999.S S S S +++12.在直角坐标系中有一个矩形ABCD ，点B 与坐标原点重合，BA 在y 轴的正半轴上，BC 在x 轴的正半轴上，点P 在CD 边上，直线3y kx =-经过点P ，且与x 轴交于点Q 。