九年级数学寒假班培优精品讲义
九年级数学寒假班精品尖子班讲义
《全等三角形及三角形全等的条件》【知识精讲】全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。
本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：(1) 满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1((3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相两直角边对应相等（(2) 两锐角对应相等（×）(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）【典例剖析】1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙 D 只有丙3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。
b ac a c c a 丙72︒50︒乙50︒甲50︒C BA 50︒72︒58︒4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？【王牌例题】1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。
寒假培优班初三数学
初三数学图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。
（1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？（2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？（3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。
yB 0, 3PA 4, 0xO QL图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。
（1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）；（2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。
）（3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。
ybCP(1，1)OA DB xa图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。
（1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。
（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。
2y4DB2PC Ax O2 4 如图， 二次函数 y = ax + bx + c的 图 象与 x 轴 交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点.（1） ）求二次函数的表达式；（2） ）求圆心 P 的坐标；（3） ）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。
北师大版九年级数学寒假班讲义(基础班)
第一讲锐角三角函数一．正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做A 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。
令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0︒︒<0A函数的增减性分别为：<90①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而减小③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随A 的增大而增大.例题：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．同步练习：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA= ．二．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值主要是指︒︒60︒，这三个角的三角函数值，如下表：30，45例题：1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于度．2.4cos30°++|﹣2|= ．同步练习：1．计算：tan45°+= ；2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣．三．解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。
初中数学九年级寒假尖子班专题讲义
初中数学九年级寒假尖子班专题讲义导言初中九年级寒假尖子班专题讲义旨在为学生提供全面系统的数学知识，帮助他们在寒假期间巩固和拓展数学基础，为高中数学研究打下坚实的基础。
课程目标- 深入研究数学的重要概念和方法；- 培养学生的数学思维和问题解决能力；- 掌握九年级数学的重点知识和技能。
课程安排单元一：代数与函数- 知识点：- 代数运算规律- 一元一次方程与一元一次不等式- 线性函数与二元一次方程组- 练和应用：- 解一元一次方程和不等式- 解二元一次方程组- 理解线性函数在实际问题中的应用单元二：数与式- 知识点：- 数的整数指数与实数指数幂- 实数的开方与乘方运算- 练和应用：- 计算数的整数指数与实数指数幂- 计算实数的开方与乘方运算- 解决实际问题中的数与式的计算和应用单元三：几何与观察- 知识点：- 平面图形的性质和判断- 空间图形的性质和判断- 练和应用：- 分析和判断平面图形的性质- 分析和判断空间图形的性质- 解决几何问题和观察问题单元四：概率与统计- 知识点：- 事件的概率与频率- 数据的收集与整理- 练和应用：- 计算事件的概率与频率- 收集和整理数据- 进行简单的统计分析和推断研究方法与建议- 积极参与课堂讲解和练，与同学合作研究；- 多做题和练，通过实践巩固和加深理解；- 提前预和复教材内容，保持研究的连贯性；- 请及时向老师提问和寻求帮助，解决研究中的困难。
结语初中数学九年级寒假尖子班专题讲义将为学生提供高质量的数学学习资源，帮助他们在寒假期间提升数学水平，为顺利完成初中数学学业奠定坚实基础。
希望学生们能够积极参与学习，取得优异的成绩！。
九年级数学精讲班讲义
九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。
1. 定义。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。
- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。
- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。
- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。
九年级数学培优讲义与测试精编版
第一讲 一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
初三数学寒假辅导讲义第1讲三角形提高班教师版
考试内容考试要求层次A B C三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关冋题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关冋题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（si nA，cos A，tan A）；知道30 ,45，60角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30 , 45，60角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题博领先中考培优课程J比---- 7--厂工八_初三寒假•第1讲•提高班•教师版1一、等腰三角形①等腰三角形的两大特性.AAA图形7A2/_ _ACH=DE+DFCH=DE-DF V三角形特殊三甬形之等髅三角形与直角三甬形全等三角形相似三角形特性等腰三角形中的三线合一”底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系图形^45°^6°三边1 ：1： 1i：i： 72i：i：J3「丫1仆•如之比j 1 •21*1*2、直角三角形1直角三角形的边角关系.①.直角三角形的两锐角互余. ②.三边满足勾股定理. ③.边角间满足锐角三角函数.初三寒假•第1讲•提高班•教师版领先中考培优课程2 •特殊直角三角形3 •直角三角形中的特殊线.四•全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定：⑴ SSS;⑵SAS :⑶ASA :⑷AAS :⑸HL .初三寒假•第1讲•提高班•教师版45在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合 五•相似三角形 相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比. ⑵相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的判定： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷(2)在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4, 0)，点B 的坐标为(4 ,10)，点C 在y 轴上，且厶ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ________________ .(2010顺义一模) 淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！领先中考培优课程护平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似.r rB□ a □ rA□ □ t初三寒假•第1讲•提高班•教师版1~~-w —V - --------------------------------- —AEEEBCCBB CC CBB ⑷AAEEAEAEBCBBDCDB模块 特殊三角形夯实基础C.8D.9C (9)【例1】(1 )如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形 个数是( )A.6B.7C D(10)本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三 由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单， ，不对学生做太高要求 设计一种“系列探究” ，使得每一讲有 本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最 (1) ___ E ⑵【编写思路】由于三角形的知识点非常多 角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形， 所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花 值问题” •B C(8)AAA相似三角形的基本模型：A 、B 是 则点 C 的(3)已知：如图，在厶ABC中，B 连接DE交BC于F •求证：DF EF •(4)如图所示，在△ ABC中，BC=6, E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分/ CBP,1设BP=y , PE=X.当CQ=— CE时，y与x之间的函数关系式2是 _____________ .【解析】(1) C,两圆一垂”(2)( 0, 0),( 0, 10),( 0, 2),( 0, 8).两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；(3 )证明：过D点作AC的平行线交BC于点G ,贝B= / ACB= / BGD ; ••• BD=DG = CE;易证ADFG ◎△ EFC ; • DF = EF.注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由平行线截等腰三角形”得新等腰三角形•(4) y= —+6;提示：延长BQ与射线EF相交，由平行线加角平分线"得到等腰三角形•【例2】(1)如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B C D A B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) (2010宣武一模)A. 2B. 4 —C.D. 1(2)如图，在△ ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=2，点A、C 分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )A • 2.2 2B • 2.5 C. 2.6 D . 6(2010西城二模)ACB，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，且BD CE ,(2012海淀期中)以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，△ ABC为等边三角形，边长毛1領先中考培优课程A第8题图6轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中, 点B 到原点的最大距离是 __________________ .【探究2】如图，在厶ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=3,点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最小距离是 _____________ .【探究 3】 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90° / B=30° CB=3^3 ,点D 是平面上一点且 CD=2，点P 为线段 AB 上一动点，当 △ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段 DP 长度的最大值为 _______ ，最小值为 ________ .A ，如右图1,取AC 中点D ，连结OD 、BD ,B 三点共线时，OB 的值最大； 探究1 : 2+2 3，方法同上，取 AC 中点D ，连结 BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2:如右图2,取AC 中点D ，连结OD 、BD , D 、B三点共线时，OB 的值最小，最小值为 .13【解析】 半, （1） C ,由 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ”可知 :是M 的轨迹围成一个半径为 1的圆； BM 、CM 、 CM 、AM 均等于FQ 的一探究3: MBC 绕点C 旋转”等价于CD 绕点C 旋转”，如下图PD 最大，当PD = | PC-CD |时，PD 最小.如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为 3. 3 图3,当CP 丄AB 时，PD 取最小值为3,32 .21连结CP ,PD=PC+CD ）时，2，如图1B图3【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考） ：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段 AP 的最大或最小值） P 是线段BC 上的动点，求线段外共线”值 最大， （2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点 小值）•AP 的最大或最(2) D 、 2淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅补家教资料都有!图28初三寒假•第1讲•提高班•教师版- - -------- ―哎APBC夯实基础EPMMNBBD D能力提升7■ .kP 2 AP 2P l由全等三角形面积相 由八”字模型倒角证得APC EPC 120 PA+PC+PE=BE ， ⑥. 60)，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60。
中考数学九年级寒假尖子班专题讲义
第一单元：数与式 (2)第一关：规律探究 (5)第二关：数与式求值 (7)第三关：解方程与不等式（组） (10)第四关：方程应用 (12)第二单元：函数 (15)第一关：利用图象求解相关题型 (16)1-1 利用图象求值 (16)1-2 利用图象判断式子的正误 (19)1-3 双图象问题 (20)第二关：函数解析式求法 (22)第三关：函数与实际问题 (25)第四关：函数综合 (28)第三单元：几何 (36)第一关：三角形 (38)1-1 三角形三线 (38)1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明 (39)1-3 全等三角形 (42)1-5 解直角三角形 (56)第二关：四边形 (60)第三关：圆 (68)第四单元：专题复习 (77)专题一：新定义问题 (77)专题二：动点问题 (88)专题三：中考作图题 (103)专题四：阅读理解问题 (108)一、考点透视1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值.3. 能利用数轴解决与实数有关的问题.4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数.5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小.6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示.7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化.8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算.9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件.12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合运算与分式的化简求值.13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系.15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二次方程化成一般形式.16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的图象解法感受它们的关系.17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程.第一章 数与式的解.19.熟练运用二元一次方程组的两种基本解法:代入法消元法和加减消元法.20.能将简单问题(数学问题和实际问题)中的数量关系,通过建立方程模型加以解决,并能检验结果是否合理,体会方程是刻画现实世界一个有效的数学模型.21.能说出不等式的基本性质,并能运用基本性质进行不等式的变形.22.熟练掌握一元一次不等式(组)的解法,并会在数轴上正确表示其解集.23.能根据具体问题问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组)解决有关的实际问题,并能根据问题的实际意义检验结果是否合理.24.通过具体实例理解一元一次不等式,一元一次程和一次函数的内在联系.25.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)的根,能结合实例解释分式方程产生增根的原因,能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题.二、方法突破1.实数是整个数学的基石，它涉及的核心概念较多，运算法则较多，因此代数运算是这部分内容的重点，考试一般以填空题、选择题和难度很小的解答出现，形式相对单一，变化较少.重点考查的是学生对实数有关概念、运算法则的掌握情况.复习中应不断提高自己的代数运算能力，做到准、快、巧，练好数学运算的基本功.解决与实数有关的计算问题时，首先要回忆相关概念和相应的运算法则，正确使用概念和法则进行计算.在完成混合运算问题时.要特别关注运算结果的符号,提高计算的准确性.在解决与数轴有关的问题时,一般采用数形结合的思想方法.2.这部分内容是代数式的全部，突出对字母的运算技能,一般情况下,试题难度中等偏易,多数以填空和选择题以及以化简求值的形式呈现,用字母表示数的能力、代数运算能力渗透在数学的其他领域之中,因此它是提高数学学习质量的关键.进行整式运算时必须遵循相应的运算法则,正确处理运算符号,求代数式的值一般情况要对所给代数式进行化简,然后再代入字母的值进行计算,对于特殊结构的代数式,应结合具体问题选择合理的方法进行化简与计算,探索数字规律时,常采用（1）类比分数四则运算进行分式的四则运算.（2）分式运算时一般行将分式的分子、分母进行因式分解,以简化运算过程.（3）二次根式被开方数的取值范围及简单的二次根式化简运算.3．方程的思想与方法贯穿于初中数学内容的始终,它与实数运算、代数式的变形、函数等内容紧密相关.以方程为解决问题的工具的试题有一定的综合性.解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质.要正确解一元一次方程，二元一次方程组的一般步骤，并能根据题目的特点灵法运用.一般地,解一元二次方程时,应该根据方程的特点灵活地选择不同的解法.另外,利用函数图象,结合数形结合,也是我们对方程的解进行估算的好方法.将分式方程转化为整式方程的方法一般有两种:其一是去分母,其二是换元.基本思想是”转化”一元一次不等(组)是研究两个常量之间不等关系的重要数学模型,在近年的中考试题中,关于一元一次不等式(组)的常见题型有:填空题、选择题、解答题以及综合题等题型,其中容易题占较大比例,以函数为载体、分析解决简单的实际问题这两类有一定难.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,比在数轴上表示数又前进了一步,可以形象、直观地看到不等式(组)有无数多个解,并易于确定不等式(组)的解集,这体现了数形结合的思想方法.解不等式(组)的应用题时,将应用题里关于”已知量”、”未知量”之间的关系用明确的不等关系表示出来,并关注应用题中字母所表示的实际意义.应加强一元一次不等式、一元一次方程、一次函数等内容之间的联系,形成自己的知识结构,使数学思维综合化,提高分析、解决问题的能力.第一关 规律探究例题1. 观察下列各式： 1²+1=1×2 2²+2=2×3 3²+3=3×4 …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来 ．练习1.1.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．练习1.2. 观察下列等式： 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 …这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示大于等于1的自然数，用关于n 的等式表示出来________________________．例题2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图2图11694110631他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225练习2. 在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n=．例题3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣2，则最后输出的结果是（）A．352 B．160C．112D．198练习3.1．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种练习3.2．已知f（x）=1+1x ，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+11，f（2=1+12，f（a）=1+1a，则f（1）•f（2）•f（3）…•f（50）=（）A．50B．51C．251D．512例题4.按一定规律排列的一列数依次为：45，12，411，27，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．练习7．若分式22923x x x -+-的值为0，则（ ）A ．x =±3B ．x =3C ．x =-3D ．x 取任意值例题8. 当a 为何整数时，代数式421a a -+的值是整数，并求出这个整数值．练习8. 当整数x = 时，分式8921x x +-的值是整数.例题9. 已知：115x y +=，求2322x xy yx xy y-+++的值．练习9.1若2310a a -+=，则代数式221a a +的值为__________，441a a-的值为__________．练习9.2. 已知：234x y z==，求22223xy yz xz x y z +-++的值．练习9.3. 已知a 、b 、c 为实数，且111345ab bc ca a b b c c a ===+++，，，那么abcab bc ca++的值是多少？例题10. 先化简÷428m m -+·22m m -+，再选择一个你喜欢的数代入m 求值.2216168m m m -++练习2. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？例题3.在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．练习3. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）例题4.某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．例题5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？⑴若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？⑵该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？⑶在⑵的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？一、考点透视1. 能结合事例说明在一个变化过程中常量、变量的实际意义，感受两个变量之间相互依存的关系；能用文字，表格，图象和公式表示具体问题中的函数关系。
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质
寒假培优班初三数学
初三数学1．如图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L由B点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由A点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t秒，它们到达图中所示的位置，连结PQ。
（1）当t为多少时，∆PAQ为直角三角形？（2）当t为多少时，∆PAQ的面积最大？（3）求（2）中∆PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。
2．如图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心，5为半径的⊙P交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点。
（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标（演算在草稿进行）；（2）分别过A、C两点作⊙P的切线a和b，求a、b的函数表达式（写出切线a的表达式的求解过程，切线b的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。
）（3）第（2）问中的a、b两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。
3．如图，直线AB 与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，2）；直线CD 与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，4）。
（1）求直线AB 的函数表达式（要有过程）；写出直线CD 的函数表达式（过程在草稿纸做）。
（2）设AB 与CD 相交于点P ，连结AD ，求△PAD 的面积。
4．如图， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点A （6，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C （0，32）；⊙P 经过A 、B 、C 三点. （1）求二次函数的表达式； （2）求圆心P 的坐标；x（3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q ，使得以P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。
5．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，过D 作DE ⊥AC 于E 。
（1）求证：AB=AC （2分）（2）求证：DE 是⊙O 的切线（3分）（3）若⊙O 的半径为3，切线长DE=22，求cos ∠C 的值。
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个性化教学辅导教案学生姓名年级九年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题圆的有关概念教学目标1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2．探索并掌握垂径定理及其推论．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．教学过程教师活动学生活动1．圆的基本概念：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．2．圆的有关性质：(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．3．圆心角和圆周角：(1)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．1．如图，CD是⊙A．AE＝BE2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为( ) A．20°B．40° C．50° D．80°3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB BMO＝120°，则⊙C的半径长为( )取线，上一点，OD⊥AC，教学目标：1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2、探索并掌握垂径定理及其推论．3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．⑦掌握圆内接四边形的性质知识点梳理：1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．【考点总汇】一、垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2.推理：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的。
微拨炉：1.在推论中，被平分的弦不能是直径，因为所有的直径均互相平分。
2.垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常作垂直于弦的线段，构造直角三角形。
考点一 垂径定理及其推论例1.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则⊙O 的直径为()A ．8B ．10C ．16D ．20【变式训练】已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点（如图）．（1）求证：．（2）若大圆的半径，小圆的半径，且点到直线的距离为6，求的长．得分要领：1.找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距。
2.利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边。
3.利用勾股定理解决问题。
【考题回放】1.如图，⊙的直径垂直弦于点，且，，则的长为（ ）A.2B.4C.6D.8O AB D C ,BD AC =10=R 8=r O AB AC O CD AB E 2=CE 8=DE AB第1题 第2题 第3题2.如图，是⊙的直径，弦于，连接.下列结论中不一定正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，点是等边三角形外接圆⊙上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A.当弦最长时，△是等腰三角形B.当△是等腰三角形时，C.当时，D.当时，△是直角三角形4.如图，圆的直径cm ，且，垂足为，cm ，则．第4题 第5题 第6题5.如图，是半圆的直径，点为圆心，，弦，，垂足为，交⊙于点，连接，设，则的值为．6.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，并使与车轮内圆相切于点，作交外圆于点，测得cm ，cm ，则这个车轮的外圆半径是cm ．7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙与矩形的边分别相切和相交（是交点）。
已知，则⊙的半径为．二、 圆周角定理及其推论CD O CD AB ⊥E BD BC ,BE AE =BD =AD DE OE = 90=∠DBC P ABC O PB APC APC ACPO ⊥AC PO ⊥30=∠ACP 30=∠ACP BPC O 10=CD CD AB ⊥P 8=AB =∠OAP sin AB O 5=OA 8=AC AC OD ⊥E O D BE a BEC =∠a sin B A ,AB D AB CD ⊥C 10=CD 60=AB O ABCD AD BC ,F E ,8==CD EF O个性化教学辅导教案学生姓名年级九年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题圆的有关概念教学目标1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2．探索并掌握垂径定理及其推论．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．教学过程教师活动学生活动2．圆的基本概念：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．2．圆的有关性质：(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．3．圆心角和圆周角：(1)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．6.如图，点都在⊙上，，，，则⊙的直径的长是。
7.如图，是⊙的直径，点在⊙上，点在线段上运动，设，则的最大值是。
三、解答题（共12分）8.（12分）如图所示，该小组发现8m 高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路——于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。
小刚身高1.6m ，测得其影长为2.4m ，同时测得的长为3m ，的长为1m ，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2m ，求小桥所在圆的半径。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】在半径为13的⊙中，弦∥，弦和的距离为7，若，则的长为（ ）A.B. C.或 D.或【规避策略】1.注意考虑问题要全面，要考虑弦和在圆心的同侧和两侧的情况。
2.在已知圆的半径和两条平行弦的距离和一条弦长，求另一条弦长或已知圆的半径和两条平行弦长，求两条弦的距离时，要分两弦在圆心的同侧和两侧两种情况讨论，不要遗漏其中一种情况。
【强化提升】在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD.D C B A ,,,O 90=∠ABC 3=AD 2=CD O AB O C O P OA a PCB =∠a DE EF EG HF GH GH MN O AB CD AB CD 24=AB CD 1030410304101652AB CD个性化教学辅导教案(1)如图①，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ；(2)如图②，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，请直接写出∠DCA 的度数．学生姓名年 级九年级学 科数学上课时间2017年 月 日教师姓名课 题与圆有关的位置关系教学目标1、探索并了解点与圆的位置关系；了解直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系及三角形内切圆的概念，会判断图形的位置关系．2、掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3、探索并证明切线长定理，会利用它进行证明和相关计算．4、能根据两圆相切及两圆相交的性质进行有关计算教学过程教师活动学生活动1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=5，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°第1题图第2题图第3题图2．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）A．40°B．60°C．70°D．80°3．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）A．60°B．45°C．35°D．30°4．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度O N⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）是24，A．5B．7C．9D．11第4题图第5题图第6题图5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）A ．cmB ．3cmC ．3cmD ．6cm6．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．51.如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦与小圆相切于点，则的长为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm2.已知圆的直径等于8cm ，一条直线与圆有公共点，圆心到直线的距离为，则（ ）A.cmB.cmC.cmD.cm3.如图，△中，，，，分别是的中点，则以为直径的圆与的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.无法确定第3题 第4题4.如图，圆与正方形的两边相切，且与圆相切于点。