九年级上下册数学培优讲义
一元二次方程㈠
★知识点精讲
1.一元二次方程的概念
⑴ 只含有 个未知数,未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.
⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ,其中二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 . 2.一元二次方程的解法
⑴直接开平方法:针对()
()02
≥=+an n a m x
⑴配方法:针对()002≠=++a c bx ax ,再通过配方转化成())0(2
≥=+n n m x a 注:
① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方,右边是一个非负 常数的形式;
②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0,或者求二次函数的最值.
⑶ 公式法:当0≥?时(=? ),用求根公式 ,求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法:通过因式分解,把方程变形为()()0=--n x m x a ,则有m x =或n x =. 注:
⑴ 因式分解的常用方法(提公因式、公式法、十字相乘法)在这里均可使用,其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.
典型例题讲解及思维拓展
●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m = .
⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0,则a = .
拓展变式练习1
1.关于x 的方程03)3(7
2
=+---x x m m
是一元二次方程,则m =__________.
2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ,则m 的值为 .
●例2 解下列方程:
⑶0182=+-x x ⑵()()2
2
21239x x -=-
拓展变式练习2 解下列方程:
⑶8632+-=x x ⑵()()2
2
21239x x -=-
⑶()()1232=--x x ⑶()2
22596x x x -=+-
⑸04)32(5)23(2=+-+-x x ⑹()()02123122
=++-+x x
⑺()2223n n m x m x =+-- ⑻a x a ax x -=+-222
●例3 已知0132=-+x x ,求
?
?? ?
?
--+÷--2526332x x x x x 的值.
拓展变式练习3
1.已知0200052=--x x ,求()()2
1122
3
-+---x x x 的值.
2.已知0132=+-a a ,求2294a a --.
■ 巩固训练题
一、填空题 1.若方程()()05322
2
=-++--x m x m m
是一元二次方程,
则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同,则a = .
3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式,那么m 的值是___________.
4.若4
1
2+
-mx x 是一个完全平方式,则m 的值是___________.
5.已知06522=--y xy x ,则
y
x
的值是 . 6.已知7532=++x x ,则代数式2932-+x x 的值为________________. 二、解答题
1. 解下列方程:
⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292
=-+x
⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x
⑶ 22)52()2(+=-x x (6)()x x 210532
-=-
2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售,每天可售出200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.
(1)你能帮店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?
(2)当售价是多少元时,能使一天的利润最大?最大利润是多少?
■思维与能力提升
1. 设a 、b 为实数,求542222+-++b b ab a 的最小值,并求此时a 、b 的值.
2.设a 、b 、c 为实数,求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值,并求此时c b a ++的值.
3.已知()012009200720082
=-?-x x 的较大根为a ,020*******=--x x 的较
小根为b ,求()2003
b a +.
4.如图,锐角?ABC 中,PQRS 是?ABC 的内接矩形,且S S PQRS ABC n 矩形=?,其中n 为不小于3的自然数,求证:AB BS 为无理数.
■ 补充讲解
■反思与归纳
DS 金牌数学专题二
一元二次方程㈡
★知识点精讲
1.一元二次方程根的判别式
⑴ 根的判别式:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根,由 的符号确定,因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式,并用?表示,即 .
⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系:
?>?0方程有 的实数根;?=?0方程有 的实数根;
?0方程 实数根;?≥?0方程 实数根. 2.根系关系(韦达定理)
⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ,,有
a
b
x x -=+21,a c x x =?21
⑵ 推论:
如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ,那么p x x -=+21,q x x =?21. ⑶ 常用变形:
()212
212
2212x x x x x x -+=+ ()()212
212
214x x x x x x -+=-
3.列方程解应用题的一般步骤:
⑴______,⑵______,⑶______⑷______,⑸______,⑹______. 4.常见题型 ⑴ 面积问题;
⑵ 平均增长(降低)率问题; ⑶ 销售问题; ⑷ 储蓄问题.
典型例题讲解及思维拓展
●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根,求m 的取值范围.
1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根,求m 的值.
2.是否存在这样的非负整数m ,使得关于x 的一元二次方程
()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根,若存在,请求出m 的值,
若不存在,请说明理由.
●例2 已知21x x ,是方程03622=++x x 的两根,不解方程,求下列代数式的
值: ⑶ 2
1
12x x x x + ⑶ ?
??? ??+???? ?
?+122111x x x x ⑶ ()221x x -
1. 已知21x x ,是方程03622=++x x 的两根,不解方程,,求下列各式的值:
⑶ 3
21231x x x x + ⑶
1
12112+++x x
x x ⑶ 21x x -
2.已知关于x 的方程()024
1
22=+--m x m x ,是否存在正数m ,使方程的两实
根的平方和等于224?若存在,则求出来;若不存在,说明理由.
●例3 某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元对各市的农村
饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年,A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.
(1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率;
(2)从2008年到2010年,A 市三年共投资“改水工程”多少万元?
1. 市政府为解决市民看病贵的问题,决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒,连续两次降价后的售价为80元/盒,假设每次降价的百分率相同,求这种药品每次降价的百分率.
2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元,按一年期定期存入少儿银行,到期后取出本息和,其中的50元捐给希望工程,余下的部分又按一年定期存入,这时存款利率已下调到第一年的一半,这样到期后得本息和共63元,求第一年的存款利率.
3.一快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元,每天可销售400份;若每份售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份.为了便于结算,每份套餐的售价x(元)取整数
..,用y(元)表示该店日净收入.(日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出).
⑴求y与x的函数关系式;
(2)若每份套餐售价不超过10元,要使该店日净收入不少于800元,那么每份售价最少不低于多少元?
(3)该店既要吸引顾客,使每天销售量较大,又要有较高的日净收入.按此要求,每份套餐的售价应定为多少元?此时日净收入为多少?
■巩固训练题
一、填空题
1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-,则另一根为 ,m = .
2.如果21x x ,是两个不相等的实数,且12121=-x x ,1222
2
=-x x ,则=21x x .
3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根,则b b a 3222-+= .
4.以2与-6为根的一元二次方程是 .
5. 一种药品经过两次降价,药价从原来每盒60元降至到现在48.6元,则平均每次降价的百分比率是____________.
6.巴中日报讯:今年我市小春粮油再获丰收,全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ,则可列方程为 . 二、解答题
1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根,b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根,求m 的值.
2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系:W=-2x +80.设这种产品每天的销售利润y (元).
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
■思维与能力提升
1.当k 是什么整数时,方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根?
2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ,使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ,之差的绝对值为1?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
3.已知21x x ,是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根,且
132
22121=++x x x x ,(
)()
021
12
1
1=+++
x x x
x ,求q p +的值.
4.已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ,4=abc ,求a 、b 、c 中最大者的 最小值.
■补充讲解
■反思与归纳
DS 金牌数学专题三
反比例函数
★知识点精讲
1.反比例函数
⑴ 概念:一般地,如果两个变量x ,y 之间的关系可以表示成x k y =(k 为常数,0≠k )的形式,那么称y 是x 的反比例函数,其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式:x k y =(k 为常数,0≠k ),1-=kx y (k 为常数,0≠k ), k xy =(k 为常数,0≠k ) 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =(k 为常数,0≠k )的图象是由两条曲线组成的,叫 做 ,因为0≠k 、0≠x ,所以函数图象与x 、y 轴均无交点,而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质
0>k 0 反 比 例 函 数 图 象 性 质 两分支位于 象限, 在每一象限内,y 随x 的增大 而 两分支位于 象限, 在每一象限内,y 随x 的增大 而 ⑶ k 的几何意义 =AOBP S 矩形_________. =?AOP S Rt __________. 3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点 ⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解.反之,交点坐标同时满足两个函数的解析式,可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定. ①当 时,直线与双曲线有两个交点. ②当 时,直线与双曲线有一个交点. y P(m,n) A o x B ③当 时,直线与双曲线没有交点. 4.反比例函数和一次函数的综合应用 ① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合 典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1 232 )12(---=k k x k y 的图像经过二、四象限. ⑴求k 的值. ⑵ 若点()1,2y A -,()2,1y B -,()3,3y C 都在其图象上,比较,,的大小关系. 拓展变式练习1 1.若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限,则m 的值 是 . 2.在函数(为常数)的图象上有三个点(-2,),(-1,), (,),函数值,,的大小为 . 3.设有反比例函数 ,、为其图象上的两点,若 时, ,则的取值范围是___________. 1y 2y 3y x k y 2 2--=k 1y 2y 2 1 3y 1y 2y 3y ●例2 如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x = 的图象相交于A 、B 两点. (1)根据图象,分别写出A 、B 的坐标; (2)求出两函数解析式; (3)根据图象回答:当x 为何值时, 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 拓展变式练习2 1. 如图,一次函数1 22 y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ,P 为AB 上 一点且PC 为△AOB 的中位线,PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于 Q ,32 OQC S ?=,求k 的值和Q 点的坐标. 2. 已知21y y y -=,1y 与x 成反比例,2y 与2x 成正比例,且当1-=x 时,5-=y ; 1=x 时,1=y .求y 与x 之间的函数关系式. x y O A P C Q B O x y B A D C 3.已知函数2 2 1y y y + =,1y 与2x 成正比例,2y 与x 2成反比例,且当1-=x 时,1=y ;当2=x 时,4 37 = y .求y 关于x 的函数关系式. ●例3 如图,已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -,,过点 A 作A B ⊥x 轴于点B ,且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值; ②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ,并且与x 轴相交于点C ,求∠ACO 的度数和AO :AC 的值. 拓展变式练习3 1.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点,AB⊥x 轴于点B ,且S 5.1=?ABO . (1)求这两个函数的解析式; (2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积; (3)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围. 2.如图,一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限,且与反比例函数图象相交于A B ,两点,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点D ,5OB =.且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍. (1)求反比例函数的解析式; (2)设点A 横坐标为m ,ABO △面积为S ,求S 与m 的函数关系式,并求出自变量m 的取值范围. 3.如图所示,点A 、B 在反比例函数()0≠=k y x k 的图象上,且点A 、B?的横坐标分别为a 、2a (a >0),AC⊥x 轴于点C ,且△AOC 的面积为2. (1)求该反比例函数的解析式. (2)若点(-a ,1y )、(-2a ,2y )在该函数的图象上,试比较1y 与2y 的大小. (3)求△AOB 的面积. O x y A C D B 第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程 预习归纳 1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 . 例题讲解 【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数. 基础训练 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21 10x x =++ B .2110x x =++ C .210xy -= D .22 0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2 450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( ) A .3、7、4 B .3、7、﹣4 C .3、﹣7、4 D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 +ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 . 7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值. 9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值. B A B E D A M N 九年级数学培优材料(10) -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式2x-3有意义,x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图,在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°,∠D=50°,则∠AOD 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图,已知AB 为⊙O 直径,AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM :OB=3:5,则CD 的长为( ) A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中,装有3个红球和a 个黄球,它们除了颜色不同外其余均相同,若 从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为( ) A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是AB 上一点,将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ,若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切,则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图,MN 是⊙O 的直径,MN=2,点A 在⊙O 上,∠AMN=30°,B 为弧AN 的中点,P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值是( ) A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题) (3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式. 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) ?EB 1.如图1,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是的中点,则下列结论不成 立的是() A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 图一图二图三 2.如图2,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆 的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为() A.4 B.C.6 D. 3.四个命题: ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分; ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ③点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2); ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d,若两圆有公共点,则1 7.已知AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D. (1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小; (2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小. 8.如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由。 9.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA 的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2. 初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换(一)(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换(二)(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系(P62----69) 第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点! 坚持就是胜利! 第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义,能准确进行辨析; 2.掌握二次根式有关性质,并能熟练运用性质进行化简; 3.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值(或取值围). 经典·考题·赏析 【例1】 (荆州)下列根式中属最简二次根式的是( ) A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点:①被开方式中不能含分母;②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母,C 、D 含开方数4、9,故选A. 【变式题组】 1.⑴()下列根式中不是最简二次根式的是( ) A. 【例2】(黔东南)方程480x -=,当y >0时,m 的取值围是( ) A .0<m <1 B .m ≥2 C .m <2 D .m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题,隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x -8=0,x -y -m =0.化为y =2-m ,则2-m >0,故选C. 【变式题组】 2.()若实数x 、y 2 (0y -=,则xy 的值是__________. 3.2()x y =+,则x -y 的值为( ) A .- 1 B .1 C .2 D .3 4.()使代数式4 x -有意义的x 的取值围是( ) A .x >3 B .x ≥3 C .x >4 D .x ≥3且x ≠4 5.()2 2(4)0a c --=,则a -b -c =________. 是同类二次根式的是( ) A B C D 九年级数学培优材料(10) -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式越有意义,x的取值范围为() 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是() A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为() A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图,在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是() A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图,已知AB 为(DO 直径,AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM: 0B=3:5, 则CD的长为() A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是() A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中,装有3个红球和a个黄球,它们除了颜色不同外其余均相同,若 2 从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为() A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点,将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的(DO相切,则折痕CE=() A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图,MN是00的直径,MN=2,点A在OO上,ZAMN=30° , B为弧AN的中点,P 是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是() A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形,AB是的直径,E是00 ±一点,过点E作EF丄DC于 旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt ABC △中,点D ,E 在斜边上,45DAE ∠=?, 将ABD △旋转至ACF △,连接EF .则ADE △≌AFE △,222DE BD CE =+ 2、如图所示,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45EAF ∠=?,将ABE △旋转至ADG △,则AEF △≌AGF △,EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例1 如图,已知等边ABC △的边长为1,D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?,BD CD =,60MDN ∠=?.求AMN △的周长. 解 延长AC 到E ,使CE BM =,连接DE . 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,连接MC ,NC ,MN . (1)填空:与ABM △相似的三角形是_______,_______;(用含a 的代数式表示) (2)求MCN ∠的度数; (3)猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论. 专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有: 1. 对应角相等; 2. 对应边成比例; 3. 对应线段(中线、高、角平分线)之比等于相似比; 4. 周长之比等于相似比; 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题,性质5进一步丰富了面积的有关知识,拓展了我们研究面积问题的视角. 如图,正方形EFGH 内接于△ABC ,AD ⊥BC ,设BC a =,AD h =,试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC ,AD 及CD 的延长线相交于E ,F ,G ,若5BE =,2EF =,则FG 的长是 . (“弘晟杯”上海市竞赛试题) 解题思路:由相似三角形建立含FG 的关系式,注意中间比的代换. G E F D C B A 【例2】如图,已知△ABC 中,DE ∥GF ∥BC ,且::1:2:3AD DF FB =, 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形( ) (黑龙江省中考试题) A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路:△ADE ,△AFG 都与△ABC 相似,用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图,在△ABC 的内部选取一点P ,过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线,这样所得的三个三角形t 1,t 2,t 3的面积分别为4,9和49,求△ABC 的面积. (第二届美国数学邀请赛试题) 解题思路:由于问题条件中没有具体的线段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形),我们可以得到: ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ; ② 1HG IE DF BC AC AB ++=; ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=; ④ 2ABC S =△. 上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心独 一元二次方程 概念、解法、根的判别式(讲义) 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程,并且都可以化成 _______________(____________________)的形式,这样的方程叫做一元二次方程. 思考次序:______________、__________、_______________. 2. 我们把____________________(____________________)称为一元二次方程 的_______形式,其中____,____,____分别称为二次项、一次项和常数项,_____,_____分别称为二次项系数和一次项系数. 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理.主要 解法有:________________,________________,_____________,_____________等. 4. 配方法是配成_______公式;公式法的公式是_____________; 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式,然后把方程左边进行____________________,根据_________________________,解出方程的根. 5. 通过分析求根公式,我们发现___________决定了根的个数,因此 _________被称作根的判别式,用符号记作_________;当__________时,方程有两个不相等的实数根(有两个解);当__________时,方程有两个相等的实数根(有一个解); 当__________时,方程没有实数根(无根或无解). 二、精讲精练 1. 下列方程:①3157x x +=+;② 21 10x x +-=; ③2 5ax bx -=(a ,b 为常数);④322 =-m m ;⑤2 02 y =;⑥2(1)3x x x +=-;⑦22250x xy y -+=.其中为一元二次方程的是____________. 2. 方程221x =-的二次项是________,一次项系数是____,常数项是 ______. 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程,则m 的值为 ___________. 2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OBC=42°,则∠A的度数是() A.42°B.48°C.52°D.58° 2.如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于() A.150°B.120°C.100°D.130° 3.如图,A.B、C、D四个点均在⊙O上,∠AOD=70°,AO∥DC,则∠B的度数为() A.40°B.45°C.50°D.55° 4.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是() A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5 5.如图,⊙O的圆心角∠BOC=112°,点D在弦BA的延长线上且AD=AC,则∠D的度数为() A.28°B.56°C.30°D.41° 6.如图,AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,P是弧AB的中点,则∠PAB等于() A.35°B.40°C.60°D.70° 7.AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上.若∠ABD=42°,则∠BCD的度数是( ) A.122°B.128°C.132°D.138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是() A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是() 第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数,其函数图像是一条直线。若0b =时,则称函数y kx =为正比例函数,故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当0k >时,函数y kx b =+是单调递增函数,即函数值y 随x 增大(减小)而增大(减小);当0k <,y kx b =+是递减函数,即函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大)。 函数(0)k y k x =≠称为反比例函数,其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时,函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大);当0k >且0x <,函数 值y 随x 增大(减小)而减小(增大),也就是说:当0k >时,反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数;当0k <时,函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。 若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时,12b b ≠时,两面直线平行。 当12k k =时,12b b =时,两面直线重合。 当12k k ≠时,两直线相交。 当121k k =-时,两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式,关键是要待定解析式中的未知数的系数;其次,在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1:在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ,求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然,当点C 在线段AB 内时,AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+,代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得456,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46(14),55 y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ,得4621.555 c =?-=- 例2:求证:一次函数211022 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点。 解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立,所以得 2102100,x y x y --=??+-=?解得12519,5x y ?=????=??当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219,55?? ??? . 1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练(一) 1 2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2 3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3 4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练(二) 4 5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5 1. 3. 4. 5. 6. 九年级数学培优《圆》专题训练(一) 1. ISI 在同一平面内与已知点O的距离尊于3cm的所有点组成的图形是 下列说法正磽的是(h 2直径是弦*弦星直径B过圜心的线段是直控 U圆中最长的弦是立轻 D.直径只有一条 下列说法:①半国是弧宇②飙是半圆*③鬭中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有( A, 0 R 1 D. 3 如图,点C在以AR直径的半圆上,O为画心,ZA = 20\则ZBOC#于(). A. 20* & 30°U 40" D. 50" 如图,AB是?O的宜否,点GD在0O上,AD//OC,则NAOD的度数为《 A. 70p a 60n C 50* D. 40* 如图,在△ABC中,AB为00的直径,ZB-60% ZC-70fl,则ZBOD的度数是( 2 80* B L90* C?100a D?120° 如图, 8 ) . &如图, 求证: 第4题图 已知OA、OH是00的两条半径* G D分别为OA.OB上一点, AD=Ha 9.如匪L已知同心岡O*大凰的半径AO、BO分别交小圆于C、D,求证* 10.如图,已知AB为30的直径,C为圆周上一点,求证x ZACB = 90*. 在?0中,为GO 的弦* UD 是直线AE 上两点,AC=BD,求i£ r OC=OR 14. 期图,AABC 和厶AMD 都为直角△, KZC-ZD=90\求证s A. B. C. D 四点在同一个圆上. D — 心如图,点P 为GO 外一点*卩0及延长线分别交(30于A 、爲 过点P 作一直线交?0于51、N (异于 去B ). 九年级数学培优《圆》专题训练(二) 同孙3整 严? TT jftWF 徑= 1L 如图, AB. AC 是0O 的两条弦,且= 求证? AO±BC. B 12.如图, 13.如图, 求ZDOE 的度8L CD 是?O 的直径* A 为DC 延长线上一点,AE 交?0 + B t 连OE, ZA-20D , AB^OC, \B f 九年级数学综合培优讲义 1.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=() A.B.C.D. 【解答】解:依题意得(a+b)2=b(b+a+b), 而a=1, ∴b2﹣b﹣1=0, ∴b=,而b不能为负, ∴b=. 故选B. 2.如图,已知⊙O是正方形ABCD的外接圆,点E是弧AD上任意一点,则∠BEC 的度数为() A.30°B.45°C.60°D.90° 【解答】解:连接OB,OC, ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆, ∴∠BOC=90°, ∴∠BEC=∠BOC=45°. 故选B. 3.已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连接DE,DE=. (1)求证:AM?MB=EM?MC; (2)求EM的长. 【解答】证明:(1)∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦, ∴AM?MB=EM?MC; (2)∵M是OB中点,圆半径R=4, ∴OM=MB=2, ∴AM=6, ∵CD是直径, ∴∠CED=90°, ∴CE2=CD2﹣DE2, ∴CE==7, 设EM=x,6×2=x?(7﹣x), 解得x=3或x=4, ∵EM>MC, ∴EM=4. 4.农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴,其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系: (1)分别求出y 1和y 2的函数解析式; (2)张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备.请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【解答】解:(1)由题意可得, 0.4=1×k ,得k=0.4, 即y 1与x 的函数关系式为y 1=0.4x , ,解得,, 即y 2 与x 的函数关系式为y 2=; (2)设购买Ⅱ型农机设备投资t 万元,购买Ⅰ型农机设备投资(10﹣t )万元,共获补贴Q 万元, Q=y 1+y 2=0.4(10﹣t )﹣=, ∴当t=3时,Q 取得最大值,此时Q= ,10﹣t=10﹣3=7, 答:投资7万元购买Ⅰ型农机设备,投资3万元购买Ⅱ型农机设备,共获最大补贴万元. 5、如图,为了测量出楼房AC 的高度,从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i =1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°,求楼房AC 的高度.(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°人教版九年级上册数学培优体系讲义
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